O Θόρυβος στα Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Ενότητα 6η O Θόρυβος στα Συστήματα Τηλεπικοινωνιών

Θόρυβος Η απόδοση των τηλεπικοινωνιακών συστημάτων υποβαθμίζεται από την ύπαρξη ενός ανεπιθύμητου, μη προβλέψιμου σήματος, το οποίο ονομάζεται «θόρυβος». Αποτέλεσμα: αλλοίωση του μεταβιβαζόμενου σήματος  εσφαλμένη αναπαραγωγή του αρχικού σήματος στον προορισμό του. Π.χ. Τηλεφωνική συνομιλία: «σφύριγμα»

Εξασθένηση - Παραμόρφωση Εκτός από το θόρυβο, σφάλματα στη μετάδοση του σήματος προκαλούνται και από δύο άλλα φαινόμενα, τα οποία είναι γνωστά ως εξασθένηση και παραμόρφωση. Η απώλεια μέρους της ισχύος του σήματος οφείλεται στην αντίσταση του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένο το μέσο μετάδοσης (εξασθένηση) Η παραμόρφωση του σήματος μπορεί να οφείλεται, στη διαφορετική ταχύτητα με την οποία μεταδίδονται οι διάφορες συχνότητες από τις οποίες αποτελείται ένα σήμα, στον περιορισμό του πλάτους των φασματικών συνιστωσών του σήματος λόγω του περιορισμένου εύρους ζώνης που διαθέτει το μέσο μετάδοσης. και στις δύο περιπτώσεις, το εύρος της παραμόρφωσης ενός σήματος εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά κατασκευής του μέσου μετάδοσης.

Η φύση του θορύβου Κάθε ηλεκτρονικό σύστημα έχει την ιδιότητα να προσθέτει θόρυβο στα τηλεπικοινωνιακά μας σήματα Ο θόρυβος n(t) είναι ένα τυχαίο σήμα. Δεν μπορούμε να προβλέψουμε την τιμή που θα έχει κάθε χρονική στιγμή σε αντίθεση με τα σήματα που χρησιμοποιούμε για να μεταδώσουμε πληροφορία. Ο θόρυβος βολής προέρχεται από το γεγονός ότι τα σήματα μεταφέρονται από διακριτές μονάδες (π.χ. ηλεκτρόνια ή φωτόνια). Αν η ισχύς του σήματος είναι μικρή, το σήμα στον δέκτη θα υπόκειται τυχαίες μεταβολές ανάλογα με τον αριθμό των μονάδων που θα λαμβάνονται. Ο θερμικός θόρυβος προέρχεται από την θερμική κίνηση των ηλεκτρονίων σε έναν αγωγό, ανεξάρτητα από το αν εφαρμόζεται ή όχι τάση. Ο ροζ(!) θόρυβος γεννιέται μέσα στα τρανζίστορ εξαιτίας διαφόρων αιτιών. Είναι ισχυρός ιδιαίτερα στις χαμηλές συχνότητες. Στους ημιαγωγούς υπάρχει και ο θόρυβος popcorn (!) ο οποίος έχει ως αποτέλεσμα την απότομη μετάβαση από ένα επίπεδο τάση σε ένα άλλο.

Παράδειγμα Ενθόρυβου Σήματος x(t) n(t) y(t)=x(t)+n(t) Αθόρυβο Σήμα Θόρυβος Ενθόρυβο Σήμα

Σηματοθορυβικός λόγος – Signal to Noise Ratio Ο λόγος σήματος προς θόρυβο ορίζεται ως το πηλίκο της μέσης ισχύος του σήματος, S, δια τη μέση ισχύ του θορύβου που το συνοδεύει, N. Eκφράζεται σε dB, δηλαδή O λόγος σήματος προς θόρυβο ορίζεται σε διάφορα σημεία του τηλεπικοινωνιακού συστήματος και έχει διαφορετικές τιμές σε κάθε ένα από αυτά. Συνήθως, ο προσδιορισμός του σηματοθορυβικού λόγου γίνεται στην είσοδο και στην έξοδο του δέκτη.

Πως χαρακτηρίζουμε τον θόρυβο; Όπως είπαμε και πριν ο θόρυβος n(t) είναι ένα τυχαίο σήμα και για να τον χαρακτηρίσουμε χρησιμοποιούμε τις πιθανότητες. Θυμηθείτε το ζάρι: αν ρίξουμε ένα ζάρι, δεν γνωρίζουμε τι θα φέρουμε. Ωστόσο αν Ν={1,2,3,4,5,6} είναι το αποτέλεσμα του ζαριού τότε γνωρίζουμε ότι η P{N=1} πιθανότητα το Ν να είναι ίσο με 1, είναι ίση με P{N=1}=1/6. Ομοίως P{N=2}=1/6 και ούτω καθεξής. Το Ν στην περίπτωση αυτή χαρακτηρίζεται ως διακριτή τυχαία μεταβλητή Ο θόρυβος είναι ένα είδος ζαριού αλλά δεν παίρνει διακριτές τιμές όπως το ζάρι, αλλά μπορεί να πάρει τιμές από ένα συνεχές διάστημα. Π.χ. την χρονική στιγμή t=t0 η τιμή του θορύβου N=n(t0) μπορεί να είναι οποιαδήποτε τιμή από το -∞ ως το +∞ αλλά μερικές τιμές είναι πιο πιθανές από τις άλλες. Επομένως δεν έχει νόημα να υπολογίσουμε την πιθανότητα το Ν να πάρει μία τιμή Α, P{N=A}, αλλά την πιθανότητα P{aNb} να πάρει μια τιμή μέσα σε ένα διάστημα [a,b]. Το Ν στην περίπτωση αυτή χαρακτηρίζεται ως συνεχής τυχαία μεταβλητή

Πυκνότητα Πιθανότητας Έχει ενδιαφέρον να ορίσουμε την πυκνότητα πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής fN(x) H πυκνότητα πιθανότητας fN(x) του Ν στο σημείο σημείο x είναι η πιθανότητα να πάρει το Ν μία τιμή σε ένα πολύ μικρό διάστημα γύρω από το x δια το μήκος του διαστήματος. Αν έχουμε το fN(x) τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα το Ν να πάρει τιμή μέσα στο [a,b]. Αν πάρουμε ένα πολύ μικρό Δ, τότε το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα,

Παράδειγμα 1ο Αν Φ είναι μία τυχαία γωνία με fΦ(x)=1/(2π) για x[0,2π] και fΦ(x)=0 για x[0,2π] τότε η πιθανότητα να πάρει μία τιμή στο [0,π/2] είναι: H πιθανότητα να πάρει μία τιμή στο [0,2π] είναι Δηλαδή είναι βέβαιο πως η γωνία Φ θα βρίσκεται πάντα στο [0,2π]. H πιθανότητα να πάρει μία τιμή στο [4π,6π] είναι Δηλαδή η γωνία Φ δεν μπορεί να πάρει τιμές [4π,6π].

Παράδειγμα 2ο Έστω fN(x)=(1/τ)exp(-x/τ) για x0 και fN(x)=0 για x<0. Τότε η πιθανότητα να πάρει το σήμα μια τιμή από το 0 ως το x0 είναι: Η πιθανότητα το Ν να είναι θετικό είναι: Η πιθανότητα το Ν να είναι αρνητικό είναι: Επομένως είναι βέβαιο πως το Ν θα είναι θετικό και αδύνατο να είναι αρνητικό!

Χαρακτηριστικά της πυκνότητας πιθανότητας Η πυκνότητα πιθανότητας fN(x) μίας τυχαίας μεταβλητής Ν είναι πάντα θετική, δηλαδή fN(x)0. Το ολοκλήρωμα της fN(x) από το -∞ στο +∞ είναι ίσο με την μονάδα. Αυτό αντικατοπτρίζει το γεγονός ότι η Ν σίγουρα παίρνει την τιμή της από το διάστημα (-∞,+∞) 1/2/π 2π

Μέση τιμή Η μέση τιμή του Ν=n(t0) έχει μεγάλη σημασία στις τηλεπικοινωνίες. Ας φανταστούμε πως ρίχνουμε ένα ζάρι πολλές φορές και παρατηρούμε το αποτέλεσμα Ν. Μετά από Μ ρίψεις (όπου το Μ είναι μεγάλος αριθμός), το ζάρι θα έχει έρθει Μ/6 φορές 1, Μ/6 φορές 2, κτλ. Μπορούμε να σχηματίσουμε το μέσο όρο του αποτελέσματος, ο οποίος θα είναι 1/Μ×(Μ/6×1+Μ/6×2+…+Μ/6×6)=3.5. Το 3.5 είναι η μέση τιμή του Ν Στην περίπτωση του θορύβου, ας φανταστούμε πως ανάβουμε το σύστημα μας και μετράμε το πλάτος του θορύβου Νi=n(t0) μετά από χρόνο t0. Στη συνέχεια σβήνουμε το σύστημα μας και επαναλαμβάνουμε τις μετρήσεις πολλές φορές. t0 t0 t0 … O μέσος όρος των Ni μετά από πολλές επαναλήψεις είναι η μέση τιμή του Ν

Μέση τιμή και πυκνότητα πιθανότητας Αν ξέρουμε την πυκνότητα πιθανότητας του Ν μπορούμε να υπολογίσουμε την μέση τιμή Νmean ως εξής: Γενικά ορίζουμε την αναμενόμενη τιμή E{g(N)} ως εξής: Οπότε:

Παραδείγματα Αν Φ είναι μία τυχαία γωνία με fΦ(x)=1/(2π) για x[0,2π] και fΦ(x)=0 για x[0,2π], τότε η μέση τιμή Ε{Φ} της Φ είναι Έστω fN(x)=(1/τ)exp(-x/τ) για x0 και fN(x)=0 για x<0, τότε η μέση τιμή Ε{Ν} της Ν είναι

Ισχύς θορύβου Πως χαρακτηρίζουμε την ένταση του θορύβου? Η μέση τιμή δεν είναι καλή ιδέα. Ένας ισχυρός θόρυβος μπορεί να έχει μέση τιμή μηδέν. Μια άλλη λύση είναι να θεωρήσουμε την μέση τετραγωνική απόκλιση από την μέση τιμή Το μέγεθος αυτό ονομάζεται διακύμανση του Ν και στην περίπτωση όπου το Ν είναι ένα δείγμα του θορύβου αντιπροσωπεύει την ισχύ του θορύβου.

Παραδείγματα Αν Φ είναι μία τυχαία γωνία με fΦ(x)=1/(2π) για x[0,2π] και fΦ(x)=0 για x[0,2π], τότε η διακύμανση της Φ είναι Έστω fN(x)=(1/τ)exp(-x/τ) για x0 και fN(x)=0 για x<0, τότε η διακύμανση της Ν είναι

Συνδυασμένη Πυκνότητα Πιθανότητας Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με μία χρονική στιγμή t=t0. Αν θεωρήσουμε δύο χρονικές στιγμές t=t1 και t=t2 και τα δείγματα Ν1=n(t1) και Ν1=n(t2) αντίστοιχα τότε για να περιγράψουμε την στατιστική των δύο αυτών δειγμάτων θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις πιθανότητες που αντιπροσωπεύει την πιθανότητα το N1 να είναι ανάμεσα στο x και στο x+Δ1 ΚΑΙ το N2 να είναι ανάμεσα στο y και στο y+Δ2. H συνδυασμένη πυκνότητα πιθανότητας ορίζεται ως:

Ανεξαρτησία Δύο δείγματα Ν1 και Ν2 θα είναι ανεξάρτητα όταν η συνδυασμένη πυκνότητα πιθανότητα τους ισούται με το γινόμενο των πυκνοτήτων πιθανοτήτων των Ν1 και N2 Στην περίπτωση αυτή, η μέση τιμή του γινομένου ισούται με το γινόμενο των μέσων τιμών, δηλαδή

Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης Αν n(t) είναι τα δείγματα ενός θορύβου τότε μπορούμε να ορίσουμε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Συνήθως η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης εξαρτάται από την διαφορά των t1 και t2 δηλαδή αν τ=t2-t1 μπορύμε να γράψουμε πως Η φασματική πυκνότητα ισχύος του θορύβου είναι ο μετασχηματισμός Fourier του Rnn(τ)

Gaussian Κατανομή Στις τηλεπικοινωνίες συχνά ο θόρυβος ακολουθεί Gaussian στατιστική, δηλαδή η πυκνότητα πιθανότητας του Ν είναι: Η παράμετρος m είναι η μέση τιμή του Ν, δηλαδή Επίσης το σ2 είναι η διακύμανση του Ν στην περίπτωση αυτή, δηλαδή m=5 σ=2

Ιδιότητες της Gaussian κατανομής Το θεώρημα του κεντρικού ορίου. Έστω Ν1,…,ΝΚ ανεξάρτητες μεταξύ τους τυχαίες μεταβλητές, τότε αν σχηματίσουμε το μέσο όρο τους S=1/K×(N1+…+NK), τότε το S στην οριακή περίπτωση όπου Κ θα ακολουθεί Gaussian τυχαία κατανομή! Επίσης δύο Gaussian τυχαίες μεταβλητές N1 και N2 είναι ανεξάρτητες αν και μόνο εάν E{Ν1Ν2}=Ε{Ν1}Ε{Ν2}. Το άθροισμα δύο Gaussian μεταβλητών είναι πάλι Gaussian.