Μη Γραμμική Δυναμική Ευστάθεια: Συντηρητικά Διακεκριμένα Συστήματα Θεμελιώδες Υλικό της Θεωρίας των Δυναμικών Συστημάτων Υφίστανται δύο ειδών δυναμικά συστήματα 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝑓(𝑥,𝑡) , 𝑥∈ ℜ 𝑛 , 𝑡∈𝐼⊂ℜ , 𝑓:𝑈→ ℜ 𝑛 , 𝑈⊆ ℜ 𝑛 𝑥𝐼 Τα διανυσματικά πεδία (ΔΠ) vector fields Αν η 𝑓 είναι γραμμική, το διανυσματικό πεδίο καλείται γραμμικό, αλλιώς μη γραμμικό Οι απεικονίσεις maps 𝑥 𝑛+1 =𝑓 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑖 ∈ℜ

Διανυσματικά Πεδία 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥 =𝑓(𝑥) , 𝑥∈ ℜ 𝑛 Εξετάζουμε κατ’ αρχήν ένα διανυσματικό πεδίο της μορφής το οποίο είναι αυτόνομο, δηλαδή η συνάρτηση 𝑓 είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Το πεδίο αυτό ορίζει τη λεγόμενη διανυσματική ροή 𝛷 𝑡 :𝑈→ ℜ 𝑛 , 𝑈⊆ ℜ 𝑛 , όπου 𝛷 𝑡 (𝑥)=𝛷(𝑥,𝑡 𝛷 𝑡 (𝑥)=𝛷(𝑥,𝑡 είναι μια λεία συνάρτηση ορισμού ∀𝑥∈𝑈 και ∀𝑡∈𝐼, που ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση, οπότε θα ισχύει ότι: 𝑑𝛷 𝑑𝑡 (𝑥,𝑡) 𝑡=𝜏 =𝑓 𝛷(𝑥,𝜏) , ∀𝑥∈𝑈 , ∀𝜏∈𝐼 Συχνά μας δίνεται μια αρχική τιμή 𝑥 0 =𝑥 0 ∈𝑈 και ζητάμε τη λύση του διανυσματικού πεδίου 𝛷 𝑥 0 ,𝑡 έτσι ώστε 𝛷 𝑥 0 ,𝑡 = 𝑥 0 . Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση 𝛷 𝑥 0 ,• ονομάζεται γραμμή λύσης του ΔΠ. Η διαφορά μεταξύ γραμμής λύσης και ροής ………….

Γραμμή λύσης (α) και ροή (β) ενός διανυσματικού πεδίου

Ένα διανυσματικό πεδίο θεωρείται ως μη αυτόνομο, όταν ορίζεται από την ακόλουθη εξίσωση χρονικά εξαρτώμενης μεταβλητής: 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝑓(𝑥,𝑡) , 𝑥 𝑡 0 = 𝑥 0 Η συνάρτηση 𝑓 εξαρτάται από το χρόνο, οπότε η αρχική τιμή του χρόνου δεν μπορεί να τεθεί αυθαίρετα ίση με μηδέν. Η λύση της παραπάνω, που διέρχεται από το 𝑥 0 τη χρονική στιγμή 𝑡 0 είναι η 𝛷 𝑥 0 ,𝑡 = 𝑥 0 Αν υφίσταται μια Τ > 0 τέτοια ώστε 𝑓(𝑥,𝑡)=𝑓(𝑥,𝑡+𝑇 – για κάθε x και για κάθε t – το σύστημα καλείται χρονικά περιοδικό με περίοδο Τ. Η μικρότερη τέτοια Τ καλείται ελάχιστη περίοδος. Ένα χρονικά περιοδικό μη αυτόνομο διανυσματικό πεδίο τάξης n μπορεί πάντοτε να μετατραπεί σε ένα αυτόνομο διανυσματικό πεδίο n + 1 τάξης, με την εισαγωγή της επί πλέον μεταβλητής 𝜃:=2𝜋 𝑡 𝑇 . 𝑥 =𝑓 𝑥,𝜃 𝑇 2 𝜋 𝑥(0)= 𝑥 0 𝜃 =2 𝜋 𝑇 , 𝜃(0)=2𝜋 𝑡 0 𝑇 Καθόσον η f είναι χρονικά περιοδική με περίοδο Τ, το νέο σύστημα είναι περιοδικό ως προς θ με περίοδο 2π.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτόνομου διανυσματικού πεδίου είναι το παρακάτω: 𝑥 +𝑥=0⇒ 𝑥 =𝑦 𝑦 =−𝑥 ⇒ 𝑤=(𝑥,𝑦)⇒ 𝑤 =𝑓(𝑤) , 𝑤∈ ℜ 2 𝑓(𝑤)=( 𝑓 1 , 𝑓 2 ) , 𝑓 1 (𝑤)=−𝑥 Για αρχική τιμή 𝑥(0),𝑦(0 = 𝑥,0 η λύση του είναι 𝑥(𝑡),𝑦(𝑡 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑡,−𝑥𝑠𝑖𝑛𝑡 ενώ η ροή του εν λόγω διανυσματικού πεδίου γράφεται ως Φ 𝑡 =𝑈→ ℜ 2 , (𝑥,0)→ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑡,−𝑥𝑠𝑖𝑛𝑡 Καμπύλη λύσης (α) και τροχιά (β) του αυτόνομου διανυσματικού πεδίου

Χρήσιμες Ιδιότητες των Διανυσματικών Πεδίων Ισχύει ότι 𝛷 𝑡 (𝑥)= 𝛷 𝑡 (𝑦 όταν και μόνον όταν x = y, δηλαδή οι τροχιές αυτόνομων διανυσματικών πεδίων ορίζονται με μοναδικό τρόπο από τις αρχικές συνθήκες τους. Ισχύει ότι 𝛷 𝑡 (𝑥, 𝑡 0 )= 𝛷 𝑡 (𝑦, 𝑡 0 όταν και μόνον όταν x = y. Τούτο υποδηλώνει ότι δοθέντος του αρχικού χρόνου, η τροχιά ενός μη αυτόνομου συστήματος είναι μοναδικά ορισμένη από την αρχική κατάσταση. Παρά ταύτα, αν 𝑡 0 ≠ 𝑡 1 , είναι πιθανό να ισχύει ότι 𝛷 𝑡 (𝑥, 𝑡 0 )= 𝛷 𝑡 (𝑦, 𝑡 1 , 𝑥≠𝑦, οπότε, σε αντίθεση με αυτόνομα συστήματα, οι τροχιές μη αυτόνομων συστημάτων μπορεί να τέμνονται. Η παράγωγος μιας τροχιάς ως προς το χρόνο υπάρχει και είναι ομαλή. Ως εκ τούτου, για 𝑡, 𝑡 0 σταθερά, η συνάρτηση 𝛷 𝑥 0 , 𝑡 0 είναι συνεχής ως προς την αρχική συνθήκη.

Συμπεριφορά Σταθερής Κατάστασης και Οριακά Σύνολα Ο πλέον δόκιμος τρόπος κατάταξης των δυναμικών συστημάτων, είναι αυτός που βασίζεται στις λύσεις σταθερής κατάστασης αυτών και στα οριακά σύνολα τους. Η έννοια της σταθερής κατάστασης συνδέεται με την ασυμπτωτική συμπεριφορά για 𝑡→∞, απαιτείται δε να είναι φραγμένη. Η διαφορά μεταξύ της λύσης και της σταθερής της κατάστασης καλείται μεταβατική. Ένα σημείο y είναι οριακό σημείο του x αν, για κάθε γειτονιά U του y, η 𝛷 𝑡 (𝑥 επαναλαμβανόμενα εισέρχεται στην U καθώς ο χρόνος t τείνει στο άπειρο. Το σύνολο όλων των οριακών σημείων του x ονομάζεται οριακό σύνολο 𝐿(𝑥). Τα οριακά σύνολα είναι κλειστά και αμετάβλητα για την Φ(𝑡). Ένα σύνολο L είναι αμετάβλητο για την Φt αν, για όλα τα x που ανήκουν στο L και όλους τους χρόνους t, ισχύει ότι η Φt(x) ανήκει στο L. Ένα οριακό σύνολο L είναι ελκτικό αν υφίσταται μια ανοιχτή γειτονιά U του L: 𝐿(𝑥)=𝐿 ∀𝑥∈𝑈. H λεκάνη έλξης 𝐵(𝐿) ενός ελκτικού συνόλου L ορίζεται ως η ένωση όλων των ως άνω γειτονιών U. Κάθε τροχιά, που εκκινεί εντός του 𝐵(𝐿), τείνει προς το L για 𝑡→∞. Τα ελκτικά οριακά σύνολα εστιάζουν το ενδιαφέρον μας, καθόσον μη ελκτικά οριακά σύνολα δεν παρατηρούνται σε φυσικά συστήματα ή σε προσομοιώματα αυτών.

Οι τέσσερις (4) διαφορετικοί τύποι συμπεριφοράς σταθερής κατάστασης Σημεία Ισορροπίας Ένα σημείο ισορροπίας 𝑥 𝑒𝑞 ενός αυτόνομου συστήματος είναι μια σταθερή λύση της 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥 =𝑓(𝑥) , 𝑥∈ ℜ 𝑛 𝛷 𝑡 𝑥 𝑒𝑞 = 𝑥 𝑒𝑞 για όλους τους χρόνους t Σε ένα σημείο ισορροπίας το διανυσματικό πεδίο μηδενίζεται και γενικά, αν 𝑓 𝑥 =0 τότε το σημείο 𝑥 είναι ένα σημείο ισορροπίας. 𝑥 =𝑦 𝑦 =−𝑘𝑦−𝑠𝑖𝑛𝑥 Εξίσωση του εκκρεμούς με απόσβεση Είναι ένα αυτόνομο σύστημα 2ης τάξης με άπειρα σημεία ισορροπίας 𝑥,𝑦 = 𝑘𝜋,0 , 𝑘 = 0, ±1, ±2.... Το οριακό σύνολο ενός σημείου ισορροπίας είναι το ίδιο το σημείο ισορροπίας. Περιοδικές Λύσεις Οιονεί – Περιοδικές Λύσεις Χάος

Περιοδικές Λύσεις H 𝛷 𝑡 𝑥 ∗ , 𝑡 0 είναι μια περιοδική λύση αν, για κάθε t και για κάποια ελάχιστη περίοδο 𝑇 ′ >0: 𝛷 𝑡 𝑥 ∗ , 𝑡 0 = 𝛷 𝑡+ 𝑇 ′ 𝑥 ∗ , 𝑡 0 Μια περιοδική λύση διαθέτει έναν μετασχηματισμό Fourier, ο οποίος αποτελείται από μια θεμελιώδη συνιστώσα στο 𝑓= 1 𝑇 ′ και από όμοια κατανεμημένες (σε ίσες μεταξύ τους αποστάσεις) αρμονικές στα 𝑘 𝑇 ′ , 𝑘 = 2, 3,.... Το εύρος μερικών από αυτές τις φασματικές συνιστώσες μπορεί να είναι μηδενικό. Σε ένα μη αυτόνομο σύστημα, η 𝑇 ′ είναι τυπικά κάποιο πολλαπλάσιο, Κ = 1, 2, ... της διεγείρουσας περιόδου Τ, και η λύση καλείται λύση Κ–περιόδου. Αν 𝐾≥2, η λύση ονομάζεται επίσης υποαρμονική τάξης Κ. Eξίσωση του εξαναγκασμένου ταλαντωτή του Duffing 𝑥 =𝑦 𝑦 =𝑥− 𝑥 3 −𝛿𝑦+𝛾𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

Περιοδικές λύσεις της εξίσωσης του Duffing για γ=0

Για αυτόνομα συστήματα, μια απομονωμένη περιοδική λύση 𝛷 𝑡 𝑥 ∗ καλείται οριακός κύκλος. Πρόκειται περί αυτοδιατηρούμενης ταλάντωσης και δεν δύναται να συμβεί σε γραμμικά συστήματα. 𝑥 =𝑦 𝑦 =(1− 𝑥 2 )𝑦−𝑥 Eξίσωση του van der Pol: 𝑥 + 𝑥 2 −1 𝑥 +𝑥=0 Οριακός κύκλος για την εξίσωση van der Pol: (α) Τροχιά, (β) Χρονική κυματομορφή της κύριας συνιστώσας της (α) και (γ) Φάσμα της κύριας συνιστώσας της (α). Λόγω συμμετρίας της κυματομορφής υπάρχουν μόνο αρμονικές περιττής τάξης

Ευστάθεια Σημείων Ισορροπίας Διανυσματικών Πεδίων Γενικός Ορισμός Ενδιαφερόμαστε να εξετάσουμε την ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας ή οποιασδήποτε άλλης λύσης ενός διανυσματικού πεδίου, έστω της 𝑥 (𝑡). Εξ ορισμού, η λύση αυτή είναι ευσταθής, αν άλλες λύσεις του διανυσματικού πεδίου, που ξεκινούν «κοντά» στην 𝑥 (𝑡) παραμένουν «κοντά» στη λύση αυτή ∀𝑡∈𝐼. Η εν λόγω λύση είναι ασυμπτωτικά ευσταθής, αν άλλες «κοντινές» λύσεις τείνουν στην 𝑥 (𝑡) όταν 𝑡→∞. Οι παραπάνω ορισμοί έχουν τοπικό χαρακτήρα και όχι καθολικό.

Ευστάθεια κατά Lyapunov (L – ευστάθεια) Η λύση 𝒙 (𝒕) του διανυσματικού πεδίου 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒙 =𝒇(𝒙) , 𝒙∈ 𝕽 𝒏 είναι L–ευσταθής, αν για 𝜺>𝟎 υπάρχει ένα 𝜹=𝜹(𝜺)>𝟎 τέτοιο ώστε ∀𝒚(𝒕 , που ικανοποιεί την ανισότητα 𝒙 ( 𝒕 𝟎 −𝒚 𝒕 𝟎 <𝜹, ισχύει ότι: ‖ 𝑥 (𝑡)−𝑦(𝑡 ‖<𝜀, ∀𝑡> 𝑡 0 , 𝑡 0 ∈ℜ Επιπρόσθετα, η λύση 𝑥 (𝑡) είναι L–ασυμπτωτικά ευσταθής, αν είναι L–ευσταθής και υπάρχει ένα 𝑏>0 τέτοιο ώστε ‖ 𝑥 ( 𝑡 0 )−𝑦( 𝑡 0 ‖<𝑏⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑡→∞ ‖ 𝑥 (𝑡)−𝑦(𝑡 ‖=0

L-ευστάθεια (α) και L-ασυμπτωτική ευστάθεια (β).

Γραμμικοποίηση Ένας τρόπος για να εξετάσουμε αν η λύση 𝑥 (𝑡) είναι ευσταθής ή όχι, είναι η εξέταση της τοπικής εικόνας του διανυσματικού πεδίου στη γειτονιά της λύσης. Έστω λοιπόν το διανυσματικό πεδίο 𝑥 =𝑓(𝑥), 𝑥∈ ℜ 𝑛 , 𝑈 𝑓 ℜ 𝑛 , 𝑈⊆ ℜ 𝑛 στο οποίο, ακολουθώντας τοπική ανάλυση, θέτουμε 𝑥(𝑡)= 𝑥 (𝑡)+𝜉(𝑡) , 𝜉(𝑡) ≪1 Επειδή ισχύει ότι 𝑥 (𝑡)= 𝑥 (𝑡)+ 𝜉 (𝑡 , τελικά μπορούμε να γράψουμε πως 𝑥 (𝑡)+ 𝜉 (𝑡)=𝑓 𝑥 (𝑡)+𝜉(𝑡 Κατόπιν αναπτύσσουμε την 𝑓 σε σειρά Taylor, ως προς τη λύση της οποίας την ευστάθεια αναζητούμε, οπότε 𝑥 (𝑡)+ 𝜉 (𝑡)=𝑓 𝑥 (𝑡)+𝜉(𝑡 +𝐷𝑓 𝑥 (𝑡) 𝜉(𝑡)+𝑂 𝜉 2 𝑥 (𝑡)=𝑓 𝑥 (𝑡) 𝜉 𝑡 =𝐷𝑓 𝑥 (𝑡 𝜉 𝑡 +…

𝜉 𝑡 =𝐷𝑓 𝑥 (𝑡 𝜉 𝑡 +… Αυτό είναι το γραμμικοποιημένο σύστημα μας, το οποίο μπορεί να λυθεί αναλυτικά αν η 𝑥 (𝑡 είναι ένα σημείο ισορροπίας 𝑥 . Αν προβούμε στην εύρεση της λύσης αυτής, μπορούμε να συνάγουμε συμπεράσματα για την ευστάθεια του διανυσματικού πεδίου, υπό ορισμένες προϋποθέσεις. Αυτές σχετίζονται με το ακόλουθο θεώρημα: Έστω ότι θέλουμε να εξετάσουμε την τοπική ευστάθεια του σημείου ισορροπίας 𝑥 . Αν οι ιδιοτιμές του μητρώου των συντελεστών 𝐷𝑓 𝑥 έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε το σημείο ισορροπίας 𝑥 είναι L–ασυμπτωτικά ευσταθές. Αν έστω και μία ιδιοτιμή έχει θετικό πραγματικό μέρος, τότε το x είναι L–ασυμπτωτικά ασταθές. Για μηδενικό πραγματικό μέρος, η διαδικασία της γραμμικοποίησης δεν μπορεί να αποφανθεί περί της ευστάθειας ή μη του σημείου ισορροπίας. Παράδειγμα δόθηκε στο μάθημα, όπως και στοιχεία της έννοιας των αμετάβλητων πολλαπλών. Αναλυτικά στις σημειώσεις που θα αναρτηθούν σύντομα στο eclass.

Η μέθοδος του κεντρικού πολλαπλού Θεωρούμε ένα διανυσματικό πεδίο της μορφής 𝑥 =𝐴𝑥+𝑓(𝑥,𝑦 𝑦 =𝐵𝑦+𝑔(𝑥,𝑦  (𝑥,𝑦)∈ ℜ 𝑐 𝑥 ℜ 𝑠 όπου 𝑓(0,0)=𝑔(0,0)=0, 𝐷𝑓(0,0)=𝐷𝑔(0,0)=0 Το μητρώο 𝐴 είναι 𝑐x𝑐 με ιδιοτιμές που έχουν πραγματικό μέρος ίσο με το μηδέν, το μητρώο 𝐵 είναι 𝑠x𝑠 με ιδιοτιμές που έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος και οι 𝑓, 𝑔 είναι 𝐶 𝑟 , 𝑟≥2. Ένα αμετάβλητο πολλαπλό καλείται κεντρικό πολλαπλό για το ως άνω διανυσματικό πεδίο αν μπορεί να αναπαρασταθεί τοπικά ως ακολούθως: 𝑊 𝑐 (0)= 𝑥,𝑦)∈ ℜ 𝑐 𝑥 ℜ 𝑠 𝑦 =ℎ(𝑥), |𝑥|<𝛿, ℎ(0)=0, 𝐷ℎ(0)=0 για 𝛿 αρκούντως μικρό. Άρα, το κεντρικό πολλαπλό ορίζεται μόνο τοπικά, σε μια μικρή γειτονιά του σημείου ισορροπίας. Επίσης, το κεντρικό πολλαπλό εφάπτεται του γραμμικοποιημένου κεντρικού ιδιοχώρου 𝐸 𝑐 στο 𝑥,𝑦 = 0,0 .

Θεώρημα Υπολογισμού του Κεντρικού Πολλαπλού Υπάρχει πάντοτε ένα κεντρικό πολλαπλό για το διανυσματικό πεδίο 𝑥 =𝐴𝑥+𝑓(𝑥,𝑦 𝑦 =𝐵𝑦+𝑔(𝑥,𝑦  (𝑥,𝑦)∈ ℜ 𝑐 𝑥 ℜ 𝑠 Η δυναμική σε αυτό το πεδίο, περιορισμένη στο κεντρικό πολλαπλό δίνεται, για 𝑢 αρκούντως μικρό, από το ακόλουθο διανυσματικό πεδίο διάστασης 𝑐: 𝑢 =𝐴𝑢+𝑓 𝑢,ℎ(𝑢 , 𝑢∈ ℜ 𝑐 Θεώρημα Υπολογισμού του Κεντρικού Πολλαπλού Υποθέτουμε ότι η λύση 𝑢=0 είναι ευσταθής (ασυμπτωτικά ευσταθής, ασταθής). Τότε η λύση 𝑥,𝑦 = 0,0 είναι επίσης ευσταθής (ασυμπτωτικά ευσταθής, ασταθής). Αναζητούμε συνεπώς μια συνάρτηση 𝑦=ℎ(𝑥): ℜ 𝑐 → ℜ 𝑠 και κατόπιν θα περιοριστεί η δυναμική του διανυσματικού πεδίου πάνω στο πολλαπλό, με βάση τις αμετάβλητες ιδιότητες του 𝑊 𝑐 (0)

Κατά πρώτον, οι συντεταγμένες 𝑥,𝑦 οποιουδήποτε σημείου επί του 𝑊 𝑐 (0) πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση 𝑦=ℎ(𝑥) (1α) Κατά δεύτερον, οι συντεταγμένες 𝑥 , 𝑦 οποιουδήποτε σημείου επί του 𝑊 𝑐 (0) πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση 𝑦 =𝐷ℎ(𝑥) 𝑥 (1β) Και κατά τρίτον, κάθε σημείο του 𝑊 𝑐 (0) θα πρέπει να ικανοποιεί τις αρχικές εξισώσεις. Αυτές συνδυαζόμενες με τις (1α) και (1β) δίνουν: 𝐷ℎ(𝑥) 𝑥 =𝐵ℎ(𝑥)+𝑔(𝑥,ℎ(𝑥))⇒𝐷ℎ(𝑥) 𝐴𝑥+𝑓(𝑥,ℎ(𝑥) =𝐵ℎ(𝑥)+𝑔(𝑥,ℎ(𝑥))⇒ ℵ ℎ(𝑥 ≡𝐷ℎ(𝑥) 𝐴𝑥+𝑓(𝑥,ℎ(𝑥 −𝐵ℎ(𝑥)−𝑔(𝑥,ℎ(𝑥))=0 (2) Η εξίσωση (2) είναι αυτή που πρέπει να ικανοποιείται από την 𝑦=ℎ(𝑥), προκειμένου το γράφημα της να είναι ένα αμετάβλητο κεντρικό πολλαπλό.

Παράδειγμα ……………..από τις σχετικές σημειώσεις