Πολυσυγγραμμικότητα Εξειδίκευση

Στο υπόδειγμα της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης (multiple linear regression model) υποθέσαμε ότι μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών δεν υπάρχει γραμμική σχέση. Όταν μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών υπάρχει κάποια γραμμική συσχέτιση, τότε στο υπόδειγμα της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης εμφανίζεται το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας (multicollinearity).

Τα οικονομικά φαινόμενα χαρακτηρίζονται από αλληλεξάρτηση επομένως έχουν ως αποτέλεσμα την εμφάνιση γραμμικών σχέσεων μεταξύ τους. Το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας μπορεί επίσης να εμφανιστεί όταν στο πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης χρησιμοποιούμε επιπρόσθετες ανεξάρτητες μεταβλητές με χρονική υστέρηση. Η ύπαρξη της πολυσυγγραμμικότητας δυσχεραίνει να προσδιορίσουμε το βαθμό της επίδρασης κάθε ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη.

Είδη πολυσυγγραμμικότητας Η Πολυσυγγραμμικότητα (multicollinearity) μας παραπέμπει σε μια κατάσταση στην οποία δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές σε ένα πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης σχετίζονται με υψηλή γραμμική σχέση. Αν η συσχέτιση μεταξύ δύο ανεξάρτητων μεταβλητών είναι ίση με +1 ή -1 τότε λέμε ότι υπάρχει πλήρης πολυσυγγραμμικότητα. Στις περισσότερες οικονομικές εφαρμογές είναι πολύ σπάνιο να εμφανιστεί η πλήρης πολυσυγγραμμικότητα.

Στα πολλαπλά γραμμικά υποδείγματα που εμφανίζεται κάποιος βαθμός πολυσυγγραμμικότητας οι αναλυτές τροποποιούν το υπόδειγμα της πολλαπλής παλινδρόμησης για να μπορέσουν να απoφύγουν τον υψηλό βαθμό της πολυσυγγραμμικότητας.

Συνέπειες της πλήρους πολυσυγγραμμικότητας Οι εκτιμητές του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης δεν μπορούν να προσδιοριστούν. Οι διακυμάνσεις των εκτιμητών της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης τείνουν στο άπειρο.

Συνέπειες μερικής (ατελούς) πολυσυγγραμμικότητας Παρόλο που είναι BLUE, οι εκτιμητές της OLS έχουν μεγάλες διακυμάνσεις και συνδιακυμάνσεις, καθιστώντας δύσκολη την ακριβή εκτίμηση. Λόγω της προηγούμενης συνέπειας, τα διαστήματα εμπιστοσύνης τείνουν να παρουσιάζουν μεγαλύτερο εύρος (γεγονός που οδηγεί σε ευκολότερη αποδοχή της Η0 , δηλ. ο συντελεστής του πληθυσμού είναι μηδέν). Επίσης, ο συντελεστής t ενός ή περισσότερων συντελεστών τείνει να είναι μη στατιστικά σημαντικός Αν και ο συντελεστής t είναι μη στατιστικά σημαντικός, ο R2 μπορεί να είναι πολύ υψηλό. Οι εκτιμητές της OLS και τα τυπικά τους σφάλματα μπορεί να είναι ευαίσθητα σε μικρές αλλαγές στα στοιχεία. (Gujarati, D.N., Porter, D.C (2013) Οικονομετρία-Αρχές και Εφαρμογές)

Τρόποι Διαπίστωσης Οι διάφοροι τρόποι ελέγχου της πολυσυγγραμμικότητας αναφέρονται στη διαπίστωση και μέτρηση και όχι στον έλεγχο αυτής. Μερικοί τρόποι είναι οι εξής: Το Κριτήριο του Frisch Σύμφωνα με το κριτήριο του Frisch (1934) όταν ο συντελεστής προσδιορισμού R2 είναι πολύ μεγάλος, ενώ οι έλεγχοι του t-statistic στους εκτιμητές των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι μη στατιστικά σημαντικοί (ίσοι με μηδέν), και η στατιστική F για το σύνολο των εκτιμητών της παλινδρόμησης είναι υψηλή, τότε υπάρχει πολυσυγγραμμικότητα μεταξύ των ερμηνευτικών μεταβλητών.

Το Κριτήριο του Klein Ένα άλλο κριτήριο για τον έλεγχο της πολυσυγγραμμικότητας είναι το κριτήριο του Klein (1962). Σύμφωνα με το κριτήριο αυτό, αν οι συντελεστές συσχέτισης των ερμηνευτικών μεταβλητών είναι υψηλοί τότε υπάρχει πολυσυγγραμμικότητα. Η πολυσυγγραμμικότητα αυτή είναι επιβλαβής όταν για . Όπου είναι ο απλός συντελεστής συσχέτισης, και R2 ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού.

Μήτρα Συσχέτισης Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα είναι ίσα με τη μονάδα γιατί υπάρχει η συσχέτιση κάθε μεταβλητής με τον εαυτό της. Αν ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ δύο ανεξάρτητων μεταβλητών είναι μεγαλύτερος από τους συντελεστές συσχέτισης μεταξύ της εξαρτημένης μεταβλητής και των αντίστοιχων ανεξάρτητων μεταβλητών, τότε λέμε ότι στο υπόδειγμα που εξετάζουμε υπάρχει το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας.

Εκτιμητής Διόγκωσης της Διακύμανσης Ο εκτιμητής διόγκωσης της διακύμανσης (Variance Inflation Factor) δείχνει την ταχύτητα αύξησης της διακύμανσης ενός εκτιμητή όταν υπάρχει το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας.

Όπου είναι ο εκτιμητής διόγκωσης της διακύμανσης του , είναι ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού που προκύπτει από την παλινδρόμηση της ανεξάρτητης μεταβλητής X με όλες τις υπόλοιπες ανεξάρτητες μεταβλητές του υποδείγματος. είναι η πραγματική διακύμανση του εκτιμητή, είναι η δυνητική (ιδανική) διακύμανση του εκτιμητή

Όταν η τιμή του εκτιμητή =1 τότε ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού είναι μηδέν και επομένως δεν υπάρχει το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας. Είναι φανερό ότι όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του εκτιμητή διόγκωσης της διακύμανσης τόσο μεγαλύτερο είναι το πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας. Δεν υπάρχει κριτική τιμή για να συγκρίνουμε την τιμή που παίρνει ο εκτιμητής διόγκωσης της διακύμανσης. Ένας πρακτικός κανόνας είναι όταν η τιμή του είναι μεγαλύτερη του 10.

Εκτιμητής Ανεκτικότητας Ο εκτιμητής ανεκτικότητας (Tolerance Index) είναι το αντίστροφο του εκτιμητή διόγκωσης της διακύμανσης, και ορίζεται ως εξής: Αν ο εκτιμητής ανεκτικότητας ισούται με 0 τότε λέμε ότι υπάρχει πλήρης (τέλεια) συσχέτιση ανάμεσα στη μεταβλητή Χ και στις άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές του γραμμικού πολλαπλού υποδείγματος. Επομένως υπάρχει πλήρης πολυσυγγραμμικότητα. Αν ο εκτιμητής ανεκτικότητας ισούται με 1, τότε δεν υπάρχει συσχέτιση ανάμεσα στη μεταβλητή και στις άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές του γραμμικού πολλαπλού υποδείγματος, δηλαδή δεν υπάρχει το πρόβλημα της πλήρους πολυσυγγραμμικότητας.

Οι προτεινόμενες λύσεις για το πρόβλημα της πλήρους πολυσυγγραμμικότητας είναι οι ακόλουθες: Αποκλεισμός Μεταβλητών Μετασχηματισμός των Μεταβλητών Αύξηση Μεγέθους του Δείγματος Αλλαγή στη Μαθηματική Διατύπωση του Υποδείγματος

Εξειδίκευση Υποδείγματος Μια από τις βασικές υποθέσεις ήταν ότι το οικονομετρικό υπόδειγμα που μελετούμε είναι σωστά εξειδικευμένο. Δηλαδή αν αντικατοπτρίζει την πραγματικότητα. Αν το οικονομετρικό υπόδειγμα που μελετούμε δεν έχει διατυπωθεί σωστά, τότε προκύπτει το πρόβλημα του σφάλματος της εξειδίκευσης του υποδείγματος (model specifation error). Ο όρος σφάλμα εξειδίκευσης (specification error) αναφέρεται στα σφάλματα που δημιουργούνται από λανθασμένη διατύπωση της εξίσωσης παλινδρόμησης.

Για να είναι σωστό ένα υπόδειγμα θα πρέπει: 1. Να είναι απλό, δηλαδή να μπορεί να επεξηγεί την πραγματικότητα. Να έχει συνέπεια, δηλαδή να συμφωνεί με την οικονομική θεωρία. Να έχει ακρίβεια, δηλαδή οι εκτιμήσεις των παραμέτρων που προκύπτουν από το υπόδειγμα να είναι όσο γίνεται πιο κοντά στις πραγματικές τιμές των παραμέτρων. 4. Να προβλέπει σωστά, δηλαδή το εκτιμημένο υπόδειγμα να προβλέπει με αρκετή ακρίβεια τις μελλοντικές τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής.

Επιλογή του Οικονομετρικού Υποδείγματος Η έννοια του «σωστού» υποδείγματος είναι δύσκολο να οριστεί, αλλά σύμφωνα με διάφορα κριτήρια που χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση της ποιότητας ενός υποδείγματος στη διεθνή βιβλιογραφία μπορούμε να πούμε πότε ένα οικονομετρικό υπόδειγμα είναι ικανοποιητικό. Τα κυριότερα από τα κριτήρια αυτά είναι:

Λιτότητα (απλότητα) Συνέπεια (consistency) με την οικονομική θεωρία. Ταυτοποίηση (identifiability) των παραμέτρων. Καλή προσαρμογή (goodness of fit) του υποδείγματος Οι ανεξάρτητες μεταβλητές δεν πρέπει να συσχετίζονται με το διαταρακτικό όρο. Σε αντίθετη περίπτωση δεν έχουμε ακριβείς και αξιόπιστες εκτιμήσεις. Η επιλογή των στατιστικών στοιχείων θα πρέπει να γίνεται μετά από εκτεταμένη έρευνα. Προβλεπτική ικανότητα (predictive power) του υποδείγματος.

Γενικοί Έλεγχοι Σφαλμάτων Εξειδίκευσης Έλεγχος RESET O Ramsey (1969) διατύπωσε μια μέθοδο εντοπισμού των σφαλμάτων εξειδίκευσης γνωστή ως RESET (Regression Specification Error Test). Με τον έλεγχο RESET διερευνούμε στο υπόδειγμα αν η μαθηματική διατύπωση είναι σωστή, αν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών και του διαταρακτικού όρου, και αν στο υπόδειγμα έχουν συμπεριληφθεί οι σπουδαιότερες ερμηνευτικές μεταβλητές.

Τα βήματα για την εφαρμογή του ελέγχου αυτού είναι: Εκτιμούμε το παρακάτω γραμμικό πολλαπλό υπόδειγμα της παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και αποθηκεύουμε τις εκτιμημένες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής καθώς και το συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού.

2. Εισάγουμε τη μεταβλητή των εκτιμημένων τιμών της με μορφές δυνάμεων , κ.τ.λ ως ερμηνευτικές μεταβλητές στο αρχικό γραμμικό πολλαπλό υπόδειγμα της παλινδρόμησης και εκτιμούμε το νέο υπόδειγμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και αποθηκεύουμε το συντελεστή προσδιορισμού του νέου υποδείγματος ως R22 .

Υπολογίζουμε την ποσότητα όπου Η = ο αριθμός των εκτιμημένων τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής στη δεύτερη και στην τρίτη δύναμη της συνάρτησης. 4. Ελέγχουμε την ύπαρξη της σωστής εξειδίκευσης σύμφωνα με τις παρακάτω υποθέσεις

Η0 : Σωστή εξειδίκευση Η1 : Λανθασμένη εξειδίκευση Για α επίπεδο σημαντικότητας η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται αν , δηλαδή υπάρχει λανθασμένη εξειδίκευση στο γραμμικό πολλαπλό υπόδειγμα της παλινδρόμησης που μελετάμε.

Από τα αποτελέσματα παρατηρούμε ότι ο έλεγχος RESET [που ακολουθεί την F κατανομή με βαθμούς ελευθερίας, v1 = H = 2, όπου H ο αριθμός των εκτιμημένες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στη δεύτερη και στην τρίτη δύναμη, και v2 = n - (k + 1) – Η = 49 - (2 + 1) – 2 = 44] μας δίνει χαμηλές τιμές της πιθανότητας (Prob 0.000 < 5%) επομένως απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση δηλαδή υπάρχει λανθασμένη εξειδίκευση στο υπόδειγμα που μελετάμε.