ΔΑΣΙΚΗ ΒΙΟΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, 2 Δείκτες Αθροίσματα και Παρενθέσεις Βασικές Έννοιες Στατιστικής Δείκτες Αθροίσματα και Παρενθέσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ι. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ι. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική Συλλογή Ανάλυση Ερμηνεία Παρουσίαση

Συλλογή Στατιστικού Υλικού Συλλογή Στατιστικού Υλικού Απογραφή Δειγματοληψία Καταστρεπτική Αδύνατη Αντιοικονομική Χρονοβόρα

Βιομετρία Εφαρμογή σε Βιολογικές Επιστήμες Δασική Βιομετρία Εφαρμογή στη Δασική Επιστήμη

Άθροισμα τιμών μιας Μονάδας ΙΙ. Πληθυσμός Άθροισμα τιμών μιας Μονάδας Παραδείγματα Ύψη των δένδρων Διάμετροι των δένδρων Όγκοι των δένδρων

Είδη Πληθυσμών Άπειρος Πεπερασμένος - Παράμετρος - Εκτιμητής

ΙΙΙ. Μεταβλητές Συνεχείς Ύψος Είδος Δένδρων Διάμετρος Χρώμα Φυλλώματος ΙΙΙ. Μεταβλητές Συνεχείς Ύψος Διάμετρος Αριθμός Κώνων Όγκος Μορφάριθμος Ασυνεχείς Είδος Δένδρων Χρώμα Φυλλώματος Παρουσία ή Απουσία ζημιών από έντομα Ποιότητα Αναψυχής Αποτέλεσμα της ρίψης ενός ζαριού

Μεταβλητές Εξαρτημένη Ανεξάρτητη y = a + b x Εξαρτημένη Ανεξάρτητη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Δείκτες Χi X1 , X2 , X3 , X4 , X5 i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 … Χ2 : βάρος του ατόμου Χ3 : ηλικία του ατόμου

Αθροίσματα - Παρενθέσεις Χ1+Χ2+Χ3+Χ4+Χ5+Χ6 Χ1+Χ2+……+Χ6 6 Σ Xi Αθροίσματα - Παρενθέσεις Χ1+Χ2+Χ3+Χ4+Χ5+Χ6 Χ1+Χ2+……+Χ6 6 Σ Xi i = 1 15 Σ Χi = X1+X2+…..+X15

Σ Xi2 = X12 +X22 +……+Xn2 i = 1 ( Σ Χi )2 = (X1+X2+……+Xn )2 Σ Χi Yi = X1Y1+X2Y2+….XnYn Σ Κ Χ i = K Σ X i .

Συμβολισμοί Ν = μέγεθος πληθυσμού n = μέγεθος δείγματος X , Y , Z = μεταβλητές σε πληθυσμό x , y , z = μεταβλητές σε δείγμα F = η απόλυτη συχνότητα σε πληθυσμό f = η απόλυτη συχνότητα σε δείγμα μ = ο μέσος όρος σε πληθυσμό x = ο μέσος όρος σε δείγμα σ = η τυπική απόκλιση σε πληθυσμό S = η τυπική απόκλιση σε δείγμα σ2 = η διακύμανση σε πληθυσμό s2 = η διακύμανση σε δείγμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Παρουσίαση Στατιστικών Στοιχείων Παρουσίαση Στατιστικών Στοιχείων Στατιστικοί Πίνακες Γραφικά Διαγράμματα Γραμμικά Διαγράμματα Σχήματα Επιφάνειας Ιστογράμματα

Στατιστικοί Πίνακες 1. Τίτλος του Πίνακα 2. Επικεφαλίδες των Στηλών Στατιστικοί Πίνακες 1. Τίτλος του Πίνακα 2. Επικεφαλίδες των Στηλών 3. Κορμός του Πίνακα 4. Πηγή 5. Υποσημειώσεις του Πίνακα

Στατιστικοί Πίνακες Απλής Διπλής ή Πολλαπλής Εισόδου Εισόδου Εισόδου

Παράδειγμα Πίνακα ΑΠΛΗΣ ΕΙΣΟΔΟΥ Παράδειγμα Πίνακα ΑΠΛΗΣ ΕΙΣΟΔΟΥ Τίτλος Παραγωγή Τεχνικού Ξύλου από Πίνακα τα Ελληνικά Δημόσια Δάση κατά το διάστημα 1961-1970 Επικεφαλίδες Έτος Τεχνικό Ξύλο Στηλών σε .000 m3 1961 164 1962 162 1963 192 Κορμός 1964 172 1965 217 Πίνακα 1966 209 1967 194 1968 266 1969 271 1970 324 Πηγή: Γενική Διεύθυνση Δασών Υποσημειώσεις : 1) To .000 σημαίνει χιλιάδες m 2) Περιλαμβάνεται και το βιομηχανικό ξύλο και το καυσόξυλο

Παράδειγμα Πίνακα ΤΡΙΠΛΗΣ ΕΙΣΟΔΟΥ ( ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ) Παράδειγμα Πίνακα ΤΡΙΠΛΗΣ ΕΙΣΟΔΟΥ ( ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ )

Το Ξυλώδες Κεφάλαιο Των Ελληνικών Τίτλος Πίνακα Το Ξυλώδες Κεφάλαιο Των Ελληνικών Δασών Κατά Δασοπονικό Είδος Διαχειριστική και Ιδιοκτησιακή Μορφή ( σε .000m ) Επικεφαλίδες στηλών Ιδιοκτησιακή μορφή Κατηγορία δασοπονικών ειδών Δάση Σπερμοφυή Πρεμνοφυή Διφυή Σύνολο Κορμός Δημόσια Κωνοφόρα 45.328 - 4.380 49.708 Πλατύφυλλα 15.907 22.382 5.100 43.389 61.235 9.480 93.097 Ιδιωτικά 15.927 7.631 23.558 5.292 10.642 2.042 17.976 21.219 9.673 41.534 82.454 33.024 19.153 134.631

Πηγή : 1) Γενική Διεύθυνση Δασών Πηγή : 1) Γενική Διεύθυνση Δασών 2) Εθνική Στατιστική Υπηρεσία Ελλάδας Υποσημειώσεις : Κωνοφόρα Πρεμνοφυή Δάση Δεν Υπάρχουν Γιατί Τα Κωνοφόρα Δασοπονικά Είδη Δεν Πρεμνοβλαστάνουν. Ο Παραπάνω Είναι Ένας Πίνακας Τριπλής ( Πολλαπλής ) Εισόδου Γιατί Χρησιμοποιεί Τρία Κριτήρια. Τη Μορφή Ιδιοκτησίας, Τη Διαχειριστική Μορφή Και Το Δασοπονικό Είδος

Ύψος ( m ) 40 30 20 10 10 20 30 40 50 Ψ Σχέση μεταξύ Ύψους και Διαμέτρου Λεύκης Καναδικής Διάμετρος (cm) Χ

Τετραγωνικά Τριγωνικά Κυκλικά Σχήματα Επιφάνειας Τετραγωνικά Τριγωνικά Κυκλικά Δημόσια Κοινοτικά Μοναστηριακά Συνιδιόκτητα Ιδιόκτητα Σύνολο 1644,00 301,53 121,17 245,84 199,87 2512,41 65,43 % 12,00 % 4,82 % 9,78 % 7,98 % 99,98 %

Τετραγωνικό Διάγραμμα 7,95 % 9,78 % 4,82 % 12 % 65,43 %

Τριγωνικό Διάγραμμα 7,95 % 9,78 % 4,82 % 12 % 65,43 %

Κυκλικό Διάγραμμα 4.82 % 9.78% 12 % 7.95% 65,43% Στο Κυκλικό Διάγραμμα μετατρέπουμε τα εκατοστιαία ποσοστά σε μοίρες ή βαθμούς.

12 10 8 6 4 2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Ιστογράμματα Απόλυτη Συχνότητα Κλάσεις Διαμέτρου cm

Μάθημα 3ο (κεφάλαιο 4 ) Κατανομές Συχνοτήτων. Πίνακες Και Διαγράμματα Μάθημα 3ο (κεφάλαιο 4 ) Κατανομές Συχνοτήτων. Πίνακες Και Διαγράμματα Συχνοτήτων

Κεφάλαιο 4ο Κατανομές Συχνοτήτων Πίνακες και Διαγράμματα Συχνοτήτων Κεφάλαιο 4ο Κατανομές Συχνοτήτων Πίνακες και Διαγράμματα Συχνοτήτων - Απόλυτη Συχνότητα ( F , f ) - Σχετική Συχνότητα ( % ) - Απόλυτη Αθροιστική Συχνότητα - Σχετική Αθροιστική Συχνότητα

Χαρακτηριστικά Κλάσης ή Βαθμίδας 1 Εύρος Κλάσης 2 Όρια Κλάσης 3 Μέση Τιμή Κλάσης

Παράδειγμα : Έστω ότι μετρώντας τη διάμετρο 40 δένδρων μιας Δειγματοληπτικής Επιφάνειας Δάσους βρίσκουμε: ( cm ) 20 , 45 , 28 , 49 , 62 , 75 , 53 , 22 , 46 , 45 , 37 , 61 , 50 , 48 , 33 , 53 , 40 , 42 , 72 , 48 , 59 , 48 , 49 , 62 , 41 , 58 , 27 , 39 ,34 , 34 , 56 , 63 , 70 , 55 , 40 , 36 , 48 , 53 , 60 , 45 . Να καταρτισθεί πίνακας Συχνοτήτων και Ιστόγραμμα Απολύτων και απολύτων Αθροιστικών Συχνοτήτων

Πίνακας Συχνοτήτων Κλάσεις Μέση Τιμή Απόλυτη Σχετική Απόλυτη Σχετική Κλάσεις Μέση Τιμή Απόλυτη Σχετική Απόλυτη Σχετική Διαμέτρου Κλάσης Συχνό- Συχνό- αθροι- αθροιστική C = 10 X i τητα τητα στική συχνότητα f i % % 20 – 30 25 4 10,00 4 10,0 30 – 40 35 6 15,00 10 25,0 40 – 50 45 14 35,00 24 60,0 50 – 60 55 8 20,00 32 80,0 60 – 70 65 5 12,50 37 92,5 70 – 80 75 3 7,50 40 100,0 Σύνολο Σ f i = 40 100,00 Πίνακας Συχνοτήτων

Αριθμός δένδρων απόλυτη συχνότητα Ιστόγραμμα και Πολύγωνο Απολύτου Συχνότητας 15 14 12 10 8 6 5 4 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 κλάσεις διαμέτρου (cm) Αριθμός δένδρων απόλυτη συχνότητα

Ιστόγραμμα Αθροιστικής Συχνότητας Ιστόγραμμα Αθροιστικής Συχνότητας 40 37 32 30 24 20 10 4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 κλάσεις διαμέτρου ( cm) Αθροιστική συχνότητα

Καμπύλες Συχνότητας Συμμετρικές Ασύμμετρες Κατανομές Κατανομές Συχνοτήτων Συχνοτήτων

Y 3 2 1 X 1) Καμπύλη συμμετρικής κατανομής 2) Ασύμμετρη καμπύλη ( πεπλατυσμένη κορυφή) 3) Ασύμμετρη καμπύλη ( οξεία κορυφή )

Ασύμμετρη καμπύλη (αριστερόμορφη ασυμμετρία ) Y X Ασύμμετρη καμπύλη (αριστερόμορφη ασυμμετρία )

Ασύμμετρη καμπύλη (δεξιόμορφη ασυμμετρία) Y Ασύμμετρη καμπύλη (δεξιόμορφη ασυμμετρία) X

Μάθημα 4ο (κεφάλαιο 5 ) Μέτρηση Της Κεντρικής Τάσης

Κεφάλαιο 5 Μέτρηση Της Κεντρικής Τάσης Κεντρική Τάση Κεφάλαιο 5 Μέτρηση Της Κεντρικής Τάσης Κεντρική Τάση Αριθμητικός Μέσος Όρος Γεωμετρικός Μέσος Όρος Αριθμητικός Σταθμικός Μέσος Όρος Τετραγωνικός Μέσος Όρος Διάμεσος ή Κεντρική Τιμή Τύπος ή Συχνότερη Τιμή

Αριθμητικός Μέσος Όρος Δείγματα Αταξινόμητες Παρατηρήσεις Πληθυσμός Αριθμητικός Μέσος Όρος Δείγματα Αταξινόμητες Παρατηρήσεις Πληθυσμός Σ x i η Χ = Σ X i N μ =

Παράδειγμα : Το Πλάτος Των 10 Τελευταίων Αυξητικών ( Ετήσιων ) Δακτυλίων Ενός Δένδρου Σε Χιλιοστά Είναι : 2,5 – 3,1 – 2,1 – 2,8 – 3,0 – 1,8 – 1,6 – 3,5 – 1,2 – 2,9 . Να Βρεθεί Ο Αριθμητικός Μέσος Όρος . Σ Χ ( Χ + Χ +…….+ Χ ) η 10 ( 2,5 + 3,1 + 2,1 + ……. + 2,9 ) 10 = 2,45 i 1 2 10 Χ = = =

Δείγμα Ταξινομημένες Παρατηρήσεις Πληθυσμός Σ f i x i Χ = Σ f i μ =

Να Προσδιοριστεί Ο Αριθμητικός Μέσος Όρος Παράδειγμα : Σε Μια Δοκιμαστική Επιφάνια Μετρήθηκαν Οι Διάμετροι 45 Δένδρων . Αφού Ταξινομήθηκαν Κατά Κλάσεις Διαμέτρου Μας Έδωσαν Τα Παρακάτω Αποτελέσματα : Κλάσεις Διαμέτρου 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 σε CM Συχνότητα fi :2, 6, 16, 10, 8, 2, 1 Να Προσδιοριστεί Ο Αριθμητικός Μέσος Όρος i Σ f i x i Σ f i Τύπος x =

Κλάσεις Μέση Τιμή Απόλυτη Διαμέτρου Κλάσης Συχνότητα Κλάσεις Μέση Τιμή Απόλυτη Διαμέτρου Κλάσης Συχνότητα C = 10 X i fi f i xi 20-30 25 2 50 30-40 35 6 210 40-50 45 16 720 50-60 55 10 550 60-70 65 8 520 70-80 75 2 150 80-90 85 1 85 Σ f i = η = 45 Σ fi Xi = 2285 Άρα Θα Έχουμε x = = = 50,77 cm Σ f X Σ f i i 2285 45 i

Χρήση Υποθετικού Μέσου Όρου Τύπος x = x + X : Υποθετικός ή Βοηθητικός Μέσος Όρος d = x - x x : Μέση Τιμή Κλάσης Σ f d Σ f i i ο ο i ο i i

Κλάσεις Μέση Τιμή f x d = x - x f d Διάμετρος Κλάσης Χ Διάμετρος Κλάσης Χ 20-30 25 2 -20 -40 30-40 35 6 -10 -60 40-50 45 16 45 0 0 50-60 55 10 +10 100 60-70 65 8 +20 160 70-80 75 2 +30 60 80-90 85 1 +40 40 Σ f = 45 Σ f d = 260 Άρα x = x + = 45 + = 45 + 5,77 = 50,77 cm i o i i o i i i i i i Σ f d i i 260 o Σ f 45 i

Ιδιότητες Του Αριθμητικού Μέσου Όρου 1. Σ ( x - x ) = 0 i i x - x : - 3 , 0 , 3 , - 1 , 1 Σ ( x - x ) : -3 + 0 + 3 – 1 + 1 = 0 i i

2. Σ ( x - x ) = min Έστω x : 2 , 5 , 8 , 4 , 6 x : 5 x - x : - 3 , 0 , 3 , - 1 , 1 Σ ( x - x ) : 9 + 0 + 9 + 1 + 1 = 20 2 i i i 2 i

x : 2 , 5 , 8 , 4 , 6 α : 8 x - α : - 6 , - 3 , 0 , - 4 , - 2 Σ ( x - α ) : 36 + 9 + 0 + 16 + 4 = 65 α : 2 x - α : 0 , 3 , 6 , 2 , 4 Σ ( x - α ) : 0 + 9 + 36 + 4 + 16 = 65 i i 2 i i i 2 i

3. n Αριθμοί Έχουν Μέσο Όρο x n Αριθμοί Έχουν Μέσο Όρο x -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- n x + n x + .….. + n x n + n + …… + n 1 1 2 2 3 3 λ λ 1 1 2 2 λ λ X = λ 1 2

n : 5 ,4 , 6 x = 5 n : 4 , 6 , 10 , 14 , 16 x = 10 n : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 x = 6 n x + n x + n x 3 5 + 5 10 + 5 6 n + n + n 3 + 5 + 5 15 + 50 + 30 95 13 13 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 X = = = 1 2 3 = = 7 , 3

4. Αν Στην Τιμή Κάθε Παρατήρησης Προστεθεί ή Αφαιρεθεί Μια Σταθερή Ποσότητα Τότε Ο Αριθμητικός Μέσος Θα Αυξηθεί ή Μειωθεί Κατά Την Ποσότητα Αυτή . x : 2 , 6 , 7 x : 4 , 8 , 9 x : 5 x : 7 x : 0 , 4 , 5 x : 3 i i i

5. Αν Στις Τιμές Μιας Μεταβλητής Προσθέσουμε Ή Αφαιρέσουμε Τον Ίδιο Αριθμό Τότε Το Σ ( x - x ) = c + x : 2 , 4 , 6 , 8 x : 5 x - x : - 3 , -1 , 1 , 3 Σ ( x - x ) 2 : 9 + 1 + 1 + 9 = 20 ( + 15 ) x : 17 , 19 , 21 , 23 x : 20 ( x - x ) : - 3 , - 1 , 1 , + 3 Σ ( x - x ) : 9 + 1 + 1 + 9 = 20 2 i i i i i i 2 i

x : 2 , 4 , 6 , 8 x : 5 x - x : - 3 , - 1 , 1 , 3 Σ ( x - x ) : 9 + 1 + 1 + 9 = 20 ( Σ x ) = ( 2 + 4 +6 + 8 ) = 20 = 400 x : 4 , 16 , 36 , 64 Σ x = 4 + 16 + 36 + 64 = 120 Σ x - = 120 - = 120 - 100 = 20 2 ( Σ x )2 n 6. Σ ( x – x ) = Σ x 2- i i i i i 2 i i 2 2 2 i 2 i 2 i 2 2 ( Σ x ) n 400 4 i i

Γεωμετρικός Μέσος Όρος G = n√ x1 * x2* …..xn παράδειγμα: Να βρεθεί ο γεωμετρικός μέσος όρος των παρατηρήσεων : 2, 7, 9, 12 G = 4√2*7*9*12 = 6,23

Ο Αριθμητικός Σταθμικός Μέσος Όρος Χ1 βαρύτητα Π1 Χ2 >> Π2 . . Χn >> Πn XΣ = Π1Χ1 + Π2Χ2 +….+ ΠnXn Π1+ Π2+ …..+ Πn

Παράδειγμα : μια βιομηχανία ξύλου για να προσλάβει ένα Δασοτεχνολόγο δίνει την εξής βαρύτητα στη βαθμολογία του .Δασοκομική 2, Διαχειριστική 3, Τεχνολογία ξύλου 5, Υλοχρηστική 4, και Δασική Πολιτική 1. Ένας Δασοτεχνολόγος έχει τους παρακάτω βαθμούς αντίστοιχα : 7, 5,8,9,7. Ποια η τελική βαθμολογία του υποψήφιου από τη βιομηχανία ? XΣ = Π1Χ1 + Π2Χ2 + Π3Χ3 + Π4Χ4 + Π5Χ5 Π1+ Π2+Π3 + Π4 + Π5 = 2*7+3*5+5*8+4*9+1*7 = 112 2+3+5+4+1 15 = 7,46

Ο Τετραγωνικός Μέσος Όρος Ενώ ο αριθμητικός μέσος όρος είναι : Χ = 7+5+8+9+7 = 36 = 7,2 5 5 Ο Τετραγωνικός Μέσος Όρος Χ2 = √ Σ Χi 2 / n Όπου: Χ2 : ο τετραγωνικός μέσος όρος Χi: η τιμής της i / οστής παρατήρησης n : ο συνολικός αριθμός παρατηρήσεων

παράδειγμα : Να βρεθεί ο τετραγωνικός μέσος όρος των διαμέτρων : 15, 19, 22, 25, 30 cm Χ2 = √ 152+192+222+252+302 / 5 = √ 519 = 22,78 Ο τύπος υπολογισμού του τετραγωνικού μέσου όρου εφαρμόζεται για τον υπολογισμό της διαμέτρου της μέσης κυκλικής επιφάνειας

Διάμεσος ή Κεντρική Τιμή 4, 5, 6 ,7 ,8, 9, 10 Χκ = 7 ( περιττός ο συνολικός αριθμός παρατηρήσεων ) 4, 5, 6, 7, 8, 9 Χκ = 6+7/2= 6,5 ( άρτιος ο συνολικός αριθμός παρατηρήσεων )

Τύπος ή Συχνότερη Τιμή Είναι ο αριθμός με τις περισσότερες εμφανίσεις Παράδειγμα: στη σειρά αριθμών 1, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7 ,7 ,7 ,7 ,9 ,10 η συχνότερη τιμή είναι ΧΣ =7 Στη σειρά των αριθμών :1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12 δεν έχουμε μια μόνο αλλά τρείς συχνότερες τιμές , που είναι ΧΣ1 =4 , ΧΣ2= 6, ΧΣ3=8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Μέτρηση της διασποράς Διασπορά ο τρόπος που είναι διεσπαρμένα τα σημεία της κατανομής γύρω από το σημείο της κεντρικής τάσης ΧΑ : 6,7,8,9,10,11,12 ΧΑ= 9 ΧΒ : 2,18,7,10,8 ΧΒ= 9

6.2 Εύρος διασποράς Μέτρηση διασποράς Εύρος Μέση Τυπική Διακύμανση Εύρος Μέση Τυπική Διακύμανση διασποράς απόκλιση απόκλιση 6.2 Εύρος διασποράς Είναι η διαφορά που προκύπτει αν από την μεγαλύτερη παρατήρηση αφαιρέσουμε την μικρότερη παράδειγμα : xi : 3,5,8,15,30 R= 30-3=27

6.3 Μέση Απόκλιση Είναι ο μέσος όρος των απολύτων διαφορών που προκύπτουν αν απ’ όλες τις τιμές της μεταβλητής αφαιρέσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο . 1 Αταξινόμητες παρατηρήσεις : MD = Σ xi – x / n

2 Για ταξινομημένο κατά κλάσεις υλικό : Παράδειγμα: έστω ότι δίνονται οι αριθμοί xi :5,8,15,21,36 με Χ= 17 . Τότε η μέση απόκλιση της κατανομής θα είναι : MD = Σ xi – x / n = |5-7| +|8-17| + |15-17| + |21-17| + |36-17| 5 = |-12| + |-9| + |-2|+|4| + |19| = 12+9+2+4+19 5 5 = 46 = 9,2 2 Για ταξινομημένο κατά κλάσεις υλικό : MD = Σfi |xi – x| /n όπου fi = η συχνότητα κατά κλάση

Κλάσεις Διαμέτρου c=10 fi xi fixi x |xi- x| fi|xi- x| 20 – 30 2 25 50 Παράδειγμα: Κλάσεις Διαμέτρου c=10 fi xi fixi x |xi- x| fi|xi- x| 20 – 30 2 25 50 49,76 24,76 49,52 30 – 40 6 35 210 14,76 88,56 40 – 50 15 45 675 4,76 71,4 50 – 60 11 55 605 5,24 57,64 60 – 70 5 65 325 15,24 76,2 70 – 80 3 75 225 25,24 75,72 Σύνολα 42 2090

n = Σfi x = Σ fixi- x = 2090 = 49,76 n 42 MD = Σ fi|xi- x| = 419,04 = 9,97 n 42

6.4 Τυπική Απόκλιση και Διακύμανση Τυπική απόκλιση και διακύμανση είναι ο μέσος όρος των διαφορών του αριθμητικού μέσου όρου από τις τιμές της μεταβλητής υψωμένες στο τετράγωνο n Σ ( xi – x)2 i = 1 S2 = n-1 Όπου: S2 =διακύμανση xi =η i/ οστή τιμή της παρατήρησης x =ο μέσος όρος των παρατηρήσεων

Σ ( xi – x)2 n-1 = η παράσταση αυτή ονομάζεται ΄΄Βαθμοί ελευθερίας ΄΄ Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ονομάζεται τυπική απόκλιση και είναι ίση με : n Σ ( xi – x)2 i = 1 S = √ n-1

παράδειγμα: δίνεται η σειρά των αριθμών xi : 2,5,6,8,12,15 με μέσο όρο x =8. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση και η διακύμανση . n Σ ( xi – x)2 i = 1 S = √ n-1 xi: 2,5,6,8,12,15 x : 8 (xi-x) :-6,-3,-2,0,4,7 Σ(xi-x)2 :36+9+4+0+16+49=114 n-1=6-1=5 άρα θα έχουμε : S = √144/5 = √22,8= + 4,77 η διακύμανση θα είναι S2 = Σ(xi-x)2 /n-1= 22,8

παράδειγμα : δίνεται η εξής σειρά αριθμών :150,155,161,167,170,175 παράδειγμα : δίνεται η εξής σειρά αριθμών :150,155,161,167,170,175. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση και η διακύμανση των αριθμών. n Σ ( xi – x)2 i = 1 S = √ n-1 (Σxi)2 = Σxi2 – n √ n – 1 = Σxi2 – n √ n – 1 Xi Xo di= Xi- Xo di 2 150 -11 121 155 -6 36 161 167 6 170 9 81 175 14 196 Σdi =12 Σdi2 = 470

= 470 - 122 / 6 = √89,2 = ± 9,44 √ 6-1 και διακύμανση S2 = 89,2 παράδειγμα : Σε μια δοκιμαστική επιφάνεια μετρήθηκαν οι διάμετροι 45 δένδρων. Μετά την ταξινόμηση κατά κλάσεις διαμέτρου πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα. Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση και διακύμανση .

κλάσεις διαμέτρου C=10 μέση τιμή κλάσεις Xi Συχνότητα fi fi Xi Xi2 20-30 25 2 50 625 1250 30-40 6 210 1225 7350 40-50 45 16 720 2025 32400 50-60 55 10 550 3025 30250 60-70 65 8 520 4225 33800 70-80 75 150 5625 11250 80-90 85 1 7225 Σύνολα 2285 123525

S = Σ fi xi2 - (Σf i xi)2 /n √ n-1 = 123525 – ( 2285)2 /45 = √ 170,40 = ± 13,05cm √ 45 – 1

6.5 Ιδιότητες της τυπικής απόκλισης 1. n > 30 α. 68,27 % x ± S β. 95,45 % x ± 2 S γ. 99,73 % x ± 3 S

σ2 = n1 σ12 + n2 σ22 + n1 (xi1- x1) + n2(xi2-x2) 3. S = 1/6 R

6.6 Συντελεστής κύμανσης Είναι ο λόγος της τυπικής απόκλισης προς το μέσο όρο . CV = S / x * 100% Έστω x = 10 S = 4 CV = 4 / 10 * 100 = 40%

παράδειγμα : Σ’ ένα δάσος ερυθρελάτης μετρήθηκαν οι διάμετροι σε δυο δείγματα μεγέθους 965 και 1211 δένδρων αντίστοιχα. Ύστερα από τους κατάλληλους υπολογισμούς βρέθηκαν τα παρακάτω αποτελέσματα : Δείγμα 1 : Ν= 965 x = 13,66 cm S = 4,01 cm Δείγμα 2 : Ν= 1211 x = 10,89 cm S = 3,90 cm

Δείγμα 1: CV1 = S /X *100 = 4,01 / 13,66 * 100 = 29,35 % Δείγμα 2: CV2 = S /X *100 = 3,90 / 10,89 * 100 = 35,81 %

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Πιθανότητες – Μεταθέσεις – Συνδυασμοί

Πιθανότητες P = h ευνοϊκές περιπτώσεις n σύνολο περιπτώσεων π.χ. Ρ (2) = 1 ( ρίψη ζαριού ) 6 Ρ (άσσος ) = 1 ( φύλλο από την τράπουλα) 52 Ρ( σπαθί) = 13 ( φύλλο από την τράπουλα)

Στατιστικός ορισμός πιθανότητας p = επιτυχία p + q = 1 ή 100% q = αποτυχία p = 0 αδύνατο p = 1 βέβαιο 0 < p <1 Στατιστικός ορισμός πιθανότητας p = lim h ευνοϊκές περιπτώσεις n ∞ n σύνολο δοκιμών

Παράδειγμα : Στρίβοντας ένα νόμισμα 100 φορές μετράμε 60 ΄΄κεφαλές΄΄ δηλαδή η πιθανότητα να φέρουμε ΄΄ κεφαλή΄΄ ( Ρκ ) είναι ίση με : Ρκ = 60 = 0,60 100 Αν τώρα ξαναστρίψουμε το νόμισμα άλλες 100 φορές και μετρήσουμε 52 ΄΄κεφαλές΄΄ τότε η σχετική συχνότα ΄΄ που θα πάρουμε το αποτέλεσμα ΄΄κεφαλή΄΄ στις 200 φορές που στρίψαμε το νόμισμα θα είναι : Pκ = 60 + 52 = 112 = 0,56 100 + 100 200

Πράξεις στις πιθανότητες Πράξεις στις πιθανότητες 1. Γεγονότα ξένα μεταξύ τους Ρ ( Ε1 ή Ε2 ) = Ρ (Ε1) + (Ε2) Παράδειγμα: Ρίχνουμε ένα ζάρι , η πιθανότητα να πάρουμε ΄΄ άσσος Ρ (Ε1) = 1/6 . Για να πάρουμε αντί για ΄΄ άσσο ένα ΄΄εξάρι΄΄ έχουμε πιθανότητα Ρ (Ε2)=1/6 η πιθανότητα για ΄΄άσσο΄΄ ή ΄΄εξάρι΄΄ Ρ(Ε1. Ε2)=Ρ (Ε1) + (Ε2) = 1/6 +1/6 = 1/3 = 0,33

2. Γεγονότα εξαρτώμενα Ρ (Ε1 . Ε2 ) = Ρ (Ε1) . Ρ(Ε2/Ε1) Παράδειγμα : Η πιθανότητα να τραβήξουμε μια ΄΄νταμα΄΄ από μια τράπουλα είναι ίση με Ρ(Ε1)= 4/52 . Η πιθανότητα να τραβήξουμε ακόμα μια ντάμα θα είναι ίση Ρ(Ε2/Ε1) = 3/51 . Έτσι για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να τραβήξουμε από την τράπουλα δύο ντάμες στην συνέχεια θα είναι ίση με : Ρ (Ε1Ε2 ) =Ρ(Ε2/Ε1) = 4/52 * 3/51= 12/2652= 1/221 = 0,0045

3. Γεγονότα ανεξάρτητα Ρ (Ε1 και Ε2 ) = Ρ (Ε1) . Ρ (Ε2) Ρ (Ε1 και Ε2 ) = Ρ (Ε1) . Ρ (Ε2) Παράδειγμα : Ρίχνουμε δύο ζάρια μαζί , ποια η πιθανότητα να φέρουμε ένα ΄΄δυάρι΄΄ και μια ΄΄πεντάρα΄΄. Ρ (Ε1 και Ε2 ) = Ρ (Ε1) . Ρ (Ε2) = 1/6 . 1/6 = 1/36

Μεταθέσεις - Συνδυασμοί Μεταθέσεις - Συνδυασμοί Μεταθέσεις - η – διαφορετικών αντικειμένων , που παίρνουμε ανά μ είναι όλοι οι τρόποι παρουσίασης των – η – αντικειμένων ανά μ δίνοντας σημασία και στη σειρά αναγραφής τους . ηΡμ = n! (n – μ )! n! = n( n- 1 ) ( n – 2) …..

οι μεταθέσεις θα είναι : 5.8 8.5 9.5 1.5 3.5 5.9 8.9 9.8 1.8 3.8 παράδειγμα : Να βρεθούν οι μεταθέσεις των αριθμών 5, 8, 9, 1, 3 ανά 2 . Βάσει του τύπου έχουμε : 5Ρ2 = 5! (5 – 2 )! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 20 3 . 2 . 1 οι μεταθέσεις θα είναι : 5.8 8.5 9.5 1.5 3.5 5.9 8.9 9.8 1.8 3.8 5.1 8.1 9.1 1.9 3.9 5.3 8.3 9.3 1.3 3.1 Σύνολο 20 μεταθέσεις

παράδειγμα : Να βρεθούν οι συνδυασμοί των αριθμών 5, 8, 9, 1, 3 ανά 2 . = 5! = 5.4.3.2.1 = 10 (5 – 2) ! 2! 3.2.1 2.1 οι μεταθέσεις θα είναι : 5.8 8.9 9.1 1.3 5.9 8.1 9.3 5.1 8.3 Σύνολο 10 συνδυασμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Κατανομές πιθανοτήτων Διωνυμική κατανομή

Κατανομές πιθανοτήτων Σ Ρ (xi)=1 ή 100% Κατανομή πιθανοτήτων Συνεχής ασυνεχείς Κανονική Poisson Διωνυμική

Διωνυμική κατανομή Προϋποθέσεις : 1)Δυο δυνατά αποτελέσματα p=επιτυχία q=αποτυχία 2)Οι πιθανότητες των αποτελεσμάτων παραμένουν σταθερές p(x)=c+ q(x)=c+

3)Δοκιμές ανεξάρτητες μεταξύ τους Τύπος P(x) = Px * q n-x = η ! Px * q n-x (η – Χ )! Χ! Όπου : Ρ (x) = πιθανότητα επιτυχίας Ρ = επιτυχία q = αποτυχία η = ο αριθμός των δοκιμών Χ = πλήθος επιτυχιών = συνδυασμός των ανά Χ

Παράδειγμα : Ποια η πιθανότητα σε 5 ακριβώς ρίψεις μεταλλικού νομίσματος να πάρουμε: ακριβώς 2 ¨κεφαλές¨ λιγότερες από 3 ¨κεφαλές¨ τουλάχιστον 4 ¨κεφαλές¨ P = κεφαλή q = γράμματα P = q = 0,5 n = 5 1)

2)

3)

Ιδιότητες της Διωνυμικής κατανομής 1 2

Η καμπύλη της διωνυμικής κατανομής για 3. Η καμπύλη της διωνυμικής κατανομής για διάφορο αριθμό δοκιμών 0,5 n=10 0,4 n=50 0,3 0,2 n = 100 0,1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 επιτυχίες πιθανότητες

Διωνυμικοί συντελεστές (Τρίγωνο του PASCAL) η/μ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

8.3 Κατανομή Poisson Είναι το όριο της Διωνυμικής κατανομής όταν P και n Τύπος: όπου P(x)=πιθανότητα ευνοϊκού συμβάντος χ σε -n- επαναλήψεις ο αριθμητικός μέσος όρος της κατανομής e = 2,71828 : η βάση των νεπερίων λογαρίθμων

Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι μετράμε τον αριθμό Χ ενός συγκεκριμένου είδους εντόμου στη μονάδα επιφάνειας των φύλλων ενός δασοπονικού είδους και βρίσκουμε ότι ο μέσος όρος είναι ένα (1) έντομο σε κάθε δύο μονάδες επιφάνειας του φύλλου. Επομένως το λ=1/2. Αν τώρα υποθέσουμε ότι οι μετρήσεις μας Χ ( απαριθμήσεις του αριθμού των εντόμων στη μονάδα επιφάνειας των φύλλων) ακολουθούν κατανομή Poisson θα έχουμε:

Για Χ = 0 Διότι Χ! = 0! = 1 (από τον ορισμό του) Και λ0 = 1 (από τον ορισμό του) Άρα Για Χ = 1 Για Χ = 2

Ιδιότητες της κατανομής Poisson

8.4 Κανονική κατανομή Ιδιότητες κανονικής κατανομής: 1. Ο αριθμητικός μέσος όρος, η κεντρική τιμή και η συχνότερη τιμή συμπίπτουν όταν οι παρατηρήσεις μας ακολουθούν κανονική κατανομή. 2. Αρνητικές και θετικές αποκλίσεις γύρο από το μέσο όρο παρατηρήσεων που ακολουθούν κανονική κατανομή, συμβαίνουν με ίση συχνότητα. 3. Στη κανονική κατανομή παρατηρούνται πιο συχνά μικρές αποκλίσεις από το μέσο όρο παρά μεγάλες αποκλίσεις. 4. Έχει αποδειχθεί ότι οι μέσοι όροι των δειγμάτων που παίρνουμε για να μελετήσουμε ένα χαρακτηριστικό (μια μεταβλητή) ενός πληθυσμού ακολουθούν κανονική κατανομή, ανεξάρτητα από το είδος της κατανομής των μεμονωμένων παρατηρήσεων, που πολλές φορές μπορεί να μην ακολουθούν κανονική κατανομή.

Παράγοντες που καθορίζουν την κανονική κατανομή: 1.ο μέσος όρος 2.η τυπική απόκλιση

F Τρεις κανονικές καμπύλες που έχουν διαφορετικούς μέσους όρους αλλά με την ίδια τυπική απόκλιση 35 40 45 50 55 60 65

f C B A 40 45 50 55 60 65 70 Τρεις κανονικές καμπύλες που έχουν τον ίδιο μέσο όρο αλλά διαφορετικές τυπικές αποκλίσεις.

Περιοχές κάτω από την κανονική καμπύλη 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 68% 0,10 95% 0,05 99% - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Περιοχές κάτω από την κανονική καμπύλη

Έστω ότι έχουμε Ν παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ που ακολουθούν κανονική κατανομή με μέσο όρο -μ- και τυπική απόκλιση -σ-. Αν τώρα αφαιρέσουμε από κάθε παρατήρηση -Χ- τον μέσο όρο -μ- ο καινούργιος πληθυσμός των παρατηρήσεων μας (Χ-μ) θα ακολουθεί πάλι κανονική κατανομή αλλά ο μέσος όρος του θα είναι μηδέν και η τυπική απόκλιση θα εξακολουθεί να είναι -σ-. Εάν στη συνέχεια κάθε τιμή (Χ-μ) διαιρεθεί με το σ τότε πάλι οι καινούργιες παρατηρήσεις μας θα ακολουθούν κανονική κατανομή αλλά με μέσο όρο μηδέν και τυπική απόκλιση ένα. Έτσι έχοντας κάνει αυτή την μετατροπή:

Τότε οι νέες τιμές Ζ θα ακολουθούν κανονική κατανομή με μέσο όρο μηδέν και τυπική απόκλιση ίση με την μονάδα. Οι τιμές Ζ ονομάζονται τυπικές μονάδες Ζ. Ένας τέτοιος πληθυσμός στον οποίο έχουμε κάνει μια μετατροπή των παρατηρήσεών του σε τυπικές μονάδες Ζ συμβολίζεται σαν Ζ (0,1) και δηλώνει ότι ο πληθυσμός αυτός έχει μέσο όρο ίσο με μηδέν και διακύμανση ίση με τη μονάδα.

Παράδειγμα Το μέσο ύψος 2000 δένδρων ενός δάσους βρέθηκε 22m και η τυπική απόκλιση 4m. Ν α βρεθεί πόσα δένδρα έχουν ύψος πάνω από 24m, πόσα μεταξύ 20-24m και πόσα κάτω από 20m. 1) 1-0,6915=0,3085*2000=617 δένδρα

38,3% 30,85 % 30,85 % -∞ 0,5 0 0,5 +∞ 20 22 24

2) δένδρα

3) δένδρα δένδρα

8.5 Σπουδαιότητα της κανονικής κατανομής. Εάν από οποιονδήποτε πληθυσμό (ατόμων, παρατηρήσεων, μετρήσεων) πάρουμε ένα δείγμα μεγάλου μεγέθους και στη συνέχεια πάρουμε όλα τα δείγματα του ίδιου μεγέθους που είναι δυνατό να πάρουμε από το πληθυσμό αυτό, και υπολογίσουμε το μέσο όρο για κάθε δείγμα, τότε οι μέσοι όροι αυτών των δειγμάτων ακολουθούν με μεγάλη προσέγγιση κανονική κατανομή, ανεξάρτητα από το ποια κατανομή ακολουθούν οι μεμονωμένες παρατηρήσεις του πληθυσμού.

8.6 t – Κατανομή (Student’s) Τύπος: ο μέσος όρος του δείγματος

κανονική κατανομή t – κατανομή v = 7 t – κατανομή v = 3 X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X2 κατανομή Αν σε ένα πληθυσμό με μέσο μ και διακύμανση σ2 θεωρήσουμε όλα τα δείγματα μεγέθους -η- και στο κάθε δείγμα υπολογίσουμε το: (S2, σ2, διακύμανση του χ2 όσα και τα δυνατά δείγματα), οι τιμές αυτές του χ2 ακολουθούν μια κατανομή που τη λέμε χ2 κατανομή και δίνονται συναρτήσει των βαθμών ελευθερίας ν = η – 1 και κάποιου επιπέδου σημαντικότητας από ειδικό πίνακα που λέγεται πίνακας της χ2 κατανομής.

Η x2 κατανομή χρησιμοποιείται στην εκτίμηση και έλεγχο σημαντικότητας της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης. Επίσης χρησιμοποιείται στον έλεγχο καλής προσαρμογής μιας θεωρητικής κατανομής καθώς και στον έλεγχο στατιστικής σημαντικότητας μεταξύ παρατηρηθεισών και θεωρητικών συχνοτήτων.

Παράδειγμα: Διακόσιες ρίψεις ενός νομίσματος έδωσαν 115 φορές ΄΄κεφαλή΄΄ και 85 φορές γράμματα. Να ελεγχθεί με πιθανότητα 95% αν το νόμισμα είναι γνήσιο ή κίβδηλο. Oι παρατηρούμενες συχνότητες είναι ο1=115 και ο2=85. Αν το νόμισμα δεν είναι κίβδηλο τότε οι αναμενόμενες συχνότητες θα είναι Ε1=100 και Ε2=100.Αρα η τιμή του Χ2 θα είναι: X2=

Η τιμή αυτή με πιθανότητα 95% και βαθμούς ελευθερίας ν=n-1=2-1=1 είναι μεγαλύτερη από εκείνη που βρίσκουμε από τον πίνακα ΠVΙ (x2= 3,84). Απ’ αυτό συμπεραίνουμε ότι το νόμισμα είναι κίβδηλο. Αν η τιμή που βρίσκουμε από τον πίνακα είναι μικρότερη συμπεραίνουμε ότι υπάρχει σημαντική διαφορά ανάμεσα στις παρατηρούμενες και τις θεωρητικές συχνότητες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Καθορισμός των ορίων εμπιστοσύνης Σύγκριση δύο μέσων όρων

Καθορισμός των ορίων εμπιστοσύνης Α. Δείγματα μικρά n<30 Χρησιμοποίηση του στατιστικού-t Η εκτίμηση του μέσου όρου του πληθυσμού γίνεται: α. Μέσα σε ένα εύρος β. Το εύρος αυτό σχετίζεται με μια πιθανότητα.

Το εύρος αυτό ονομάζεται εύρος εμπιστοσύνης ή διάστημα εμπιστοσύνης. Οι ακραίες τιμές που καθορίζουν τα όρια αυτού του διαστήματος ονομάζονται όρια εμπιστοσύνης.

Όταν n<30 διάστημα εμπιστοσύνης

q ΄΄ επίπεδο σημαντικότητας t πίνακας σελ 199 t v=n-1 ΄΄ βαθμοί ελευθερίας q ΄΄ επίπεδο σημαντικότητας P=επίπεδο εμπιστοσύνης (επιτυχίας) q=επίπεδο σημαντικότητας (αποτυχίας) Το είναι το κατώτερο όριο Το είναι το ανώτερο όριο

Παράδειγμα: Σε ένα δείγμα n=16 δένδρων μετρήσαμε τις διαμέτρους τους και υπολογίσαμε τον μέσο όρο τους =34,86 cm καθώς και την τυπική απόκλιση S=4,24 cm. Υπολογίστε τα όρια εμπιστοσύνης μέσα στα οποία θα είμαστε σίγουροι 99 φορές στις 100 ότι θα βρίσκεται ο μέσος όρος -μ- του πληθυσμού των δένδρων από το οποίο πήραμε το δείγμα μας. Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε n=16 =34,86 και S=4,24. Eπειδή η διακύμανση του πληθυσμού -σ2- είναι άγνωστη μπορούμε αν εκτιμήσουμε το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου του πληθυσμού χρησιμοποιώντας σαν εκτιμητή το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου του δείγματος σύμφωνα με τον γνωστό τύπο:

Εφαρμόζοντας τώρα τον τύπο της t-κατανομής : t θα έχουμε ότι ο μέσος όρος του πληθυσμού (μ) θα βρίσκεται 99 φορές στις 100 ανάμεσα στα όρια:

34,86 – 2,947 (1,06) < μ < 34,86 + 2,947 (1,06) ή 34,86 – 3,12 < μ < 34,86 + 3,12 ή 31,74 < μ < 37,98 Έτσι βλέπουμε ότι 99 φορές στις 100 ο μέσος όρος (μ) του πληθυσμού θα είναι μέσα στο διάστημα που ορίζεται από τα όρια 31,74 μέχρι 37,98 και μόνο 1 φορά στις 100 θα είναι έξω από το διάστημα αυτό. Το διάστημα που ορίζεται από τα όρια : 31,74 μέχρι 37,98 ονομάζεται εύρος εμπιστοσύνης ή διάστημα εμπιστοσύνης.

Παράδειγμα: Δίνονται 16 παρατηρήσεις του ύψους των δένδρων μιας συστάδας με τα εξής αποτελέσματα 15,18,19,22,21,17,19,18, 16,21,17,19,20,21,17,16. Ζητείται να βρεθεί το μέσο ύψος της συ στάδας σε επίπεδο σημαντικότητας 2,5% και μετά 10%. Βρίσκουμε πρώτα το μέσο ύψος και τη διακύμανση του δείγματος: = (15-18,5)2+ (18-18,5)2+ (19-18,5)2+ (22-18,5)2 +(21-18,5)2 +

ή 18,5 – 1,59 < μ < 18,5 + 1,29 ή 17,21 < μ < 19,79 Για ν=16-1=15 και πιθανότητα 2,5% η τιμή του t από τον πίνακα 2 είναι μέσα στα όρια -2,490 και +2,490. Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές αυτές των ορίων του καθώς και τις τιμές του και στο γενικό τύπο που μας δίνει τα όρια εμπιστοσύνης: ή 18,5 - 2,490 * 0,52 < μ < 18,5 + 2,490 * 0,52 ή 18,5 – 1,59 < μ < 18,5 + 1,29 ή 17,21 < μ < 19,79 Άρα σε επίπεδο 2,5% το μέσο ύψος της συστάδας βρίσκεται μέσα στο διάστημα που ορίζεται από 17,21 και 19,79. Για επίπεδο σημαντικότητας 10% και βαθμούς ελευθερίας ν=15 η τιμή του t από το πίνακα ΙΙ είναι μέσα στα όρια -1,753 και +1,753

Αντικαθιστούμε τις τιμές του t και του και στο γενικό τύπο που μας δίνει το όριο εμπιστοσύνης: ή 18,5 – 1,753 * 0,52 < μ < 18,5 + 1,753 * 0,52 ή 18,5 – 0,91 < μ < 18,5 + 0,91 ή 17,59 < μ < 19,41 Άρα σε επίπεδο σημαντικότητας 10% το μέσο ύψος της συστάδας βρίσκεται στο διάστημα που ορίζεται από 17,59 και 19,41

Β. Δείγματα μεγάλα n>30 Χρησιμοποίηση του στατιστικού-Z

Ζ πίνακας στη σελ 200 q επίπεδο σημαντικότητας

Παράδειγμα: Από μια συστάδα ελάτης πήραμε ένα δείγμα 49 δένδρων και μετρήσαμε τις διαμέτρους. Οι παχυμετρήσεις και στη συνέχεια οι υπολογισμοί έδωσαν 35 cm και 1,26. Να βρεθεί ο μέσος όρος του πληθυσμού σε επίπεδο σημαντικό τητας 5 %. Έχουμε μεγάλο δείγμα (n>30) οπότε αντί του στατιστικού -t- χρησιμοποιούμε το στατιστικό -z-. Για πιθανότητα 5% η τιμή του z από τον πίνακα III του Παραρτήματος είναι μέσα στα όρια από -1,96 και +1,96. Ο γενικός τύπος που μας δίνει τα όρια εμπιστοσύνης στη στη περίπτωση αυτή που έχουμε μεγάλο δείγμα είναι:

Αντικαθιστούμε τις τιμές , z0,05 , οπότε έχουμε: 35 - 1,96,*0,18 <μ <35 +1,96*0,18 ή 35 – 0,35 <μ <35 +0,35 ή 34,65 < μ <35,35 Άρα σε επίπεδο σημαντικότητας 5% η μέση διάμετρος των δένδρων της συστάδας θα βρίσκεται ανάμεσα στο 34,65 και 35,35

Σύγκριση δύο μέσων όρων Α. Δείγματα μικρά (n1,n2<30) (t-στατιστικό) 1. 2. ή 3. tπιν v= n1+n2-2 (πίνακας σελ 199 )

4. tυπ < tπ 5. Aν η τιμή του t που υπολογίσαμε είναι μικρότερη από εκείνη του πίνακα τότε λέμε πως η διαφορά δεν είναι στατιστικά σημαντική εφ’όσον στο διάστημα εμπιστοσύνης περιέχεται το μηδέν.

Παράδειγμα: Δίνονται δύο δείγματα πληθυσμών με n1=5, n2=6 =6, =5 S1=3 και S2=2. Αν σ1= σ2 να εκτιμηθεί η διαφορά των μέσων (μ1-μ2) των δύο πληθυσμών για επίπεδο σημαντικό τητας q=0,05. Υπολογίζουμε την τιμή του

Για βαθμούς ελευθερίας ν=n1+n2-2 = 5+6-2=9 και επίπεδο σημαντικότητας q=0,05 η τιμή του tπ από τον πίνακα II του παραρτήματος είναι 2,262. Άρα tυπ < tπ Τα όρια εμπιστοσύνης της διαφοράς των μέσων όρων σε επίπεδο Σημαντικότητας 0,05 είναι: ή (6-5) – 2,262*1,51 <μ1-μ2 < (6-5) +2,262*1,51 ή 1-2,262*1,51 <μ1-μ2 <1 + 2,262*1,51 ή 1- 3,415<μ1-μ2 < 1+3,415 ή – 2,415 <μ1-μ2 <4,415

Στο διάστημα εμπιστοσύνης περιέχεται το μηδέν (κατώτερο όριο -2,415, ανώτερο όριο 4,415) και tυπ < tπιν άρα οι μέσοι όροι των δύο πληθυσμών δεν διαφέρουν σημαντικά.

Β. Δείγματα μεγάλα (n1,n2,>30) (z-στατιστικό) 1. Zυπ= 2. Zπ q (πίνακας σελ 200 )

Αν η τιμή του Ζ που υπολογίσαμε είναι μικρότερη από 3. Ζυπ < Zπ 4. Αν η τιμή του Ζ που υπολογίσαμε είναι μικρότερη από εκείνη του πίνακα τότε λέμε πως η διάφορα δεν είναι στατιστικά σημαντική εφ’όσον στο διάστημα εμπιστοσύνης περιέχεται το μηδέν

Παράδειγμα: Μιας συστάδας οξυάς δείγμα είχε μέσο όρο =45m3 =25,49m3 και n1=50. Δείγμα οξυάς μιας άλλης συστάδας είχε μέσο όγκο , και n2=100 δένδρα. Να βρεθεί η πιθανότητα της διαφοράς όγκου των 2 συστάδων σε επίπεδο σημαντικότητας 1%. Υπολογίζουμε την τιμή του Ζ από τα δεδομένα: Βρίσκουμε και την τιμή του Ζ από τον πίνακα ΙΙΙ για πιθανότητα 1%. Ζπ =2,58 Ζυπ < Ζπ

Τα όρια εμπιστοσύνης της διαφοράς των μέσων όρων για επίπεδο σημαντικότητας 0,01 θα είναι: Ζπ ή ή (-17) – 2,58*0,93263 <μ1μ2 < (-17) +2,58*0,93263 ή -17 – 2,4061<μ1-μ2 < - 17 +2,4061 ή -19,4061 <μ1-μ2 < -14,594

Στο διάστημα εμπιστοσύνης δεν περιέχεται το μηδέν και Ζυπ < Ζπ άρα σε επίπεδο σημαντικότητας 1% οι μέσοι όροι των δύο πληθυσμών διαφέρουν σημαντικά και τα όρια εμπιστοσύνης είναι – 19,546 και – 14 454

ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ Ζ Ε -3,0 0,0013 -1,0 0,1587 1,0 0,8413 -2,9 0,0019 -0,9 0,1841 1,1 0,8643 -2,8 0,0026 -0,8 0,2119 1,2 0,8849 -2,7 0,0035 -0,7 0,2420 1,3 0,9032 -2,6 0,0047 -0,6 0,2743 1,4 0,9192 -2,5 0,0062 -0,5 0,3085 1,5 0,9332 -2,4 0,0082 -0,4 0,3446 1,6 0,9452 -2,3 0,0107 -0,3 0,3821 1,7 0,9554

-2,2 0,0139 -0,2 0,4209 1,8 0,9641 -2,1 0,0179 -0,1 0,4602 1,9 0,9713 -2,0 0,0228 0,0 0,5000 2,0 0,9772 -1,9 0,0287 0,1 0,5398 2,1 0,9821 -1,8 0,0359 0,2 0,5793 2,2 0,9861 -1,7 0,0446 0,3 0,6179 2,3 0,9893 -1,6 0,0548 0,4 0,6554 2,4 0,9918 -1,5 0,0668 0,5 0,6915 2,5 0,9938 -1,4 0,0808 0,6 0,7257 2,6 0,9953 -1,3 0,0968 0,7 0,7580 2,7 0,9965 -1,2 0,1151 0,8 0,7881 2,8 0,9974 -1,1 0,1357 0,9 0,8159 2,9 3,0 0,9981 0,9987

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΤΙΜΗ ΤΟΥ ‘t’ ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ v 0.5 0.4 0.2 0.1 0.05 0.025 0.01 1 1,000 1,376 3,078 6,314 12,706 25,452 63,657 2 0,816 1,061 1,886 2,920 4,303 6,205 9,925 3 0,765 0,978 1,638 2,353 3,182 4,176 5,841 4 0,741 0,941 1.533 2,132 2,776 3,495 4,604 5 0,727 0,920 1,476 2,015 2,571 3,163 4,032 6 0,718 0,906 1,440 1,943 2,447 2,969 3,707 7 0,711 0,896 1,415 1,895 2,365 2,841 3,499 8 0,706 0,889 1,397 1,860 2,306 2,752 3,355 9 0,703 0,883 1,383 1,833 2,262 2,685 3,250 10 0,700 0,879 1,372 1,812 2,228 11 0,697 0,876 1,363 1,796 2,634 3,169 12 0,695 0,873 1,356 1,782 2,179 2,560 3,055 13 0,694 0,870 1,350 1,771 2,160 2,533 3,012 14 0,692 0,868 1,345 1,761 2,145 2,510 2,977 15 0,691 0,866 1,341 1,753 2,131 2,490 2,947 16 0,690 0,865 1,337 1,746 2,120 2,473 2,921 17 0,689 0,863 1,333 1,740 2,110 2,458 2,898

18 0,688 0,862 1,330 1,734 2,101 2,445 2,878 19 0,861 1,328 1,729 2,093 2,433 2,861 20 0,687 0,860 1,325 1,725 2,086 2,423 2,845 25 0,684 0,856 1,316 1,708 2,060 2,385 2,787 30 0,683 0,854 1,310 1,697 2,042 2,360 2,750 50 0,680 0,849 1,299 1,676 2,088 2,310 2,678 60 0,679 0,848 1,296 1,671 2,000 2,299 2,660 70 0,678 0,847 1,294 1,667 1,994 2,290 2,648 80 1,293 1,665 1,990 2,284 2,638 90 0,846 1,291 1,662 1,986 2,279 2,631 100 0,677 1,290 1,661 1,982 2,276 2,625 120 0,845 1,289 1,658 1,980 2,270 2,617 ∞ 0,6745 0,8416 1,2816 1,6448 1,9600 2,2414 2,5758

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Συμμεταβολή και συσχέτιση Μέθοδος 1η – Χρησιμοποίηση των ελαχίστων τετραγώνων για επίλυση της εξίσωσης συμμεταβολής Μέθοδος 2η – Χρησιμοποίηση των αποκλίσεων από τους μέσους όρους

Γενικά για τη Συμμεταβολή και τη Συσχέτιση. Συσχέτιση βαθμός σχέσης μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών. Συμμεταβολή ποσοστοποίηση της σχέσης μεταξύ μιας εξαρτημένης μεταβλητής ψ και μιας ή περισσοτέρων ανεξαρτήτων μεταβλητών (Χ,Ζ,Κ) Ευθύγραμμη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών

Παραδείγματα: 1. Διάμετρος ύψος δένδρου 2. Ετήσια αύξηση ύψους σε μικρά φυτά πεύκης ποσότητα αζώτου στο έδαφος του φυτωρίου. 3. Όγκος δένδρου κυκλική επιφάνεια δένδρων 4. Όγκος δένδρου ύψος δένδρου 5. Διάμετρος πάχος φλοιού δένδρων.

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΣΥΜΜΕΤΑΒΟΛΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΣΥΜΜΕΤΑΒΟΛΗ x x x x x x x α Χ Υ Υ x x x x x x x x x x γ Χ β Χ

ΣΨ= αΣf +bΣΧ ΣΧΨ = αΣΧ +bΣΧ2 1=η ΜΕΘΟΔΟΣ –ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΨ= αΣf +bΣΧ ΣΧΨ = αΣΧ +bΣΧ2

ΠΙΝΑΚΑΣ x ψ xψ x2 18 0,7 12,6 324 20 1,1 22,0 400 22 1,3 28,6 484 25 1,7 42,5 625 35 2,4 84,0 1.225 42 3,5 147,0 1.764 45 3,9 175,5 2.025 49 4,1 200,9 2.401 53 4,4 233,2 2.809 58 5,1 295,8 3.364 65 5,3 344,5 4.225 72 6,3 453,6 5.184 76 6,2 471,2 5.776 84 6,5 546,0 7.056 86 7,5 645,0 7.396 Συν.ΣΧ=750 ΣΨ=60,0 ΣΧΨ=3.702,4 ΣΧ2=45.058

ψ =

Στις εξισώσεις: Σf:το σύνολο των δέντρων που μετρήσαμε αντικαθιστούμε τα αθροίσματα και έχουμε: ΣΨ=αΣf +bΣΧ ΣΧΨ=αΣΧ+ bΣΧ2 60=15α +750 b (1) 3702,4 = 750α +45,058 b (2) 1.Διαιρούμε την εξίσωση (1) με το 15 2. Διαιρούμε την εξίσωση (2) με το 750

4= α+50 b 4,936 = α+ 60,077 b 3. Αφαιρούμε την δεύτερη εξίσωση από την πρώτη: -0,936= - 10,077b 4. Υπολογίζουμε την τιμή του συντελεστή b = 0,936 = 0,093 10,0777 b συντελεστής συμμεταβολής

5. Αντικαθιστούμε την τιμή του b στην εξίσωση (1) 4= α +50 (0,093) = α + 4,650 α = - 4,650 + 4 = - 0,650 6. Αντικατάσταση των α και b στην Εξίσωση Ψ = α + bx Ψ = -0,650 + 0,093x

ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ Χ Ψ 10 0,28 20 1,21 30 2,14 40 3,07 50 4,00 60 4,93 70 5,86 80 6,79

ψ 8 Ψ= 0,650 + 0,093 x . 2 . κυκλική επιφάνεια 0 20 40 60 80 100 x όγκος 4 . 2 . κυκλική επιφάνεια 0 20 40 60 80 100 x Γραμμή συμμεταβολής, κυκλικής επιφάνειας και όγκου . . . . . . . . . . . . .

Μέθοδος 2η – Χρησιμοποίηση των αποκλίσεων από τους μέσους όρους. Μέθοδος 2η – Χρησιμοποίηση των αποκλίσεων από τους μέσους όρους. Ψ – Ψ = b ( x – x ) b = Σxy Σx2 x: ο μ. όρος της ανεξάρτητης μεταβλητής Ψ: ο μ. όρος της εξαρτημένης μεταβλητής χ=x - x ψ = Ψ - Ψ

x ψ χ ψ χ2 χψ 18 0,7 -32 -3,3 1.024 + 105,6 20 1,1 -30 -2,9 900 + 87,0 22 1,3 -28 -2,7 784 + 75,6 25 1,7 -25 -2,3 625 + 57,5 35 2,4 -15 -1,6 225 + 24,0 42 3,5 -8 -0,5 64 +4,0 45 3,9 -5 -0,1 25 + 0,5 49 4,1 -1 +0,1 1 - 0,1 53 4,4 +3 +0,4 9 +1,2 58 5,1 +8 + 1,1 64 + 8,8 65 5,3 +15 + 1,3 225 + 19,5 72 6,3 +22 +2,3 484 + 50,6 76 6,2 +26 + 2,2 676 + 57,2 84 6,5 +34 + 2,5 1.156 + 85,0 86 7,5 +36 + 3,5 1.296 +126,0 ΣΧ = 750 ΣΨ = 60,0 ΣΧ = 0 ΣΨ = 0 ΣΧ2 = 7.558 ΣΧΨ = +702,6

b = Ψ=-0,650+0,093Χ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 110 Συντελεστής συσχέτισης και Συνδιακύμανσης

Συνδιακύμανση μέτρηση του πως δύο μεταβλητές μεταβάλλονται σχετιζόμενες μεταξύ τους μεγαλύτερες τιμές ψ σχετίζονται μεγαλύτερες τιμές x συνδιακύμανση θετική Μεγαλύτερες τιμές ψ σχετίζονται μικρότερες τιμές x αρνητική

όχι ιδιαίτερη σχέση μεταξύ ψ και x συνδιακύμανση μηδέν Σ Χι Ψι- (ΣΧι) (ΣΨι)

Εφαρμόζοντας τον τύπο που μας δίνει την συνδιακύμανση έχουμε: Παράδειγμα: Σε ένα δείγμα 6 μονάδων έχουμε μετρήσει τις παρακάτω τιμές για μεταβλητές X και Ψ. Να υπολογιστεί η συνδιακύμανση SXΨ . Εφαρμόζοντας τον τύπο που μας δίνει την συνδιακύμανση έχουμε: 12 .2+4.12 +……7.8 - Η αρνητική τιμή δείχνει ότι οι μεγαλύτερες τιμές του ψ τείνουν Να σχετίζονται με τις μικρότερες τιμές του x ι 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Χι 12 4 10 3 6 7 42 Ψι 2 12 7 14 11 8 54

Συντελεστής συσχέτισης -1 < r < +1 Τιμή κοντά στο +1 ή -1 ισχυρή γραμμική σχέση

Παράδειγμα: Χρησιμοποιώντας τις μετρήσεις x, ψ του προηγούμενου παραδείγματος να υπολογιστεί o r . SXΨ= - 14,4 Διακυμάνσεις x,ψ SX2=12 SΨ2=18,4 Η αρνητική τιμή δείχνει ότι καθώς το x αυξάνει το ψ μειώνεται ενώ η προσέγγιση στο -1 δείχνει ισχυρή γραμμική συσχέτιση μεταξύ των x και ψ .