Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Ανάλυση Αποφάσεων Στη γενικότερή της μορφή, μια διαδικασία λήψης διαδοχικών αποφάσεων είναι πολύπλοκη και οι απολαβές ή οι απώλειες που προκύπτουν ως συνέπεια μιας απόφασης μπορεί να εξαρτώνται και από εξωτερικούς του συστήματος παράγοντες. Ένα πρόβλημα αυτού του τύπου συνήθως δεν μπορεί να επιλυθεί με εκλεπτυσμένες μαθηματικές μεθόδους. Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε μία κατά βάση γραφική μέθοδο αντιμετώπισης για τα προβλήματα αυτά.

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 1 Θέλουμε να κάνουμε μια γιορτή και διαθέτουμε σπίτι με κήπο, οι εναλλακτικές δραστηριότητες, μεταξύ των οποίων καλούμαστε να επιλέξουμε τη βέλτιστη, είναι να κάνουμε τη γιορτή στο σαλόνι ή στον κήπο. Όποια απόφαση και να πάρουμε οδηγεί σε δύο ενδεχόμενα: μπορεί να βρέξει ή μπορεί να μη βρέξει. Επειδή η πραγματοποίηση ή μη των ενδεχομένων δεν καθορίζεται νομοτελειακά, η απόφαση λαμβάνεται υπό συνθήκες αβεβαιότητας.

Τα στοιχεία που εμπεριέχονται Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Τα στοιχεία που εμπεριέχονται Ο αποφασίζων: κράτος ή μεταλλευτικές εταιρείες Οι εναλλακτικές δραστηριότητες: κάθε απόφαση σχετίζεται με ένα πλήθος αμοιβαία αποκλειόμενων επιλογών Τα ενδεχόμενα: κάθε απόφαση οδηγεί σε μια ακολουθία ενδεχομένων, από τα οποία ένα μόνον θα πραγματοποιηθεί Ο βαθμός βεβαιότητας: η πραγματοποίηση ή μη των ενδεχομένων ακολουθεί μια κατανομή πιθανότητας, οπότε έχουμε πρόβλημα λήψης απόφασης υπό συνθήκες αβεβαιότητας. Η κατανομή πιθανότητας εκτιμάται μέσα από αξιοποίηση πρόσθετων δεδομένων. Το κριτήριο: το μέτρο αποτίμησης κάθε ενδεχομένου συνήθως εκφράζεται σε νομισματικές μονάδες (ΑΧΑ).

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Δένδρα αποφάσεων Θα επιλέξουμε την διαδρομή που αποτιμάται με τη μεγαλύτερη Αναμενόμενη Χρηματική Αξία (ΑΧΑ)

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Στατιστική του Βayes Η ύστερη πιθανότητα ισούται με την πρότερη πιθανότητα επί την αξιοπιστία της πληροφορίας και επί τη σταθερά κανονικοποίησης.

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 2 Ο κ. Οικονόμου διαθέτει κεφάλαιο για επένδυση ή σε βιομηχανικές μετοχές ή σε εταιρείες αμοιβαίου κεφαλαίου ή σε καταθετικό λογαριασμό. Οι πληροφορίες που έχει αναφέρουν ότι οι βιομηχανικές μετοχές έχουν τις ίδιες πιθανότητες για άνοδο, στασιμότητα ή πτώση. Στην περίπτωση ανόδου το κέρδος για το κεφάλαιό του είναι 20.000 ευρώ, ενώ στην περίπτωση στασιμότητας 1.000 ευρώ και στην περίπτωση πτώσης η ζημιά είναι επίσης 1.000 ευρώ. Στην περίπτωση εταιρειών αμοιβαίου κεφαλαίου, οι πιθανότητες είναι πάλι ίδιες για άνοδο, στασιμότητα και πτώση με τη διαφορά όμως ότι σε περίπτωση ανόδου το κέρδος είναι 10.000 ευρώ, σε στασιμότητα 6.000 ευρώ, ενώ σε περίπτωση πτώσης ο κ. Οικονόμου ούτε χάνει ούτε κερδίζει. Τέλος, αν επενδύσει σε καταθετικό λογαριασμό, το κέρδος είναι 4.000 ευρώ. Ζητείται η βέλτιστη επένδυση.

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 2 Γρά-φουμε τα έσοδα κάθε κλάδου

Παράδειγμα 2 Υπολογίζουμε την ΑΧΑ κάθε κόμβου τύχης Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 2 Υπολογίζουμε την ΑΧΑ κάθε κόμβου τύχης

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 3 Η εταιρεία ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε. έχει αποκτήσει δικαιώματα για έρευνα πετρελαίου σε συγκεκριμένη περιοχή για χρονικό διάστημα 6 μηνών. Τα συνολικά διαθέσιμα κεφάλαιά της ανέρχονται σε 13 εκατομμύρια ευρώ. Οι δυνατές επιλογές για την επιχείρηση είναι τρεις: να μην προχωρήσει σε καμία έρευνα, με συνέπεια να χάσει μετά από 6 μήνες τα δικαιώματά της, να προχωρήσει άμεσα σε ερευνητική γεώτρηση, ή, τέλος, να πραγματοποιήσει σεισμολογική έρευνα, για την απόκτηση πρόσθετων δεδομένων πάνω στα οποία θα στηρίξει την απόφασή της. Τα στοιχεία που βρίσκονται στη διάθεση της διοίκησης είναι τα εξής: Η πιθανότητα ανεύρεσης πετρελαίου με τη γεώτρηση είναι 55%, το δε κόστος εκτέλεσης φθάνει τα 10 εκατ. €. Το κόστος εκτέλεσης της σεισμολογικής έρευνας φθάνει τα 3 εκατ. €, η δε αξιοπιστία της είναι 90% (δηλαδή η πιθανότητα θετικού αποτελέσματος, δεδομένου ότι υπάρχει πετρέλαιο). Τέλος, σε περίπτωση ανακάλυψης πετρελαίου, εκτιμάται ότι η επιχείρηση έχει τη δυνατότητα να διαθέσει τα δικαιώματα εκμετάλλευσης του κοιτάσματος στην τιμή των 40 εκατ. €. Ζητείται η βέλτιστη επιλογή.

Παράδειγμα 3 Γρά-φου-με τα έσοδα χωρίς να αφαι-ρούμε τα κό-στη Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 3 Γρά-φου-με τα έσοδα χωρίς να αφαι-ρούμε τα κό-στη

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 3 Θεώ-ρημα ολικής πιθανό-τητας:

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 3 Τύπος του Bayes:

Παράδειγμα 3 Υπολο-γίζουμε τις ΑΧΑ των κόμ-βων τύχης 5 & 7 Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 3 Υπολο-γίζουμε τις ΑΧΑ των κόμ-βων τύχης 5 & 7

Παράδειγμα 3 Υπολο-γίζουμε τις ΑΧΑ των κόμ-βων απόφασης 4 & 6 Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 3 Υπολο-γίζουμε τις ΑΧΑ των κόμ-βων απόφασης 4 & 6

Παράδειγμα 3 Υπολο-γίζουμε τις ΑΧΑ των κόμ-βων τύχης 2 & 3 Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 3 Υπολο-γίζουμε τις ΑΧΑ των κόμ-βων τύχης 2 & 3 Βέλτιστη απόφαση: Α1

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 3 …και οι πράξεις μας:

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Χρησιμότητα Η «χρησιμότητα» μιας απόδοσης ενός κόμβου μπορεί να οριστεί ως η αριθμητική αξία της για τον αποφασίζοντα. Ο ορισμός αυτός μπορεί να φαίνεται ως ταυτολογία, ας σκεφτούμε όμως το παράδειγμα της γιορτής στην εισαγωγή της ενότητας. Τα ενδεχόμενα που αντιμετωπίζουμε είναι: Κάνουμε τη γιορτή στον κήπο και δεν βρέχει. Κάνουμε τη γιορτή στο σαλόνι και βρέχει. Κάνουμε τη γιορτή στο σαλόνι και δεν βρέχει. Κάνουμε τη γιορτή στον κήπο και βρέχει. Η ανωτέρω κατάταξη φαίνεται λογική με φθίνουσα σειρά επιθυμίας. Πώς όμως θα ποσοτικοποιήσουμε την αξία κάθε ενδεχομένου, έτσι ώστε να αποτιμήσουμε την ΑΧΑ του κόμβου απόφασης, αφού τα ενδεχόμενα δεν αποδίδονται αριθμητικά;

Διαδικασία καθορισμού Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Διαδικασία καθορισμού Κατατάσσουμε τις αποδόσεις με σειρά φθίνουσας επιθυμίας: Μ1, …, Μn. Προφανώς, για i < j,το Μi είναι περισσότερο ή το ίδιο επιθυμητό με το Μj. Αποδίδουμε αριθμητικές τιμές U(Μ1) και U(Μn) στις αποδόσεις Μ1 και Μn, έτσι ώστε U(Μ1) > U(Μn). Για κάθε απόδοση Μi μεταξύ των Μ1 και Μn προσδιορίζουμε το σημείο αδιαφορίας, το οποίο εκφράζεται από εκείνη την πιθανότητα pi για την οποία ο αποφασίζων είναι αδιάφορος εάν θα λάβει την απόδοση Μi ή θα συμμετάσχει σε μια κλήρωση Ӄ (Μ1, Μn, pi). Πρόκειται, δηλαδή, για την πιθανότητα για την οποία δέχεται να διακινδυνεύσει τη σίγουρη απόδοσή του έναντι του να κερδίσει τη μέγιστη απόδοση Μ1 ή να χάσει και να καταλήξει στην ελάχιστη Μn. Προφανώς, όσο πιο μεγάλη αξία έχει για αυτόν η Μi τόσο πιο μεγάλη θα είναι και η πιθανότητα επιτυχίας που θα απαιτεί για να παραιτηθεί από αυτήν. Οριακά, θα παραιτηθεί από τη Μi, μόνον εάν του δοθεί η Μ1, δηλαδή το σημείο αδιαφορίας θα είναι στο 100% και στην ουσία το χρηματικό ποσό Μi θα αξίζει όσο και το χρηματικό ποσό Μ1 (παρότι μεγαλύτερο εξ ορισμού) για τον αποφασίζοντα. Ορίζουμε ως U(Μi) = piU(Μ1) + (1 – pi)U(Μn) τη χρησιμότητα της απόδοσης Μi.

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 4 Συνάρτηση χρησιμότητας του ΔΣ της ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε., η οποία συνοψίζεται στον πίνακα:

Θεωρία Αποφάσεων Κ. Μόδης Παράδειγμα 4 Με βάση τις νέες υποκειμενικές κατά το ΔΣ της ΠΕΤΡΟΛ αξίες των κόμβων, ποια θα είναι η βέλτιστη απόφαση;