ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θεωρία Σημάτων: ανάλυση στο χρονικό και στο φασματικό πεδίο Θεωρία Γραμμικών Συστημάτων Συνεχής συνέλιξη (Continuous convolution) Διακριτού χρόνου συνέλιξη (Discrete convolution) Page 9

Πραγματικά σήματα (Real signals) δεν μπορούν να διαχωρίσουν μεταξύ θετικών και αρνητικών συχνοτήτων, οπότε το φάσμα τους είναι συμμετρικό!!!

Γραμμικά συστήματα

Αναλογικά Γραμμικά Συστήματα Input Output Linear System x(t) X(f) h(t) H(f) y(t) Y(f) Impulse Response είναι h(t) = y(t) όταν x(t) = δ(t). Για οποιαδήποτε σήμα εισόδου η έξοδος δίνεται από τη συνέλιξη: Στο πεδίο συχνοτήτων έχουμε την συνάρτηση μεταφοράς (frequency transfer function ή frequency response) του συστήματος

Γραφική Περιγραφή Συνέλιξης Έστω x(t) h(t) Για κάθε χρονική στιγμή t πρέπει να πραγματοποιούμε την h(t-τ), δηλαδή να αντιστρέφουμε τη γραφική παράσταση της h(τ) και να την μετατοπίζουμε κατά t (τ είναι μία ενδιάμεση μεταβλητή) Μετά πρέπει να κάνουμε το γινόμενο x(t) επί h(t-τ) σημείο προς σημείο και να αθροίζουμε, δηλαδή βρίσκουμε το σκιασμένο εμβαδό ή ισοδύναμα το ολοκλήρωμα x(t) επί h(t-τ) για το χρονικό διάστημα που συμπίπτουν!!!!! Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα παίρνουμε αν αντιστρέφουμε τη γραφική παράσταση της x(τ) και να την μετατοπίζουμε κατά t ενώ αφήσουμε την h(t) αμετάβλητη!!! 0 T ο t 0 Τ1 t

Γραφική Περιγραφή Συνέλιξης (συν.) Έστω x(t) h(t) 0 T ο t 0 τ t t = t1 t = t2 h(t1-τ) h(t2-τ) t1-τ 0 t1 Tο τ 0 t2-τ Tο t2 τ 0 t1 t2 Tο +Τ1 t

Γραφική Περιγραφή Συνέλιξης (συν.) Το ίδιο αποτέλεσμα παίρνουμε και ως 0 τ t 0 Τ1 t t = t1 t = t2 x(t1-τ) x(t2-τ) t1-τ 0 t1 Tο τ 0 t2-τ Tο t2 τ 0 t1 t2 To +T1 t

Γραμμικά Συστήματα (συν.) Για κάθε γραμμικό σύστημα, αν x(t) δίνεται από Τότε Δηλαδή η ίδια συχνότητα είναι στην έξοδο αλλά με διαφορετικό πλάτος και φάση!! Γενικά

Συνέλιξη αναλογικών σημάτων Θεώρημα Συνέλιξης ή Θεώρημα Δυικότητας (Duality Theorem) Μας επιτρέπει να εργαζόμαστε είτε στο χρονικό πεδίο είτε στο πεδίο συχνοτήτων και με αντίστροφους μετασχηματισμούς να περνάμε από το ένα πεδίο στο άλλο. Δηλαδή, αν

Περιγραφή συστημάτων δ(t) y(t)=δ(t)*h(t)=h(t) h(t) Y(f)=X(f) H(f) = H(f) X(f)=1 H(f) Fourier transform of δ(t) is 1 (constant) for all frequencies !!!