Παραγοντικά Πειράματα (Factorial Experiments) Εξετάζουμε ταυτόχρονα περισσότερους από έναν παράγοντες

Δύο Παράγοντες Η πιο απλή μορφή παραγοντικού πειράματος Ο παράγοντας Α έχει a επίπεδα (επεμβάσεις) και ο B έχει b επίπεδα (επεμβάσεις) Παίρνουμε όλους τους axb συνδυασμούς των παραγόντων Παίρνουμε n επαναλήψεις σε κάθε συνδυασμό Έτσι έχουμε τελικά axbxn παρατηρήσεις

Τα Δεδομένα (2 Παράγοντες) Παράγοντας B 1 2 .... b Y111 Y112 ... Y11n Y121 Y122 Y12n Y1b1 Y1b2 Y1bn Παράγοντας A Y211 Y212 Y21n Y221 Y222 Y22n Y2b1 Y2b2 Y2bn a Ya11 Ya12 Ya1n Ya21 Ya22 Ya2n Yab1 Yab2 Yabn n επαναλήψεις

Σχεδιασμός Τα παραγοντικά πειράματα συνδυάζονται με διάφορα πειρατικά σχέδια π.χ. πλήρως τυχαιοποιημένα ή με ομάδες (block)

Πλήρως Τυχαιοποιημένος Σχεδιασμός Έστω ο A έχει 3 επίπεδα (a1, a2, a3) και ο B έχει 4 επίπεδα (b1, b2, b3, b4) Αν πρέπει να πάρουμε 3 επαναλήψεις σε κάθε συνδυασμό, τότε Χρειαζόμαστε 3X4X3=36 φυτά (ή πειρατικά τεμάχια)

Όλοι οι συνδυασμοί των \παραγόντων δίνονται τυχαία στα 36 τεμάχια a1b2

Τυχαιοποιημένες Ομάδες Εστω ότι ο παράγοντας A έχει 2 επίπεδα (a1, a2) και ο παράγοντας Β έχει 3 (b1, b2, b3) Έστω ότι έχουμε 4 ομάδες Σε κάθε ομάδα έχουμε να τοποθετήσουμε όλους τους 6 συνδυασμούς των παραγόντων Χρειαζόμαστε 24 πειραματικά τεμάχια

Όλοι οι συνδυασμοί των παραγόντων τοποθετούνται σε κάθε Block I Block II Block III Block IV a1b1 a2b3 Όλοι οι συνδυασμοί των παραγόντων τοποθετούνται σε κάθε μια από τις 6 ομάδες a2b1 a1b2 a1b3 a2b2

Ανάλυση Δεδομένων (2-Way ANOVA) Πηγές Μεταβλητότητας Μεταξύ διαφορετικών επιπέδων του παράγοντα Α (Factor A Variability) Μεταξύ διαφορετικών επιπέδων του παράγοντα Β (Factor B Variability) Μεταβλητότητα μέσα σε κάθε συνδυασμό των παραγόντων (Within / Error Variability)

Ανάλυση Δεδομένων (2-Way ANOVA) Μια επιπλέον πηγή μεταβλητότητας Αλληλεπίδραση: Είναι η μεταβλητότητα που εμφανίζεται στα διάφορα επίπεδα του παράγοντα Α, που δεν είναι σταθερή για όλα τα επίπεδα του παράγοντα Β (!!)

Χωρίς Αλληλεπίδραση 1 Επίπεδα του B 2 3 1 2 3 4 Επίπεδα του A

Με Αλληλεπίδραση Επίπεδα του Β 2 3 1 1 2 3 4 Επίπεδα του A

Χωρίς Αλληλεπίδραση 1 2 Επίπεδα του B 3 σταθερά 1 2 3 4 Επίπεδα του A

Με Αλληλεπίδραση Επίπεδα του B 2 3 1 μεταβλητότητα 1 2 3 4 Επίπεδα του A

Πίνακας ANOVA (two-way) Απόφαση: (Για την αλληλεπίδραση) Αν p<0.05 τότε υπάρχει αλληλεπίδραση των παραγόντων Α και Β. Σε αυτή την περίπτωση δεν μπορούμε να προχωρήσουμε σε ελέγχους για τους παράγοντες χωριστά (FA και FB).

Έλεγχοι για τους πραγάγοντες Αν η αλληλεπίδραση δεν είναι σημαντική (π>0.05), τότε μπορούμε να ελέγξουμε τους παράγοντες χωριστά: Για τον Α: Αν p>0.05, ο παράγοντας Α δεν επιδρά Για τον Β: Αν p>0.05, ο παράγοντας Β δεν επιδρά

Οι συνηθισμένες προϋποθέσεις της Ανάλυσης Διασποράς πρέπει να ισχύουν και στα παραγοντικά πειράματα. Κανονικές κατανομές / Ισότητα διασπορών Επίσης εκ των υστέρων έλεγχοι γίνονται κανονικά για κάθε έναν από τους παράγοντες (π.χ. Tuckey)

Αν υπάρχει αλληλεπίδραση Δεν μπορούμε να προχωρήσουμε σε χωριστούς ελέγχους για τους δύο παράγοντες. Δεν μπορούμε να ξεχωρίσουμε την επίδραση του Α από αυτήν του B Γίνεται ένα συνολικό τέστ για τους παράγοντες μαζί (σαν μια Ανάλυση Διασποράς με έναν παράγοντα)

Παράδειγμα 1 Τρία λιπάσματα χρησιμοποιήθηκαν από κοινού με 3 θερμοκρασίες για να μελετηθεί η επίδρασή τους στην παραγωγή ντομάτας σε θερμοκήπια. Τέσσερα τεμάχια πάρθηκαν για κάθε συνδυασμό λιπάσματος - θερμοκρασίας Συνολικά είχαμε 36 μετρήσεις

θερμοκρασίες Λιπάσματα A B C 5 5,1 6 5,8 6,1 6,3 6,2 5,5 5,7 6,5 7 7,3 7,1 7,4 8,4 6,6 8,5 6,9 7,5 8,2 8,3 7,8 8,9 7,9 9,5 9,1 8,6 9,4 Λιπάσματα

Παράδειγμα 1 (ANOVA) Η αλληλεπίδραση δεν ήταν σημαντική (p=0,174), οπότε προχωρούμε σε έλεγχο των παραγόντων χωριστά. Η θερμοκρασία και τα λιπάσματα επιδρούν Στην παραγωγή (και οι δύο τιμές p είναι κοντά στο μηδέν)

Παράδειγμα 1 (post-hoc) θερμοκρασίες λιπάσματα 1 2 B 6,958 A 7,017 C 7,900 1 2 3 A 5,850 B 7,517 C 8,508

Παράδειγμα 2 θερμοκρασίες Το ίδιο πείραμα με διαφορετικά αποτελέσματα Παράδειγμα 2 A B C 5 7,1 6 7,8 6,1 6,3 7 6,2 5,5 7,7 6,5 10 7,3 8 10,1 7,4 8,4 10,3 6,6 8,5 9,9 7,5 8,2 8,3 8,9 7,9 9,5 9,1 8,6 9,4 Το ίδιο πείραμα με διαφορετικά αποτελέσματα λιπάσματα

Παράδειγμα 2 (ANOVA) Πολύ σημαντική αλληλεπίδραση (p<<0,05)

Πώς συνεχίζουμε τώρα? Αναλύουμε τα δεδομένα με μονοπαραγοντική ANOVA Αλλιώς βρίσκουμε το “Corrected Model” F-test στην ANOVA που τρέξαμε στο SPSS (είναι το ίδιο) Αν αυτό το F-test είναι σημαντικό, τότε οι παράγοντες (μαζί) επιδρούν Όμως δεν μπορούμε να βγάλουμε χωριστά συμπεράσματα για τους παράγοντες Μπορούμε με ελέγχους (π.χ. Tuckey) να επιλέξουμε ποιοι είναι οι καλύτεροι ή οι χειρότεροι συνδυασμοί των παραγόντων.

Παράδειγμα 1 (post-hoc) Ομάδες Tuckey