Μηχανική Ρευστών Ι Ενότητα 7: Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Μηχανική Ρευστών Ι Ενότητα 7: Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα Νίκος Πελεκάσης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Σκοποί ενότητας Η κατανόηση και η εφαρμογή των ισοζυγίων μάζας τόσο στην διαφορική όσο και στην ολοκληρωτική μορφή καθώς και του θεωρήματος μεταφοράς του Reynolds Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Περιεχόμενα ενότητας Θεμελιώδεις αρχές της μηχανικής Ορισμός Συστήματος - Όγκου Ελέγχου Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds - Ειδικές μορφές Διατήρηση Μάζας - Διαφορική και ολοκληρωτική μορφή Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Θεμελιώδεις Αρχές της Μηχανικής Οι παρακάτω βασικές διατηρητικές αρχές έχουν διατυπωθεί για ένα σύστημα Διατήρηση μάζας συστήματος: Ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα για την ορμή: Νόμος ροπών του Νεύτωνα για την στροφορμή συστήματος μαζών: Για απλή περιστροφή στερεού σώματος γύρω από άξονα x: 1ος Θερμοδυναμικός Νόμος για την διατήρηση της ενέργειας: Όπου: η απόσταση από το κέντρο μάζας, Ix η ροπή αδράνειας ως προς άξονα x, η ροπή ως προς το κέντρο μάζας, ωx η γωνιακή ταχύτητα ως προς άξονα x, ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας στο σύστημα από το περιβάλλον και ο ρυθμός παραγωγής έργου από το σύστημα στο περιβάλλον Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Σύστημα - Όγκος Ελέγχου Ως Σύστημα ορίζεται δεδομένη ποσότητα μάζας, τα όρια της οποίας δεν διαπερνώνται από υλικό. Ως Όγκος ελέγχου ορίζεται περιοχή του χώρου η οποία επιλέγεται προς ανάλυση, μέσω των ορίων της οποίας μπορεί να διέρχεται υλικό. Οι Θεμελιώδεις νόμοι της φυσικής, π.χ. διατήρηση μάζας, ενέργειας και ορμής, εφαρμόζονται σε Συστήματα. Όμως στα περισσότερα προβλήματα της Ρευστομηχανικής η ανάλυση μέσω Όγκου Ελέγχου είναι προτιμητέα αυτής μέσω Συστήματος (όπως η Οϊλεριανή περιγραφή είναι προτιμητέα της Λαγκραντζιανής στην διαφορική ανάλυση της ροής διότι, μεταξύ άλλων, στην δεύτερη περίπτωση τα περισσότερα προβλήματα διατυπώνονται ως μεταβατικά) Συνεπώς είναι χρήσιμο να μετασχηματίσουμε τις βασικές αρχές διατήρησης ώστε να εκφρασθούν για Όγκο Ελέγχου. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω του Θεωρήματος Μεταφοράς Reynolds (Reynolds Transport Theorem ή RTT). Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds (ΘΜR) Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Σχήμα 1: (α) Υλικός και (β) κινούμενος όγκος ελέγχου Υλικός Όγκος όπου περιέχεται σε κάθε χρονική στιγμή το εξεταζόμενο σύστημα Κινούμενος Όγκος Ελέγχου Έστω εκτατική ποσότητα ΒΣυστ(x(t),t) και η αντίστοιχή της ανά μονάδα όγκου Β μέσα σε υλικό όγκο Vm(t). Κάθε σημείο του όγκου αυτού ορίζεται με βάση την αρχική του θέση και το πεδίο ταχυτήτων Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Η μεταβολή της συνολικής ποσότητας ΒΣυστ μέσα στον Υλικό Όγκο, που αποτελεί μέρος κινούμενου ρευστού, μέσα σε απειροστό χρόνο δt δίνεται από την σχέση Εντατικές Ιδιότητες b=BΣυσ/Μ : Φυσική ποσότητα ανά μονάδα μάζας B=ΒΣυσ/V =ρb: Φυσική ποσότητα ανά μονάδα όγκου

Γενικευμένο θεώρημα Leibniz για κινούμενο όγκο ελέγχου ταχύτητας ο Γενικευμένο θεώρημα Leibniz για κινούμενο όγκο ελέγχου ταχύτητας ο οποίος ταυτίζεται με το σύστημα κατά την χρονική στιγμή t=0 Γενικευμένο θεώρημα μεταφοράς Reynolds για κινούμενο Όγκο Ελέγχου – Εφαρμογή στην Ολοκληρωτική Ανάλυση της Ροής μέσω Όγκου Ελέγχου Εισαγωγή εντατικής ιδιότητας b Το θεώρημα μεταφοράς Reynolds χρησιμοποιείται για την διατύπωση των αρχών διατήρησης μάζας, ενέργειας, γραμμικής ορμής και στροφορμής σε διαφορική και ολοκληρωτική μορφή Μάζα Ορμή Ενέργεια Στροφορμή BΣυσ, Εκτατική Ιδιότητα m E b BΣυσ/m, Εντατική Ιδιότητα 1 e

Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds Ερμηνεία: Η χρονική μεταβολή της ιδιότητας B του συστήματος ισούται με το άθροισμα (Όρος 1) + (Όρος 2) Όρος 1: Χρονική μεταβολή της B μέσα στον Όγκο Ελέγχου Όρος 2: Καθαρή εκροή της ιδιότητας Β από τον Όγκο Ελέγχου μέσω των τοιχωμάτων της διεπιφάνειάς του με το περιβάλλον 1ος Όρος 2ος Όρος για ακίνητο ΟΕ Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Ειδικές Μορφές Για κινούμενους ή παραμωρφούμενους Όγκους Ελέγχου Η απόλυτη ταχύτητα στον δεύτερο όρο έχει αντικατασταθεί από την σχετική ταχύτητα είναι η ταχύτητα του ρευστού ως προς σύστημα που κινείται με την ταχύτητα του Όγκου Ελέγχου. Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Ειδικές Μορφές Για μόνιμη κατάσταση η χρονοπαράγωγος μηδενίζεται Για όγκους ελέγχου με καλά καθορισμένες εισόδους και εξόδους μικρών διαστάσεων, σχετικά με το μήκος των αγωγών μεταφοράς Για ασυμπίεστο ρευστό ρ=σταθερό Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Διατήρηση Μάζας Η μάζα δεν μπορεί να δημιουργηθεί ή να καταστραφεί σε μία διεργασία και η διατήρησή της, για μη σχετικιστικά συστήματα, είναι μία από τις πλέον θεμελιώδεις αρχές της φύσης Σε κλειστά συστήματα η διατήρηση της μάζας ικανοποιείται αυτόματα μια και η μάζα του συστήματος είναι δεδομένη Όταν χρησιμοποιείται όγκος ελέγχου, μάζα εισέρχεται και εξέρχεται διά μέσου των συνόρων του γεγονός που πρέπει να ληφθεί υπόψη στην εφαρμογή της αρχής διατήρησης μάζας Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Διατήρηση Μάζας - Διαφορική Μορφή Ρυθμός ροής μάζας ανά μονάδα επιφάνειας Εάν δεν υπάρχουν πηγές ή καταβόθρες στον ΟΕ Εξίσωση Συνέχειας Οιλεριανή αναπαράσταση Χρήση Μερικής Παραγώγου Λαγκραντζιανή αναπαράσταση Χρήση Υλικής Παραγώγου για κάθε σωματίδιο Για ασυμπίεστο ρευστό Για μόνιμη ροή Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Διατήρηση Μάζας - Ολοκληρωτική Μορφή Γενική αρχή διατήρησης μάζας για ακίνητο Όγκο Ελέγχου οποιουδήποτε σχήματος Ρυθμός μεταβολής μάζας μέσα στον ΟΕ Καθαρή εκροή μάζας από τα τοιχώματα του ΟΕ Σχήμα 2: Διατήρηση Μάζας σε Όγκο Ελέγχου Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Σχήμα 3: Ισοζύγιο μάζας σε δεξαμενή που γεμίζει με νερό Παράδειγμα: Ισοζύγιο μάζας σε δεξαμενή που γεμίζει με νερό Για να βρούμε τον ρυθμό αύξησης της στάθμης της δεξαμενής εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης μάζας ως εξής: Σχήμα 3: Ισοζύγιο μάζας σε δεξαμενή που γεμίζει με νερό Ως Όγκος Ελέγχου ορίζεται το εσωτερικό της δεξαμενής με άνω όριο το νοητό επίπεδο στην κορυφή της Νερό εισέρχεται και εξέρχεται στην δεξαμενή μέσω των διατομών 1 και 2 ενώ η διατομή της δεξαμενής Α και το ύψος της h θεωρούνται σταθερά Το νερό είναι ασυμπίεστο Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Διεργασίες σε Μόνιμη Κατάσταση Σε μόνιμη κατάσταση η συνολική μάζα μέσα στον ΟΕ παραμένει σταθερή. Η συνολική μάζα που εισέρχεται στον ΟΕ ισούται με την εξερχόμενη Για ασυμπίεστη ροή ρ=σταθερό Σχήμα 4: Ισοζύγιο μάζας για ασυμπίεστο ρευστό σε μη μόνιμη κατάσταση Για ασυμπίεστο ρευστό ακόμα και σε μη μόνιμη κατάσταση η μάζα που περιέχεται στον ΟΕ παραμένει αμετάβλητη Οι χρονικές μεταβολές της ταχύτητας στην είσοδο αντανακλούν άμεσα στις ταχύτητες εξόδου χωρίς να επηρεάζεται η μάζα του ΟΕ, π.χ. για μία είσοδο και μία έξοδο Θεμελιώδεις αρχές διατήρησης – Μάζα

Τέλος Ενότητας