Δένδρα Δένδρο είναι ένα συνεκτικό άκυκλο γράφημα. Δένδρο Δένδρο Δένδρο Γράφημα με κύκλο

Ιδιότητες για τα δέντρα Ένα γράφημα G με n κορυφές είναι δέντρο αν: Το G είναι συνεκτικό και δεν έχει κύκλο. Το G είναι συνεκτικό και έχει n-1 ακμές. Το G δεν έχει κύκλο και έχει n-1 ακμές. Κάθε ζεύγος κορυφών συνδέεται με ένα μόνο μονοπάτι. Αν ενωθούν δυο ανεξάρτητες κορυφές με μία ακμή σχηματίζεται ένας κύκλος.

Προσανατολισμένο δένδρο Προσανατολισμένο δένδρο ή δενδριμός είναι ένα προσανατολισμένο, άκυκλο γράφημα, για το οποίο ο εσω-βαθμός κάθε κορυφής είναι ένα, εκτός μιας κορυφής, της οποίας ο εσω-βαθμός είναι μηδέν. Η κορυφή αυτή ονομάζεται ρίζα. Ρίζα

Όροι για τα δένδρα Πατέρας Παιδί Αδέλφια Τελικές κορυφές Εσωτερικές κορυφές Επίπεδα 1 2 3 4 7 8 5 6 9

Δυαδικό Δένδρο - Δάσος Ένα δένδρο που κάθε κορυφή του έχει το πολύ δύο επόμενες κορυφές ονομάζεται δυαδικό δένδρο. Ένα σύνολο από δένδρα ξένα μεταξύ τους ονομάζεται δάσος.

Δένδρο Κάλυμμα Ένα μερικό γράφημα ενός συνεκτικού γραφήματος, που είναι δένδρο, ονομάζεται δένδρο κάλυμμα. κλάδος χορδή

Θεμελιώδεις κύκλοι Ο κύκλος που δημιουργείται με την προσθήκη μιας χορδής σε ένα δένδρο κάλυμμα ονομάζεται θεμελιώδης κύκλος.

Προσδιορισμός όλων των Δένδρων Καλυμμάτων Ο αριθμός των διαφορετικών δένδρων καλυμμάτων ενός μη προσανατολισμένου συνεκτικού γραφήματος n κορυφών είναι ίσος με n^(n-2). Αν ξεκινήσουμε από οποιδήποτε δένδρο κάλυμμα ενός γραφήματος, μπορούμε να δημιουργήσουμε όλα τα δένδρα καλυμμάτα του, μετά από πεπερασμένου πλήθους κυκλικές εναλλαγές.

Ελάχιστο Δένδρο Κάλυμμα Το δένδρο κάλυμμα ενός γραφήματος με το μικρότερο βάρος ονομάζεται ελάχιστο δένδρο κάλυμμα.

Αλγόριθμος Kruskal Εφαρμόζεται σε συνεκτικά γραφήματα. 2 1 3 5 4 2 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal 2 2 Ορίζει ένα μερικό γράφημα Τ με κορυφές τις κορυφές του γραφήματος χωρίς ακμές. 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal 2 Ταξινομεί τις ακμές του γραφήματος κατά αύξουσα σειρά βάρους 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Επιλέγει την ακμή με το μικρότερο βάρος που δεν έχει προηγούμενα επιλεγεί. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Αν η επιλεχθείσα ακμή δεν σχηματίζει κύκλο την προσθέτει στις ακμές του μερικού γράφηματος Τ. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Συνεχίζει μέχρι ο αριθμός των ακμών του Τ να γίνει κατα ένα μικρότερος του αριθμού των κορυφών του γραφήματος. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Επιλέγει την ακμή με το μικρότερο βάρος που δεν έχει προηγούμενα επιλεγεί. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Αν η επιλεχθείσα ακμή δεν σχηματίζει κύκλο την προσθέτει στις ακμές του μερικού γράφηματος Τ. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Συνεχίζει μέχρι ο αριθμός των ακμών του Τ να γίνει κατα ένα μικρότερος του αριθμού των κορυφών του γραφήματος. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Επιλέγει την ακμή με το μικρότερο βάρος που δεν έχει προηγούμενα επιλεγεί. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Αν η επιλεχθείσα ακμή δεν σχηματίζει κύκλο την προσθέτει στις ακμές του μερικού γράφηματος Τ. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Συνεχίζει μέχρι ο αριθμός των ακμών του Τ να γίνει κατα ένα μικρότερος του αριθμού των κορυφών του γραφήματος. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Επιλέγει την ακμή με το μικρότερο βάρος που δεν έχει προηγούμενα επιλεγεί. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Αν η επιλεχθείσα ακμή δεν σχηματίζει κύκλο την προσθέτει στις ακμές του μερικού γράφηματος Τ. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Συνεχίζει μέχρι ο αριθμός των ακμών του Τ να γίνει κατα ένα μικρότερος του αριθμού των κορυφών του γραφήματος. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Επιλέγει την ακμή με το μικρότερο βάρος που δεν έχει προηγούμενα επιλεγεί. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Αν η επιλεχθείσα ακμή δεν σχηματίζει κύκλο την προσθέτει στις ακμές του μερικού γράφηματος Τ. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Συνεχίζει μέχρι ο αριθμός των ακμών του Τ να γίνει κατα ένα μικρότερος του αριθμού των κορυφών του γραφήματος. 2 2 1 2 4 6 3 5 5 4 3 4

Αλγόριθμος Kruskal Έστω G = (Vn, E) ένα συνεκτικό γράφημα. Έστω Τ = (Vn, A) μερικό γράφημα με Α = . Ταξινομήσε τις ακμές του γραφήματος κατά αύξουσα σειρά βάρους. Επανέλαβε τα παρακάτω βήματα Θεώρησε την ακμή με το μικρότερο βάρος που δεν την έχεις ήδη επιλέξει. Αν δε σχηματίζει κύκλο στο A τότε πρόσθεσε την στο Α. μέχρι το πλήθος των ακμών του Α να γίνει ίσο με (n-1).