Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ Φ Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ Φ. ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων   Στα συστήματα συντεταγμένων υπάρχει πάντα ένα σημείο αναφοράς ως προς το οποίο γίνεται ο προσδιορισμός. Το σημείο αναφοράς είναι το σημείο εφαρμογής όλων των εφαρμοστών διανυσμάτων που προσδιορίζονται από το σύστημα συντεταγμένων. Το σημείο αναφοράς θεωρείται ακίνητο και το διάνυσμα που αντιστοιχεί σε αυτό μέσω του συστήματος συντεταγμένων είναι το μηδενικό διάνυσμα, δηλαδή το διάνυσμα του οποίου όλοι αριθμοί που το περιγράφουν ισούνται με μηδέν.

Δισδιάστατος χώρος (επίπεδο) το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει ένα σημείο στο επίπεδο ή στο χώρο. Οφείλει το όνομά του στον Καρτέσιο (Descartes) που το εισήγαγε.

Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. x = άξονας τετμημένων, y = άξονας τεταγμένων Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο αποτελείται από δύο προσανατολισμένες ευθείες, κάθετες μεταξύ τους, οι οποίες καλούνται συμβατικά άξονας τετμημένων (οριζόντιος άξονας) και άξονας τεταγμένων (κατακόρυφος άξονας) και συμβολίζονται αντίστοιχα με x και y. Το σημείο όπου τέμνονται λέγεται αρχή του συστήματος συντεταγμένων.  

Ένα σημείο πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο προσδιορίζεται μοναδικά από ένα ζεύγος αριθμών, την τετμημένη και την τεταγμένη, δηλαδή τις συντεταγμένες του σημείου. Η τετμημένη είναι η απόσταση του σημείου από τον άξονα y και η τεταγμένη είναι η απόσταση του σημείου από τον άξονα x. Οι συντεταγμένες (xP,yP) ενός σημείου P δηλώνουν τη θέση του P κατά την ορθή προβολή του στους άξονες. Η αρχή των αξόνων αντιστοιχεί στο (0,0). Επιπλέον ορίζεται απόσταση ίση με 1, σύμφωνα με την οποία αριθμούνται οι άξονες.

Άξονας είναι μια προσανατολισμένη ευθεία κατά την κατεύθυνση ενός από τα διανύσματα του συστήματος συντεταγμένων, βαθμονομημένη, έτσι ώστε να έχει το μηδέν στο σημείο αναφοράς και το ένα στο πέρας του διανύσματος. Απλό σύστημα αναφοράς ενός άξονα.

Αν ο άξονας είναι ένας, τότε η συντεταγμένη ονομάζεται τετμημένη. Αν ο άξονας είναι ένας, τότε η συντεταγμένη ονομάζεται τετμημένη. Αν οι άξονες είναι δύο, τότε οι συντεταγμένες ονομάζεται τετμημένη και  τεταγμένη. Στην αναγραφή ενός διανύσματος στη μορφή (α,β) ο αριθμός α είναι η τετμημένη και ο αριθμός β η τεταγμένη. Αν τα μοναδιαία διανύσματα του συστήματος είναι κάθετα μεταξύ τους, τότε το σύστημα ονομάζεται ορθογώνιο, αλλιώς ονομάζεται πλαγιογώνιο. Αν τα μοναδιαία διανύσματα ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων έχουν ίσα μήκη και διατάσσονται δεξιόστροφα, τότε το σύστημα ονομάζεται ορθοκανονικό.   

Το επίπεδο ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς συμβολίζεται με Οxy. Ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Η τετμημένη του διανύσματος είναι το 2 και η τεταγμένη το 3.  

Πλαγιογώνιο επίπεδο σύστημα συντεταγμένων Πλαγιογώνιο επίπεδο σύστημα συντεταγμένων. Οι προβολές του διανύσματος που χρησιμοποιούνται είναι αυτές που είναι παράλληλες στους άξονες.

 πολικό σύστημα συντεταγμένων 

Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο   Στις τρεις διαστάσεις, εκτός από τους άξονες x και y ορίζουμε και έναν τρίτο άξονα z, κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν οι δύο πρώτοι. Έτσι κάθε σημείο στο χώρο μπορεί να παρασταθεί από μία μοναδική τριάδα αριθμών (x, y, z), με κάθε συντεταγμένη να αντιστοιχεί στην κάθετη απόσταση του σημείου από κάθε έναν από τους τρεις άξονες αντίστοιχα.

Ο άνθρωπος ως σημείο αναφοράς.

Ισομετρική όψη του καρτεσιανού συστήματος από παρατηρητή που βρίσκεται σε θετικά x, y, z.

Κάθε διάνυσμα αυτού του συστήματος γράφεται στη μορφή (x, y, z), δηλαδή  

Ένα σύστημα αναφοράς είναι καρτεσιανό αν και μόνο αν για τα τρία μοναδιαία διανύσματα   ισχύουν:

Ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς για τον τρισδιάστατο χώρο Ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς για τον τρισδιάστατο χώρο  

Συναρτήσεις δύο μεταβλητών 1: Ορισμός      Έστω D υποσύνολο του xy-επιπέδου. Κάθε κανόνας f, ο οποίος αντιστοιχεί ακριβώς έναν πραγματικό αριθμό f(x,y) σε κάθε στοιχείο (x,y) του D, ονομάζεται συνάρτηση δύο μεταβλητών με πεδίο ορισμού το D.

Παραδείγματα β) f(x,y) = α) f(x,y) = x2y+5 Πεδίο ορισμού της f, είναι όλο το xy-επίπεδο. β) f(x,y) =    Πεδίο ορισμού της f, είναι το σύνολο των σημείων(x,y) για τα οποία ισχύει x2+y2 < 1. Δηλαδή είναι το σύνολο των σημείων ενός κλειστού δίσκου που έχει κέντρο στο (0,0) και ακτίνα 1. Εάν z=f(x,y), οι μεταβλητές x  και y ονομάζονται ανεξάρτητες μεταβλητές, ενώ η z εξαρτημένη μεταβλητή. 

 Γραφική παράσταση

Παραδείγματα α) f(x,y) = x2+y2           

β) f(x,y) = 

γ)   f(x,y) = x2-y2            

δ)   f(x,y) = 

Ισοσταθμικές καμπύλες Έστω συνάρτηση z = f(x,y). Θεωρούμε ένα επίπεδο Π, με εξίσωση z = c, το οποίο τέμνει την γραφική παράσταση της f.  Το Π είναι παράλληλο προς το xy-επίπεδο και ο αριθμός |c| προσδιορίζει την απόσταση του Π απ' αυτό.

Η τομή του Π με την επιφάνεια z=f(x,y), θα είναι μια καμπύλη στο χώρο, η οποία έχει για σημεία της , όλα τα σημεία (x,y,z) για τα οποία ισχύει: z=f(x,y) και z=c, δηλαδή θα είναι όλα τα σημεία (x,y,c) για τα οποία f(x,y)=c. Αν προβάλλουμε την καμπύλη αυτή πάνω στο xy-επίπεδο, η προβολή της, θα είναι μια καμπύλη που τα σημεία της θα είναι όλα τα σημεία (x,y,0) για τα οποία ισχύει f(x,y)=c.

Δηλαδή θα είναι μια καμπύλη στο xy-επίπεδο στα σημεία της οποίας η f παίρνει σταθερή τιμή c.

Ερώτηση: Τι είδους καμπύλες είναι οι ισοσταθμικές των παρακάτω συναρτήσεων; i) f(x,y)=x2+y2 ,  ii) f(x,y)=y2-x2   ,  iii) f(x,y)=4-x-2y , iv) f(x,y)=xy  ,  v) f(x,y)=x2/9 + y2/4 .

Απ.: i)   H f(x,y)=x2+y2 είναι κυκλικό παραβολοειδές και οι ισοσταθμικές του, είναι ομόκεντροι κύκλοι:

Απ. ii)  Η f(x,y)=y2-x2 είναι υπερβολικό παραβολοειδές και οι ισοσταθμικές του είναι υπερβολές:

Απ.3. iii) Η f(x,y)=4-x-2y είναι ένα επίπεδο και οι ισοσταθμικές του είναι παράλληλες ευθείες:

Απ. iv) Η f(x,y)=xy είναι υπερβολικό παραβολοειδές και οι ισοσταθμικές του είναι υπερβολές .Οι τομές της επιφανείας με επίπεδα παράλληλα προς τον z-άξονα είναι παραβολές που ανοίγουν και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Απ. v) Η f(x,y)=x2/9 + y2/4 είναι ελλειπτικό παραβολοειδές , και οι ισοσταθμικές του είναι ελλείψεις . Οι τομές της επιφανείας με επίπεδα παράλληλα προς τον z-άξονα είναι παραβολές που ανοίγουν προς την ίδια κατεύθυνση.