Πυκνότητα καταστάσεων ηλεκτρονίων Λύση της1-D εξίσωσης του Schrödinger για σωματίου σε ένα κουτί Επέκταση στις 3-D περιοδικότητα Επίλυση για πυκνότητα καταστάσεων

Συνήθως δεν γνωρίζουμε τις y ή e, Γνωρίζουμε τις οριακές συνθήκες και ψάχνουμε λύση για τις πιθανές τιμές των e και τις συναρτήσεις y

Κινητική Ε. Δυναμική E. Το πρώτο μέρος είναι

Τελεστής ορμής ιδιοτιμή a = ιδιοτιμή ορμής

Σωματίδιο σε ένα 1-D κουτί Ελεύθερο ηλεκτρόνιο. Πλέει περιφερόμενο στο κενό. Οριακή συνθήκη. Περιορίζεται χωρικά σε ένα κουτί ή μια μονοδιάστατη κυψελίδα παγιδευμένο e- U = 0 x L επειδή U(x) = 0 για 0<x<L, η Hamiltonian γίνεται

Θέτουμε τη y στην Schrödinger Hy = Ey

Οι ενεργειακές τιμές είναι κβαντισμένες και n είναι ακέραιος n=1 είναι η χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη, n=2 έχει μεγαλύτερη ενέργεια, κ.λ.π.. n=4 n=3 n=2 n=1 E 9x 4x 0 L Κυματοσυναρτήσεις y(x,n) για διάφορες E Επιτρεπτές ενεργειακές στάθμες n

Γεμίζουμε τις στάθμες με ηλεκτρόνια Γεμίζουμε τις στάθμες με ηλεκτρόνια. Έστα ότι έχουμε N e- μέσα στο 1-D κουτί. Για N e- θα έχουμε 2e-/n states (δύο spins). άρα N ηλεκτρόνια γεμίζουν nF= N/2 στάθμες. Η υψηλότερη στάθμη, nF, είναι η eF, η ενέργεια Fermi.

Κβαντική θεωρία ελεύθερου ηλεκτρονίου The Quantized Free Electron Theory Μοντέλο Jellium : Το ηλεκτρόνιο “βλέπει” ένα διάχυτο ομογενές ενεργό δυναμικό   Ενέργεια E Πυρήνας + εντοπισμένα εσωτερικά ηλεκτρόνια + + + + + + + + Χωρική συντεταγμένη x

Ηλεκτρόνιο σε ένα κουτί Σε τρείς διαστάσεις Σε μία διάσταση: where όπου και

+  + x L Περιοδικές οριακές συνθήκες Σταθερές οριακές συνθήκες: “παραβολή ελεύθερου e-” and Αριθμός καταστάσεων στο kx

1. μέθοδος Όμοια με τη τεχνική για τη πυκνότητα καταστάσεων φωνονίων όπου Πυκνότητα καταστάσεων /όγκο

ky 1/ όγκου μιας κατάστασης στον χώρο k Όγκος ( ) kz kx

2 Ανεξάρτητα των θ και φ Αέριο ελεύθερων e- : k2 dk Κάθε k-κατάσταση μπορεί να καταληφθεί από 2 ( spin up/down)

2. μέθοδος Υπολογισμό του όγκου στο χώρο k που περικλείεται από τις σφαίρες ky kx # καταστάσεων σε k και k+dk : 2 spin καταστάσεις με 2

E D(E) D(E)dE =# καταστάσεων σε dE / όγκο E’ E’+dE

Συνάρτηση κατανομής Fermi Dirac σε T>0 χημικό δυναμικό Ενέργεια Fermi

Κατανομή Fermi-Dirac eF n Η EF είναι η ενέργεια όπου η πιθανότητα να βρούμε ένα ηλεκτρόνιο είναι ½ Προέρχεται από τη κατανονομή Fermi-Dirac : Είναι η πιθανότητα ώστε ένα τροχιακό σε μία δεδομένη ενέργεια θα είναι κατειλημμένο από ηλεκτρόνια σε μια δεδομένη Τ. At T=0, m=eF and e = eF, so f(eF)=1/2

Κατανομή Fermi-Dirac και η στάθμη Fermi Η πυκνότητα καταστάσεων μας λέει πόσες καταστάσεις υπάρχουν σε μία δεδομένη ενέργεια Ε. Η συνάρτηση Fermi f(E) καθορίζει πόσες από τις υπάρχουσες καταστάσεις στην ενέργεια E θα καταληφθούν από ηλεκτρόνια. Καθορίζει λοιπόν σε συνθήκες ισορροπίας τη πιθανότητα με την οποία μια διαθέσιμη κατάσταση ενέργειας E θα καταλειφθεί από ένα ηλεκτρόνιο. Αυτή είναι η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας. EF = ενέργεια Fermi k = σταθερά Boltzmann = 1.38 1023 J/K = 8.6  105 eV/K T = θερμοκρασία σε K

κατανομή Fermi-Dirac: για T  0 K Όταν E > EF : Όταν E < EF : E EF 0 1 f(E)

Κατανομή Fermi-Dirac : για T > 0 K αν E = EF τότε f(EF) = ½ αν τότε άρα : δηλ. οι περισσότερες καταστάσεις για ενέργειες 3kT πάνω από την EF είναι μη κατειλημμένες. If then οπότε: Άρα 1f(E) = πιθανότητα ώστε μια κατάσταση να είναι άδεια τείνει στο μηδέν. Επομένως οι περισσότερες καταστάσεις θα είναι γεμάτες. kT (300 K) = 0.025eV, Eg(Si) = 1.1eV, άρα 3kT είναι πολύ μικρό

Κατανομή Fermi-Dirac : για T > 0 K αν E = EF τότε f(EF) = ½ αν τότε άρα : δηλ. οι περισσότερες καταστάσεις για ενέργειες 3kT πάνω από την EF είναι μη κατειλημμένες. If then οπότε: Άρα 1f(E) = πιθανότητα ώστε μια κατάσταση να είναι άδεια τείνει στο μηδέν. Επομένως οι περισσότερες καταστάσεις θα είναι γεμάτες. kT (300 K) = 0.025eV, Eg(Si) = 1.1eV, άρα 3kT είναι πολύ μικρό

Θερμοκρασιακή εξάρτηση της κατανομής Fermi-Dirac

Σωματίδιο σε ένα 3-D κουτί e- περιορισμένο σε 3-D κουτί Όμοια με τη μοναδιαία κυψελίδα το e- περιορίζεται μέσα για έξω από το κουτί Schrödinger Τρεις ανεξάρτητους κβαντικούς αριθμούς nx, ny, και nz (1,2,1είναι ενεργειακά εκφυλισμένοι με τους (2,1,1) and (1,1,2)

Είναι διαφορετική κατάσταση γιατί Επαναλαμβάνοντας μέχρι το άπειρο αυτό το κουτί σε κάθε διεύθυνση (επαναλαμβανόμενη μοναδιαία κυψελίδα Είναι διαφορετική κατάσταση γιατί U(x,y,z)=0 Δεν υπάρχει περιοχή όπου U = άπειρο Άρα δεν χρειαζόμαστε πια Συνεπώς δεν είναι αναγκαία αυτή η οριακή συνθήκη

Περιοδική οριακή συνθήκη Αρκεί η y να είναι περιοδική ως προς L ώστε κάθε 3-D να είναι όμοιο Περιοδική συνθήκη Οι κυματοσυναρτήσεις που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη και είναι λύσεις της Schrödinger είναι μεταφερόμενα κύματα και όχι στάσιμα)

Συνάρτηση Bloch Κυματοδιάνυσμα k που ικανοποιεί ομοίως για ky και kz Οι κβαντικοί αριθμοί είναι συνιστώσες του k της μορφής 2np/L όπου n=+ ή - ακέραιοι Η περιοδικότητα ικανοποιείται

Αντικατάσταση της Ο τελεστής της ορμής Οπότε το επίπεδο κύμα ψ(r) είναι μία ιδιοσυνάρτηση της γραμμικής ορμής με ιδιοτιμη hk και η ταχύτητα του σωματίου στο κ είναι

Στάθμη Fermi σε 3-D Όμοια υπολογίζουμε τη σταθμη Fermi kx Όμοια υπολογίζουμε τη σταθμη Fermi Στάθμη Fermi kF kz Διάνυσμα σε 3-D Μέσα στη σφαίρα k<kF, τα τροχιακά είναι γεμάτα. k>kF, άδεια τροχιακά Η κβάντωση των k iσε κάθε κατεύθυνση δίνει διακριτές καταστάσεις μέσα στη σφαίρα. Ικανοποιεί τη ΠΟΣ για ± 2p/L κατά μήκος μιας κατεύθυνσης Υπάρχει 1 επιτρεπόμενο k, με διακριτά kx, ky, kz όγκο (2p/L)3 στο χώρο των k Άρα η σφαίρα έχει όγκο στο κ-χώρο ky σημείωση: είναι σφαίρα μόνο αν kx=ky=kz. Αλλιώς ελλειψοειδές και δύσκολο…

Αριθμός κβαντικών καταστάσεων Συνολικός όγκος / όγκος μίας επιτρεπτής κβαντισμένης κατάστασης υπάρχουν 2 e- ανά κβαντική στάθμη Εξαρτάται από συγκέντρωση e-

Πυκνότητα καταστάσεων Βάζοντας kF σε Σχέση της ενέργειας Fermi με συγκέντρωση ηλεκτρονίων Ολικός αριθμός e- N: Πυκνότητα καταστάσεων είναι ο αριθμός των τροχιακών ανά μονάδα ενέργειας

Διαιρώντας με V, N/V =πυκνότητα ηλεκτρονίων (#/cm3) Αρχική ενέργεια Ενεργός μάζα e- ΖΑ ΖΣ Ενεργός μάζα h+ Αρχική ενέργεια ΖΣ και προς τα κάτω

Συγκέντρωση ηλεκτρονίων “EF” Πυκνότητα καταστάσεων στη ΖΑ Βάζοντας πρόσημο μείον σημαίνει ότι όσο η διαφορά E μεταξύ EC και EF μεγαλώνει, η πιθανότητα μικραίνει

Συγκέντρωση οπών Ενεργός πυκνότητα καταστάσεων στη ΖΣ

Ενδογενής συγκέντρωση φορέων Εντροπικός όρος Όρος ενθαλπίας ni = ενδογενής συγκέντρωση φορέων, σταθερά για δεδομένη Τ

Για κάθε T, n = p διατήρηση ni Ge: 2.4 x 1013 cm-3 Si: 1.05 x 1010 cm-3 GaAs: 2 X 106 cm-3 At 300 K Για κάθε T, n = p διατήρηση Παρουσία πεδίου np = σταθερό, αλλά n δεν ισούται με p Αν n αυξάνει το p μειώνεται και αντίστροφα n = p = ni

Ενδογενής στάθμη Fermi

Η ενδογενής στάθμη Fermi σε σχέση με τη ζώνη σθένους είναι περίπου στο μισό του χάσματος ± (kT/2)ln(NV/NC)

προσμίξεις n-τύπυ ECB Ei EVB Εξάρτηση από EG, T ED Εξάρτηση από eD, T, και πυκνότητα πρόσμιξης Σε T=0, όλες οι καταστάσεις το δότη είναι γεμάτες . Άρα n = 0. Για ενδιάμεσες Τ Για υψηλές Τ όπου