ΣχεδΙαση ΨηφιακΩν ΣυστημΑτων Συστηματα αριθμησησ Δυαδικοι αριθμοι ΣχεδΙαση ΨηφιακΩν ΣυστημΑτων Συστηματα αριθμησησ Δυαδικοι αριθμοι 2017, Δρ. Ηρακλής Σπηλιώτης

Τι είναι Ψηφιακό Σύστημα Η αναλογική πληροφορία αποτελείται από συνεχείς τιμές που μεταβάλλονται στο συνεχή χρόνο. Η ψηφιακή πληροφορία αποτελείται από διακριτές τιμές, συνήθως σε διακριτές στιγμές στο χρόνο.

Ψηφιακά Συστήματα. Γιατί ; Μερικοί λόγοι: Ανοχή (αναισθησία) σε θόρυβο Ψηφιακή αναπαράσταση, τα σήματα παριστάνονται με αριθμητικές τιμές Η επεξεργασία μπορεί να γίνει με μια γενικού σκοπού συσκευή, π.χ. έναν υπολογιστή Μεγαλύτερη ακρίβεια Επεξεργασία από σύνθετα ψηφιακά συστήματα, τα οποία μικρά, γρήγορα και φθηνά Επίδραση του θορύβου

Ψηφιακό Σήμα Μονάδες ποσότητας πληροφορίας Από το προηγούμενο σχήμα. Αν High = 1, Low = 0 μπορούμε να περιγράψουμε το σήμα μας με ένα δυαδικό ψηφίο. Μονάδες ποσότητας πληροφορίας 1 bit = 1 Δυαδικό ψηφίο, Binary digit 1 Byte = 8 bits και τα πολλαπλάσια τους Kilo = 210 =1024 Mega = 220 Giga = 230 Tera = 240

Συστήματα αρίθμησης Ένα σύστημα ονομάζεται r-δικό, αν κάθε ψηφίο του παίρνει τιμές στο διάστημα [0, r-1]. Ο αριθμός r ονομάζεται βάση ή ρίζα (radix) του συστήματος αυτού. Στο γνωστό μας δεκαδικό σύστημα r=10 και κάθε ψηφίο παίρνει τιμή από 0 έως και 9. Αντίστοιχα στο οκταδικό σύστημα r=8 και κάθε ψηφίο παίρνει τιμή από 0 ως 7.

Συστήματα αρίθμησης Για συστήματα με r>10 χρησιμοποιούνται τα γράμματα της αλφαβήτου για να υποδηλώσουν καταστάσεις των ψηφίων μεγαλύτερες του 10. Για παράδειγμα όταν r=16, κάθε ψηφίο μπορεί να πάρει τιμή από 0 έως και 15 και χρησιμοποιούνται τα γράμματα Α, Β, C, D, E και F για να υποδηλώσουν τις τιμές 10, 11, 12, 13, 14 και 15 αντίστοιχα, που μπορεί να πάρει κάθε ψηφίο.

Πράξεις σε άλλα συστήματα αρίθμησης Πράξεις σε άλλα συστήματα αρίθμησης Οι αριθμητικές πράξεις σε αριθμούς με βάση r, ακολουθούν ίδιους κανόνες όπως στο δεκαδικό σύστημα.

Συστήματα αρίθμησης Ένα αριθμητικό σύστημα είναι μια υποκατηγορία των κωδίκων με βάρη. Κώδικας με βάρη είναι ένας κώδικας, όπου κάθε ψηφίο έχει μια βαρύτητα, η οποία καθορίζεται από τη θέση που βρίσκεται. Ας θεωρήσουμε την πληροφορία an-1an-2 … a1a0 , όπου τα αi είναι ψηφία του r-δικού συστήματος αρίθμησης και η πληροφορία είναι κωδικοποιημένη με βάση τα βάρη wn-1wn-2 … w1w0 . Αυτό σημαίνει πως η θέση του ψηφίου αi έχει το βαρος wi και για να βρούμε ποιά ποσότητα αντιπροσωπεύει η κωδικοποιημένη πληροφορία αρκεί να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πολυωνύμου : Σε ένα σύστημα αρίθμησης τα βάρη είναι η ύψωση της βάσης r στη δυναμη i, ri .

Μετατροπή βάσης αριθμού Η εύρεση της ποσότητας που αντιπροσωπεύει ένας αριθμός, σημαίνει συνήθως τη μετατροπή του στο δεκαδικό σύστημα το οποίο αντιλαμβανόμαστε πολύ εύκολα. Ένας αριθμός σε βάση r, με n ακεραια και m κλασματικα ψηφια, an-1an-2 … a1a0 ,a-1 a-2 … a-m, μετατρέπεται σε δεκαδικό όταν βρούμε το άθροισμα των γινομένων των συντελεστών ai με τις δυνάμεις του r.

Μετατροπή βάσης αριθμού Ο δεκαδικός αριθμός 82710 , έχει 8 εκατοντάδες, 2 δεκάδες και 7 μονάδες, δηλαδή Με την ίδια ακριβώς λογική η ποσότητα 10001102 είναι: Ο δυαδικός αριθμός : 11010,112 αντιπροσωπεύει την ποσότητα 26,7510 , η οποία βρίσκεται με τον ακόλουθο τρόπο:

Μετατροπή βάσης αριθμού Οι παρακάτω αριθμοί σε διάφορα συστήματα αρίθμησης, μετατρέπονται στο δεκαδικό :

Μετατροπή βάσης αριθμού Η μετατροπή από το δεκαδικό σε όποιο άλλο σύστημα αρίθμησης, είναι πιο εύκολη αν χωρίσουμε τον αριθμό στο ακέραιο και δεκαδικό μέρος και τα μετατρέψουμε χωριστά στο νέο σύστημα αρίθμησης. Στο τέλος τα ενώνουμε και πάλι με την υποδιαστολή.

Μετατροπή βάσης αριθμού Μετατροπή του 4110 σε δυαδικό Απάντηση ή πιο εύκολα

Μετατροπή βάσης αριθμού Μετατροπή του 15310 σε οκταδικό. Διαιρούμε με r = 8.

Μετατροπή βάσης αριθμού Μετατροπή κλασματικού μέρους: Πολλαπλασιασμός επί τη βάση r, δίνει έναν ακέραιο και ένα νέο κλασματικό μέρος. Επανάληψη του πολλαπλασιασμού του κλασματικού μέρους , έως ότου ο αριθμός των ψηφίων γίνει 0 ή μέχρις ότου προκύψει ικανοποιητική ακρίβεια. Οι συντελεστές του αριθμού σε βάση r, βρίσκονται από τα ψηφία του ακέραιου μέρους. Μετατροπή του 0,687510 σε δυαδικό:

Μετατροπή βάσης αριθμού Μετατροπή του 0,51310 σε οκταδικό. Τα ψηφία του οκταδικού αριθμού βρίσκονται από το ακέραιο μέρος των γινομένων.

Μετατροπή βάσης αριθμού Η μετατροπή δεκαδικών αριθμών με ακέραιο και κλασματικό μέρος γίνεται μετατρέποντας χωριστά αυτά τα μέρη και συνδυάζονται τα στη συνέχεια πριν και μετά την υποδιαστολή. Από τα προηγούμενα παραδείγματα προκύπτει:

Οκταδικοί και δεκαεξαδικοί αριθμοί Ο ψηφιακός υπολογιστής χρησιμοποιεί αποκλειστικά το δυαδικό σύστημα. Ένας αριθμός στο δυαδικό σύστημα έχει περίπου 3-πλάσιο πλήθος ψηφίων από το δεκαδικό. Για το λόγο αυτό είναι δύσκολη η χρήση του από άνθρωπο. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οκταδική ή δεκαεξαδική μορφή για την αναπαράσταση των δυαδικών. Η μετατροπή από δυαδικό σε αυτές τις βάσεις και αντίστροφα, είναι εύκολη και μπορεί να γίνει απευθείας (με το μάτι). Επειδή 23 = 8 και 24 = 16, κάθε οκταδικό ψηψίο απαιτεί τρία δυαδικά ψηφία και κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο απαιτεί 4 δυαδικά ψηφία.

Μετατροπή δυαδικού σε οκταδικό και δεκαεξαδικό Χωρίζουμε τον δυαδικό αριθμό σε τριάδες ξεκινώντας από την υποδιαστολή και αντιστοιχίζουμε κάθε τριάδα στον ίσο της οκταδικό αριθμό. Με παρόμοιο τρόπο γίνεται και η μετατροπή σε δεκαεξαδικό. Χωρίζουμε σε τετράδες:

Μετατροπή οκταδικού και δεκαεξαδικού σε δυαδικό Κάθε οκταδικό ψηφίο μετατρέπεται σε μια ομάδα τριών δυαδικών ψηφίων Κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο μετατρέπεται σε μια ομάδα τριών δυαδικών ψηφίων

Αριθμοί σε διαφορετικές βάσεις

Αναπαράσταση αριθμών - Υπερχείλιση Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε αριθμούς χωρίς να μας απασχολεί το πλήθος των ψηφίων που έχουμε διαθέσιμα. Σε ένα υπολογιστικό σύστημα θα πρέπει πάντοτε να λαμβάνουμε υπόψη μας το πλήθος των διαθέσιμων ψηφίων , διότι το πλήθος τους είναι πεπερασμένο. Ας υποθέσουμε ότι η διαθέσιμη αναπαράσταση των αριθμών περιορίζεται στα 2 ψηφία . Τότε: 65 + (40 – 20) = 85 (65 + 40) – 20 = -15 Η δεύτερη πράξη δίνει λανθασμένο αποτέλεσμα, γιατί το αποτέλεσμα της παρένθεσης δε μπορεί να αναπαρασταθεί σωστά με 2 ψηφία. Η κατάσταση αυτή ονομάζεται υπερχείλιση και πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά το σχεδιασμό ψηφιακών συστημάτων.

Συμπληρώματα Στους υπολογιστές χρησιμοποιούνται τα συμπληρώματα, για απλοποίηση στην αναπαράσταση προσημασμένων αριθμών και στην υλοποίηση της αφαίρεσης. Υπάρχει το συμπλήρωμα ως προς τη βάση r ως προς την ελαττωμένη βάση (r-1) Δηλαδή στο δεκαδικό σύστημα (r=10) , υπάρχει συμπλήρωμα ως προς 10 και συμπλήρωμα ως προς 9. Στο δυαδικό σύστημα (r=2), υπάρχει συμπλήρωμα ως προς 2 και συμπλήρωμα ως προς 1.

Συμπλήρωμα ως προς r-1 Έστω αριθμός Ν, σε βάση r, μη πλήθος ψηφίων n. Το συμπλήρωμα του Ν ως προς (r-1) είναι : (rn – 1) – N Για δεκαδικό αριθμό το συμπλήρωμα ως προς 9 είναι: (10n – 1) – N. To 10n είναι 1 και Ν μηδενικά. Το (10n – 1) είναι αριθμός που παριστάνεται από n 9. Άρα το συμπλήρωμα ως προς 9 δεκαδικού προκύπτει με αφαίρεση κάθε ψηφίου του από το 9. Συμπλήρωμα ως προς 9 του 546700 είναι 999999 - 546700 = 453299 Συμπλήρωμα ως προς 9 του 012398 είναι 999999 - 012398 = 987601 Για δυαδικούς το συμπλήρωμα ως προς 1 είναι: (2n – 1) – N. Το 2n παριστάνεται με 1 ακολουθούμενο από n μηδενικά. Το (2n – 1) είναι αριθμός που παριστάνεται από n άσους. Άρα το συμπλήρωμα ως προς 1 ενός δυαδικού, προκύπτει με αφαίρεση κάθε ψηφίου του από το 1, δηλαδή με αντιστροφή των ψηφίων του. Συμπλήρωμα ως προς 1 του 1011000 είναι 0100111 Συμπλήρωμα ως προς 1 του 0101101 είναι 1010010

Συμπλήρωμα ως προς r Έστω αριθμός Ν, σε βάση r, μη πλήθος ψηφίων n. Το συμπλήρωμα του Ν ως προς r είναι : rn – N για Ν≠0 και 0 για Ν=0. Σε σχέση με το συμπλήρωμα ως προς (r-1), παρατηρούμε πως το συμπλήρωμα ως προς r προκύπτει αν προσθέσουμε 1 στο συμπλήρωμα ως προς (r-1). Το συμπλήρωμα ως προς 10 του 546700 είναι 453300 (γιατί συμπλ. ως προς 9 = 453299) Το συμπλήρωμα ως προς 10 του 012398 είναι 987602 (γιατί συμπλ. ως προς 9 = 987601) Παρατηρούμε πως το 10n αποτελείται από 1 ακολουθούμενο από n 0. Άρα το (10n –N), μπορεί να προκύψει αφήνοντας αμετάβλητα τα λιγότερο σημαντικά ψηφία που είναι 0, αφαιρώντας το πρώτο μη μηδενικό λιγότερο σημαντικό ψηφίο από το 10 και αφαιρώντας όλα τα υπόλοιπα ψηφία από το 9. Για δυαδικούς αριθμούς, το συμπλήρωμα ως προς 2 σχηματίζεται αφήνοντας όλα τα λιγότερο σημαντικά 0 και το πρώτο 1 αμετάβλητα, και αντιστρέψουμε τα υπόλοιπα ψηφία. Συμπλήρωμα ως προς 2 του 1101100 είναι 0010100 Συμπλήρωμα ως προς 2 του 0110111 είναι 1001001

Συμπληρώματα Αν οι αριθμοί περιέχουν υποδιαστολές, τότε για να βρούμε το συμπλήρωμα τους ως προς r ή προς (r-1), θα πρέπει να αφαιρεθεί προσωρινά η υποδιαστολή και να σχηματισθεί το συμπλήρωμα. Η υποδιαστολή μπαίνει στο συμπλήρωμα που σχηματίσθηκε στην ίδια σχετική θέση. Το συμπλήρωμα του συμπληρώματος δίνει τον αρχικό αριθμό. Το συμπλήρωμα ως προς r του Ν είναι: rn – N. Το συμπλήρωμα του συμπληρώματος είναι: rn -(rn – N) = Ν.

Αφαίρεση με συμπλήρωμα Η αφαίρεση δύο θετικών αριθμών M-N, σε βάση r και με πλήθος ψηφίων n. Ο αριθμός Μ παραμένει στην αναπαράσταση απόλυτης τιμής. Ο αριθμός Ν αναπαριστάται σε συμπλήρωμα ως προς τη βάση. Προσθέτουμε τον M στο συμπλήρωμα ως προς r του Ν. Μ + (rn – Ν) = Μ – Ν + rn Αν Μ≥Ν, το άθροισμα έχει τελικό κρατούμενο rn, το οποίο αγνοείται. Ότι μένει είναι η διαφορά Μ-Ν. Αν Μ<Ν, το άθροισμα δεν έχει τελικό κρατούμενο, οπότε αυτό ισούται με rn – (Ν - Μ), που είναι το συμπλήρωμα ως προς r του N – M. Για να πάρουμε τη διαφορά σε γνώριμη μορφή, συμπληρώνουμε ως προς r το άθροισμα και βάζουμε ένα μείον μπροστά.

Αφαίρεση με συμπλήρωμα Χρησιμοποιώντας συμπλήρωμα ως προς 10, αφαιρέστε 72532 – 3250. Η ύπαρξη τελικού κρατούμενου, φανερώνει ότι Μ≥Ν και το αποτέλεσμα είναι θετικό.

Αφαίρεση με συμπλήρωμα Με χρήση συμπληρώματος ως προς 10 αφαιρέστε 3250 - 72532. Δεν υπάρχει τελικό κρατούμενο. Άρα, ηαπάντηση είναι - (συμπλήρωμα ως προς 10 του 30718) = - 69282 Επειδή Μ<Ν, το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό. Το αρνητικό αποτέλεσμα αναγνωρίζεται από την απουσία τελικού κρατούμενου και το συμπληρωμένο αποτέλεσμα.

Αφαίρεση με συμπλήρωμα Δίνονται οι αριθμοί X=1010100 και Υ=1000011, να εκτελεστούν α) X-Y, β) Υ-Χ με συμπληρώματα ως προς 2. Στο β) δεν υπάρχει τελικό κρατούμενο. Η απάντηση είναι Υ-Χ=-(συμπλήρωμα ως προς 2 του 1101111) = -0010001

Αφαίρεση με συμπλήρωμα Η αφαίρεση αριθμών χωρίς πρόσημο μπορεί να γίνει και με συμπλήρωμα ως προς 1. Θυμηθείτε: Το συμπλήρωμα ως προς (r-1) είναι μικρότερο κατά 1 από το συμπλήρωμα ως προς r . Άρα η άθροιση του μειωτέου στο συμπλήρωμα του αφαιρετέου παράγει το σωστό αποτέλεσμα μείον 1. Προσθέτοντας 1 παίρνουμε το σωστό αποτέλεσμα. Η διαδικασία αυτή λέγεται κυκλική επαναφορά κρατουμένου πρόσθεσης. Να επαναληφθεί το προηγούμενο παράδειγμα με συμπλήρωμα ως προς 1. Στο β) δεν υπάρχει κρατούμενο, άρα Υ-Χ=(Συμπλήρωμα ως προς 1 του 1101110) = -0010001

Αναπαράσταση προσημασμένων αριθμών Αναπαράσταση προσημασμένων αριθμών Στο δεκαδικό σύστημα ο συνηθισμένος τρόπος με τον οποίο γράφουμε προσημασμένους αριθμούς , είναι να βάζουμε το πρόσημο και στη συνέχεια να ακολουθεί η απόλυτη τιμή του αριθμού. -5, +6 … Στο δυαδικό σύστημα το ανάλογο είναι να χρησιμοποιήσουμε το bit που βρίσκεται αριστερά ως ψηφίο προσήμου. Η αναπαράσταση αυτή καλείται αναπαράσταση προσημασμένου μεγέθους (signed magnitude). 100010002 = -810 , 000010002 = 810 Οι θετικοί αριθμοί παριστάνονται πάντοτε με την αναπαράσταση προσημασμένου μεγέθους.

Αναπαράσταση προσημασμένων αριθμών Αναπαράσταση προσημασμένων αριθμών Οι αρνητικοί αριθμοί αναπαριστώνται με το σύστημα του προσημασμένου συμπληρώματος. Επειδή οι θετικοί αριθμοί ξεκινούν με 0, τα συμπληρώματα τους θα ξεκινούν με 1 δείχνοντας πως είναι αρνητικοί. Θεωρήστε το -910 το οποίο γράφουμε στο δυαδικό σύστημα με 8 bit. Προσημασμένο μέγεθος 10001001 Προσημασμένο συμπλήρωμα 1’s 11110110 Προσημασμένο συμπλήρωμα 2’s 11110111 Στις αριθμητικές πράξεις χρησιμοποιείται η μορφή προσημασμένου συμπληρώματος ως προς 2.

Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί των 4 bit Οι θετικοί αριθμοί έχουν την ίδια αναπαράσταση. Το μηδέν έχει διπλή αναπαράσταση στο 1’s συμπλήρωμα και στο προσημασμένο μέγεθος: +0 και -0

Αναπαράσταση προσημασμένων αριθμών – Αριθμητική πρόσθεση Αναπαράσταση προσημασμένων αριθμών – Αριθμητική πρόσθεση Για την πρόσθεση αριθμών, που αν είναι θετικοί αναπαριστώνται με προσημασμένο μέγεθος, ενώ αν είναι αρνητικοί αναπαριστώνται με προσημασμένο συμπλήρωμα ως προς 2, προσθέτουμε τους αριθμούς συμπεριλαμβανομένων των bit προσήμου. Τυχόν κρατούμενο που παράγεται στη θέση του bit προσήμου αγνοείται.

Αναπαράσταση προσημασμένων αριθμών – Αριθμητική αφαίρεση Αναπαράσταση προσημασμένων αριθμών – Αριθμητική αφαίρεση Για την αφαίρεση δύο αριθμών όπως είδαμε, παίρνουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 του 2ου αριθμού και το προσθέτουμε στο πρώτο αριθμό. Η πράξη της αφαίρεσης γίνεται πράξη πρόσθεσης αν αλλάξουμε το πρόσημο του αφαιρετέου. Κατά συνέπεια η πρόσθεση και η αφαίρεση εκτελούνται από το ίδιο βασικό κύκλωμα. Είναι ευθύνη του σχεδιαστή του συστήματος, η σωστή ερμηνεία του αποτελέσματος, ανάλογα με το αν χρησιμοποιεί προσημασμένους ή μη προσημασμένους αριθμούς.

Δυαδικοί κώδικες Ένας δυαδικός κώδικας των n bit είναι μια ομάδα από n bit, η οποία μπορεί να έχει έναν από τους 2n διακριτούς συνδυασμούς των 0 και 1. Ο κάθε συνδυασμός αναπαριστά ένα στοιχείο του συνόλου πληροφορίας που κωδικοποιείται. Αν και ο ελάχιστος αριθμός bit που απαιτείται για την κωδικοποίηση 2n διακριτών ποσοστήτων είναι n, δεν υπάρχει μέγιστος αριθμός bit που μπορούν να κωδικοποιηθούν για ένα τυχαίο κώδικα. Για παράδειγμα για την κωδικοποίηση 8 καταστάσεων, μπορούν να χρησιμοποιηθούν 3 bit, μπορούν όμως και να χρησιμοποιηθούν 8 bit.

Κώδικας BCD Σημαίνει Binary Code Decimal και είναι ένας τρόπος δυαδικής αναπαράστασης δεκαδικών ψηφίων. Ένας αριθμός με k δεκαδικά ψηφία, απαιτεί 4k bit για την αναπαράσταση σε BCD. Οι δυαδικοί συνδυασμοί 1010 έως 1111 δε χρησιμοποιούνται και δεν έχουν νόημα στον κώδικα BCD. (185)10 = (0001 1000 0101)BCD = (10111001)2

Πρόσθεση στον κώδικα BCD Αν το δυαδικό άθροισμα είναι μικρότερο ή ίσο από 910 = 10012 , τότε το αποτέλεσμα είναι σωστό. Αν το δυαδικό άθροισμα είναι μεγαλύτερο από 910 = 10012 , τότε το αποτέλεσμα δεν αναπαριστά ψηφίο BCD και χρειάζεται διόρθωση. Η διόρθωση γίνεται προσθέτοντας το 610 = 01102 στο δυαδικό άθροισμα, ώστε το δυαδικό άθροισμα να μετατραπεί στο σωστό BCD ψηφίο και να παραχθεί και ένα BCD κρατούμενο.

Πρόσθεση στον κώδικα BCD Η πρόσθεση μη προσημασμένων αριθμών BCD των n δεκαδικών ψηφίων, εκτελείται με τον ίδιο τρόπο. Θεωρήστε την πρόσθεση 184 + 576 = 760 σε BCD. Το ζευγάρι των μονάδων παράγει το 0000BCD και ένα κρατούμενο. Το ζεύγος των δεκάδων μαζί με το κρατούμενο από τις μονάδες, παράγει το 0110BCD και ένα κρατούμενο. Το ζεύγος των εκατοντάδων παράγει το 0111BCD για το οποίο δεν απαιτείται διόρθωση.

Άλλοι δεκαδικοί κώδικες Όλοι οι δεκαδικοί κώδικες αναπαριστούν ένα δεκαδικό ψηφίο σε κάποια δυαδική μορφή. Οι κώδικες BCD και 2421 είναι κώδικες με βάρη. Οι κώδικες 2421 και Excess-3 (συν-3) είναι αυτοσυμπληρωματικοί. Συμπληρώνοντας τα bit της δυαδικής αναπαράστασης προκύπτει και το συμπλήρωμα ως προς 9 του δεκαδικού ψηφίου. Ο κώδικας Excess-3 (συν-3) δεν έχει συντελεστές βάρους και κάθε δεκαδικό ψηφίο προκύπτει από την αντίστοιχη δυαδική τιμή συν 3. Ο κώδικας 8,4,-2,-1 έχει θετικά και αρνητικά βάρη.

Κώδικας Gray Μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών υπάρχει μόνο ένα bit που έχει αλλάξει τιμή. Χρησιμοποιείται όταν κατά την παραγωγή ή τη μετάδοση μιας ακολουθίας δυαδικών αριθμών, μεταδίδονται γειτονικοί αριθμοί και θέλουμε να μειώσουμε την πιθανότητα σφάλματος ή την ασάφεια. Ανήκει σε μια οικογένεια κωδίκων που ονομάζονται κυκλικοί.

Κώδικας ASCII Αντιστοιχίζει χαρακτήρες της αλφαβήτου σε δυαδικές τιμές. Ο κώδικας των 7 bit του σχήματος κωδικοποιεί χαρακτήρες ελέγχου και το λατινικό αλφάβητο. Με 8 bit οι θέσεις 128-255 περιείχαν διαφορετικά σύνολα χαρακτήρων (π.χ. ελληνικό αλφαβητο). Όλα τα σημερινά λειτουργικά συστήματα χρησιμοποιούν το πρότυπο Unicode, όπου με 2 bytes έχει στόχο την κωδικοποίηση όλων των συστημάτων γραφής του πλανήτη.

Κώδικας ισοτιμίας για ανίχνευση σφάλματος Χρησιμοποιείται για την ανίχνευση σφαλμάτων. Ο αποστολέας προσθέτει ένα bit ισοτιμίας, ώστε ο συνολικός αριθμός των άσων να είναι είτε άρτιος (άρτια ισοτιμία) είτε περιττός (περιττή ισοτιμία) και στη συνέχεια αποστέλλει τη λέξη. Ο παραλήπτης μετρά τους άσους και ανάλογα με το πλήθος τους (άρτιο ή περιττό) αποδέχεται τη λέξη ή ζητά την επαναποστολή της. Προφανώς ο κώδικας ισοτιμίας μπορεί να ανιχνεύσει μόνο περιττό πλήθος σφαλμάτων. Άλλοι κώδικες ανίχνευσης ή και διόρθωσης σφαλμάτων είναι ο κώδικας Hamming, ο κώδικας CRC (Κώδικας κυκλικού πλεονασμού, Cyclic Redundancy Code).

Δυαδική αποθήκευση - Καταχωρητές Ένα δυαδικό κύτταρο είναι μια διάταξη που μπορεί να πάρει δύο σταθερές καταστάσεις, άρα μπορεί να αποθηκεύσει 1 bit πληροφορίας. Η κατάσταση που βρίσκεται δίνεται από την έξοδο του που μπορεί να είναι μία από δύο δυνατές τιμές μιας φυσικές ποσότητας. Συμβολίζουμε τη μία κατάσταση με 0 και την άλλη με 1. Καταχωρητής (register) είναι μια ομάδα από δυαδικά κύτταρα, ένας καταχωρητής με n κύτταρα μπορεί να αποθηκεύσει n bit. Ενας καταχωρητής των 8 bit με το περιεχόμενο: 101001112 μπορεί να παριστάνει τον αριθμό 16710 , είτε το χαρακτήρα Δ στον εκτεταμένο κώδικα ASCCI με Ελληνικούς χαρακτήρες, είτε να είναι τμήμα κάποιας άλλης πληροφορίας.

Μεταφορά περιεχομένου καταχωρητή (register transfer) Ένα ψηφιακό σύστημα περιέχει καταχωρητές και στοιχεία επεξεργασίας. Η μεταφορά της πληροφορίας γίνεται μεταξύ καταχωρητών είτε άμεσα είτε μέσω στοιχείων επεξεργασίας. Στο σχήμα παρουσιάζεται η μεταφορά πληροφορίας από μια μονάδα εισόδου (π.χ. πληκτρολόγιο) σε ένα καταχωρητή εισόδου, στη συνέχεια στον επεξεργαστή και στη συνέχεια σε έναν καταχωρητή της μνήμης.

Μεταφορά περιεχομένου καταχωρητή (register transfer) Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η διαδικασία πρόσθεσης δύο δυαδικών αριθμών. Οι δύο τελεσταίοι φορτώνονται από τη μνήμη στους καταχωρητές R1, R2 του επεξεργαστή, στη συνέχεια εισάγονται στο λογικό κύκλωμα για τη πρόσθεση, στη συνέχεια το άθροισμα μεταφέρεται στην καταχωρητή του επεξεργαστή R3 και στη συνέχεια μεταφέρεται στη μνήμη.

Δυαδική λογική Η δυαδική λογική περιλαμβάνει δυαδικές μεταβλητές και ένα σύνολο λογικών πράξεων. Οι τιμές των δυαδικών μεταβλητών μπορεί να έχουν διάφορα ονόματα (σωστό και λάθος, άσπρο και μαύρο, 1 και 0, κ.λ.π.) και ισοδυναμεί με ποσότητα πληροφορίας 1 bit. Στο μάθημα αυτό χρησιμοποιούμε τις τιμές 1 και 0. Η δυαδική λογική ισοδυναμεί με μια άλγεβρα, που ονομάζεται Άλγεβρα Boole. Κάθε δυαδική μεταβλητή συμβολίζεται με ένα γράμμα της αλφαβήτου, π.χ. A, B, C, x, y, z.

Λογικές πράξεις Υπάρχουν τρεις βασικές λογικές πράξεις: AND (ΚΑΙ). Δηλώνεται από το σύμβολο • ή από την απουσία συμβόλου. Οι εκφράσεις x •y=z ή xy=z, διαβάζονται ‘x AND y ίσον με z’ ή ‘x ΚΑΙ y ίσον με z’. Η λογική πράξη AND δίνει z=1 ,αν και μόνο αν x=1, y=1. OR ( Ή). Δηλώνεται από το σύμβολο +. Η έκφραση x +y=z, διαβάζεται ‘x OR y ίσον με z’ ή ‘x Ή y ίσον με z’. Η λογική πράξη OR δίνει z=1 αν x=1 ή αν y=1 ή αν x=1 KAI y=1. Εάν x=0 KAI y=0 τότε z=0. ΝΟΤ (ΌΧΙ). Η πράξη δηλώνεται από ένα τόνο ( ΄ ) ή μια οριζόντια γραμμή ( ‾ ) πάνω στη μεταβλητή. Για παράδειγμα x΄= z, σημαίνει ‘ΟΧΙ x ισούται με z’, δηλαδή αν x=1 τότε z=0 και αν x=0 τότε z=1. Οι δυαδική λογική δε πρέπει να συνδέεται με την αριθμητική λογική, παρόλο που η πράξη AND έχει ομοιότητες με τον πολλαπλασιασμό και η πράξη OR έχει ομοιότητες με την πρόσθεση.

Πίνακες αληθείας λογικών πράξεων Ο πίνακας αληθείας είναι μια συμπαγής μορφή, ορισμού των λογικών πράξεων.

Λογικές πύλες Οι λογικές πύλες είναι μαθηματικές οντότητες που υλοποιούν τις λογικές πράξεις. Κάθε λογική πύλη μπορεί να υλοποιηθεί με ηλεκτρονικά κυκλώματα, στα οποία εφαρμόζονται είσοδοι που είναι οι τελεσταίοι της λογικής πράξης. Κάθε λογική πύλη δημιουργεί μία έξοδο που είναι το αποτέλεσμα της λογικής πράξης. Η είσοδος ή η έξοδος μιας λογικής πύλης όταν υλοποιείται με ηλεκτρονικά κυκλώματα, παίρνει ως τιμή την τάση ενός ηλεκτρικού σήματος σε ένα προκαθορισμένο εύρος. Έτσι για παράδειγμα μια τάση στην περιοχή 0-1V θα εκληφθεί ως λογικό 0, ενώ μια τάση στην περιοχή 2-3V θα εκληφθεί ως λογικό 1.

Λογικές πύλες Συμβολισμοί λογικών πυλών Κυματομορφές εισόδων εξόδου λογικών πυλών

Ασκήσεις

Ασκήσεις

Ασκήσεις

Ασκήσεις

Ασκήσεις