ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα 3: Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι δυσκολότερο να επιλυθεί από ό,τι το αντίστοιχο πρόβλημα που προκύπτει όταν αφαιρεθούν οι περιορισμοί ακεραιότητας. Προβλήματα μη ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού με αρκετές χιλιάδες συνεχείς μεταβλητές μπορούν να επιλυθούν σε ικανοποιητικό χρόνο από εμπορικά πακέτα βελτιστοποίησης, ενώ η λύση προβλημάτων ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού με λιγότερες από 100 μεταβλητές μπορεί σε αρκετές περιπτώσεις να δημιουργήσει πολλές δυσκολίες.

Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Μπορεί να δοθεί αρχικά η εντύπωση ότι τα προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού είναι ακόμα πιο εύκολο να λυθούν αφού το σύνολο των εφικτών λύσεων σε αυτή την περίπτωση θα είναι ακόμα πιο περιορισμένο από αυτό του αντίστοιχου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, και μάλιστα πεπερασμένο και μετρήσιμο. Έτσι, ίσως κάποιος να σκεφτεί ότι θα μπορούσε να απαριθμήσει όλες αυτές τις λύσεις και να βρει τη βέλτιστη.

Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Αυτός ο τρόπος σκέψης είναι εσφαλμένος για δύο κυρίως λόγους: Ο πρώτος είναι ότι αν και το σύνολο λύσεων είναι πεπερασμένο και μετρήσιμο, για όλα τα πρακτικά προβλήματα ο συνολικός αριθμός των λύσεων είναι αστρονομικός. Αυτό σημαίνει ότι η απαρίθμησή τους είναι κάτι το απαγορευτικό αφού αυτό θα απαιτούσε υπολογιστικό χρόνο ο οποίος είναι εντελώς ανέφικτος. Ο δεύτερος λόγος είναι ότι η αφαίρεση κάποιων λύσεων (αυτών που δεν είναι ακέραιες) από το σύνολο των εφικτών λύσεων δυσχεραίνει αντί να διευκολύνει την εύρεση της βέλτιστης λύσης. Κατά την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιούμε τη μέθοδο simplex για να βρούμε τη βέλτιστη λύση. Με την προσθήκη των περιορισμών ακεραιότητας, έχουμε μία επιπλέον «συνθήκη» που πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι πρέπει να ισχύει. Αυτή η συνθήκη δεν ικανοποιείται για τις περισσότερες από τις λύσεις που παίρνουμε με τη μέθοδο simplex και επομένως επιπρόσθετη προσπάθεια απαιτείται για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του ακέραιου προβλήματος.

Παράδειγμα 3.1 Επειδή τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού επιλύονται πολύ πιο εύκολα, κάποιος μπορεί εύκολα να μπει στον «πειρασμό» να λύσει ένα ακέραιο πρόβλημα αφού πρώτα αγνοήσει τους περιορισμούς ακεραιότητας, και μετά να στρογγυλοποιήσει τη λύση που προκύπτει, δίνοντας σε κάθε μεταβλητή την πλησιέστερη ακέραια τιμή. Γενικά αυτή θεωρείται μία κακή τεχνική που δεν αποφέρει το επιθυμητό αποτέλεσμα στις περισσότερες περιπτώσεις, όπως φαίνεται και στα δύο επόμενα παραδείγματα.

Παράδειγμα 3.1 Έστω το πρόβλημα: Max Z=x2 s.t. -x1 + x2 < 0.5

Παράδειγμα 3.1 Το σύνολο των εφικτών λύσεων του ακέραιου προβλήματος είναι το (x1,x2) = {(1,1), (2,1), (0,0), (1,0), (2,0), (3,0)}. Η βέλτιστη λύση του γραμμικού προβλήματος είναι η (x1,x2) = (1.5, 2) και η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι z* = 2. Οι μόνες λύσεις που προκύπτουν από τη στρογγυλοποίηση αυτής της λύσης είναι οι (2,2) και (1,2), οι οποίες είναι και οι δύο μη εφικτές για το αντίστοιχο ακέραιο πρόβλημα. Το ακέραιο πρόβλημα έχει δύο βέλτιστες λύσεις, την (1,1) και την (2,1) με z* = 1, οι οποίες φυσικά δεν μπορούν να προκύψουν με στρογγυλοποίηση από τη βέλτιστη λύση του γραμμικού προβλήματος.

Παράδειγμα 3.2 Έστω το πρόβλημα: Max Z=x1 + 5x2 s.t. x1 + 10x2 ≤ 20

Παράδειγμα 3.2 Το σύνολο των εφικτών λύσεων του ακέραιου προβλήματος είναι το (x1,x2) = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1)}. Η βέλτιστη λύση του γραμμικού προβλήματος είναι η (x1,x2) = (2, 9/5). Η πρώτη λύση που προκύπτει από τη στρογγυλοποίηση αυτής της λύσης είναι η (2,2), η οποία είναι μη εφικτή για το ακέραιο πρόβλημα. Η δεύτερη λύση είναι η (2,1), η οποία αν και εφικτή δίνει την τιμή 7 για την αντικειμενική συνάρτηση, η οποία είναι κατά πολύ χειρότερη από τη βέλτιστη που είναι 10 για (x1,x2) = (0, 2). Επομένως, και σε αυτή την περίπτωση η στρογγυλοποίηση της βέλτιστης λύσης του γραμμικού προβλήματος δεν οδηγεί στη βέλτιστη λύση του αντίστοιχου ακέραιου προβλήματος.

Ευρετικοί αλγόριθμοι Λόγω της μεγάλης δυσκολίας που εμφανίζουν τα προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού, είναι συνήθης η ανάπτυξη ευρετικών αλγορίθμων (heuristic algorithms) για την επίλυσή τους. Οι αλγόριθμοι αυτοί έχουν το μειονέκτημα ότι δεν βρίσκουν απαραίτητα την ολικά βέλτιστη λύση του προβλήματος αλλά μία «καλή» λύση και το πλεονέκτημα ότι απαιτούν πολύ λιγότερο υπολογιστικό χρόνο από ό,τι οι αντίστοιχοι αναλυτικοί αλγόριθμοι που βρίσκουν την ολικά βέλτιστη λύση. Σε γενικές γραμμές, η αποτελεσματικότητα ενός ευρετικού αλγόριθμου εξαρτάται από την ποιότητα των λύσεων που δίνει (από το πόσο κοντά στη βέλτιστη λύση είναι αυτές) και από το χρόνο που απαιτείται για την εκτέλεσή του.

Ολικός ακέραιος γραμμικός προγραμματισμός Η μόνη διαφορά μεταξύ των προβλημάτων ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού με αυτά του απλού γραμμικού προγραμματισμού έγκειται στο ότι μερικές από τις μεταβλητές απαιτείται να είναι ακέραιες. Αν όλες οι μεταβλητές πρέπει να είναι ακέραιες τότε μιλάμε για πρόβλημα ολικού ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού (pure integer linear program).

Ολικός ακέραιος γραμμικός προγραμματισμός Έστω ένα πρόβλημα ολικού ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού: Max Z=2x1 + 3x2 s.t. 3x1 + 3x2 ≤ 12 2 3 x1 + x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 και ακέραιοι

Ολικός ακέραιος γραμμικός προγραμματισμός Το πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού που προκύπτει από την αφαίρεση της απαίτησης ότι οι μεταβλητές πρέπει να είναι ακέραιες δηλώνεται ως "γραμμική χαλάρωση" (linear relaxation) του ακέραιου γραμμικού προβλήματος.

Μεικτό ακέραιο πρόβλημα Αν μερικές αλλά όχι όλες απαραίτητα οι μεταβλητές απόφασης σε ένα πρόβλημα πρέπει να είναι ακέραιες τότε έχουμε ένα μεικτό ακέραιο πρόβλημα (mixed integer program). Το ακόλουθο πρόβλημα είναι ένα μεικτό ακέραιο γραμμικό πρόβλημα με δύο μεταβλητές: Max Z=3x1 + 4x2 s.t. -x1 + 2x2 ≤ 8 x1 + 2x2 ≤ 12 2x1 + x2 ≤ 16 x1, x2 ≥ 0 και x2 ακέραιος

Παράδειγμα 3.3 Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού: Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού: Max Z = 5x1 + x2 s.t. –x1 + 2x2 ≤ 4 x1 – x2 ≤ 1 4x1 + x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0 ακέραιοι

Παράδειγμα 3.3 α) Βρείτε γραφικά τη βέλτιστη λύση. β) Βρείτε γραφικά τη βέλτιστη λύση του προβλήματος που προκύπτει όταν αφαιρεθούν οι περιορισμοί ακεραιότητας. Βρείτε όλες τις λύσεις που προκύπτουν από τη στρογγυλοποίηση αυτής της λύσης (δηλαδή από τη στρογγυλοποίηση κάθε μεταβλητής και προς τα πάνω και προς τα κάτω). Ελέγξτε κάθε μια από αυτές τις λύσεις για εφικτότητα και (αν είναι εφικτή) για βελτιστότητα. Είναι κάποια λύση βέλτιστη για το ακέραιο πρόβλημα?

Λύση Παράδειγμα 3.3 Λύση: α) Η βέλτιστη λύση είναι x1 = 2, x2 = 3 και Ζ = 13. β) Η βέλτιστη λύση της γραμμικής χαλάρωσης είναι x1 = 2.6, x2 = 1.6 και Ζ = 14.6 . Από τη στρογγυλοποίηση αυτής της λύσης προκύπτουν οι εξής λύσεις:

Λύση Παράδειγμα 3.3 Επομένως, η στρογγυλοποίηση της βέλτιστης λύσης της γραμμικής χαλάρωσης του προβλήματος δεν οδηγεί στην εύρεση της βέλτιστης λύσης του ακέραιου προβλήματος

Παράδειγμα 3.4 Η Εταιρεία Ασφαλείς Επενδύσεις Ακινήτων (ΑΕΑ) έχει κεφάλαιο 1.365.000$ που είναι διαθέσιμο για επενδύσεις σε νέα ακίνητα για εκμίσθωση. Μετά από μια αρχική έρευνα η εταιρεία έχει καταλήξει στις εναλλακτικές επενδύσεις. Πρόκειται για μια σειρά διαμερισμάτων και μια ομάδα πολυκατοικιών σε ένα μεγάλο συγκρότημα. Τα διαμερίσματα μπορούν να αγορασθούν σε τριάδες στην τιμή των 195.000$ ανά τριάδα αλλά υπάρχουν μόνο 4 τριάδες διαθέσιμες κατά τον παρόντα χρόνο. Κάθε πολυκατοικία περιλαμβάνει 12 οικιστικές μονάδες και πωλείται προς 273.000$. Οι ανεξάρτητες πολυκατοικίες μπορούν να αγορασθούν ξεχωριστά και ο κατασκευαστής έχει συμφωνήσει να κατασκευάσει όσες πολυκατοικίες η εταιρεία τυχόν αποφασίσει.

Παράδειγμα 3.4 Ο διαχειριστής των ακινήτων της εταιρείας μπορεί να διαθέσει 140 ώρες ανά μήνα σε αυτές τις επενδύσεις. Κάθε τριάδα διαμερισμάτων θα απαιτήσει 4 ώρες μηνιαίως από τον χρόνο του διαχειριστή, ενώ κάθε πολυκατοικία θα απαιτήσει 40 ώρες μηνιαίως. Η ετήσια απόδοση (μετά την αφαίρεση των συμβολαιογραφικών και των λειτουργικών εξόδων) εκτιμάται σε 2000$ ανά τριάδα διαμερισμάτων και 3000$ ανά κτιριακό συγκρότημα (πολυκατοικία). Η εταιρεία επιθυμεί να επενδύσει τα διαθέσιμα κεφάλαια έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει την ετήσια απόδοση.

Παράδειγμα 3.4 Βρείτε γραφικά τη βέλτιστη λύση του προβλήματος που προκύπτει όταν αφαιρεθούν οι περιορισμοί ακεραιότητας. Βρείτε όλες τις λύσεις που προκύπτουν από τη στρογγυλοποίηση αυτής της λύσης (δηλαδή από τη στρογγυλοποίηση κάθε μεταβλητής και προς τα πάνω και προς τα κάτω). Ελέγξτε κάθε μια από αυτές τις λύσεις για εφικτότητα και (αν είναι εφικτή) για βελτιστότητα. Είναι κάποια λύση βέλτιστη για το ακέραιο πρόβλημα;

Λύση Παράδειγμα 3.4 Για να δημιουργήσουμε το κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο για αυτό το πρόβλημα ορίζουμε αρχικά τις εξής μεταβλητές απόφασης. x1 = αριθμός τριάδων διαμερισμάτων που θα αγορασθούν x2 = αριθμός πολυκατοικιών που θα αγορασθούν Η αντικειμενική συνάρτηση που αναπαριστά την ετήσια απόδοση (σε χιλιάδες δολλάρια) γράφεται ως εξής: Max Z=2x1 + 3x2

Λύση Παράδειγμα 3.4 Υπάρχουν τρεις απαιτήσεις που πρέπει να ικανοποιούνται: 195x1 + 273x2 < 1365 (διαθέσιμα κεφάλαια σε χιλιάδες δολλάρια) 4x1 + 40x2 < 140 (διαθέσιμος χρόνος διαχειριστή σε ώρες) x1 < 4 (διαθέσιμες τριάδες διαμερισμάτων)

Λύση Παράδειγμα 3.4 Max Z=2x1 + 3x2 s.t. 195x1 + 273x2 < 1365 Το χαλαρό γραμμικό πρόβλημα που προκύπτει από την αφαίρεση της απαίτησης ότι οι μεταβλητές πρέπει να είναι ακέραιες (LP relaxation) είναι το εξής: Max Z=2x1 + 3x2 s.t. 195x1 + 273x2 < 1365 4x1 + 40x2 < 140 x1 < 4 x1, x2 > 0

Λύση Παράδειγμα 3.4 Η βέλτιστη λύση για το χαλαρό γραμμικό πρόβλημα είναι x1 = 2.44 και x2 = 3.26. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για τη λύση αυτή είναι 14.66 που αντιστοιχεί σε ετήσια απόδοση 14.660$. Όμως η λύση αυτή είναι μη αποδεκτή για το ακέραιο γραμμικό πρόβλημα δεδομένου ότι οι μεταβλητές απόφασης έχουν κλασματικές τιμές.

Λύση Παράδειγμα 3.4 Στρογγυλλοποιώντας τις μεταβλητές στους πλησιέστερους ακέραιους προκύπτει η λύση x1 = 2 και x2 = 3 με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 13 ή 13.000$ ετήσια απόδοση. Η στρογγυλοποιημένη λύση x1 = 2 και x2 = 3 δεν είναι βέλτιστη για το ακέραιο πρόβλημα. Όπως μπορεί να διαπιστώσει κανείς, η βέλτιστη λύση είναι η x1 = 4 και x2 = 2 με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 14 ή 14,000$ ετήσια απόδοση. Για την εταιρεία ΑΕΑ η προσέγγιση της στρογγυλοποίησης της λύσης του γραμμικού προβλήματος στον πλησιέστερο ακέραιο δεν είναι μία καλή στρατηγική, καθώς παρουσιάζει χαμηλότερη απόδοση κατά 1000$ σε ετήσια βάση.

Παράδειγμα 3.5 Μια εταιρεία μπορεί να επενδύσει τα κεφάλαιά της σε μια σειρά εταιρικών δραστηριοτήτων που έχουν ποικίλες απαιτήσεις σε κεφάλαια κατά τα επόμενα 4 χρόνια. Λόγω των περιορισμένων κεφαλαίων, η εταιρεία πρέπει να επιλέξει τις πιο επικερδείς δραστηριότητες για την επέκταση των κεφαλαιουχικών αγαθών. Το αναμενόμενο κέρδος κάθε δραστηριότητας και οι απαιτήσεις σε χρηματοδότηση παρατίθενται στον παρακάτω πίνακα:

Παράδειγμα 3.5

Λύση Παράδειγμα 3.5 Λύση Ορίζουμε τις εξής μεταβλητές απόφασης : x1 = 1 αν η επέκταση εγκαταστάσεων αποφασισθεί και 0 αν όχι x2 = 1 αν η επέκταση αποθηκών αποφασισθεί και 0 αν όχι x3 = 1 αν ο νέος μηχανολογικός εξοπλισμός αποφασισθεί και 0 αν όχι x4 = 1 αν η έρευνα για νέα προϊόντα αποφασισθεί και 0 αν όχι Στη συνέχεια, το πρόβλημα μορφοποιείται ως εξής: (οι μονάδες εκφράζουν χιλιάδες δολλάρια):

Λύση Παράδειγμα 3.5 Max 90x1 + 40x2 + 10x3 + 37x4 s.t. 15x1 + 10x2 + 10x3 + 15x4 < 40 20x1 + 15x2 + 10x4 < 50 + 40 - 15x1 - 10x2 - 10x3 - 15x4 20x1 + 20x2 + 10x4 < 50 - 35x1 - 25x2 - 10x3 - 25x4 15x1 + 5x2 + 4x3 + 10x4 < 85 - 55x1 - 45x2 - 10x3 - 35x4 x1, x2, x3, x4 δυαδικές

Λύση Παράδειγμα 3.5 Η βέλτιστη λύση αυτού του προβλήματος είναι: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1 και x4 = 1, με ολικό αναμενόμενο κέρδος 47000$. Σημειωτέον ότι η βέλτιστη αυτή λύση δεν προκύπτει από την στρογγυλοποίηση της βέλτιστης λύσης του αντίστοιχου γραμμικού προβλήματος. Πράγματι, η βέλτιστη λύση του αντίστοιχου γραμμικού προβλήματος είναι x1 = 0.909, x2 = 0, x3 = 0 και x4 = 0, με ολικό αναμενόμενο κέρδος 81818.2$. Από τις 2 λύσεις που μπορούν να προκύψουν με στρογγυλοποίηση της λύσης αυτής, η πρώτη (x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0 και x4 = 0) είναι μη εφικτή, ενώ η δεύτερη (x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 και x4 = 0) έχει τιμή αντικειμενικής συνάρτησης 0. Η τιμή αυτή είναι σημαντικά κατώτερη από την αντίστοιχη βέλτιστη λύση του ακέραιου προβλήματος που βρήκαμε παραπάνω.

Επέκταση Παραδείγματος 3.5 (3.5β) Ας υποθέσουμε ότι αντί του ενός σχεδίου επέκτασης μιας αποθήκης, η εταιρεία του παραδείγματος 3.5 εξετάζει τρία σχέδια επέκτασης αποθηκών. Μία επέκταση θεωρείται αναγκαία λόγω αύξησης της ζήτησης αλλά δεν αιτιολογείται η επέκταση περισσοτέρων της μιας αποθηκών. Οι κατωτέρω μεταβλητές απόφασης και οι περιορισμοί πολλαπλών επιλογών μπορούν να ενσωματωθούν στο προηγούμενο 0-1 ακέραιο γραμμικό πρόβλημα.

Επέκταση Παραδείγματος 3.5 (3.5β) Έστω: x2 = 1 αν η επέκταση της αρχικής αποθήκης αποφασισθεί και 0 αν όχι x5 = 1 αν η επέκταση της δεύτερης αποθήκης αποφασισθεί και 0 αν όχι x6 = 1 αν η επέκταση της τρίτης αποθήκης αποφασισθεί και 0 αν όχι

Επέκταση Παραδείγματος 3.5 (3.5β) Ο περιορισμός που αντιστοιχεί στην απαίτηση ότι το πολύ ένα από τα σχέδια επέκτασης μπορεί να επιλεγεί είναι ο εξής: x2 + x5 + x6 < 1 Ο περιορισμός αυτός περιλαμβάνει και την περίπτωση που δεν έχουμε καμία επέκταση αποθήκης (x2 = x5 = x6 = 0) και ταυτόχρονα δεν επιτρέπει την επέκταση περισσοτέρων της μιας αποθηκών. Οι περιορισμού αυτού του είδους καλούνται περιορισμοί κοινού αποκλεισμού.

Επέκταση Παραδείγματος 3.5 (3.5β) Αν υπήρχε η απαίτηση ότι απαραιτήτως μία από τις τρεις αποθήκες πρέπει να επεκταθεί, τότε ο περιορισμός θα μεταβαλλόταν ως εξής: x2 + x5 + x6 = 1 Σημειωτέον ότι αν επιτρέπονταν κλασματικές τιμές στις μεταβλητές (όπως στον γραμμικό προγραμματισμό) τότε ο παραπάνω περιορισμός δεν θα εξασφάλιζε την επιλογή ενός μόνο σχεδίου επέκτασης.

Επέκταση Παραδείγματος 3.5 (3.5β) Επιλογή κ μεταξύ ν εναλλακτικών Αποτελεί επέκταση των περιορισμών πολλαπλών επιλογών και χρησιμοποιείται για την περιγραφή (μοντελοποίηση) καταστάσεων όπου κ σχέδια-δραστηριότητες πρέπει να επιλεγούν ανάμεσα σε ν εναλλακτικά. Έστω ότι οι μεταβλητές x2, x5, x6, x7 και x8 αναπαριστούν πέντε δυνητικές επεκτάσεις αποθηκών και ότι θεωρείται αναγκαίο να υιοθετηθούν δύο από τα πέντε σχέδια. Ο παρακάτω περιορισμός εγγυάται την πραγματοποίηση αυτής της απαίτησης. x2 + x5 + x6 + x7 + x8 = 2 

Επέκταση Παραδείγματος 3.5 (3.5β) Αν απαιτείται η αποδοχή όχι περισσότερων από δύο σχεδίων τότε χρησιμοποιούμε την κατωτέρω ανίσωση:  x2 + x5 + x6 + x7 + x8 < 2 Επιπλέον, κάθε μία από τις παραπάνω μεταβλητές πρέπει να περιορισθεί στις τιμές 0-1.

Επέκταση Παραδείγματος 3.5 (3.5β) Υπό συνθήκη και συναπαιτούμενοι περιορισμοί Πολλές φορές η αποδοχή μιας δραστηριότητας εξαρτάται από την αποδοχή μιας άλλης. Για παράδειγμα, έστω ότι η επέκταση αποθήκης εξαρτάται από την πραγματοποίηση του σχεδίου επέκτασης εγκαταστάσεων. Επομένως, η εταιρεία δεν θα μελετήσει την επέκταση αποθήκης αν το σχέδιο επέκτασης εγκαταστάσεων δεν υιοθετηθεί. Με τη μεταβλητή x1 αναπαριστάνουμε την επέκταση εγκαταστάσεων ενώ με τη μεταβλητή x2 αναπαριστάνουμε την επέκταση αποθήκης. Οι ακόλουθοι υπό συνθήκη περιορισμοί πρέπει να εισαχθούν για να υποστηρίξουν αυτή την απαίτηση. x2 < x1 ή x2 – x1 < 0.

Επέκταση Παραδείγματος 3.5 (3.5β) Εφ' όσον και οι δύο μεταβλητές x1 και x2 υποχρεούνται να είναι 0 ή 1, παρατηρούμε ότι όταν η x1 είναι 0 τότε η x2 αναγκάζεται να είναι κι αυτή 0. Όταν η x1 είναι 1 τότε η x2 επιτρέπεται να είναι 1. Άρα και τα δύο σχέδια επέκτασης μπορούν να πραγματοποιηθούν. Όμως παρατηρούμε ότι ο παραπάνω περιορισμός δεν εξαναγκάζει την πραγματοποίηση της επέκτασης αποθηκών όταν το σχέδιο επέκταση εγκαταστάσεων έχει γίνει δεκτό, (x1 = 1, x2 = 0).

Επέκταση Παραδείγματος 3.5 (3.5β) Αν επιπλέον απαιτούμε η επέκταση αποθηκών να γίνει υποχρεωτικά δεκτή εφ' όσον η επέκταση εγκαταστάσεων υιοθετηθεί και αντίστροφα τότε λέμε ότι οι μεταβλητές x1 και x2 είναι συνεπιτακτικές (ταυτόχρονα αποδεκτές ή μη). Για να μοντελοποιήσουμε μια τέτοια κατάσταση γράφουμε τον παραπάνω περιορισμό ως μια ισότητα x2 = x1 ή x2 – x1 = 0 Ο περιορισμός αυτός εξαναγκάζει τις μεταβλητές x1 και x2 να πάρουν τις ίδιες τιμές.