Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Επιμέλεια : Κουρτέση Γεωργία - Μαθηματικός

Τριγωνομετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών, που έχει ως πρωταρχικό σκοπό την επίλυση τριγώνων είτε επίπεδων είτε σφαιρικών, δηλαδή τον υπολογισμό άγνωστων πλευρών ή γωνιών. Για τους υπολογισμούς αυτούς χρησιμοποιούνται μεγέθη που ονομάζονται «τριγωνομετρικές συναρτήσεις». Η μέτρηση των γωνιών, με τα τόξα που καλύπτουν ένα κύκλο, είναι τόσο αρχαία , όσο και η ίδια η γωνία και χρησιμοποιούνταν από τους Βαβυλωνίους. Η ιστορία της τριγωνομετρίας αρχίζει με τις πρώτες μαθηματικές καταγραφές σε Αίγυπτο και Βαβυλώνα, όπου χάριν της αστρονομίας οι γωνίες μετρήθηκαν σε μοίρες, πρώτα λεπτά και δεύτερα. Η λέξη Τριγωνομετρία πρωτοεμφανίστηκε στη λατινική ως «Trigonometria» περί τα τέλη του 16ου αιώνα.

Η ανάγκη της τριγωνομετρίας προέκυψε από Έλληνες επιστήμονες που ασχολούνταν με την αστροφυσική, μετά το 300 π.Χ. Τα πρώτα ίχνη όμως αυτής εντοπίζονται σε αρχαίους πολιτισμούς που ήκμασαν κατά μήκος της κοιλάδας του Νείλου στην Αίγυπτο και την Μεσοποταμία.

Όλο το διάστημα 600 π.Χ. – 300π.Χ. η Γεωμετρία , στα χέρια των Ελλήνων μαθηματικών, ξέφυγε από την εμπειρική διάσταση που είχε στους Αιγύπτιους και Βαβυλώνιους και έγινε καθαρή επιστήμη με λογική μαθηματική συγκρότηση δηλαδή με θεωρήματα , αξιώματα , αποδείξεις κ.τ.λ. Σταματάμε συμβολικά στο έτος 300 π.Χ γιατί τότε περίπου εκδίδεται το περίφημο έργο του Ευκλείδη «Στοιχεία», όπου στα 13 βιβλία του συγκεντρώθηκαν και διατάχθηκαν όλες οι μέχρι τότε μαθηματικές γνώσεις. Η Γεωμετρία των «Στοιχείων» είναι αυτή που διδάσκεται μέχρι σήμερα στη Μέση εκπαίδευση στα περισσότερα προηγμένα κράτη.

Κατά τους ελληνιστικούς χρόνους δηλαδή μετά το 300π. Χ Κατά τους ελληνιστικούς χρόνους δηλαδή μετά το 300π.Χ. έγιναν μεγάλες ζυμώσεις και ανακατατάξεις, με αποτέλεσμα την Πτολεμαϊκή Τριγωνομετρία, δηλαδή την αρχαία ελληνική τριγωνομετρία. Οι Έλληνες αστρονόμοι Ίππαρχος, Μενέλαος και Πτολεμαίος ανέπτυξαν εκείνη την εποχή με θαυμαστό τρόπο όχι μόνο την επίπεδη αλλά και την σφαιρική τριγωνομετρία. Στους χρόνους μετά το 150 μ.Χ. η τριγωνομετρία θα μείνει στάσιμη μέσα στο Ρωμαιοκρατούμενο ελληνικό κόσμο , κατόπιν θα εξελιχθεί σε άλλους τόπους και τέλος θα γνωρίσει ραγδαία εξέλιξη από την Αναγέννηση και μετά.

Ο Ίππαρχος (180 – 125 π.Χ.) Ο Ίππαρχος υπήρξε μεγάλος αστρονόμος , μαθηματικός και γεωγράφος. Στα μαθηματικά μπορεί να θεωρηθεί ως πατέρας της τριγωνομετρίας, καθώς υπολόγισε τον αριθμό των μονάδων που αντιστοιχούν σε χορδή όταν δίνεται το τόξο της σε μοίρες (δηλαδή το σημερινό ημίτονο). Ο Ίππαρχος είναι ο εφευρέτης του Αστρολάβου- όργανο με το οποίο μέτρησε τις συντεταγμένες των αστέρων. Τελειοποίησε τη διόπτρα, όργανο με το οποίο εκτίμησε τη διάμετρο Ήλιου και Σελήνης. Και ενώ θεωρείται ο πρώτος που διαίρεσε τους κύκλους των αστρονομικών οργάνων σε 360 μοίρες, είναι ο πρώτος που κατασκεύασε Υδρόγειο σφαίρα. Θεωρείται επίσης, σύμφωνα με σύγχρονες έρευνες, ότι το σύστημα στο εσωτερικό του μηχανισμού των Αντικυθήρων υπακούει στη θεωρία του Ίππαρχου για τη γωνιακή ταχύτητα της Σελήνης.

Ο Μενέλαος (100 μ.Χ.) υπήρξε σπουδαίος μαθηματικός και αστρονόμος. Αναφέρεται ότι στο έργο του για την τριγωνομετρία, αποτελούμενο από 6 βιβλία, χρησιμοποεί ως τριγωνομετρική συνάρτηση τη χορδή του κύκλου. Από το συγγραφικό του έργο διασώθηκε μόνο ένα τα «Σφαιρικά», όπου αναπτύσσει και θεμελιώνει την σφαιρική τριγωνομετρία.

Ο Πτολεμαίος ο Κλαύδιος (100 -178 μ. Χ Ο Πτολεμαίος ο Κλαύδιος (100 -178 μ.Χ.) έζησε στην Αλεξάνδρεια και υπήρξε μεγάλη μορφή των θετικών επιστημών (αστρονόμος, μαθηματικός, γεωγράφος κ.α.). Χάρις στα έργα του « Μαθηματική σύνταξις» και «Γεωγραφική Υφήγησις» θεωρήθηκε επί αιώνες αυθεντία στην αστρονομία και τη γεωγραφία. Ο Πτολεμαίος εργάστηκε σε σφαιρικά τρίγωνα, αλλά για τους υπολογισμούς με τις χορδές τόξων, δίνει τις θεωρητικές βάσεις για την επίπεδη τριγωνομετρία.

Η μέθοδος προσέγγισης της τριγωνομετρίας του Ίππαρχου, όπως περιγράφεται απ’ τον Πτολεμαίο, είναι η ακόλουθη . Η περιφέρεια του κύκλου χωρίζεται σε 360 μέρη (μοίρες) και η διάμετρος σε 120 τμήματα. Κάθε τμήμα της διαμέτρου και της περιφέρειας διαιρείται επίσης σε 60 τμήματα και ούτω καθεξής. Τότε δοθέντος ενός τα τόξου ΑΒ κάποιων μοιρών, ο Ίππαρχος δίνει τον αριθμό των μονάδων που αντιστοιχούν στη χορδή ΑΒ. Ο αριθμός των μερών μιας χορδής που αντιστοιχεί σε τόξο κάποιων μοιρών είναι ισοδύναμος με τη σημερινή συνάρτηση ημίτονο.

Αν 2α είναι η επίκεντρη γωνία του τόξου ΑΒ, τότε για εμάς ημα= AC/OA, όπου στη θέση του ημα ο Ίππαρχος δίνει τον αριθμό μερών της 2AC, με την ακτίνα ΟΑ να περιέχει 60 μέρη. Για παράδειγμα αν η χορδή ΑΒ είναι 40 μέρη τότε για εμάς ημα=20/60 ή ημα = χορδή 2α = χορδή 2α

Πρέπει να τονίσουμε και πάλι ότι η τριγωνομετρία δημιουργήθηκε για χρήση στην αστρονομία και επειδή η σφαιρική τριγωνομετρία ήταν το καταλληλότερο εργαλείο γι’ αυτήν , ήταν η πρώτη που αναπτύχθηκε. Το σύγγραμμα του Πτολεμαίου « Μαθηματική Σύνταξις» θα επικρατήσει στην μαθηματική επιστήμη ως τον 16ο μ.Χ αιώνα. Από την εποχή του Πτολεμαίου χρησιμοποιούνταν ως τοξομετρικό μέγεθος η χορδή του τόξου του κύκλου κι αργότερα η ημιχορδή του τόξου. Αυτά ήταν ευθύγραμμα τμήματα με μονάδα μέτρησής τους u ένα υποπολλαπλάσιο της ακτίνας του κύκλου : u=r/ν με ν>1. Ο Πτολεμαίος χρησιμοποιούσε ν=60 και μετά το 1000μ.Χ, για μεγαλύτερη ακρίβεια στις μετρήσεις το ν μεγάλωνε συνεχώς. Ας σημειώσουμε ότι οι δεκαδικοί αριθμοί εμφανίστηκαν τον 16ο αιώνα.

Ο Πτολεμαίος κατόρθωσε να βρει την χορδή των 3/4ο από την χορδή των 12ο με συνεχείς διχοτομήσεις και από αυτή του αθροίσματος ή της διαφοράς τόξων , άρα όλων των τόξων με βήμα 3/4ο . Αυτός όμως θέλει βήμα 1/2ο γι’ αυτό καταφεύγει σε συλλογισμούς με ανισότητες και προσεγγίζει τη χορδή τόξου 1/2ο με 0 31΄25΄΄. Βρίσκεται τώρα σε θέση να δημιουργήσει έναν πίνακα χορδών των τόξων που διαφέρουν κατά 1/2ο από 0ο ως 180 ο . Αυτός είναι και ο πρώτος τριγωνομετρικός πίνακας.

Κάθε πλευρά τριγώνου εγγεγραμμένου σε μοναδιαίο κύκλο ισούται με το ημίτονο της απέναντι γωνίας. Στην πραγματικότητα, θα μπορούσαμε να είχαμε ορίσει το ημίτονο γωνίας ως το μήκος της χορδής προς την οποία βαίνει όταν είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο μοναδιαίας διαμέτρου. Αυτός ο ορισμός θα ήταν το ίδιο έγκυρος με τον ορισμό του ημιτόνου ως πηλίκο δύο πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και μάλιστα θα υπερτερούσε αφού οι γωνίες σ’ αυτόν είναι από 0 ο ως 180ο

Το πρώτο έργο όπου το ημίτονο αναφέρεται ως συνάρτηση γωνίας είναι το Aryabhatiya του Ινδού Αριαμπάτα (551 μ.Χ) , όπου η ημιχορδή γράφεται ως ardha-jya ή jya-ardha και σταδιακά ως jya ή jiva. Όταν οι Άραβες μετέφρασαν στη γλώσσα τους το Aryabhatiya, το jiva έγινε jaib που σημαίνει στήθος, πτυχή, κόλπος. Όταν η αραβική έκδοση του κειμένου μεταφράστηκε στα λατινικά , το jaib αποδόθηκε με τη λέξη sinus και από το 1620 επικράτησε το sin.

Οι άλλες πέντε τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν πολύ πιο πρόσφατη ιστορία. Το συνημίτονο δημιουργήθηκε αρχικά από την ανάγκη να υπολογιστεί ημίτονο συμπληρωματικής γωνίας. Ο όρος cosinus ή cos οφείλεται στον Gunter που το έγραφε co.sinus και καθιερώθηκε μετά το 1650. Τον ίδιο αιώνα τα τοξομετρικά μεγέθη θεωρούνταν πλέον συναρτήσεις της γωνίας (αντί του τόξου) και να ορίζονται ως λόγοι δύο ευθυγράμμων τμημάτων. Οι τριγωνομετρικοί πίνακες συνεχώς βελτιώνονται και η επινόηση των λογαρίθμων ,με την εύρεση των τιμών των γωνιομετρικών μεγεθών, θα βοηθήσει αφάνταστα στους υπολογισμούς και θα ωθήσει σε αλματώδη ανάπτυξη την Τριγωνομετρία.

Από τον 16ο αιώνα και μετά , τα τοξομετρικά μεγέθη άρχισαν να θεωρούνται συναρτήσεις της γωνίας (αντί του τόξου) και να ορίζονται ως λόγοι δύο ευθυγράμμων τμημάτων. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις όμως ορίστηκαν και με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου, όπου δεν υπάρχει ο περιορισμός στις μετρήσεις για τις γωνίες τριγώνου.

Γνωρίζουμε ότι υπάρχει κι ένα άλλο μέγεθος μέτρησης γωνιών , το ακτίνιο. Η μέτρηση μιας γωνίας με ακτίνια δεν αναφέρεται σε μοίρες, αλλά αντίθετα σε μήκος που μετρήθηκε κατά μήκος του τόξου του μοναδιαίου κύκλου. Αυτό είναι ένα πλεονέκτημα όταν χρησιμοποιούμε τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε εφαρμογές που δεν περιέχουν γωνίες. Από τον τύπο L=R θ, όπου θ η γωνία μετρημένη σε ακτίνια, προκύπτει ότι η γωνία θ κόβει από τον κύκλο ακτίνας R τόξο μήκους Rθ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 1 τότε L = θ δηλαδή ο ορισμός του ακτινίου.

Θα δείξουμε ότι οι τριγωνικοί ορισμοί καταλήγουν στα ίδια αποτελέσματα με τους κυκλικούς για τις συναρτήσεις sin και cos. Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα OAB και OCD είναι όμοια, άρα ισχύει : Τριγωνικός ορισμός του sinθ Κυκλικός ορισμός του sinθ