ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΩΝ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης, Μαθηματικό Σπουδαστήριο Πολυτεχνικής Σχολής
Αλγόριθμος χρωματισμού γράφου Χαρακτηρίστε τις κορυφές (με τον σχετικό αλγόριθμο) Χαρακτηρίστε τα χρώματα με ci (i=1, 2, …, n) Χρωματίστε την κορυφή ui με το χαμηλότερο χρώμα που δεν έχει χρησιμοποιηθεί για τις παρακείμενες κορυφές Αν i=n πήγαινε στο 6. i ← i+1 πήγαινε στο 3. Έστω C={c1, c2, c3, …, cX(G)}, cX(G) ← χρώμα με τον τρέχοντα χρωματικό δείκτη. υr ← κορυφή με τον τρέχοντα χρωματικό δείκτη cX(G) υs ← κορυφή παρακείμενη στο υr (s<r). ct← χρώμα της υs . X(G) ← χρωματικός δείκτης. Αν s 1 πήγαινε στο 12.
Χρωματισμός γραφήματος Αν G είναι ένα γράφημα και C ένα σύνολο χρωμάτων, λέμε ότι η απεικόνιση είναι χρωματισμός του G όταν
δηλαδή όταν αντιστοιχεί χρώματα στις κορυφές του G έτσι ώστε οι προσκείμενες κορυφές να έχουν διαφορετικό χρώμα. Αν το C έχει n διακεκριμένα στοιχεία και ο χρωματισμός f είναι επί, τότε ονομάζεται n-χρωματισμός. Κάθε χρωματισμός διαμερίζει το V(G) σε κλάσεις κόμβων οι οποίοι έχουν κοινό χρώμα. Οι κλάσεις αυτές ονομάζονται χρωματικές κλάσεις.
Χρωματικός αριθμός Ο ελάχιστος αριθμός n χρωμάτωντου C, για τον οποίο υπάρχει n-χρωματισμός του G ονομάζεται χρωματικός αριθμός του G και συμβολίζεται με Χ(G).
Ιδιότητες του Χρωματικού Αριθμού Αν το πλήθος των κορυφών του G είναι n τότε , ο μέγιστος αριθμός διαφορετικών χρωμάτων είναι n. Η ισότητα ισχύει στα πλήρη γραφήματα.
Ιδιότητες του Χρωματικού Αριθμού Αν Kn είναι το πλήρες γράφημα n κόμβων και x είναι μια ακμή αυτού, τότε Χ(Κn-x) = n-1
Ιδιότητες του Χρωματικού Αριθμού Αν Kn,m είναι πλήρες διμερές γράφημα, τότε Χ(Κn,m) = 2
Ιδιότητες του Χρωματικού Αριθμού Για κύκλους με άρτιο πλήθος κορυφών ισχύει Χ(C2m)=2 Για τους κύκλους με περιττό πλήθος κορυφών ισχύει Χ(C2m+1)=3
Ιδιότητες του Χρωματικού Αριθμού Αν G είναι δένδρο τότε Χ(G)=2
Ιδιότητες του Χρωματικού Αριθμού Αν για το G(V,E) με Ε=, τότε Χ(G)=1.
Ορισμός Αντιστοίχιση (matching) ή σύνολο ανεξάρτητων ακμών στον γράφο G(V,E) καλείται ένα υποσύνολο E’ του Ε που δεν έχουν κοινές κορυφές μεταξύ τους.
Ορισμός Περίβλημα του V (vertex cover) στον γράφο G(V,E), είναι το σύνολο των κορυφών εκείνων οι οποίες είναι προσκείμενες σε μια τουλάχιστον ακμή του γράφου.
Ιδιότητες του Χρωματικού Αριθμού Θεώρημα του König: Στα πλήρη διμερή γραφήματα το πρόβλημα της μέγιστης αντιστοίχισης είναι ισοδύναμο προς το πρόβλημα του ελάχιστου περιβλήματος κορυφών Dénes Kőnig in 1931
Αλγόριθμος χρωματισμού γράφου “C είναι το σύνολο χρωματισμού με τα λιγότερα χρώματα “ . STOP j ← s cu ← χρώμα με μικρότερο δείκτη u>t που δεν έχει χρησιμοποιηθεί σε uk με k<s, παρακείμενο στο uj. Αν u<X(G) πήγαινε στο 16. Σβήσε όλα τα χρώματα στις κορυφές uk με k>j. Πήγαινε στο 7. Χρωμάτισε τη us με cu , j ← s+1. cu ← χρώμα με μικρότερο δείκτη που δεν έχει χρησιμοποιηθεί σε uj. Αν u<X(G) πήγαινε στο 20. j ← j-1. Πήγαινε στο 15. Επαναχρωμάτισε uj με χρώμα που έχει το μικρότερο δυνατό δείκτη. Αν j=n πήγαινε στο 6. j ← j+1. Πήγαινε στο 17.
1.Χαρακτηρισμός κορυφών Επιλέγουμε μια κορυφή εκκίνησης u1 i2 u1
1.Χαρακτηρισμός κορυφών Χαρακτηρίζουμε μια κορυφή ui παρακείμενη σε όσο δυνατόν περισσότερες χαρακτηρισμένες κορυφές Αν i=n STOP. i ← i+1, πήγαινε στο 3. u1 u2
1.Χαρακτηρισμός κορυφών u1 u2 u3
1.Χαρακτηρισμός κορυφών u1 u2 u3 u4
1.Χαρακτηρισμός κορυφών u1 u2 u5 u3 u4
1.Χαρακτηρισμός κορυφών u1 u2 u5 u3 u6 u4
2.Χαρακτηρισμός χρωμάτων c1 c2 c3 c4
Εφαρμογή αλγορίθμου Βήμα 4 u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου Βήμα 6 Βήμα 4 u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου Βήμα 6 Βήμα 4 u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου Βήμα 6 Βήμα 4 u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου u2 u5 u3 u6 u4 X(G)=4, r=6, s=5, t=1 Q το πλήθος χρωμάτων που χρησιμοποιήθηκαν X(G) ο χρωματικός δείκτης που χρησιμοποιήθηκε r δείκτης της τελευταίας κορυφής που χρωματίσθηκε με cX(G) s δείκτης της επόμενης παρακείμενης στη vr κορυφής t δείκτης του επόμενου χρώματος από εκείνο που χρησιμοποιήθηκε στην vs Επειδή s δεν είναι 1 θέτουμε j=s=3 και συνεχίζουμε, u=3
Εφαρμογή αλγορίθμου 16. Σβήνουμε το χρώμα της κορυφής u6 και επαναχρωματίζουμε τον γράφο. u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου u1 u2 u5 u3 u6 u4
Εφαρμογή αλγορίθμου u2 u5 u3 u6 u4 Q=3, q=3, r=6, s=5, t=1 r δείκτης της τελευταίας κορυφής που χρωματίσθηκε με cq s δείκτης της προηγούμενης παρακείμενης στη vr κορυφής t δείκτης του επόμενου χρώματος από εκείνο που χρησιμοποιήθηκε στην vs Επειδή s δεν είναι 1 θέτουμε j=s=5 και συνεχίζουμε u=3=Q Και σβήνουμε όλα τα χρώματα για i>j=5
Εφαρμογή αλγορίθμου Επομένως προκύπτει u2 u5 u3 u6 u4 Q=u=3, q=3, r=3, s=1, t=1 Q το πλήθος χρωμάτων που χρησιμοποιήθηκαν q ο μεγαλύτερος δείκτης χρώματος που χρησιμοποιήθηκε r δείκτης της τελευταίας κορυφής που χρωματίσθηκε με cq s δείκτης της επόμενης παρακείμενης στη vr κορυφής t δείκτης του επόμενου χρώματος από εκείνο που χρησιμοποιήθηκε στην vs Επειδή s = 1 σταματούμε i>j=s=3
Κάντε κλικ στην εικόνα
Οι κορυφές του κύκλου v1, v2, v3, v4, v5, χρωματίζονται με 3 χρώματα. Να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για το χρωματισμό του γραφήματος της εικόνας Οι κορυφές του κύκλου v1, v2, v3, v4, v5, χρωματίζονται με 3 χρώματα. Οι κορυφές του κύκλου v6, v7, v8, v9, v10, χρωματίζονται με 3 χρώματα επίσης. Ο τρόπος που συνδέονται οι δυο κύκλοι δεν επιτρέπουν τη χρήση 3 μόνο χρωμάτων . Και αυτό διότι ο βαθμός των κορυφών του εξωτερικού κύκλου είναι 4. Έτσι, μια κορυφή του εξωτερικού κύκλου που θα έπρεπε να χρωματιστεί Με το τρίτο χρώμα έχοντας βαθμό 4 έχει προσκείμενες 4 κορυφές που έχουν Χρωματιστεί με τρία χρώματα.
Το 1955 μια εταιρεία σιδηροδρόμων ζήτησε από τους T.H.Harris και F.S.Ross να προσδιορίσουν το βάρος των εμπορευμάτων που θα μπορούσαν να μεταφερθούν στο υπάρχων πολύπλοκο σιδηροδρομικό δίκτυο των ανατολικών Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής.