ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ BOOLE (αξιώματα Huntington) 1. Κλειστότητα α. ως προς την πράξη + (OR) β. ως προς την πράξη  (AND) 2. Ουδέτερα στοιχεία πράξεων α. x+0=0+x=x β. x1=1x=x 3. Αντιμεταθετική ιδιότητα α. x+y=y+x β. xy=yx 4. Επιμεριστική ιδιότητα α. x(y+z)=xy+xz β. x+(yz)=(x+y)(x+z) 5. Μοναδικό Συμπλήρωμα (NOT) α. x+x'=1 β. xx'=0 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ BOOLE 1. α. x+x=x β. xx=x 2. α. x+1=1 β. x0=0 3. (x')'=x 4. Προσεταιριστική ιδιότητα α. x+y+z=x+(y+z)=(x+y)+z β. xyz=x(yz)=(xy)z 5. Θεώρημα απορρόφησης α. x+xy=x β. x(x+y)=x 6. Θεώρημα De Morgan α. (x+y)'=x'.y‘ β. (x.y)'=x'+y'

ΣΥΜΒΟΛΑ ΤΩΝ ΠΥΛΩΝ NOT, AND ΚΑΙ OR

ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ ΤΩΝ ΠΥΛΩΝ NOT, AND ΚΑΙ OR

ΣΥΜΒΟΛΑ ΤΩΝ ΠΥΛΩΝ NAND ΚΑΙ NOR

ΠΥΛΕΣ AND ΚΑΙ OR ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟΔΩΝ xyz=x(yz)=(xy)z

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ ΠΥΛΗΣ NOR ΤΕΣΣΑΡΩΝ (4) ΕΙΣΟΔΩΝ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟ 7400 Τα chip της standard σειράς 74 της οικογένειας TTL έχουν ονομασία που αρχίζει από 74 και ακολουθείται από κατάληξη που προσδιορίζει τον τύπο της σειράς. Το chip 7400 που περιέχει τέσσερις πύλες NAND δυο εισόδων είναι το βασικό κύκλωμα της οικογένειας TTL.  

ΟΙ ΑΚΡΟΔΕΚΤΕΣ ΤΟΥ 7400 Το chip τροφοδοτείται με τάση Vcc (υψηλή τάση - λογικό “1”) στην περιοχή τιμών 2.4V-5V με τυπική τιμή 3.5V και γειώνεται GND (χαμηλή τάση - λογικό “0”) στην περιοχή τιμών 0V-0.4V με τυπική τιμή 0.2V.  

ΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ 74

ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NAND, NOR

Θεώρημα De Morgan α. (x+y)'=x'.y' β. (x.y)'=x'+y' ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ (Χ1 + Χ2 + ... + Χn)' = Χ1' • Χ2' • … • Χn' (Χ1 • Χ2 • … • Χn)' = Χ'1 + Χ'2 + ... + Χ'n

f(x,y,z)=xy+y'z'+xy'z' f(x,y,z)=xy+(y+z)'+x(y+z)' Α) Πίνακας Αληθείας Β) Λογικό Κύκλωμα χρησιμοποιώντας NOR, OR,AND f(x,y,z)=xy+(y+z)'+x(y+z)'

Σύμφωνα με το θεώρημα De Morgan η συνάρτηση γίνεται: Z=((A'B)' C') ' Οι πύλες NAND και NOR δύο εισόδων ονομάζονται οικουμενικές πύλες (universal gates) γιατί κάθε συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με πύλες NAND δύο εισόδων ή μόνο με πύλες NOR δύο εισόδων. Κάθε πύλη NOT και AND και OR δύο εισόδων μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ισοδύναμο κύκλωμα με αποκλειστική χρησιμοποίηση είτε πυλών NAND είτε πυλών NOR δύο εισόδων Z=(A'B+C)=((A'B+C) ') '  Σύμφωνα με το θεώρημα De Morgan η συνάρτηση γίνεται: Z=((A'B)' C') '

Z=(A’B+C)=[[(A+B')'+(C)] ' ]'

([A+B]+[C+D])’ ([A•B] •[C•D])’ Οι πύλες AND και OR πολλαπλών εισόδων μπορούν να υλοποιηθούν συνδέοντας πολλές αντίστοιχες πύλες δύο εισόδων, γιατί ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα: x+y+z=x+(y+z)=(x+y)+z xyz=x(yz)=(xy)z ([A+B]+[C+D])’ ([A•B] •[C•D])’

 Η προσεταιριστική ιδιότητα δεν ισχύει για την πύλη NAND Y1=(ABC)’ Y2=((AB)’C)’ Να επιβεβαιώσετε ότι Y1Y2 δηλαδή ότι η προσεταιριστική ιδιότητα δεν ισχύει για την πύλη NAND.   Η προσεταιριστική ιδιότητα δεν ισχύει για την πύλη NOR Να σχεδιάσετε τα κυκλώματα Y1=(A+B+C)’ Y2=((A+B)’+C)’

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Κάθε λογική συνάρτηση μπορεί να εκφρασθεί ως: άθροισμα ελάχιστων όρων (ΣΠ μορφή) και γινόμενο μέγιστων όρων (ΠΣ μορφή) Αυτές οι δύο μορφές έκφρασης των συναρτήσεων ονομάζονται Κανονικές Μορφές.

Ελάχιστοι όροι μίας λογικής συνάρτησης ονομάζονται όλα τα γινόμενα όλων των όρων της συνάρτησης, όπου ο κάθε όρος (μεταβλητή) εμφανίζεται στην κανονική (αν έχει τιμή “1”) ή στην συμπληρωματική του μορφή (αν έχει τιμή “0”).

Μέγιστοι όροι μίας λογικής συνάρτησης ονομάζονται όλα τα αθροίσματα όλων των όρων της συνάρτησης, όπου ο κάθε όρος (μεταβλητή) εμφανίζεται στην κανονική (αν έχει τιμή “0”) ή στην συμπληρωματική του μορφή (αν έχει τιμή “1”). Μία λογική συνάρτηση n μεταβλητών έχει 2n ελάχιστους όρους και 2n μέγιστους όρους. Οι ελάχιστοι όροι συμβολίζονται με mi και οι μέγιστοι όροι συμβολίζονται με Mi όπου i=0,1,...,2n-1. Προφανώς ισχύει ότι mi'=Mi όπου i=0,1,...,2n-1. Κάθε λογική συνάρτηση μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα ελάχιστων όρων (ΣΠ μορφή) και ως γινόμενο μέγιστων όρων (ΠΣ μορφή). Αυτές οι δύο μορφές έκφρασης των συναρτήσεων ονομάζονται Κανονικές Μορφές.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ Η συνάρτηση Y=Y(x,y,z) τριών μεταβλητών x, y και z όπου x είναι το περισσότερο σημαντικό ψηφίο (Most Significant Bit - MSB) και z είναι το λιγότερο σημαντικό ψηφίο (Least Significant Bit - LSB) έχει οκτώ ελάχιστους όρους και οκτώ μέγιστους όρους (23=8). Ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης είναι: ΣΠ μορφή: Y=x'y'z+xy'z'+xyz=Σ(1,4,7) ΠΣ μορφή: Y=(x+y+z) (x+y'+z) (x+y'+z') (x'+y+z') (x'+y'+z)=Π(0,2,3,5,6)