Soft Tissue Mechanics Βιβλιογραφική Μελέτη Μεθόδων Μοντελοποίησης του Χόνδρου και άλλων Μαλακών Ιστών Βλαντής Παναγιώτης 2012-2013

Δομή του Χόνδρου Αποτελείται: 20% ίνες κολλαγόνου 5% πρωτεογλυκάνες 75% νερό Χονδροκύτταρα Ανομοιογενής κατανομή των παραπάνω κατά την διεύθυνση του βάθους Διαφορετικός προσανατολισμός ινών κολλαγόνου κατά την διεύθυνση του βάθους

Συμπεριφορά του Χόνδρου Δυναμική συμπεριφορά σε φόρτιση Χαλάρωση Συνήθεις Πειραματικές Δοκιμές: Περιορισμένη Συμπίεση Ελεύθερη Συμπίεση Μέγεθος εμβόλου μεγαλύτερο ή μικρότερο του δοκιμίου

Μοντελοποίηση του Χόνδρου Απλά Μοντέλα: Αναλυτικές λύσεις για απλές συνθήκες φόρτισης Ποιοτικά αποτελέσματα Παραδοχές Σύνθετα μοντέλα: Αριθμητικές λύσεις Σύνθετες συνθήκες φόρτισης Πιο ακριβή αποτελέσματα για το εσωτερικό του χόνδρου

Ισότροπο Ελαστικό Υλικό Μοντελοποίηση συμπεριφοράς σε κατάσταση ισορροπίας Απαραίτητες παράμετροι: Ε, v Απλό μοντέλο

Διφασικό Μέσο Συνύπαρξη στερεής (s) και υγρής φάσης (f) Ισότροπο ελαστικό υλικό Μη-συνεκτική ροή Τάσεις: 𝛔 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝛔 𝐬 + 𝛔 𝐟 𝛔 𝐬 =− 𝜑 𝑠 ⋅𝑝⋅𝐈+ 𝜆 𝑠 ⋅𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 𝛆 𝐬 ⋅𝐈+2⋅ 𝜇 𝑠 ⋅ 𝛆 𝐬 𝛔 𝐟 =− 𝜑 𝑓 ⋅𝑝⋅𝐈

Διφασικό Μέσο Εξίσωση Συνέχειας: Εξίσωση Ορμής: Ανομοιογενείς σταθερές του μέσου κατά την διεύθυνση του βάθους Aggregate Modulus: 0.079, 0.10, 0.17, 0.27 0.55, 0.58-0.73, 1.14 MPa ∇⋅ 𝜑 𝑠 ⋅ 𝐯 𝐬 + 𝜑 𝑓 ⋅ 𝐯 𝐟 =0 ∇⋅ 𝛔 𝐬 + 𝛑 𝐬 =0 ∇⋅ 𝛔 𝐟 + 𝛑 𝐟 =0 𝛑 𝐬 =− 𝛑 𝐟 = 𝜑 𝑓 2 𝑘 ⋅ 𝐯 𝐟 − 𝐯 𝐬

Αναλυτική Λύση για Αξονοσυμμετρική Επαφή Παραδοχές: Διφασικό Μέσο Σταθερές παράμετροι μέσου σε όλη την έκταση του χόνδρου Μικρό πάχος (λεπτοί χόνδροι) Χόνδροι ως γεωμετρίες εκ περιστροφής 𝑧= −1 𝑛 ⋅ 𝛷 𝑛 𝑟 ,∀𝑛∈ 1,2

Αναλυτική Λύση για Αξονοσυμμετρική Επαφή

Αναλυτική Λύση για Αξονοσυμμετρική Επαφή Εξισώσεις: Οριακές Συνθήκες: 𝛿 0 𝑡 − 𝑤 1 𝑟,𝑡 + 𝑤 2 𝑟,𝑡 ≤𝛷 𝑟 ,𝑟>𝑎 𝑡 𝑤 1 𝑟,𝑡 + 𝑤 2 𝑟,𝑡 = 𝛿 0 𝑡 −𝛷 𝑟 ,𝑟≤𝑎 𝑡 𝛷 𝑟 = 𝛷 1 𝑟 + 𝛷 2 𝑟 𝑤 𝑛 𝑟,𝑡 = 𝜇 𝑠𝑛 −1 ⋅ ℎ 𝑛 3 ⋅ 1 3⋅𝑟 ⋅ ∂ ∂𝑟 𝑟⋅∂𝑃 𝑟,𝑡 ∂𝑟 + 𝜇 𝑠𝑛 ⋅ 𝑘 𝑛 ℎ 𝑛 2 ⋅ 0 𝑡 1 𝑟 ⋅ ∂ ∂𝑟 𝑟⋅∂𝑃 𝑟,𝜏 ∂𝑟 ⋅𝑑𝜏 ,∀𝑛∈ 1,2 𝑃 𝑟,𝑡 ≥0,𝑟≤𝑎 𝑡 𝑃 𝑎 𝑡 ,𝑡 =0 ∂ ∂𝑟 𝑃 𝑟,𝑡 =0,𝑟=0 ∂ ∂𝑟 𝑃 𝑟,𝑡 =0,𝑟=𝑎 𝑡

Αναλυτική Λύση για Αξονοσυμμετρική Επαφή Λύση: Επιβεβαίωση της παραπάνω λύσης για απλές γεωμετρίες (π.χ. σφαίρες) 𝛿 0 𝑡 = 2 𝑎 2 𝑡 ⋅ 0 𝑎 𝑡 𝛷 𝜌 ⋅𝜌⋅𝑑𝜌 𝜋⋅𝑚 4 ⋅ 0 𝑎 𝑡 𝛷 𝜌 ⋅𝜌⋅ 2⋅ 𝜌 2 − 𝑎 2 𝑡 ⋅𝑑𝜌=𝐹 𝑡 +𝜒⋅ 0 𝑡 𝐹 𝜏 ⋅𝑑𝜏 𝑃 𝑟,𝑡 = 𝑚 4 ⋅ 𝐾 −1 𝛿 0 𝑡 ⋅ 𝑎 2 𝑡 − 𝑟 2 +𝑚⋅ 𝐾 −1 0 𝑟 𝛷 𝜌 ⋅𝜌⋅ln 𝑟 𝜌 ⋅𝑑𝜌 − 0 𝑎 𝑡 𝛷 𝜌 ⋅𝜌⋅ln 𝑎 𝑡 𝜌 ⋅𝑑𝜌

Αναλυτική Λύση για Ελλειπτική Επαφή Παρόμοια πορεία επίλυσης με προηγουμένως Τρισδιάστατο μοντέλο Πιο κοντά στην πραγματικότητα Γεωμετρία χόνδρου: Στερεό με διαφορετικές ακτίνες καμπυλότητας στις δύο διευθύνσεις

Αναλυτική Λύση για Ελλειπτική Επαφή Εξισώσεις: Οριακές Συνθήκες: 𝑤 1 𝑥 1, 𝑥 2, 𝑡 + 𝑤 2 𝑥 1, 𝑥 2, 𝑡 = 𝛿 0 𝑡 −𝛷 𝑥 1, 𝑥 2 ,∀ 𝑥 1, 𝑥 2 ∈𝜔 𝑡 𝛷 𝑥 1, 𝑥 2 = 𝑥 1 2 2⋅ 𝑅 1 + 𝑥 2 2 2⋅ 𝑅 2 1 𝑅 1 + 1 𝑅 2 = 1 𝑅 11 + 1 𝑅 12 + 1 𝑅 21 + 1 𝑅 22 1 𝑅 2 − 1 𝑅 1 = 1 𝑅 11 − 1 𝑅 12 2 + 1 𝑅 21 − 1 𝑅 22 2 +2⋅ 1 𝑅 11 − 1 𝑅 12 ⋅ 1 𝑅 21 − 1 𝑅 22 ⋅cos 2⋅𝛼 𝑤 𝑛 𝑥 1, 𝑥 2, 𝑡 = ℎ 𝑛 3 3⋅ 𝜇 𝑠𝑛 ⋅ 𝛥𝑃 𝑥 1, 𝑥 2, 𝑡 + 3⋅ 𝜇 𝑠𝑛 ⋅ 𝑘 𝑛 ℎ 𝑛 2 ⋅ 0 𝑡 𝛥𝑃 𝑥 1, 𝑥 2, 𝜏 ⋅𝑑𝜏 𝑃 𝑥 1, 𝑥 2, 𝑡 =0and ∂𝑃 ∂𝑛 𝑥 1, 𝑥 2, 𝑡 =0∀ 𝑥 1, 𝑥 2 ∈∂𝜔 𝑡

Αναλυτική Λύση για Ελλειπτική Επαφή Λύση: Επαλήθευση για γνωστές ειδικές λύσεις 𝛿 0 𝑡 = 1 2⋅𝑅 ⋅ 𝑀 𝛿 𝑠 ⋅ 𝑎 2 𝑡 𝑎 𝑡 = 1 𝑀 𝑎 𝑠 ⋅ 96 𝜋⋅𝑚 ⋅𝑅 1 6 ⋅ 𝐹 𝑡 +𝜒⋅ 0 𝑡 𝐹 𝜏 ⋅𝑑𝜏 1 6 𝑃 𝑥 1, 𝑥 2, 𝑡 = 1− 𝑥 1 2 𝑎 2 𝑡 − 𝑥 2 2 𝑠 2 ⋅ 𝑎 2 𝑡 2 ⋅ 𝑝 0 𝑡 −𝜒⋅ 𝑡 ∗ 𝑥 1, 𝑥 2 𝑡 1− 𝑥 1 2 𝑎 2 𝜏 − 𝑥 2 2 𝑠 2 ⋅ 𝑎 2 𝜏 2 ⋅ 𝑝 0 𝜏 ⋅ 𝑒 −𝜒⋅ 𝑡−𝜏 ⋅𝑑𝜏

Διφασικό Μέσο με Ενσωματωμένες Ίνες Διφασικό μέσο μαζί με πλέγμα ορθότροπου υλικού Καλύτερη μοντελοποίηση των ινών κολλαγόνου Σύνθετο μοντέλο: Επίλυση με Π.Σ.

Διφασικό Μέσο με Ενσωματωμένες Ίνες Ανομοιογενές Διφασικό Υλικό: Πειραματικές τιμές aggregate modulus σε διαφορετικά επίπεδα κατά το βάθος Διαπερατότητα: Λόγος όγκου υγρού: Ενσωματωμένες Ίνες: Προσδιορισμός παραμέτρων από πειραματικές μετρήσεις 𝑘= 𝑘 0 ⋅ 𝑒 𝑀⋅𝜀 𝜑 𝑓 =0.9−0.2⋅ 𝑧 ℎ 𝜎=𝐴⋅ 𝑒 𝐵⋅𝜀 −1

Διφασικό Μέσο με Ενσωματωμένες Ίνες Προσομοίωση του παραπάνω μοντέλου Παραμορφώσεις 5%, 10%, 15%, 20% Περιορισμένη και ελεύθερη συμπίεση Σύγκριση με πειραματικές μετρήσεις Δύναμη αντίδρασης Λόγος Poisson Χρήση πειραματικών δεδομένων από διαφορετικές πηγές

Διφασικό Μέσο με Ενσωματωμένες Ίνες Περιορισμένη Συμπίεση Ελεύθερη Συμπίεση

Διφασικό Μέσο με Ενσωματωμένες Ίνες

Μοντελοποίηση βάσει Θεωρίας Πολυμερών Ιξώδης συμπεριφορά χόνδρου: Αργή συνιστώσα λόγω ροής Γρήγορη συνιστώσα απροσδιόριστων αιτιών Αδυναμία πρόβλεψης συμπεριφοράς χόνδρου σε ταχεία φόρτιση Εξήγηση παραπάνω συμπεριφοράς μέσω θεωρίας πολυμερών

Μοντελοποίηση βάσει Θεωρίας Πολυμερών Μονοδιεσπαρμένο Σύστημα Πολυμερών: Ίδια μοριακά βάρη και μήκη αλυσίδων Γραμμικές αλυσίδες Χαλάρωση λόγω Reptation: Ερπετοειδής κίνηση πολυμερούς εντός σωληνίσκου Ποσοστό αλυσίδας εντός αρχικού σωληνίσκου: 𝜓 𝑡 = 8 𝜋 2 ⋅ 𝑝=1,3,5,... 𝑒 − 𝑝 2 ⋅𝑡 𝜏 𝑑

Μοντελοποίηση βάσει Θεωρίας Πολυμερών Πολυδιεσπαρμένο Σύστημα Πολυμερών: Σύνθετες, διαφορετικές αλυσίδες Χαλάρωση λόγω Reptation: Χαλάρωση και δεσμοί μεταξύ αλυσίδων: Ύπαρξη “κολλώδων” εμποδίων Συνάρτηση χαλάρωσης: 𝑀 𝑡 ≈𝐵 𝑡 ⋅ 𝑒 − 𝑓⋅𝑡 𝛽 𝛽∈ 0.25,0.33 𝜑 𝑡 = 1−𝑝 1− 𝑝 𝑁 𝑇 ⋅𝑝 ⋅ 𝑚=1 𝑁 𝑇 𝑝 𝑚 ⋅ 𝑒 −𝑎⋅𝑡 𝐿 𝑚

Μοντελοποίηση βάσει Θεωρίας Πολυμερών Δοκιμή παραπάνω μοντέλων σε πρόβλημα αξονοσυμμετρικής φόρτισης χόνδρου Χαλάρωση λόγω ροής: 𝜓 𝐾𝐿𝑀 𝑡 = 𝑛=1 ∞ 𝐴 𝑛 𝑣 ⋅ 𝑒 − 𝑎 𝑛 ⋅ 𝐻 𝐴 ⋅𝑘⋅𝑡 𝑟 2 𝐴 𝑛 𝑣 = 1−𝑣 ⋅ 1−2⋅𝑣 1+𝑣 ⋅ 1 1−𝑣 2 ⋅ 𝑎 𝑛 2 − 1−2⋅𝑣

Μοντελοποίηση βάσει Θεωρίας Πολυμερών Συναρτήσεις προσεγγιστικών μοντέλων: 𝜎 𝑡 = 𝑆 0 ⋅ 𝑝=1,3,... 8 𝑝 2 ⋅ 𝜋 2 ⋅ 𝑒 − 𝑝 2 ⋅𝑡 𝑡 𝑑 + 𝑆 1 𝜎 𝑡 = 𝑆 0 ⋅ 𝑒 − 𝑡 𝜏 𝑘𝑤𝑤 𝛽 + 𝑆 1 𝜎= 𝑆 0 ⋅ 1−𝑝 𝑝⋅ 1− 𝑝 𝑁 𝑇 ⋅ 𝑖=1 100 𝑝 𝑖 ⋅ 𝑒 −𝑡⋅𝑖⋅ 𝑙 𝑜 𝑎 + 𝑆 ∞ 𝜎 𝑡 = 𝑆 ∞ ⋅ 1+ 𝑛=1 ∞ 𝐴 𝑛 𝑣 ⋅ 𝑒 − 𝑎 𝑛 ⋅𝐵⋅𝑡

Μοντελοποίηση βάσει Θεωρίας Πολυμερών Reptation

Μοντελοποίηση βάσει Θεωρίας Πολυμερών Χαλάρωση λόγω ροής

Μοντελοποίηση βάσει Θεωρίας Πολυμερών “Sticky”

Μοντελοποίηση βάσει Θεωρίας Πολυμερών Συνδυασμός επιμέρους μοντέλων

Βιβλιογραφία [1]: “Biomechanics: Principles and Applications”, Donald R. Peterson, Joseph D. Bronzino, CRC Press, 2008, ISBN: 13: 978-0-8493-8534-6 [2]: “Time and depth dependent poisson’s ratio of cartilage explained by an inhomogeneous orthotropic fiber embedded biphasic model", Salman Chegini, Stephen J. Ferguson, 4 March 2010 [3]: “A general solution of the axisymmetric contact problem for biphasic cartilage layers", Ivan Argatov, 14 July 2010 [4]: “Elliptical contact of thin biphasic cartilage layers: Exact solution for monotonic loading", I. Argatov, G. Mishuris, 4 November 2010 [5]: “Polymer mechanics as a model for short-term and flow-independent cartilage viscoelasticity", R.K. June, C.P. Neu, J.R. Barone, D.P. Fyhrie, 30 November 2010