ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 6 η : ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Διάλεξη: Ασκήσεις πάνω στην Α.Δ.Ε. για παραμορφώσιμους και δικτυωτούς φορείς. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Άσκηση 1 – Α.Δ.Ε. για παραμορφώσιμους φορείς Έστω η δοκός του σχήματος. Ζητούμενο είναι η u i,P. Δεδομένα άσκησης: Ε=2.1*10 8 kN/m 2 G=0.808*10 8 kN/m 2 J=8360 cm 4 A’=17.6 cm 2 Αρχικά τοποθετείται στο σημείο i μια μοναδιαία δύναμη. Το u i,P θα υπολογιστεί από τη σχέση: 2

Άσκηση 1 – συνέχεια Παρατηρείται ότι τα M, N, Q συνδυάζονται με το μοναδιαίο φορτίο στη θέση i, ενώ τα κ, γ, ε με το εξωτερικό αίτιο. Ισχύουν οι σχέσεις: Επομένως, ο αρχικός τύπος μετασχηματίζεται ως εξής: Άρα, ο φορέας πρέπει να επιλυθεί δύο φορές: μια φορά για το μοναδιαίο και μια φορά για το εξωτερικό φορτίο. Τα ολοκληρώματα υπολογίζονται μέσω δοσμένου πίνακα. Στο συγκεκριμένο φορέα δεν υπάρχουν αξονικές. Άρα θα υπολογιστούν τα M και Q για τις δύο περιπτώσεις φορτίων. 3

Άσκηση 1 – επίλυση φορέα για το μοναδιαίο φορτίο 4

Άσκηση 1 – επίλυση φορέα για το εξωτερικό φορτίο 5

Άσκηση 1 – υπολογισμός ολοκληρώματος με ροπές Στον πίνακα που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων δεν υπάρχουν τύποι διαγραμμάτων που να μπορούν να χρησιμοποιηθούν απευθείας στη συγκεκριμένη περίπτωση. Άρα τα δύο διαγράμματα των ροπών πρέπει να χωριστούν σε επιμέρους διαγράμματα, όπως φαίνεται στο σχήμα. 6

Άσκηση 1 – υπολογισμός ολοκληρώματος με τέμνουσες Αντίστοιχη είναι η διαδικασία για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος των τεμνουσών. Τα δύο διαγράμματα χωρίζονται όπως στο σχήμα: Όλοι οι παραπάνω υπολογισμένοι όροι προστίθενται και υπολογίζεται: 7

Άσκηση 1 – παρατηρήσεις πάνω στο αποτέλεσμα Τα συγκεκριμένα δεδομένα της άσκησης προέρχονται από χαλύβδινη (καθορίζει τα E, G) διατομή IPE300 (καθορίζει τα J, A’). Χρειάζεται προσοχή στη μετατροπή των μονάδων αυτών των μεγεθών. Παρατηρείται ότι οι δύο όροι που προέκυψαν έχουν μεγάλη διαφορά μεταξύ τους σε μέγεθος. Το έργο από την κάμψη είναι πολύ μεγαλύτερο σε σχέση με το έργο από διάτμηση, η οποία είναι αμελητέα. Αυτό είναι ο κανόνας για τα ραβδωτά μέλη (που το μήκος τους είναι πολύ μεγαλύτερο από τις διαστάσεις της διατομής τους). 8

Άσκηση 1 – παρατηρήσεις πάνω στο αποτέλεσμα (συνέχεια) Γενικά, όταν ισχύει h/l 0.1. Το αποτέλεσμα είναι μια μετακίνηση 31.8mm. Ο ίδιος ο τύπος υποδεικνύει το που πρέπει να περέμβει κανείς για να μικρύνει η μετακίνηση (δηλαδή στον όρο της σχέσης που έχει τη μεγαλύτερη συνεισφορά στο αποτέλεσμα). Έτσι, στη συγκεκριμένη περίπτωση θα πρέπει να μεγαλώσει το J της δοκού (άρα να αλλάξει η διατομή) ή να μεγαλώσει το Ε (άρα να αλλάξει το υλικό). 9

Άσκηση 2 – Α.Δ.Ε. για δικτυωτούς φορείς Έστω το δικτύωμα του σχήματος. Ζητούμενο είναι η u Α,P και η φ ΑΒ, P. Δεδομένα για τις ράβδους: Ε r A r =21*10 3 kN. Υπολογισμός της u Α,P : Για τον υπολογισμό της βύθισης πρέπει να εφαρμοστεί στο Α η εργικά αντίστοιχη μοναδιαία δύναμη. Η σχέση της Α.Δ.Ε. που θα χρησιμοποιηθεί είναι: 10

Άσκηση 2 – υπολογισμός u A,P Υπενθυμίζεται ότι για τις ράβδους του δικτυώματος ισχύει: Επομένως η Α.Δ.Ε. γίνεται: Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι πρέπει να υπολογιστούν οι τάσεις όλων των ράβδων τόσο για την εξωτερική φόρτιση, όσο και για το μοναδιαίο φορτίο. Άρα το δικτύωμα θα λυθεί δύο φορές και μάλιστα, με τη μέθοδο της ομόλογης αμφιέρειστης. 11

Άσκηση 2 – επίλυση για την εξωτερική φόρτιση Υπενθυμίζoνται οι τύποι υπολογισμού των τάσεων των ράβδων: Κάνοντας τομές Ritter σύμφωνα με τη γνωστή μέθοδο υπολογίζεται: Οι V υπολογίζονται κατευθείαν από ισορροπία κόμβων: 12

Άσκηση 2 – επίλυση για το μοναδιαίο φορτίο Παρατηρείται ότι οι τιμές των διαγραμμάτων Μ και Q για το μοναδιαίο φορτίο είναι το 1/10 των αντίστοιχων για την εξωτερική φόρτιση. Άρα το ίδιο θα ισχύει και για τις τάσεις των ράβδων που υπολογίζονται μέσω των M και Q. Επομένως: Οι V υπολογίζονται και πάλι από ισορροπία κόμβων: 13

Άσκηση 2 – εύρεση αποτελέσματος για u A,P Αντικαθιστώντας όλες τις παραπάνω τιμές για κάθε ράβδο στον τύπο υπολογισμού της u A,P έχουμε: ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Από τον παραπάνω υπολογισμό φαίνεται ότι εάν μεγαλώσουν οι διατομές των ράβδων U1 και U2 δε θα μικρύνει η ζητούμενη μετακίνηση, καθώς αυτές δεν έχουν καμία συνεισφορά στον υπολογισμό της μετακίνησης αυτής (μηδενικοί όροι). 14

Άσκηση 2 – υπολογισμός φ ΑΒ,P Υπολογισμός της φ ΑΒ,P : Για τον υπολογισμό της γωνίας στροφής της ράβδου ΑΒ πρέπει να εφαρμοστεί το εργικά αντίστοιχο μοναδιαίο μέγεθος. Καθώς όμως δεν είναι δυνατό να φορτιστεί το δικτύωμα με ροπή, το εργικά αντίστοιχο μέγεθος της στροφής της ράβδου είναι το ζεύγος δυνάμεων. Υπολογίζεται ότι για να προκύπτει ροπή ίση με μονάδα θα πρέπει η κάθε δύναμη του ζεύγους δυνάμεων να είναι ίση με kN. 15

Άσκηση 2 – επίλυση για το ζεύγος δυνάμεων Με την εφαρμογή των δυνάμεων αυτών δεν είναι δυνατό να επιλυθεί το δικτύωμα με τη μέθοδο της ομόλογης δοκού. Επομένως θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των κόμβων. Υπολογίζονται αρχικά οι αντιδράσεις και ακολούθως οι τάσεις των ράβδων. 16

Άσκηση 2 – εύρεση αποτελέσματος για φ AΒ,P Στον τύπο υπολογισμού της φ AB,P αντικαθίστανται όλες τις παραπάνω τιμές για κάθε ράβδο: ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το θετικό αποτέλεσμα σημαίνει ότι η ράβδος ΑΒ στρίβει στην πραγματικότητα με τη φορά που θα έστριβε υπό την επίδραση της συγκεκριμένης επιβαλλόμενης μοναδιαίας φόρτισης. 17