ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ Το σύστημα ελέγχου κεφαλής συγκόλλησης αποτελεί ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου, η σχεδίαση του οποίου θα γίνει με βάση τις παρακάτω προδιαγραφές: 1. Σφάλμα ταχύτητας μικρότερο ή το πολύ ίσο με 35% επί της κλίσης του σήματος εισόδου. 2. Συντελεστής απόσβεσης των επικρατούντων ριζών, μεγαλύτερος ή ίσος με Χρόνος αποκατάστασης μικρότερος ή ίσος το πολύ με 3 δευτερόλεπτα. 1ο παράδειγμα: Σύστημα Ελέγχου Κεφαλής Συγκόλλησης

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Το λειτουργικό διάγραμμα αυτού του συστήματος φαίνεται παρακάτω: Ο σκοπός της άσκησης είναι να προσδιορίσουμε της παραμέτρους Κ 1 και Κ 2, ικανοποιώντας τις προδιαγραφές που δοθήκανε

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Αναλύοντας τις προδιαγραφές που μας δίνονται προκύπτουν τα παρακάτω: 1)Σφάλμα ταχύτητας μικρότερο ή το πολύ ίσο με 35% επί της κλίσης του σήματος εισόδου Από τη σχέση αυτή συμπεραίνουμε ότι θα πρέπει να επιλέξουμε μια σχετικά μικρή τιμή για το συντελεστή για να έχουμε ένα μικρό σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη 2) Συντελεστής απόσβεσης των επικρατούντων ριζών, μεγαλύτερος ή ίσος με Θα πρέπει οι ρίζες του κλειστού συστήματος να βρίσκονται στην περιοχή που ορίζεται κάτω από τη γραμμή των 45 0 στο αριστερό τμήμα του μιγαδικού επιπέδου. 3)Χρόνος αποκατάστασης μικρότερος ή ίσος το πολύ με 3 δευτερόλεπτα. Αυτός μπορεί να εκφραστεί άμεσα συναρτήσει του πραγματικού μέρους των επικρατούντων ριζών του συστήματος ως εξής Η περιοχή για την οποία ικανοποιείται ο περιορισμός αυτός καθώς και ο περιορισμός που προκύπτει από το συντελεστή απόσβεσης φαίνονται στο επόμενο σχήμα όπου σ είναι το πραγματικό μέρος των επικρατούντων ριζών

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Για να ικανοποιούνται όλες οι προδιαγραφές θα πρέπει όλες οι ρίζες του συστήματος να βρίσκονται εντός της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Οι παράμετροι που πρόκειται να εκλεγούν στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι οι Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι Ο ΓΤΡ συναρτήσει των μεταβολών της παραμέτρου (όπου έχουμε θέσει αρχικά β=0), προσδιορίζεται από την παρακάτω εξίσωση (και απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Για σημειώνονται οι θέσεις των ριζών στο προηγούμενο διάγραμμα. Για αυτή την τιμή του α διερευνάται η επίδραση των μεταβολών της παραμέτρου με βάση την εξίσωση του τόπου ριζών όπου οι πόλοι της εξίσωσης αυτής είναι οι ρίζες της εξίσωσης που ορίζει τον ΓΤ του προηγούμενου σχήματος. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ο ΓΤΡ που ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση. Για ζ=0.707 έχουμε Το πραγματικό μέρος των ριζών είναι σ=3.15 οπότε T s =1.27 << 3 secs που ήταν η προδιαγαφή

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Η μέθοδος του ΓΤΡ μπορεί να επεκταθεί σε σχέση και με περισσότερες από 2 παραμέτρους, επεκτείνοντας κατάλληλα τον αριθμό των διαδοχικών βημάτων. Επιπλέον για 2 παραμέτρους μπορούμε να λάβουμε μια οικογένεια γεωμετρικών τόπων ριζών έτσι ώστε να προσδιορίσουμε τη συνολική επίδραση των μεταβολών και των 2 παραμέτρων. Π.χ για την παρακάτω χαρακτηριστική εξίσωση που εξαρτάται από τις παραμέτρους α και β. Η εξίσωση του ΓΤΡ συναρτήσει των μεταβολών της παραμέτρου α (με β=0) είναι Η εξίσωση του ΓΤΡ συναρτήσει των μεταβολών της παραμέτρου β είναι

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη 2ο παράδειγμα: Να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος του συστήματος με χαρακτηριστική εξίσωση: Από τη χαρακτηριστική εξίσωση, έχουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου είναι: Το σύστημα ανοικτού βρόχου έχει 1 μηδενικό, z 1 =-10 και 4 πόλους, p 1 =0, p 2 =-1, p 3 =-4 και p 4 =-4. Άρα n=4 και m=1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη  Βήμα 1 ο (αριθμός κλάδων του γεωμετρικού τόπου)= 4 n - m=3 κλάδοι του γεωμετρικού τόπου θα τείνουν στο άπειρο 1 κλάδος θα ξεκινάει από ένα πόλο και θα καταλήγει στο μηδενικό z 1 =-10  Βήμα 2 ο Θα καθορίσουμε τους κλάδους του γεωμετρικού τόπου οι οποίοι βρίσκονται πάνω στον πραγματικό άξονα. Θεωρούμε τα σημεία s 1, s 2, s 3, s 4, s 5 που φαίνονται στο διπλανό σχήμα:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη 1)Σημείο s 1 : Δέξια από το σημείο s 1 υπάρχει ένας πόλος, με φάση και αριστερά του 3 πόλους και 1 μηδενικό, που το καθένα έχει φάση 0 0 Οπότε θα είναι: Απο την παραπάνω σχέση βλέπουμε ότι ικανοποιείται η συνθήκη φάσης, για Κ>0 Περιττό πολλαπλάσιο του Άρα το s 1 ανήκει στο Γ.Τ.Ρ. και το τμήμα [-1,0] ανήκει στο Γ.Τ.Ρ.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Την ίδια διαδικασία ακολουθούμε και για τα επόμενα σημεία. Προσοχή!!! Πρέπει να εξετάσουμε και το διπλό πόλο, δηλαδή αν το σημείο s 3 που βρίσκεται στο διάστημα [-4,-4] είναι σημείο του Γ.Τ.Ρ. Πράγματι, ισχύει: οπότε ικανοποιείται η συνθήκη φάσης και κατα συνέπεια το τμήμα [-4,-4] είναι τμήμα του Γ.Τ.Ρ. Τελικά, τα τμήματα τπου Γ.Τ.Ρ που βρίσκονται στον πραγματικό άξονα είναι:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη  Βήμα 3 ο Προχωράμε στον καθορισμό των ασυμπτώτων του γεωμετρικού τόπου, καθώς το s τείνει στο άπειρο. 1.Αριθμός ασυμπτώτων: Ν Α = n – m= 3 2.Κέντρο των ασυμπτώτων 3.Γωνία των ασυμπτώτων ευθειών ως προς τον πραγματικό άξονα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Στο διπλανό διάγραμμα φαίνονται οι ασύμπτωτες, όπως τοποθετούνται στο μιγαδικό επίπεδο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη  Βήμα 4 ο Σε αυτό το βήμα, θα καθορίσουμε το σημείο θλάσης του γεωμετρικού τόπου. Θα χρησιμοποιήσουμε τον προσεγγιστικό τύπο για εξοικονόμιση πράξεων. Έτσι, Η παραπάνω εξίσωση είναι τριτοβάθμια, κατά συνέπεια χρειαζόμαστε προσεγγιστική μέθοδο. Επειδή το σημείο θλάσης είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου πάνω στον πραγματικό άξονα, οι λύσεις αυτής της εξίσωσης θα βρίσκονται στα διαστήματα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Αναζητώντας σημείο θλάσης στο διάστημα [-1,0], η απόσταση του σ θ από το -10 είναι αρκετά μεγάλη, οπότε η τελευταία σχέση απλοποιείται και γίνεται δευτεροβάθμια. Οπότε και έχουμε: Λύνοντας τη δευτεροβάθμια, προκύπτουν οι εξής λύσεις: σ θ = και σ θ = από τις οποίες μόνο η σ θ = γίνεται δεκτή. Αναζητώντας σημείο θλάσης στο διάστημα, η απόσταση του σ θ από το 0 είναι αρκετά μεγάλη, οπότε καταλήγουμε πάλι σε δευτεροβάθμια εξίσωση:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Λύνοντας τη δυτεροβάθμια, προκύπτουν οι εξής λύσεις: σ θ = και σ θ = από τις οποίες μόνο η σ θ = γίνεται δεκτή. Τα σημεία θλάσης που προκύπτουν αν λύσουμε το σύστημα: Τέλος, να σημειώσουμε ότι οι εφαπτομένες στο σημείο θλάσης ισαπέχουν κατά είναι -0.45, και

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη  Βήμα 5 ο Θα καθορίσουμε τα σημεία τομής του γεωμετρικού τόπου με τον φανταστικό άξονα Σε αυτό το παράδειγμα, δεν θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο Routh-Hurwitz, αλλά θα επιλύσουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση για s= jω. Άρα έχουμε: Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων προκύπτουν οι εξής τιμές: ω c =ω=1.53 rad /sec και K c =K=5.12

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε τους πόλους του κλειστού συστήματος για Κ=Κ c. Το σύστημα προφανώς έχει τέσσερις πόλους και οι δύο φυσικά ειναι μιγαδικοί με μηδενικό πραγματικό μέρος, οπότε ισχύει: Και οι τιμές των α, β, γ είναι: α=1, β=9 και γ= Άρα οι πόλοι του κλειστού συστήματος είναι:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Ο γεωμετρικός τόπος του συστήματος που μας δόθηκε φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου και παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά που υπολογίσαμε στα προηγούμενα βήματα. Παρατηρήσεις: Η φορά που δείχνουν τα βέλη δηλώνουν την κίνηση του κέρδους Κ από το μηδέν στο άπειρο, καθώς ο Γ.Τ.Ρ ξεκινάει από πόλο και καταλήγει σε μηδενικό. Σε αυτό το παράδειγμα δεν υπολογίσαμε γωνία αναχώρησης (ή άφιξης), γιατί οι πόλοι και το μηδενικό βρίσκονται πάνω στον πραγματικό άξονα.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Ο διπλός πόλος στο -4 παρουσιάζει την εξής συμπεριφορά: ο Γ.Τ.Ρ ξεκινάει από τον ένα πόλο (-4) και καταλήγει στο μηδενικό, ένω ταυτόχρονα ξεκινάει από τον άλλο πόλο (-4) και φεύγει στο άπειρο. Στην δεύτερη περίπτωση, η καμπύλη που παρουσιάζεται είναι, γιατί οι εφαπτομένες στο σημείο θλάσης ισαπέχουν κατά Επίσης, μετά το σημείο θλάσης, ο Γ.Τ.Ρ κινείται πάνω στον πραγματικό άξονα, αφού καταρχήν έχουμε καθορίσει το διάστημα να είναι τμήμα του Γ.Τ.Ρ και κατά συνέπεια τα και κατά δεύτερον η δεύτερη ασύμπτωτη έχει Επειδή πρέπει ο Γ.Τ.Ρ. να είναι συμμετρικός, ο κλάδος που ξεκινάει από τον άλλο πόλο και καταλήγει στο μηδενικό είναι η συμμετρική καμπύλη, αυτής που εξηγήσαμε παραπάνω.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη 3ο παράδειγμα: Να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος του συστήματος με συνάρτηση ανοικτού βρόχου: Το σύστημα ανοικτού βρόχου δεν παρουσιάζει μηδενικό, αλλά έχει 4 πόλους, p1=0, p2=-4, p3=-2+j4 και p4=-2-j4. Άρα n=4 και m=0  Βήμα 1 ο (αριθμός κλάδων του γεωμετρικού τόπου)= 4 n - m=4 κλάδοι του γεωμετρικού τόπου θα τείνουν στο άπειρο και οι 4 κλάδοι του γεωμετρικού τόπου θα καταλήγουν στο άπειρο, καθώς το K θα κινείται από το μηδέν στο άπειρο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη  Βήμα 2 ο Θα καθορίσουμε τους κλάδους του γεωμετρικού τόπου οι οποίοι βρίσκονται πάνω στον πραγματικό άξονα. Θεωρούμε τα σημεία s 1, s 2 στα διαστήματα,αντίστοιχα. 1. Σημείο s 1 Δεξιά του s1 υπάρχουν δύο πόλοι, που ο καθένας έχει φάση 180 0, καθώς και 2 μιγαδικοί, οι οποίοι έχουν ο καθένας του φάση Οπότε θα είναι:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Έτσι, δεν ικανοποιείται η συνθήκη φάσης, αφού Περιττό πολλαπλάσιο του Σημείο s 2 Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, καταλήγουμε ότι το τμήμα [-4,-0] ανήκει στο γεωμετρικό τόπο. Άρα το τμήμα δεν ανήκει στο γεωμετρικό τόπο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη  Βήμα 3 ο Προχωράμε στον καθορισμό των ασυμπτώτων του γεωμετρικού τόπου, καθώς το s τείνει στο άπειρο. 1.Αριθμός ασυμπτώτων: Ν Α = n – m= 4 2.Κέντρο των ασυμπτώτων 3.Γωνία των ασυμπτώτων ευθειών ως προς τον πραγματικό άξονα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη  Βήμα 4 ο Για τον υπολογισμό σημείων θλάσης θα χρησιμοποιήσουμε το σύστημα Είναι: Οπότε οι λύσεις της εξίσωσης dK/ds=0 θα είναι: s=-2, s= j και s= j. Άρα έχουμε σημεία θλάσης στο μιγαδικό επίπεδο, εκτός από τον πραγματικό άξονα. Με τον προσεγγιστικό τύπο θα προέκυπτε μόνο το σημείο θλάσης στο s =-2.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη  Βήμα 5 ο Θα καθορίσουμε τη γωνία αναχώρησης με την οποία ο γεωμετρικός τόπος απομακρύνεται από τον πόλο s=-2+4j. Ο τύπος που μας δίνει τη γωνία αναχώρησης δίνεται παρακάτω: όπου είναι η συνάρτηση μεταφοράς σε μορφή πόλων-μηδενικών, ΧΩΡΙΣ τον παράγοντα Άρα:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Έτσι, Λόγω της συμμετρίας από την οποία πρέπει να διέπεται ο γεωμετρικός τόπος, η γώνια αναχώρησης του συζυγούς πόλου θα είναι Δηλαδή,  Βήμα 6 ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Θα καθορίσουμε τα σημεία τομής του γεωμετρικού τόπου με τον φανταστικό άξονα Σε αυτό το παράδειγμα, θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο Routh-Hurwitz. Η χαρακτηρηστική εξίσωση είναι:  Βήμα 7 ο οπότε:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Για να είναι ευσταθές το σύστημα, δεν πρέπει αν έχουμε εναλλαγές προσήμου, δηλαδή θα πρέπει: Άρα η κρίσιμη τιμή για το κέρδος είναι: Αντικαθιστώντας s=jω c και K c =260 στη χαρακτηρηστική εξίσωση, θα υπολογίσουμε την κρίσιμη συχνότητα, ω c :

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε τους πόλους του κλειστού συστήματος για Κ=Κ c. Το σύστημα προφανώς έχει τέσσερις πόλους και οι δύο φυσικά ειναι μιγαδικοί με μηδενικό πραγματικό μέρος, οπότε ισχύει: Και οι τιμές των α, β, γ είναι: α=1, β=8 και γ=26 Άρα οι πόλοι του κλειστού συστήματος είναι:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 8 η Διάλεξη Ο γεωμετρικός τόπος του συστήματος που μας δόθηκε φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου και παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά που υπολογίσαμε στα προηγούμενα βήματα.