Template ID: bloodcells Size: 36x48 Μοντελοποίηση της σχετικής κίνησης ενός ερυθρού αιμοσφαιρίου και του πλάσματος του αίματος. Εφαρμογές. Πρωτοπαπάς Ελευθέριος, Χατζηνικολάου Μαρία Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Dassios G., Hadjinicolaou M., Protopapas E., Blood Plasma Flow Past a Red Blood Cell: Mathematical Modelling and Analytical Treatment. Math. Method. Appl. Scienc., 2012; vol. 35, no. 13, pp – Hadjinicolaou M., Kamvyssas G., Protopapas E., Stokes flow applied to the sedimentation of a red blood cell, Quarterly of Applied Mathematics, Online ISSN ; Print ISSN X, Hadjinicolaou M., Protopapas E., Studying the blood plasma flow past a red blood cell, with the mathematical method of Kelvin’s transformation, Ιnternational Journal of Monitoring and Surveillance Technologies Research, 2014; 2 (1), Hadjinicolaou M., Protopapas E., Studying the blood plasma flow past a red blood cell, with the mathematical method of Kelvin’s transformation, 12 th International Conference on Bioinformatics & Bioengineering (ΒΙΒΕ), 2012, ISBN: Dassios G., Hadjinicolaou M., Kamvyssas G., Kariotou F., Protopapas E., Analytical expansions for the Stress and the Torque, exerted by a viscous fluid on a Red Blood Cell, M3ST2015, Kalamata, 30/8-1/9/2015, p Εισαγωγή Η προσομοίωση της ροής του αίματος είναι πολύ σημαντική στη διάγνωση, την κατανόηση, την πρόληψη και τη θεραπεία πολλών ασθενειών του αίματος. Το αίμα θεωρείται αιώρημα τριών διαφορετικών τύπων κυττάρων: των ερυθρών αιμοσφαιρίων, των λευκών αιμοσφαιρίων και των αιμοπεταλίων, τα οποία βρίσκονται μέσα σε ένα ασυμπίεστο νευτώνιο ρευστό, το πλάσμα του αίματος. Τα ερυθρά αιμοσφαίρια αποτελούν το 45% του όγκου του αίματος, όταν το πλάσμα του αίματος είναι το 54,3% περίπου. 1η Ημερίδα Προβολής του Eρευνητικού Έργου της ΣΘΕΤ Πάτρα 16 Ιουλίου 2016 Ροή του πλάσματος του αίματος γύρω από ένα ερυθροκύτταρο Σχήμα 3. Ροή γύρω από το ερυθροκύτταρο Η μαθηματική τοποθέτηση του προβλήματος είναι: Χρησιμοποιώντας διαδοχικά το αντίστροφο επίμηκες σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων (τ΄, ζ΄, φ) την επίδραση του μετασχηματισμού Kelvin στον τελεστή Ε 4, το επίμηκες σύστημα σύστημα συντεταγμένων (τ, ζ, φ), την ορθογωνιότητα των συναρτήσεων Gegenbauer G n, H n και το γεγονός ότι το επίμηκες σφαιροειδές γίνεται σφαίρα όταν η ημιεστιακή απόσταση c τείνει στο 0, βρίσκουμε τη λύση του προβλήματος (1) που είναι: όπου οι συναρτήσεις g n είναι γραμμικοί συνδυασμοί συναρτήσεων Gegenbauer. Σχήμα 2. Γραμμές ροής γύρω από το ερυθροκύτταρο στο επίπεδο x 2 = 0 Εφαρμογές Χρησιμοποιώντας την τεχνική που αναπτύξαμε, επιλύουμε και το πρόβλημα της μεταφοράς του ερυθρού αιμοσφαιρίου μέσα στο πλάσμα του αίματος. Σχήμα 4. Μεταφορά του ερυθροκυττάρου Η συνάρτηση ροής είναι: Η γνώση της συνάρτησης ροής μας επιτρέπει να υπολογίσουμε διάφορα σημαντικά ρευστομηχανικά μεγέθη. Το γινόμενο του αριθμού Reynolds με τον συντελεστή οπισθέλκουσας (χρησιμοποιώντας μόνο τον πρώτο όρο της σειράς) είναι: Σχήμα 5. Γραφική παράσταση του. Επίσης η ταχύτητα καθίζησης είναι: η οποία είναι συνδεδεμένη με την αιμοατολογική εξέταση που ονομάζεται ταχύτητα καθίζησης των ερυθρών αιμοσφαιρίων (ΤΚΕ). Οι αυξημένες τιμές της ΤΚΕ συναντάται σε κακοήθεις καταστάσεις, νόσους του κολλαγόνου ή αυτοάνοσες. Μαθηματική προτυποποίηση του προβλήματος Η ροή του πλάσματος προτυποποιείται ως έρπουσα και ασυμπίεστη ροή, δηλαδή ως ροή Stokes. Το ερυθρό αιμοσφαίριο, που έχει σχήμα αμφίκοιλου δίσκου, περιγράφεται ικανοποιητικά ως αντίστροφο επίμηκες σφαιροειδές, του οποίου ο άξονας συμμε- τρίας βρίσκεται παράλληλα στη διεύθυνση της ταχύτητας ροής του πλάσματος. Για την επίλυση του προβλήματος συνδυάζονται δύο τεχνικές: η αντιστροφή Kelvin και η επίδρασή της στον τελεστή Stokes και η μέθοδος του ημιχωρισμού των μεταβλητών για τη ροή Stokes σε σφαιροειδή γεωμετρία. Μέθοδος και μαθηματικά εργαλεία Α. Ημιχωρισμός μεταβλητών για τη ροή Stokes στη σφαιροειδή γεωμετρία Ο τελεστής Stokes στο επίμηκες σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων (τ, ζ, φ) δίνεται από τη σχέση Αν Ε 4 = Ε 2 ο Ε 2 και ψ είναι η συνάρτηση ροής, η εξίσωση που περιγράφει τη ροή Stokes είναι Ε 4 ψ = 0 και έχει λύση όπου G n, H n είναι συναρτήσεις Gegenbauer και g n είναι γραμμικοί συνδυασμοί συναρτήσεων Gegenbauer. Η σχέση αυτή αποδεικνύει ότι η ο τελεστής Ε 2 δεν χωρίζει μεταβλητές, αλλά παρουσιάζει ένα είδος χωρισμού που ονομάζεται ημιχωρισμός. Β. Αντιστροφή (μετασχηματισμός) Kelvin Αν b > 0 είναι η ακτίνα της σφαίρας αντιστροφής, η αντιστροφή Kelvin ορίζεται ως Η αντιστροφή Kelvin έχει ενδιαφέρουσα επίδραση πάνω στον τελεστή Stokes. Συγκεκριμένα αν ψ είναι μια αρκετά ομαλή συνάρτηση του Ω, ισχύουν οι σχέσεις και όπου Ω΄ είναι η εικόνα του Ω μέσω του μετασχηματισμού, Ε 2 είναι ο τελεστής Stokes στο Ω, Ε 4 = Ε 2 ο Ε 2, Ε΄ 2 είναι ο τελεστής Stokes στο Ω΄ και Ε΄ 4 = Ε΄ 2 ο Ε΄ 2. Σχήμα 2. Αντιστροφή Kelvin