Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση (Μέρος 1) Daniel Kirschen

Πρόβλημα οικονομικής αποστολής Αρκετές μονάδες παραγωγής που εξυπηρετούν το φορτίο Ποιο είναι το μερίδιο του φορτίου που θα πρέπει κάθε μονάδα παραγωγής να παράγει ; Εξετάστε τα όρια των μονάδων παραγωγής Αγνοήστε τα όρια του δικτύου ABC L © 2011 D. Kirschen and University of Washington 2

Χαρακτηριστικά των μονάδων παραγωγής © 2011 D. Kirschen and University of Washington3 Θερμικές μονάδες παραγωγής Εξετάστε τις τρέχουσες δαπάνες μόνο Εισόδου-εξόδου καμπύλη –Καύσιμα εναντίον της ηλεκτρικής δύναμης Κατανάλωση καυσίμων που μετριέται από το ενεργειακό περιεχόμενό του Ανώτερο και χαμηλότερο όριο στην έξοδο της μονάδας παραγωγής B T G (Είσοδος) Ηλεκτρική δύναμηκαύσιμα (Έξοδος) Output P min P max Input J/h MW

Καμπύλη κόστους Πολλαπλασιάστε τα καύσιμα που εισάγονται από το κόστος καυσίμων Κόστος χωρίς φορτίο -Το κόστος της διατήρησης της μονάδας λειτουργεί, εάν θα μπορούσε να παράγει μηδέν MW Output P min P max Cost $/h MW No-load cost © 2011 D. Kirschen and University of Washington 4

Στοιχειώδης καμπύλη του κόστους Στοιχειώδες καμπύλη του κόστους Παράγωγα της καμπύλης κόστους In $/MWh Το κόστος της επόμενης MWh © 2011 D. Kirschen and University of Washington 5 ∆F ∆P Cost [$/h] MW Incremental Cost [$/MWh] MW

Μαθηματική διατύπωση Σκοπός λειτουργίας Περιορισμοί – Φορτίο / το ισοζύγιο παραγωγής : –Περιορισμοί μονάδων : © 2011 D. Kirschen and University of Washington 6 ABC L Αυτό είναι ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης

Εισαγωγή στη Βελτιστοποίηση

“ Ένας μηχανικός μπορεί να κάνει με ένα δολάριο που οποιοσδήποτε αδέξιος κατασκευαστής μπορεί να κάνει με δύο ” A. M. Wellington ( ) © 2011 D. Kirschen and University of Washington 8

Objective Οι περισσότερες δραστηριότητες μηχανικών έχουν ένα στόχο: – Επίτευξη του καλύτερου δυνατού σχεδιασμού – Επίτευξη των πιο οικονομικών συνθηκών λειτουργίας Αυτός ο στόχος είναι συνήθως ποσοτικά προσδιορίσιμος Παραδείγματα : – ελαχιστοποίηση του κόστους κατασκευής ενός μετασχηματιστή – ελαχιστοποίηση του κόστους της παροχής ηλεκτρικής ενέργειας – ελαχιστοποίηση των απωλειών σε ένα σύστημα ισχύος – μεγιστοποίηση του κέρδους από μια στρατηγική προσφορών © 2011 D. Kirschen and University of Washington 9

Μεταβλητές απόφασης Η αξία του στόχου είναι μια λειτουργία μερικών μεταβλητών απόφασης: Παραδείγματα μεταβλητών απόφασης: –Διαστάσεις του μετασχηματιστή –Έξοδος των μονάδων παραγωγής, θέση των παραμέτρων βρυσών –Παράμετροι των προσφορών για την πώληση ηλεκτρικής ενέργειας © 2011 D. Kirschen and University of Washington 10

Πρόβλημα Βελτιστοποίησης Τι αξία θα πρέπει να λάβει έτσι ώστε οι μεταβλητές απόφασης να είναι ελάχιστες ή μέγιστες? © 2011 D. Kirschen and University of Washington 11

Παράδειγμα: λειτουργία μιας μεταβλητής © 2011 D. Kirschen and University of Washington12 x f(x) x*x* f(x * ) f(x) είναι μέγιστη για x = x*

Ελαχιστοποίηση και Μεγιστοποίηση © 2011 D. Kirschen and University of Washington13 x f(x) x*x* f(x * ) If x = x* μεγιστοποιείται f(x) τότε ελαχιστοποιείται - f(x) -f(x) -f(x * )

Ελαχιστοποίηση και Μεγιστοποίηση Μεγιστοποίηση του f(x) είναι έτσι το ίδιο πράγμα με την ελαχιστοποίηση του g(x) = -f(x) Τα προβλήματα ελαχιστοποίησης και μεγιστοποίησης είναι έτσι εναλλάξιμα Ανάλογα με το πρόβλημα, το βέλτιστο είναι είτε ένα μέγιστο είτε ένα ελάχιστο © 2011 D. Kirschen and University of Washington 14

Απαραίτητη προϋπόθεση για Βελτιστότητα © 2011 D. Kirschen and University of Washington15 x f(x) x*x* f(x * )

Απαραίτητη προϋπόθεση για Βελτιστότητα © 2011 D. Kirschen and University of Washington16 x f(x) x*x*

Παράδειγμα © 2011 D. Kirschen and University of Washington17 x f(x) Για ποιες τιμές του x είναι ? Με άλλα λόγια, για ποιες τιμές του x είναι απαραίτητη η προϋπόθεση για τη βέλτιστη ικανοποίηση;

Παράδειγμα Α, Β, C, D είναι στάσιμα σημεία Α και D είναι τα μέγιστα B είναι ένα ελάχιστο C είναι ένα σημείο καμπής x f(x) ABCD © 2011 D. Kirschen and University of Washington 18

Πώς μπορούμε να διακρίνουμε τα ελάχιστα και τα μέγιστα; © 2011 D. Kirschen and University of Washington19 x f(x) ABCD Η αντικειμενική λειτουργία είναι κοίλη γύρω από ένα μέγιστο

Πώς μπορούμε να διακρίνουμε τα ελάχιστα και τα μέγιστα; x f(x) ABCD Η αντικειμενική λειτουργία είναι κοίλη γύρω από ένα ελάχιστο © 2011 D. Kirschen and University of Washington20

Πώς μπορούμε να διακρίνουμε τα ελάχιστα και τα μέγιστα; © 2011 D. Kirschen and University of Washington21 x f(x) ABCD Η αντικειμενική λειτουργία είναι επίπεδη γύρω από ένα σημείο καμπής

Αναγκαίες και ικανές συνθήκες του Βέλτιστου Απαραίτητη προϋπόθεση : Ικανοποιητική προϋπόθεση : – Για το μέγιστο: – Για το ελάχιστο: © 2011 D. Kirschen and University of Washington 22

Δεν είναι όλο αυτό προφανές; Δεν μπορούμε να πούμε όλο αυτό με την εξέταση της αντικειμενικής λειτουργίας; – Ναι, για μια απλή, μονοδιάστατη περίπτωση όταν ξέρουμε τη μορφή της αντικειμενικής λειτουργίας – Για τις σύνθετες, πολυδιάστατες περιπτώσεις (δηλ. με πολλές μεταβλητές απόφασης) δεν μπορούμε να απεικονίσουμε τη μορφή της αντικειμενικής λειτουργίας – Πρέπει έπειτα να στηριχθούμε στις μαθηματικές τεχνικές © 2011 D. Kirschen and University of Washington 23

Εφικτό σύνολο Οι τιμές που οι μεταβλητές απόφασης μπορούν να πάρουν είναι συνήθως περιορισμένες Παραδείγματα: – Οι φυσικές διαστάσεις ενός μετασχηματιστή πρέπει να είναι θετικές – Η ενεργός ισχύς εξόδου μιας γεννήτριας μπορεί να περιορίζεται σε ένα συγκεκριμένο εύρος ( π.χ. 200 MW σε 500 MW ) – Η αντιδραστική ισχύς εξόδου μιας γεννήτριας μπορεί να περιορίζεται σε μια ορισμένη περιοχή (π.χ MVAr έως 150 MVAr ) © 2011 D. Kirschen and University of Washington 24

Εφικτό Σύνολο x f(x) AD x MAX x MIN Feasible Set Οι τιμές της αντικειμενικής λειτουργίας έξω από το εφικτό σύνολο δεν πειράζουν © 2011 D. Kirschen and University of Washington25

Λύσεις εσωτερικού και ορίου Α και D είναι εσωτερικά μέγιστα B και E είναι εσωτερικά μέγιστα X MIN είναι ένα ελάχιστο όριο X MAX είναι ένα μέγιστο όριο x f(x) AD x MAX x MIN BE Δεν πληρούν τις προϋποθέσεις του βέλτιστου ! © 2011 D. Kirschen and University of Washington26

Δισδιάστατη περίπτωση x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) x2*x2* x1*x1* f(x 1,x 2 ) είναι ελάχιστο για x 1 *, x 2 * © 2011 D. Kirschen and University of Washington27

Απαραίτητες προϋποθέσεις για Βελτιστότητα x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) x2*x2* x1*x1* © 2011 D. Kirschen and University of Washington28

Πολυδιάστατη περίπτωση Σε μια μέγιστη ή ελάχιστη αξία Πρέπει να έχουμε: Ένα σημείο όπου πληρούνται οι προϋποθέσεις αυτές ονομάζεται σταθερό σημείο © 2011 D. Kirschen and University of Washington29

Επαρκείς συνθήκες για Βελτιστότητα x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) minimummaximum © 2011 D. Kirschen and University of Washington30

Επαρκείς συνθήκες για Βελτιστότητα x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) Σημείο σέλας © 2011 D. Kirschen and University of Washington31

Επαρκείς συνθήκες για Βελτιστότητα Υπολογίστε τη Hessian μήτρα στο στάσιμο σημείο: © 2011 D. Kirschen and University of Washington32

Επαρκείς συνθήκες για Βελτιστότητα Υπολογίστε τις ιδιοτιμές της μήτρας Hessian στο σταθερό σημείο Αν όλες οι ιδιοτιμές είναι μεγαλύτερες ή ίσες με το μηδέν: – Η μήτρα είναι θετικά ημι-καθορισμένη – Το σταθερό σημείο είναι ένα ελάχιστο Αν όλες οι ιδιοτιμές είναι μικρότερες ή ίσες με το μηδέν: – Η μήτρα είναι αρνητικά ημι-καθορισμένη – Το σταθερό σημείο είναι ένα μέγιστο Αν κάποιες από τις ιδιοτιμές είναι θετικές και άλλες είναι αρνητικές: – Το σταθερό σημείο είναι ένα σημείο σέλα © 2011 D. Kirschen and University of Washington 33

Περιγράμματα x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) F1F1 F2F2 F2F2 F1F1 © 2011 D. Kirschen and University of Washington34

Περιγράμματα x1x1 x2x2 Minimum or maximum Ένα περίγραμμα είναι η θέση όλων των σημείο που δίνουν την ίδια τιμή με την αντικειμενική συνάρτηση © 2011 D. Kirschen and University of Washington35

Παράδειγμα 1 είναι ένα σταθερό σημείο © 2011 D. Kirschen and University of Washington36

Παράδειγμα 1 Επαρκείς συνθήκες για την βελτιστότητα : Πρέπει να είναι θετικά καθορισμένη ( δηλαδή όλες οι ιδιοτιμές πρέπει να είναι θετικές ) Το σταθερό σημείο είναι ένα ελάχιστο © 2011 D. Kirschen and University of Washington37

Παράδειγμα 1 © 2011 D. Kirschen and University of Washington38 x1x1 x2x2 C=1 C=4 C=9 Minimum: C=0

Παράδειγμα 2 Είναι ένα σταθερό σημείο © 2011 D. Kirschen and University of Washington39

Παράδειγμα 2 Επαρκείς συνθήκες για την βελτιστότητα : Το σταθερό σημείο είναι ένα σημείο σέλας © 2011 D. Kirschen and University of Washington40

Παράδειγμα 2 © 2011 D. Kirschen and University of Washington41 x1x1 x2x2 C=1 C=4 C=9 C=1 C=4 C=9 C=-1 C=-4C=-9 C=0 C=-9C=-4 This stationary point is a saddle point

Βελτιστοποίηση με τους περιορισμούς

Βελτιστοποίηση με τους περιορισμούς ισότητας Υπάρχουν συνήθως περιορισμοί στις τιμές που οι μεταβλητές απόφασης μπορούν να πάρουν © 2011 D. Kirschen and University of Washington 43 Αντικειμενική λειτουργία Περιορισμοί ισότητας

Αριθμός περιορισμών Ν μεταβλητές απόφασης Μ περιορισμοί ισότητας Αν M > N, το πρόβλημα είναι πολύ περιορισμένο – Δεν υπάρχει συνήθως λύση Αν M = N, το πρόβλημα καθορίζεται – Μπορεί να υπάρξει μια λύση Αν M < N, το πρόβλημα είναι λίγο περιορισμένο – Υπάρχει συνήθως χώρος για τη βελτιστοποίηση © 2011 D. Kirschen and University of Washington 44

Παράδειγμα 1 x1x1 x2x2 Minimum © 2011 D. Kirschen and University of Washington45

Παράδειγμα 2 : Οικονομική Αποστολή L G1G1 G2G2 x1x1 x2x2 Total cost Πρόβλημα βελτοστοποίησης: © 2011 D. Kirschen and University of Washington46 Το κόστος της μονάδας λειτουργία 1 Το κόστος της μονάδας λειτουργία 2

Λύση από την αντικατάσταση © 2011 D. Kirschen and University of Washington47 χωρίς περιορισμούς ελαχιστοποίηση

Λύση από την αντικατάσταση Δύσκολο Συνήθως αδύνατον όταν οι περιορισμοί είναι μη γραμμικοί Παρέχει ελάχιστη ή καμία διορατικότητα στη λύση Λύση με τη χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange © 2011 D. Kirschen and University of Washington 48

Κλίση © 2011 D. Kirschen and University of Washington 49

Ιδιότητες της κλίσης Κάθε συστατικό του διανύσματος κλίσης δείχνει το ποσοστό αλλαγής της λειτουργίας σε εκείνη την κατεύθυνση Η κλίση δείχνει την κατεύθυνση κατά την οποία μία συνάρτηση αρκετών μεταβλητών αυξάνει ταχύτερα Το μέγεθος και η κατεύθυνση της κλίσης εξαρτώνται συνήθως από το σημείο εξεταζόμενο Σε κάθε σημείο, η κλίση είναι κάθετη στο περίγραμμα της λειτουργίας © 2011 D. Kirschen and University of Washington 50

Παράδειγμα 3 x y © 2011 D. Kirschen and University of Washington51 A B C D

Παράδειγμα 4 x y © 2011 D. Kirschen and University of Washington52

ΠολλαπλασιαστέςLagrange © 2011 D. Kirschen and University of Washington53

Πολλαπλασιαστές Lagrange © 2011 D. Kirschen and University of Washington54

Πολλαπλασιαστές Lagrange © 2011 D. Kirschen and University of Washington55

Πολλαπλασιαστές Lagrange Η λύση πρέπει να είναι στον περιορισμό © 2011 D. Kirschen and University of Washington56 A B Για να μειώσουμε την αξία του f, πρέπει να προχωρήσουμε σε μία κατεύθυνση αντίθετη προς την κλίση ?

Πολλαπλασιαστές Lagrange Σταματάμε όταν η κλίση της συνάρτησης είναι κάθετη προς τον περιορισμό διότι κινώντας τη περαιτέρω θα αυξήσει την τιμή της συνάρτησης © 2011 D. Kirschen and University of Washington57 A B C Στο βέλτιστο, η κλίση της συνάρτησης είναι παράλληλη προς την κλίση του περιορισμού

Πολλαπλασιαστές Lagrange Στο βέλτιστο πρέπει να έχουμε: is called the Lagrange multiplier © 2011 D. Kirschen and University of Washington58 Η οποία μπορεί να εκφραστεί ως: Όσον αφορά τις συντεταγμένες: Ο περιορισμός πρέπει επίσης να ικανοποιήσει:

Lagrangian λειτουργία Για την απλοποίηση της γραφής των προϋποθέσεων για βελτιστοποίηση, είναι χρήσιμο να ορίσουμε την Lagrangian συνάρτηση: Οι απαραίτητες προϋποθέσεις για βελτιστοποίηση δίνονται έπειτα από τα μερικά παράγωγα Lagrangian : © 2011 D. Kirschen and University of Washington59

Παράδειγμα © 2011 D. Kirschen and University of Washington60

Παράδειγμα © 2011 D. Kirschen and University of Washington61

Παράδειγμα x1x1 x2x2 Ελάχιστο 4 1 © 2011 D. Kirschen and University of Washington62

Σημαντική σημείωση ! Εάν ο περιορισμός είναι της μορφής: Θα πρέπει να περιλαμβάνονται στην Lagrangian ως εξής: Και όχι ως εξής: © 2011 D. Kirschen and University of Washington63

Αίτηση στην οικονομική αποστολή L G1G1 G2G2 x1x1 x2x2 © 2011 D. Kirschen and University of Washington64 Ίση λύση οριακού κόστους

x1x1 x2x2 Καμπύλες κόστους: x1x1 x2x2 © 2011 D. Kirschen and University of Washington65 Καμπύλες οριακού κόστους:

Ερμηνεία αυτής της λύσης x1x1 x2x2 L If < 0, μείωση λ If > 0, αύξηση λ © 2011 D. Kirschen and University of Washington66

Φυσική ερμηνεία x x Το οριακό κόστος είναι το κόστος ενός επιπλέον MW για μία ώρα. Το κόστος εξαρτάται από την παραγωγή της γεννήτρια. © 2011 D. Kirschen and University of Washington67

Φυσική ερμηνεία © 2011 D. Kirschen and University of Washington68

Φυσική ερμηνεία Πληρώνει για να αυξήσει την παραγωγή της μονάδας 2 και να μειώσει την παραγωγή της μονάδας 1 μέχρι να έχουμε : Ο πολλαπλασιαστής Lagrange λ είναι έτσι το κόστος ενός επιπλέον MW στη βέλτιστη λύση. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό αποτέλεσμα με πολλές εφαρμογές στα οικονομικά. © 2011 D. Kirschen and University of Washington69

Γενίκευση Lagrangian: Ένας Lagrange πολλαπλασιαστής για κάθε περιορισμό n + m μεταβλητές: x 1, …, x n and λ 1, …, λ m © 2011 D. Kirschen and University of Washington70

Συνθήκες βελτιστοποίησης n εξισώσεις m εξισώσεις n + m εξισώσεις μέσα σε n + m μεταβλητές © 2011 D. Kirschen and University of Washington71