ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ II Καθ. Πέτρος Π. Γρουμπός Διάλεξη 4η Δειγματοληψία

Εισαγωγή Ένα σημαντικό πρόβλημα, τόσο από θεωρητικής όσο και από πρακτικής απόψεως, είναι η αναπαράσταση σημάτων συνεχούς χρόνου από αντίστοιχα σήματα διακριτού χρόνου Έστω ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t) που ορίζεται σε όλη την ευθεία των πραγματικών αριθμών. Με βάση το σήμα αυτό κατασκευάζουμε ένα σήμα διακριτού χρόνου x[n] που ορίζεται από την σχέση: με Τ >0 και την χρονική μεταβλητή n να παίρνει όλες τις ακέραιες τιμές Η διαδικασία κατασκευής του σήματος διακριτού χρόνου x[n] από το σήμα συνεχούς χρόνου x(t) ονομάζεται δειγματοληψία (sampling)

Εισαγωγή Η σταθερά Τα ονομάζεται περίοδος δειγματοληψίας (sampling period) Αν δοθούν το σήμα συνεχούς χρόνου x(t) και η περίοδος δειγματοληψίας Τ τότε το σήμα διακριτού χρόνου x[n] ορίζεται μονοσήμαντα. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει. Αν δοθεί το σήμα διακριτού χρόνου x[n] και η περίοδος δειγματοληψίας Τ τότε υπάρχουν άπειρα σήματα συνεχούς χρόνου x(t) τέτοια ώστε x(nT)=x[n]. Οι τιμές x[n] του σήματος διακριτού χρόνου είναι τα δείγματα (samples) του σήματος x(t)

Συνεπώς, αναφορικά με το πρόβλημα της δειγματοληψίας, εγείρονται ερωτήματα: Ποιά είναι η κατηγορία των σημάτων τα οποία μπορούν να ανακατασκευασθούν από τα δείγματά τους που προέκυψαν με κάποια κατάλληλη δειγματοληψία; Ποιά είναι η κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας ώστε ένα σήμα που ανήκει στην κατηγορία αυτή να μπορεί να ανακατασκευασθεί από τα δείγματα που προκύπτουν από την δειγματοληψία αυτή; Απάντηση στα προηγούμενα ερωτήματα δίνει το θεώρημα του Shannon. Εισαγωγή

Το θεώρημα του Shannon Ένα σήμα του οποίου ο μετασχηματισμός Fourier μηδενίζεται εκτός ενός πεπερασμένου διαστήματος συχνοτήτων μπορεί να ανακατασκευασθεί από τα δείγματά του υπό την προϋπόθεση ότι η δειγματοληψία έχει γίνει με επαρκώς υψηλή συχνότητα (ή μικρή περίοδο). Θεωρούμε ένα σήμα x(t) του οποίου ο μετασχηματισμός Fourier μηδενίζεται για συχνότητες εκτός ενός πεπερασμένου διαστήματος [-ω 0, ω 0 ]. Μετασχηματισμός Fourier του σήματος Το σήμα μπορεί να προσδιορισθεί από τον αντίστροφο μετασχηματισμός Fourier: Είναι φανερό από την σχέση του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier, ότι το σήμα x(t) θα μπορούσε να ανακατασκευασθεί από τα δείγματα x[n]=x(nT) αν ήταν δυνατό να προσδιορίσουμε τον μετασχηματισμό Fourier Χ(ω) από τα δείγματα αυτά.

Το θεώρημα του Shannon Για τον σκοπό αυτό ορίζουμε την περιοδική συνάρτηση X*(ω) Επειδή η συνάρτηση X*(ω) είναι περιοδική με περίοδο 2ω 0 μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier: όπου είναι η (γωνιακή) συχνότητα της περιοδικής συναρτήσεως X*(ω). Οι συντελεστές Fourier υπολογίζονται: γιατί από τον ορισμό της συναρτήσεως X*(ω) ισχύει X*(ω)=X(ω) για ω ∈ [-ω 0,ω 0 ].

Το θεώρημα του Shannon Οι συντελεστές Fourier μπορούν να προσδιορισθούν και από τα δείγματα του σήματος x(t) θέτοντας στην σχέση του μετασχηματισμού Fourier προκύπτει ότι, Με πολλαπλασιασμό των μελών της σχέσεως αυτής επί π/ω 0 καταλήγουμε στην σχέση ή Το δεξιό μέλος της τελευταίας σχέσεως εκφράζει τους συντελεστές Fourier της συναρτήσεως X*(ω).

Το θεώρημα του Shannon Άρα οι συντελεστές της σειράς Fourier της συνάρτησης X*(ω) προκύπτουν από τις σχέσεις Συνεπώς Τέλος από τις σχέσεις του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier προκύπτει ότι

Το θεώρημα του Shannon και επειδή καταλήγουμε στην σχέση Υπό την προϋπόθεση ότι το σήμα συνεχούς χρόνου είναι περιορισμένης ζώνης συχνοτήτων (band-limited signal), η αριθμητική ανακατασκευή του από τα δείγματα είναι δυνατή αν η συχνότητα με την οποία έχει γίνει η δειγματοληψία είναι ίση με ω 0 /π. Είναι φανερό ότι για τον προσδιορισμό της τιμής του σήματος x(t) σε μία χρονική στιγμή t απαιτείται η γνώση όλων των δειγμάτων

Ανακατασκευή του Σήματος Για να γίνει κατανοητή η σημασία της συχνότητας δειγματοληψίας ας δούμε πως μπορεί να γίνει η δειγματοληψία και η ανακατασκευή του σήματος χωρίς την χρήση αριθμητικών μεθόδων. Στη συνέχεια για να κατανοήσουμε την εφαρμογή του θεωρήματος της δειγματοληψίας θα δώσουμε μια άλλη απόδειξη του τρόπου ανακατασκευής από τα δείγματα ενός σήματος περιoρισμένης ζώνης. θεωρήσουμε λοιπόν ένα σήμα x(t) περιορισμένης ζώνης συχνοτήτων [-ω 0,ω 0 ], δηλαδή ένα σήμα τoυ οποίου ο μετασχηματισμός Fourier ικανοποιεί την σχέση X(ω)=0 για ω ∉ [-ω 0,ω 0 ]. Το σήμα επιβάλλεται σαν είσοδος στην διάταξη του σχήματος:

Ανακατασκευή του Σήματος Το σήμα x(t) πολλαπλασιάζεται με το συρμό κρουστικών σημάτων Η έξοδος του πολλαπλασιαστή είναι το σήμα συνεχούς χρόνου Tο σήμα xp(t) επιβάλλεται σαν είσοδος σε ένα φίλτρο με ζώνη διελεύσεως [-ω 0,ω 0 ] Η λειτουργία της διατάξεως του σχήματος έχει ως εξής:

Ανακατασκευή του Σήματος Το σήμα x(t) Το σήμα x p (t)

Ανακατασκευή του Σήματος Η έξοδος του φίλτρου είναι ένα σήμα y(t) του οποίου ο μετασχηματισμός Fourier θα είναι ο οποίος έχει μετασχηματισμό Fourier την Ετσι προκύπτει η συνάρτηση y(t)=x(t)x δ (t) η οποία έχει μετασχηματισμό Fourier την Υ(ω) που δίνεται από την σχέση:

Ανακατασκευή του Σήματος Για την καλύτερη κατανόηση της λειτουργίας της τελευταίας μονάδας της διατάξεως δειγματοληψίας θεωρούμε τρείς περιπτώσεις:,, Στην περίπτωση αυτή ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος Υ(ω) έχει την μορφή: 1 η περίπτωση, η δε έξοδος x*(t) του συστήματος έχει τον μετασχηματισμό Fourier του σήματος: Αρα x*(t)=x(t)

Ανακατασκευή του Σήματος Στην περίπτωση αυτή ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος Υ(ω) έχει την μορφή: 2 η περίπτωση η δε έξοδος x*(t) του συστήματος έχει τον μετασχηματισμό Fourier του σήματος:

Ανακατασκευή του Σήματος Στην περίπτωση αυτή ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος Υ(ω) έχει την μορφή: 3 η περίπτωση η δε έξοδος x*(t) του συστήματος έχει τον μετασχηματισμό Fourier του σήματος:

Ανακατασκευή του Σήματος Στο ανωτέρω σχήμα φαίνεται ότι x*(t)=x(t) και κατά συνέπεια το σήμα x(t) δεν μπορεί να ανακατασκευασθεί Συνεπώς η ανακατασκευή του σήματος x(t) είναι δυνατή μόνο αν η τιμή της περιόδου δειγματοληψίας είναι μικρότερη της Η Τs ονομάζεται περίοδος δειγματοληψίας Nyquist και εκφράζει την μέγιστη τιμή της περιόδου δειγματοληψίας για την οποία είναι δυνατή η ανακατασκευή του αρχικού σήματος. Η αντίστοιχη συχνότητα η και είναι η οριακή τιμή της συχνότητας δειγματοληψίας κάτω από την οποία είναι αδύνατη η ανακατασκευή του αρχικού σήματος ονομάζεται συχνότητα δειγματοληψίας Nyquist

Παράδειγμα Έστω ημιτονικό σήμαμε περίοδο Τ 0 = 4 sec Άρα συχνότηταΚαι γωνιακή συχνότητα Οπότε το σήμα γράφεται

Παράδειγμα Για το παραπάνω σήμα είναι 2f 0 = 0.5 Έστω ότι για το παραπάνω σήμα επιλέγουμε συχνότητα δειγματοληψίας f s η οποία ικανοποιεί την απαίτηση του θεωρήματος Shannon και είναι: Η περίοδος δειγματοληψίας που αντιστοιχεί είναι και τα δείγματα θα είναι Ημιτονικό σήμα με περίοδο T 0 = 4 sec και η δειγματοληψία του με περίοδο δειγματοληψίας T s = 1 sec

Παράδειγμα Αν όμως επιλέξουμε συχνότητα δειγματοληψίας η οποία δεν ικανοποιεί την απαίτηση του θεωρήματος του Shannon, αν δηλαδή επιλέξουμε τότε η περίοδος δειγματοληψίας θα είναι και τα δείγματα θα είναι: Ημιτονικό σήμα με περίοδο T 0 = 4 sec και η δειγματοληψία του με περίοδο δειγματοληψίας T s = 3 sec