Ενότητα 4 η Το Πεδίο των Συχνοτήτων και η έννοια του Φάσματος

Παράδειγμα Σκιαγραφήστε την κυματομορφή και το φάσμα πλάτους των ημιτονικών σημάτων: και του αθροίσματός τους Το φάσμα πλάτους ενός ημιτονικού σήματος δηλώνεται με ένα κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα, ύψους ίσου με το πλάτος του σήματος, το οποίο τέμνει τον άξονα των συχνοτήτων στο σημείο εκείνο που αντιστοιχεί στη συχνότητα του σήματος

Παράδειγμα

Το φάσμα πλάτους του σύνθετου σήματος x(t), που είναι το άθροισμα των δύο ημιτονικών σημάτων, αποτελείται από δύο συνιστώσες, μία για κάθε ένα από τα ημιτονικά σήματα

Εύρος ζώνης - Bandwidth Bandwidth - BW είναι το διάστημα των συχνοτήτων που περιέχονται στο σήμα

Σειρές Fourier Ένα περιοδικό σήμα x(t), με βασική περίοδο T, μπορεί να παρασταθεί ως ένα άθροισμα ημιτονικών σημάτων, το οποίο ονομάζεται σειρά Fourier. Η τριγωνομετρική μορφή της σειράς Fourier είναι η ακόλουθη όπου f=1/T είναι η συχνότητα του περιοδικού σήματος, και

Σειρές Fourier Μία εναλλακτική μορφή της σειράς Fourier είναι η ακόλουθη: Τα C o, C n και θ n σχετίζονται με τα Α ο, Α n και B n ως εξής:

Η μιγαδική εκθετική αναπαράσταση της σειράς Fourier Ένας άλλος τρόπος έκφρασης της σειράς Fourier ενός περιοδικού σήματος x(t), με βασική περίοδο T, είναι η ακόλουθη μιγαδική εκθετική μορφή: όπου f=1/T είναι η συχνότητα του περιοδικού σήματος, j=(-1) 1/2 Τα Vn είναι γνωστά ως οι μιγαδικοί συντελεστές Fourier και δίδονται από τη σχέση:

Ανάλυση στο Πεδίο των Συχνοτήτων: Η σειρά Fourier Γενικά: Κάθε περιοδικό σήμα μπορεί να γραφεί ως μία σειρά Όπου f m =m/T, j=(-1) 1/2 και οι συντελεστές Χ m δίδονται από την εξίσωση: Η παραπάνω σειρά ονομάζεται σειρά Fourier και παρέχει έναν τρόπο να γράφουμε ένα (σχεδόν οποιοδήποτε) σήμα ως άθροισμα των μιγαδικών σημάτων exp(j2πf m t) τα οποία ονομάζονται αρμονικά σήματα Η σειρά Fourier αποτελεί το κλειδί για να κατανοήσουμε την συμπεριφορά των σημάτων στο πεδίο των συχνοτήτων. Στην ουσία μας μεταφέρει από το πεδίο του χρόνου t στο πεδίο των συχνοτήτων f m.

Παράδειγμα: Τετραγωνικό περιοδικό σήμα Τ1Τ1 Τ Όπου η συνάρτηση sinc(x) ισούται με 1 για x=0 και με sin(πx)/(πx) για x≠0 To αντίστροφο του 1/Τ είναι ο ρυθμός σηματοδοσίας R s

H συνάρτηση sinc Τα μηδενικά της συνάρτησης sinc(x)=sin(πx)/(πx) βρίσκονται στο x=m όπου m≠0 Όταν x  ±∞, τότε η συνάρτηση sinc(x) τείνει στο μηδέν Την συνάρτηση sinc θα την συναντήσουμε πολύ συχνά στις τηλεπικοινωνίες!

Ας παραστήσουμε γραφικά τους συντελεστές Fourier στις αντίστοιχες συχνότητες τους f m Παράδειγμα: Τετραγωνικό περιοδικό σήμα R s =10 3 Hz R s =10 4 Hz Οι συχνότητες f m στις οποίες οι συντελεστές X m έχουν σημαντική τιμή αποτελούν το φάσμα του σήματος. Σε ένα συμμετρικό φάσμα, τo εύρος ζώνης W ορίζεται ως W=2f k όπου f k η συχνότητα στην οποία |X k | 2 /max m {|X m | 2 }=L όπου το L<1 καθορίζεται από την εφαρμογή. Aν L=1/2 τότε W  0.64/T 1. To σχήμα δείχνει πως όσο μεγαλύτερο το R s τόσο πιο απλωμένο είναι το φάσμα στις μεγαλύτερες συχνότητες Τ 1 /Τ=½

Μετασχηματισμός Fourier Τι γίνεται για μη περιοδικά σήματα; Ένα οποιοδήποτε σήμα x(t) μπορεί να θεωρηθεί περιοδικό αν T=+ . Τότε ορίζουμε τον μετασχηματισμό Fourier X(f) ως εξής: Και τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier X(f) ως εξής: Ο μετασχηματισμός Fourier επιτρέπει την περιγραφή των μη περιοδικών σημάτων στο πεδίο των συχνοτήτων.

Παράδειγμα: Τετραγωνικό περιοδικό σήμα Τ1Τ1 Η διάρκεια του παλμού καθορίζει πόσο «απλωμένο» είναι το φάσμα του σήματος X(f). Oι πρώτοι μηδενισμοί του φάσματος συμβαίνουν στο f=±1/T 1. Ένας τρόπος να ορίσουμε το φάσμα είναι η απόσταση μεταξύ των δύο μηδενισμών, W=2/T 1

Σήματα με μιγαδικά φάσματα Στη φύση όλα τα σήματα x(t) είναι πραγματικά To φάσμα Χ(f) ωστόσο του x(t) μπορεί να είναι μιγαδικός αριθμός t1t1 t2t2 T Ενώ λοιπόν το x(t) είναι πραγματικό, το X(f) είναι μιγαδικό! Το φάσμα ενός πραγματικού σήματος είναι συμμετρικό,

Φίλτρα Το φίλτρο είναι ένα σύστημα το οποίο επιδρά με προκαθορισμένο τρόπο στο φάσμα του σήματος εισόδου. Συγκεκριμένα, το φίλτρο τροποποιεί τα πλάτη των φασματικών συνιστωσών του σήματος εισόδου ή ακόμα και τις εξαλείφει. Η συμπεριφορά του περιγράφεται μαθηματικά από μία συνάρτηση της συχνότητας, η οποία καλείται απόκριση συχνότητας του φίλτρου και συμβολίζεται με H(f). Η περιοχή των συχνοτήτων, τις οποίες επιτρέπει το φίλτρο να περάσουν, ονομάζεται ζώνη διέλευσης, ενώ η περιοχή συχνοτήτων, στις οποίες απαγορεύεται η διέλευση, ονομάζεται ζώνη αποκοπής.

Ιδανικά Φίλτρα Τα φίλτρα που επιτρέπουν την αυτούσια διέλευση μέρους του φάσματος του σήματος εισόδου που βρίσκεται σε μία προκαθορισμένη περιοχή συχνοτήτων, ενώ αντίθετα μηδενίζουν το υπόλοιπο φάσμα που βρίσκεται εκτός της περιοχής.

Πραγματικά φίλτρα Τα ιδανικά φίλτρα δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν με υπαρκτά υλικά. Η οξεία αποκοπή που εμφανίζουν τα ιδανικά φίλτρα δεν είναι εφικτή. Εμφανίζουν μία μεταβατική ζώνη μεταξύ της ζώνης διέλευσης και της ζώνης αποκοπής, στην οποία η απόκριση του φίλτρου μειώνεται σταδιακά μέχρι το μηδενισμό της.

Φίλτρα Ένα φίλτρο είναι ένα σύστημα το οποίο επηρεάζει το φάσμα ενός σήματος πολλαπλασιάζοντας κάθε συνιστώσα X(f) του φάσματος με ένα συντελεστή H(f) Η συνάρτηση H(f) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου Παράδειγμα φίλτρου είναι ένα κύκλωμα πυκνωτή αντίστασης σε σειρά Ο πυκνωτής μαζεύει τις χαμηλές συχνότητες, η αντίσταση της υψηλές!