Γράφημα είναι μία διμελής σχέση επί ενός συνόλου την οποία παριστάνουμε με γραφικό τρόπο

Γράφημα Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος (V,Ε) όπου V είναι ένα πεπερασμένο σύνολο κορυφών Ε είναι ένα σύνολο διμελών υποσυνόλων του V που ονομάζεται σύνολο ακμών. Αν e={u,v}  E τότε: Οι κορυφές u και v ονομάζονται γειτονικές Η e λέμε ότι προσπίπτει στη u και στη v και ότι ενώνει τις u και v. Οι κορυφές u και v ονομάζονται άκρα της e.

Παράδειγμα Παράδειγμα: V ={α,β,γ,δ} και Ε={(α,β), (α,δ), (β,δ), (α,γ)} α β δ γ

Βαθμός κορυφής Βαθμός μία κορυφής σε ένα γράφημα G ονομάζεται το πλήθος των ακμών του G που προσπίπτουν στην κορυφή. Συμβολίζουμε το βαθμό της κορυφής v στο G με d(v). Βαθμός ενός γραφήματος ονομάζεται ο μέγιστος βαθμός ανάμεσα σε όλες τις κορυφές. Συμβολίζουμε το βαθμό του G με Δ(G).

Γραφήματα Τα γραφήματα έχουν τον ίδιο βαθμό, ο σχεδιασμός στο επίπεδο, η θέση των κορυφών και τον ακμών δεν παίζει ρόλο.

Γραφήματα Τα παρακάτω γραφήματα δεν είναι ίσα γιατί παρότι σχεδιάζονται με τον ίδιο τρόπο έχουν διαφορετικά σύνολα κορυφώνc α β γ δ

Γραφήματα Τα παρακάτω γραφήματα δεν είναι ίσα γιατί αν και σχεδιάζονται με τον ίδιο τρόπο και έχουν ίδιο σύνολο κορυφών, έχουν διαφορετικά σύνολα ακμών

Ισομορφικά Γραφήματα Δύο γραφήματα ονομάζονται ισομορφικά αν υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση ανάμεσα στις κορυφές τους, η οποία διατηρεί τη γειτνίαση (απεικονίζει γειτονικές κορυφές σε γειτονικές κορυφές και μη γειτονικές σε μη γειτονικές). Δύο γραφήματα που είναι ισομορφικά μπορούν να σχεδιαστούν με το ίδιο τρόπο με εξαίρεση τα ονόματα των κορυφών.

Πίνακας γειτνίασης Γράφημα με σύνολο κορυφών V={v 1, v 2,…, v n }. Ο πίνακας γειτνίασης Α του γραφήματος έχει διάσταση n  n και τα στοιχεία του ορίζονται από την σχέση

Πίνακας πρόσπωστης Έστω γράφημα με σύνολο κορυφών V={v 1,v 2,…,v n } και σύνολο ακμών Ε={e 1,e 2,…,e m }. Ο πίνακας πρόσπωστης Β του γραφήματος έχει διάσταση n  m και τα στοιχεία του ορίζονται από την σχέση

Παράδειγμα – Πίνακας γειτνίασης Συμμετρικός ως προς την διαγώνιο. Τα στοιχεία διαγωνίου είναι μηδέν. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής ή στήλης είναι ο βαθμός της αντίστοιχης κορυφής. Το πλήθος των 1 είναι 2|Ε| (2  αρ. ακμών)

Παράδειγμα – Πίνακας γειτνίασης Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής είναι ο βαθμός της αντίστοιχης κορυφής. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης είναι 2. Το πλήθος των 1 είναι 2|Ε| (2  αρ. ακμών)

Κατευθυνόμενο Διάγραμμα Ένα κατευθυνόμενο διάγραμμα είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος (V,E) όπου V είναι ένα πεπερασμένο σύνολο κορυφών. Ε είναι ένα σύνολο ζευγών (α,β)  V, α ≠β (σύνολο ακμών). Αν e={u,v}  Ε η e ξεκινάει από την u και καταλήγει στη v ή ότι ενώνει τη u με τη v. Εισερχόμενος d + (u) (εξερχόμενος d - (u) ) βαθμός μίας κορυφής σε ένα γράφημα G ονομάζεται το πλήθος των ακμών που καταλήγουν στην (ξεκινούν από την) κορυφή.

Παράδειγμα V={α,β,γ,δ} Ε={(α,β),(α,γ),(α,δ),(β,γ)} α β γ δ

Πίνακες Πίνακας γειτνίασης Α κατευθυνόμενου γραφήματος Πίνακας πρόσπτωσης Β κατευθυνόμενου γραφήματος

Πίνακας γειτνίασης α β γ δ Δεν είναι συμμετρικός ως προς την διαγώνιο. Τα στοιχεία της διαγωνίου είναι μηδέν. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής είναι ο εξερχόμενος βαθμός της αντίστοιχης κορυφής. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης είναι ο εισερχόμενος βαθμός της αντίστοιχης κορυφής. Το πλήθος των 1 είναι |Ε|.

Πίνακας πρόσπτωσης α β γ δ

Βρόχος Βρόχος ονομάζεται μία ακμή που ενώνει μία κορυφή με τον εαυτό της. Στον πίνακα γειτνίασης ενός γραφήματος με βρόχους η διαγώνιος μπορεί να περιέχει 1.

Γράφημα με βάρη Γράφημα με βάρη είναι μία διατεταγμένη τριάδα (V,E,w) όπου w: E  Q. Το βάρος μπορεί να είναι απόσταση κόστος χωρητικότητα α β γ δ 4 Αντί για πίνακα γειτνίασης χρησιμοποιούμε πίνακα βαρών W. Αν οι δύο κορυφές v i και v j (i ≠j) το w ij ισούται με το βάρος της μεταξύ τους ακμής. Συνήθως w ii =0

Υπογράφημα Το γράφημα Γ΄=(V΄,Ε΄) ονομάζεται υπογράφημα του Γ =(V,Ε) αν V΄  V και Ε΄  Ε

Επικαλύπτον Υπογράφημα Έστω γράφημα Γ΄=(V΄,Ε΄) υπογράφημα του Γ =(V,Ε). Το Γ΄ ονομάζεται επικαλύπτον υπογράφημα του Γ αν V΄ = V

Παραγόμενο Υπογράφημα Έστω γράφημα Γ΄=(V΄,Ε΄) υπογράφημα του Γ =(V,Ε). Το Γ΄ ονομάζεται παραγόμενο από το V΄ υπογράφημα του Γ αν περιέχει όλες τις ακμές του Ε με άκρα κορυφές του V΄

Συμπλήρωμα γραφήματος Το γράφημα  Γ = (V,  Ε) όπου  Ε περιέχει όσες ακμές δεν περιέχονται στο Ε ονομάζεται συμπλήρωμα του Γ Γ Γ ΓΓ ΓΓ

Πλήρες Γράφημα Το γράφημα που περιέχει όλες τις δυνατές ακμές μεταξύ των κορυφών του V ονομάζεται πλήρες γράφημα. Συμβολίζουμε το πλήρες γράφημα που περιέχει ν κορυφές με Κ ν. Κ 4 Κ 5

Μονοπάτι Μονοπάτι ονομάζεται μία ακολουθία κορυφών και ακμών v 0,e 1,v 1,e 2,v 2,…,e k,v k τέτοια ώστε η e i να έχει άκρα τις v i-1 και v i για όλα τα i, 1≤i≤k. Το k ονομάζεται μήκος του μονοπατιού. Οι κορυφές v 0 και v k ονομάζονται άκρα του μονοπατιού

Κύκλος Κύκλος ονομάζεται μία ακολουθία κορυφών και ακμών v 0,e 1,v 1,e 2,v 2,…,e k,v k,e 0 τέτοια ώστε το v 0,e 1,v 1,e 2,v 2,…,e k,v k να είναι μονοπάτι και η e 0 να έχει άκρα τις v n και v 0. Το μήκος του κύκλου είναι k

Ορισμοί απλό στοιχειώδες Ένα μονοπάτι ονομάζεται απλό αν δεν περιέχει την ίδια ακμή δύο φορές και στοιχειώδες αν δεν περιέχει την ίδια κορυφή δύο φορές. απλός στοιχειώδης Ένας κύκλος ονομάζεται απλός αν δεν περιέχει την ίδια ακμή δύο φορές και στοιχειώδης αν δεν περιέχει την ίδια κορυφή δύο φορές.

Ορισμοί συνεκτικό Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα ονομάζεται συνεκτικό αν όλα τα ζεύξη κορυφών συνδέονται με μονοπάτι. συνεκτικό Ένα κατευθυνόμενο γράφημα ονομάζεται συνεκτικό αν το γράφημα που προκύπτει όταν αγνοήσουμε τις κατευθύνσεις των ακμών είναι συνεκτικό. ισχυρά συνεκτικό Ένα κατευθυνόμενο γράφημα ονομάζεται ισχυρά συνεκτικό αν υπάρχει μονοπάτι από οποιαδήποτε προς οποιαδήποτε κορυφή.

Κλίκα Κλίκα είναι ένα σύνολο κορυφών ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος οι οποίες είναι ανά δύο γειτονικές

Ανεξάρτητες Κορυφές Ανεξάρτητο σύνολο είναι ένα σύνολο κορυφών ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος οι οποίες είναι ανά δύο μη γειτονικές

Χρωματισμός Κορυφών Χρωματισμός κορυφών ενός γραφήματος ονομάζουμε την ανάθεση χρωμάτων στις κορυφές του έτσι ώστε γειτονικές κορυφές να έχουν διαφορετικά χρώματα. Χρωματισμός ενός γραφήματος ονομάζεται η διαμέριση του συνόλου των κορυφών του σε ανεξάρτητα σύνολα

Χρωματικός Αριθμός Χρωματικός αριθμός ενός γραφήματος είναι το ελάχιστο πλήθος χρωμάτων που απαιτείτε για χρωματισμό των κορυφών του. Συμβολίζουμε τον χρωματικό αριθμό ενός γραφήματος Γ με χ(Γ).

Ταίριασμα Ταίριασμα ονομάζουμε ένα σύνολο ακμών ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος οι οποίες ανά δύο δεν έχουν κοινά άκρα

Χρωματισμός ακμών Χρωματισμός ακμών ενός γραφήματος είναι η ανάθεση χρωμάτων στις ακμές του έτσι ώστε ακμές που προσπίπτουν στην ίδια κορυφή να έχουν διαφορετικά χρώματα. Χρωματισμός ακμών είναι η διαμέριση του συνόλουν των ακμών σε ταιριάσματα.

Χρωματικός Δείκτης Χρωματικός δείκτης ενός γραφήματος είναι το ελάχιστο πλήθος χρωμάτων που απαιτείται για χρωματισμό των ακμών του. Συμβολίζουμε των χρωματικό δείκτη του γραφήματος Γ με ψ(Γ).

Διμερές Γράφημα Ένα γράφημα ονομάζεται διμερές αν το σύνολο των κορυφών του μπορεί να διαμεριστεί σε δύο σύνολα Α και Β ώστε κάθε ακμή να ενώνει μία κορυφή του Α με μία κορυφή του Β.

r-κανονικό Ένα γράφημα ονομάζεται r-κανονικό αν κάθε κορυφή του έχει βαθμό r.

Θεωρήματα Για κάθε γράφημα Γ ισχύει χ(Γ)≤Δ(Γ)+1 Για κάθε γράφημα Γ ισχύει Δ(Γ)≤ψ(Γ)≤Δ(Γ)+1 Για κάθε γράφημα Γ ισχύει χ(Γ)=2 αν και μόνο αν το Γ είναι διμερές. Για κάθε r-κανονικό διμερές γράφημα Γ ισχύει ψ(Γ)=r Για κάθε διμερές κανονικό γράφημα Γ ισχύει ψ(Γ)=Δ(Γ)

Θεώρημα Ramsey Αν χρωματίζουμε τις ακμές του Κ 6 (πλήρες γράφημα με 6 κορυφές) με δύο χρώματα, τότε πάντοτε θα υπάρχει ένα τρίγωνο (Κ 3 ) οι ακμές του οποίου θα έχουν όλες το ίδιο χρώμα. Ο αριθμός Ramsey R(m,n) ορίζεται ως ο ελάχιστος θετικός ακέραιος αριθμός p τέτοιος ώστε σε κάθε χρωματισμό του Κ p με δύο χρώματα (κόκκινο-μπλε) να υπάρχει είτε κόκκινο Κ m υπογράφημα ή μπλε Κ n υπογράφημα.

Θεωρήματα R(m,n)=R(n,m) R(1,n)=1 R(2,n)=n R(m,n)≤R(m-1,n)+R(m,n-1) R(m,n) υπάρχει για κάθε ζεύγος τιμών n≥1, m≥1

Γνωστοί αριθμοί Ramsey R(3,3)=6 R(3,4)=9 R(3,5)=14 R(3,6)=18 R(3,7)=23 R(4,4)=18