1 Κ ΕΦΑΛΑΙΟ 15 ο: Κίνδυνος και πληροφόρηση

2 1. Εισαγωγή: Amazon.Com 2. Περιγραφή επικίνδυνων αποτελεσμάτων: βασικά εργαλεία α. Λαχεία και πιθανότητες β. Προσδοκώμενη τιμή γ. Διακύμανση 3. Αξιολόγηση επικίνδυνων αποτελεσμάτων α. Προτιμήσεις κινδύνου και συνάρτηση χρησιμότητας 4. Αποφυγή και ανάληψη του κινδύνου α. Η ζήτηση για ασφάλιση και το επασφάλιστρο β. Ασύμμετρη πληροφόρηση και ασφάλιση γ. Η αξία της πληροφόρησης και τα δέντρα αποφάσεων

3 Λαχείο είναι κάθε συμβάν με αβέβαια έκβαση. Παραδείγματα: Οι επενδύσεις, η ρουλέτα και ο ποδοσφαιρικός αγώνας. Η πιθανότητα αποτελέσματος (ενός λαχείου) είναι το πόσο πιθανό είναι να συμβεί αυτό το αποτέλεσμα. Παράδειγμα: Συχνά η εκτίμηση της πιθανότητας γίνεται με βάση την παλαιότερη συχνότητα εμφάνισης του αποτελέσματος.

4 Η κατανομή πιθανότητας του λαχείου απεικονίζει όλες τις δυνατές αποδόσεις του λαχείου μαζί με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ιδιότητα: Η πιθανότητα ενός οποιουδήποτε αποτελέσματος κυμαίνεται ανάμεσα στο 0 και το 1. Το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών αποτελεσμάτων ισούται με 1. Οι πιθανότητες που αντικατοπτρίζουν υποκειμενικές απόψεις για επικίνδυνα γεγονότα ονομάζονται υποκειμενικές πιθανότητες.

5 Πιθανότητα Απόδοση 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0 0, δολάρια 67% πιθανότητα αποτυχίας Παράδειγμα: Μια πιθανότητα

6 Πιθανότητα Απόδοση 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0 0, δολάρια 100 δολάρια 67% πιθανότητα αποτυχίας 33% πιθανότητα επιτυχίας Παράδειγμα: Μια πιθανότητα

7 Η προσδοκώμενη τιμή ενός λαχείου είναι ένα μέτρο της μέσης απόδοσης που θα δημιουργήσει το λαχείο. EV = Pr(A)xA + Pr(B)xB + Pr(C) x C Όπου: Pr(.) είναι η πιθανότητα του (.) A,B, και C είναι οι αποδόσεις, αν συμβεί το αποτέλεσμα A, B ή C.

8 Στο παράδειγμα του λαχείου που δώσαμε, και το οποίο αποδίδει 25 δολάρια με πιθανότητα 0,67 και 100 δολάρια με πιθανότητα 0,33, η προσδοκώμενη τιμή είναι: EV = 0,67 x 25 δολάρια + 0,33 x 100 = 50 δολάρια. Υπόψη ότι η προσδοκώμενη τιμή δεν χρειάζεται να είναι ένα από τα αποτελέσματα του λαχείου.

9 Η διακύμανση ενός λαχείου είναι η μέση απόκλιση ανάμεσα στα πιθανά αποτελέσματα του λαχείου και την προσδοκώμενη τιμή του λαχείου. Είναι ένα μέτρο της επικινδυνότητας του λαχείου. Var = (A – EV) 2 (Pr(A)) + (B – EV) 2 (Pr(B)) + (C – EV) 2 (Pr(C)) Η τυπική απόκλιση ενός λαχείου είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Είναι ένα εναλλακτικό μέτρο του κινδύνου.

10 Στην περίπτωση του πιο πάνω λαχείου, το τετράγωνο της απόκλισης της επιτυχίας είναι: Το τετράγωνο της απόκλισης της αποτυχίας είναι: Η διακύμανση είναι: (100 δολάρια – 50 δολάρια) 2 = 50 2 = (25 δολάρια – 50 δολάρια) 2 =25 2 = 625. (2500 x 0,33)+ (625 x 0,67)= 1250

11 Παράδειγμα: Να εργαστώ στην ΙΒΜ ή στην Amazon.Com; Υποθέστε ότι τα άτομα που αντιμετωπίζουν επικίνδυνες εναλλακτικές λύσεις επιχειρούν να μεγιστοποιήσουν την προσδοκώμενη χρησιμότητα, δηλαδή τον σταθμισμένο με την πιθανότητα μέσο όρο της χρησιμότητας από κάθε πιθανό αποτέλεσμα που αντιμετωπίζουν. U(IBM) = U( δολάρια) = 230 U(Amazon) = 0,5xU(4.000 δολάρια) + 0,5 x U( δολάρια) = 0,5(60) + 0,5(320) = 190

12 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: EV(Amazon) = 0,5(4.000 δολάρια) + 0,5( δολάρια) = δολάρια

13 Εισόδημα (χιλιάδες δολάρια/έτος) U(4) = Συνάρτηση χρησιμότητας U(104) = Παράδειγμα: Αξιολόγηση επικίνδυνων αποτελεσμάτων Χρησιμότητα

14 Εισόδημα (χιλιάδες δολάρια/έτος) Χρησιμότητα U(54) = 230 U(4) = 60 0,5u(54)+0,5U(104) = Συνάρτηση χρησιμότητας U(104) = Παράδειγμα: Αξιολόγηση επικίνδυνων αποτελεσμάτων

15 Η προτίμηση του κινδύνου των ατόμων μπορεί να ταξινομηθεί στις εξής κατηγορίες: Ένα άτομο το οποίο προτιμά τη βεβαιότητα αντί ένα λαχείο με την ίδια προσδοκώμενη τιμή λέμε ότι αποστρέφεται τον κίνδυνο. Ένα άτομο το οποίο είναι αδιάφορο αν θα επιλέξει τη βεβαιότητα ή ένα λαχείο με την ίδια προσδοκώμενη αξία, λέμε ότι τηρεί ουδέτερη στάση απέναντι στον κίνδυνο. Ένα άτομο το οποίο προτιμά ένα λαχείο αντί τη βεβαιότητα που ισούται με την προσδοκώμενη τιμή του λαχείου, λέμε ότι προτιμάει τον κίνδυνο. Σημειώσεις: Η χρησιμότητα ως συνάρτηση του ετήσιου εισοδήματος μόνο Φθίνουσα οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος

16 Υποθέστε ότι ένα άτομο πρέπει να αποφασίσει αν θα αγοράσει δύο μετοχές: τη μετοχή μιας εταιρείας που δραστηριοποιείται μέσω του Διαδικτύου και τη μετοχή μιας επιχείρησης κοινής ωφέλειας. Οι τιμές που μπορούν να πάρουν οι μετοχές αυτές (και συνεπώς το εισόδημα από τη μετοχή, I) και οι αντίστοιχες πιθανότητες να πάρει κάθε τιμή η μετοχή δίνονται από τον παρακάτω πίνακα: Εταιρεία στο Διαδίκτυο Επιχείρηση κοινής ωφέλειας I Πιθανότητα I Πιθανότητα 80 δολάρια 0,3 80 δολάρια 0,1 100 δολάρια 0,4 100 δολάρια 0,8 120 δολάρια 0,3 120 δολάρια 0,1 Παράδειγμα:

17 Ποια μετοχή θα πρέπει να αγοράσει το άτομο, αν έχει συνάρτηση χρησιμότητας U = (100I) 1/2 ; Ποια μετοχή θα πρέπει να αγοράσει αν έχει συνάρτηση χρησιμότητας U = I; EU(Διαδίκτυο) = 0,3U(80) + 0,4U(100) + 0,3U(120) EU(Επιχείρηση κοινής ωφέλειας) = 0,1U(80) + 0,8U(100) + 0,1U(120) α. U = (100I) 1/2 : U(80) = (8000) 1/2 = 89,40 U(100) = (10000) 1/2 = 100 U(120) = (12000) 1/2 = 109,5

18  EU(Διαδίκτυο) = 0,3(89,40) + 0,4(100) + 0,3(109,50) = 99,70  EU(Επιχείρηση κοινής ωφέλειας) = 0,1(89,40) + 0,8(100) + 0,1(109,50) = 99,9 Το άτομο πρέπει να αγοράσει την τιμή της επιχείρησης κοινής ωφέλειας.

19 β. U = I:  EU(Διαδίκτυο) = 0,3(80) + 0,4(100) + 0,3(120) = 100  EU(Επιχείρηση κοινής ωφέλειας) = 0,1(80) + 0,8(100) + 0,3(120) = 100 Το άτομο είναι αδιάφορο ανάμεσα στις δύο μετοχές.

20 Εισόδημα Συνάρτηση χρησιμότητας 100 δολάρια 0 U(100) U(25) 25 δολάρια U(50) 50 δολάρια Παράδειγμα: Συνάρτηση χρησιμότητας ενός ατόμου που αποστρέφεται τον κίνδυνο Χρησιμότητα

21 Εισόδημα Συνάρτηση χρησιμότητας 100 δολάρια 0 U(100) U(25) 25 δολάρια U(50) A EU 50 δολάρια Χρησιμότητα Παράδειγμα: Συνάρτηση χρησιμότητας ενός ατόμου που αποστρέφεται τον κίνδυνο

22 Εισόδημα Συνάρτηση χρησιμότητας 0 U1U1 II II Χρησιμότητα Παράδειγμα: Συνάρτηση χρησιμότητας ενός ατόμου που αποστρέφεται τον κίνδυνο

23 Χρησιμότητα Εισόδημα Συνάρτηση χρησιμότητας 0 U1U1 II II  U 2 Παράδειγμα: Συνάρτηση χρησιμότητας ενός ατόμου που αποστρέφεται τον κίνδυνο

24 Χρησιμότητα Εισόδημα Συνάρτηση χρησιμότητας 0 Προτιμήσεις για αδιαφορία ως προς τον κίνδυνο Προτιμήσεις για τον κίνδυνο Χρησιμότητα Εισόδημα 0 Παράδειγμα: Συναρτήσεις χρησιμότητας ενός ατόμου που τηρεί ουδέτερη στάση απέναντι στον κίνδυνο και ενός ατόμου που προτιμάει τον κίνδυνο

25 1. Ασφάλιση Παράδειγμα: Το επασφάλιστρο Συμβουλευτείτε το διάγραμμα στην επόμενη διαφάνεια

Εισόδημα (χιλιάδες δολάρια/έτος) Χρησιμότητα U(54) = 230 U(4) = 60 0,5u(4) + 0,5U(104) = Συνάρτηση χρησιμότητας U(104) = Επασφάλιστρο = οριζόντια απόσταση, δολάρια D E

27 Το επασφάλιστρο ενός λαχείου είναι η απαραίτητη διαφορά ανάμεσα στην προσδοκώμενη τιμή του λαχείου και τη βεβαιότητα έτσι ώστε ο αρμόδιος λήψης αποφάσεων να είναι αδιάφορος ανάμεσα στο λαχείο και τη βεβαιότητα. pU(I 1 ) + (1 – p)U(I 2 ) = U(pI 1 + (1 – p)I 2 – RP) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Μπορούμε να δούμε από το διάγραμμα ότι όσο μεγαλύτερη είναι η διακύμανση του λαχείου, τόσο υψηλότερο είναι το επασφάλιστρο.

28 U = I 1/2 ; p = 0,5 I 1 = δολάρια I 2 = δολάρια Παράδειγμα: Υπολογισμού του επασφάλιστρου

29 0,5( ) 1/2 + 0,5(4.000) 1/2 = (0,5( ) + 0,5(4.000) – RP) 1/2 192,87 δολάρια = ( δολάρια – RP) 1/ δολάρια = δολάρια – RP RP = δολάρια α. Επαληθεύστε ότι το επασφάλιστρο (RP) γι΄ αυτό το λαχείο είναι δολάρια περίπου

30 β. Έστω ότι I 1 = δολάρια και I 2 = 0 δολάρια. Ποιο είναι τώρα το επασφάλιστρο (RP); 0,5( ) 1/2 + 0 = (0,5( ) + 0 – RP) 1/2 0,5( ) 1/2 = ( – RP) 1/2 RP = δολάρια (Το επασφάλιστρο αυξάνεται όταν αυξάνεται η διακύμανση. Η προσδοκώμενη τιμή (EV) είναι ίδια…)

31 Λαχείο: δολάρια αν δεν συμβεί ατύχημα (p = 0,95) δολάρια, αν συμβεί ατύχημα (1 – p = 0,05) (δηλαδή, «Αρχικό κεφάλαιο» σημαίνει ότι το εισόδημα σε καλή κατάσταση υγείας είναι δολάρια, και σε κακή κατάσταση υγείας το εισόδημα είναι ). EV = 0,95( δολάρια) + 0,05( δολάρια) = δολάρια

32 Ασφάλιση: κάλυψη= δολάρια Τιμή= 500 δολάρια δολάρια, η βεβαιότητα. Γιατί; Σε καλή κατάσταση υγείας, παίρνουμε = δολάρια Σε κακή κατάσταση υγείας, παίρνουμε –500 = δολάρια

33 Αν είστε άτομο που αποστρέφεται τον κίνδυνο, προτιμάτε να ασφαλιστείτε κατ΄ αυτό τον τόπο αντί να μην ασφαλιστείτε καθόλου… Γιατί; Πλήρης κάλυψη (  δεν υπάρχει καθόλου κίνδυνος και συνεπώς προτιμάτε όλα τα άλλα ίσα) Ένα ασφαλιστήριο συμβόλαιο σε λογική τιμή είναι εκείνο στο οποίο το ασφάλιστρο (η τιμή) ισούται με την προσδοκώμενη τιμή της απόδοσης που μας υποσχέθηκαν, δηλαδή, 500= 0,05(10.000) + 0,95(0)

34 Εδώ, επομένως η ασφαλιστική εταιρεία προσδοκά να εξισώσει τα έξοδα με τα έσοδα και αναλαμβάνει όλο τον κίνδυνο! Για ποιο λόγο θα δεχόταν μια ασφαλιστική εταιρεία να προσφέρει αυτό το συμβόλαιο; Δεν προϋποθέτει ότι στον πληθυσμό θα υπάρχουν άτομα που προτιμούν τον κίνδυνο Η τιμή είναι πάνω από τη «λογική» τιμή. Δυσμενής επιλογή, ηθικός κίνδυνος και ασφάλιση Δυσμενής επιλογή είναι ο καιροσκοπισμός που χαρακτηρίζεται από το ότι ένα άτομο που διαθέτει πληροφόρηση ωφελείται από τη συναλλαγή ή την καθ΄ οιονδήποτε άλλο τρόπο συνεργασία με ένα άλλο λιγότερο καλά πληροφορημένο άτομο το οποίο δεν γνωρίζει κάποιο μη ορατό χαρακτηριστικό του ατόμου που διαθέτει την πληροφόρηση.

35 Παράδειγμα: Ασφάλιση και ένα εκ γενετής πρόβλημα Ηθικός κίνδυνος είναι ο καιροσκοπισμός που χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι ένα πληροφορημένο άτομο εκμεταλλεύεται ένα λιγότερο πληροφορημένο άτομο μέσω μιας μη ορατής ενέργειας. Παράδειγμα: Ασφάλιση και επικίνδυνη συμπεριφορά

36 Λαχείο: δολάρια, αν δεν υπάρξει τύφλωση (p = 0,95) δολάρια, αν συμβεί τύφλωση (1 – p= 0,05) EV = δολάρια (λογική) ασφάλιση: Κάλυψη = δολάρια Τιμή = 500 δολάρια 500 δολάρια = 0,05(10.000) + 0,95(0)

37 Υποθέστε ότι η πιθανότητα τύφλωσης κάθε ατόμου διαφέρει  [0,1]. Ποιος θα αγοράσει αυτό το ασφαλιστήριο; Τώρα, p’ = 0,10 έτσι ώστε… EV της απόδοσης = (0,1)(10.000) + (0,9)(0) = δολάρια Ενώ η τιμή του ασφαλιστηρίου είναι μόνο 500 δολάρια… Η ασφαλιστική εταιρεία δεν εξισώνει πλέον τα έσοδα με τα έξοδα!

38 Υποθέστε ότι αυξάνουμε την τιμή του ασφαλιστηρίου σε δολάρια… Τώρα p’’ = 0,20 έτσι ώστε… EV της απόδοσης= (0,2)(10.000) + (0,8)(0)= δολάρια Συνεπώς η ασφαλιστική εταιρεία ούτε τώρα εξισώνει τα έσοδα με τα έξοδα!  Αυτή είναι μια αποτυχία της αγοράς! Θεωρήστε το εξής πρόβλημα που αφορά την απόφαση: Το δέντρο αποφάσεων είναι ένα διάγραμμα που περιγράφει τις διαθέσιμες επιλογές που έχει ένας αρμόδιος λήψης αποφάσεων, αλλά και τα επικίνδυνα γεγονότα που μπορούν να εμφανιστούν ανά πάσα χρονική στιγμή.

39 Στοιχεία του δέντρου αποφάσεων: 1. Κόμβοι απόφασης 2. Κόμβοι τύχης 3. Πιθανότητες 4. Αποδόσεις

40 Παράδειγμα: Ένα δέντρο αποφάσεων

41 Παράδειγμα: Ένα δέντρο αποφάσεων A B C D E F Μεγάλο εργοστάσιο Μικρό Εργοστάσιο Σεισμική δοκιμή Μεγάλη δεξαμενή, pr = 0,5 Μικρή δεξαμενή, pr = 0,5 Απόδοση εταιρείας πετρελαίων 50 δολάρια 10 δολάρια 30 δολάρια 20 δολάρια pr = 0,5 50 δολάρια 30 δολάρια 10 δολάρια 20 δολάρια Μεγάλη δεξαμενή, pr = 0,5 Μικρή δεξαμενή, pr = 0,5 Μεγάλη δεξαμενή Μικρή δεξαμενή Μεγάλο εργοστάσιο Μικρό Εργοστάσιο Μικρό Εργοστάσιο

42 Αναλύουμε προβλήματα αποφάσεων κινούμενοι από το τέλος προς την αρχή κατά μήκος του δέντρου αποφάσεων για να αποφασίσουμε ποια θα είναι η άριστη απόφαση…

43 Στάδια για την κατασκευή και την ανάλυση του δέντρου: 1. αποτύπωση της σειράς των αποφάσεων και των γεγονότων 2. εντοπισμός των εναλλακτικών λύσεων που είναι διαθέσιμες για κάθε απόφαση 3. εντοπισμός των πιθανών αποτελεσμάτων για κάθε επικίνδυνο γεγονός 4. προσδιορισμός πιθανοτήτων σε όλα τα γεγονότα 5. προσδιορισμός των αποδόσεων σε όλους τους συνδυασμούς αποφάσεων/γεγονότων 6. εντοπισμός της άριστης σειράς των αποφάσεων Η αξία της πλήρους πληροφόρησης είναι η αύξηση της προσδοκώμενης απόδοσης του λήπτη των αποφάσεων όταν το άτομο αυτό μπορεί –ανέξοδα- να εξασφαλίσει πληροφορίες που αποκαλύπτουν την έκβαση του επικίνδυνου γεγονότος.

44 Προσδοκώμενη απόδοση για την διεξαγωγή της δοκιμής: 35 εκατομμύρια δολάρια Προσδοκώμενη απόδοση για τη μη διεξαγωγή της δοκιμής: 30 εκατομμύρια δολάρια Η αξία της πληροφόρησης: 5 εκατομμύρια δολάρια Η αξία της πληροφόρησης αντικατοπτρίζει την αξία του να μπορείς να προσαρμόσεις τις αποφάσεις σου στις συνθήκες που θα επικρατήσουν πραγματικά στο μέλλον. Πρέπει να δείχνει την προθυμία του φορέα να πληρώσει για μια «πρόβλεψη». Παράδειγμα:

45 1. Τις επικίνδυνες αποφάσεις μπορούμε να τις θεωρήσουμε ως λαχεία. 2. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα άτομα μεγιστοποιούν την προσδοκώμενη χρησιμότητα όταν αντιμετωπίζουν κίνδυνο. 3. Τα άτομα διαφέρουν ως προς τη στάση τους απέναβτι στον κίνδυνο: αυτοί που προτιμούν τη βεβαιότητα είναι άτομα που αποστρέφονται τον κίνδυνο. Αυτοί που αδιαφορούν για τον κίνδυνο τηρούν στάση ουδέτερη προς τον κίνδυνο. Αυτοί που προτιμούν τον κίνδυνο είναι άτομα που τους αρέσει ο κίνδυνος. 4. Η ασφάλιση μπορεί να βοηθήσει στην αποφυγή του κινδύνου. Το άριστο ποσό της ασφάλισης εξαρτάται από τη στάση μας απέναντι στον κίνδυνο.

46 5. Η παροχή ασφάλισης από άτομα δεν προϋποθέτει την ύπαρξη ατόμων που προτιμούν τον κίνδυνο. 6. Η δυσμενής επιλογή και ο ηθικός κίνδυνος μπορούν να προκαλέσουν αναποτελεσματικότητα στις ασφαλιστικές αγορές. 7. Μπορούμε να υπολογίσουμε την αξία της απόκτησης πληροφοριών προκειμένου να μειωθεί ο κίνδυνος αναλύοντας την προσδοκώμενη απόδοση για να εξαλειφθεί ο κίνδυνος από ένα δέντρο αποφάσεων και να συγκριθεί αυτή με την προσδοκώμενη απόδοση όταν αποδεχθούμε τον κίνδυνο.