1 Ενότητα #: Η δομή των αστέρων 4 Παναγιώτα-Ελευθερία Χριστοπούλου Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Δομή των αστέρων IV Εξισώσεις αστρικής δομής 2

Σκοποί Ενότητας Σκοπός της συγκεκριμένης ενότητας είναι οι φοιτητές να έρθουν σε επαφή με τις λεπτομέριες της δομής των αστέρων. 3

Περιεχόμενα Ενότητα 4 Για όλους τους αστέρες που είναι –μεμονωμένοι, στατικοί και σφαιρικά συμμετρικοί υπάρχουν 4 βασικές εξισώσεις που περιγράφουν τη δομή τους. ¨Όλες οι φυσικές ποσότητες που εμπλέκονται είναι συνάρτηση του r 1)Εξίσωση υδροστατικής ισορροπίας (Equation of hydrostatic equilibrium): σε κάθε ακτίνα ο αστέρας ούτε συστέλλεται ούτε διαστέλλεται 2)Διατήρηση μάζας (Conservation of mass) 3)Διατήρηση ενέργειας (Conservation of energy) : σε κάθε ακτίνα, η μεταβολή της ροής ενέργειας= ρυθμό έκλυσης ενέργειας στο r 4)Εξίσωση μεταφοράς ενέργειας : σχέση μεταξύ ροής ενέργειας και τοπικής βαθμίδας θερμοκρασίας Επιπλέον των 3 υποθέσεων Καταστατική εξίσωση (πίεση ως συνάρτηση πυκνότητας και θερμοκρασίας) Αδιαφάνεια (πόσο αδιαφανές είναι το αέριο στο πεδίο ακτινοβολίας) Ρυθμός παραγωγής πυρηνικής ενέργειας στον πυρήνα

Θεωρητική αστρική εξέλιξη 5 Τα σύγχρονα αστρικά εξελικτικά μοντέλα καταλήγουν σε ένα θεωρητικό HR- διάγραμμα όπως στο σχήμα. Προς το παρόν ασχολούμαστε με τη βασική φυσική πίσω από τους υπολογισμούς των παραπάνω μοντέλων.

Χαρακτηριστικοί χρόνοι Ο δυναμικός χρόνος (The dynamical timescale) Στο Μάθημα-L2: Χρόνος στον οποίο καταρρέει από R εάν δεν είχε εσωτερική πίεση Για τον Ήλιο t d ~2000s Ο Θερμικός χρόνος (The thermal timescale) Στο Μάθημα-L3 : Χρόνος στον οποίο ο αστέρας εκλύει όλη την αποθηκευμένη θερμική του ενέργεια από συστολή με την προϋπόθεση ότι διατηρεί σταθερή L (χρόνος Kelvin-Helmholtz ) Για τον Ήλιο t th ~30 Myrs Ο πυρηνικός χρόνος (The nuclear timescale ) Χρόνος για να καταναλώσει όλα τα πυρηνικά καύσιμά του ( (  = ενέργεια σύνδεσης /ενέργεια ηρεμίας νουκλεονίου) Για τον Ήλιο t nuc είναι μεγαλύτερος από την ηλικία του Σύμπαντος 6

Εξίσωση μεταφοράς ενέργειας δια ακτινοβολίας 7 Έστω ότι δεν ικανοποιείται η συνθήκη ανοδικών ρευμάτων. Ποια θα είναι η σχέση που συνδέει την μεταβολή της Τ με την ακτίνα του αστέρα εάν όλη του η ενέργεια μεταφέρεται με ακτινοβολία (αγνοούμε αγωγή και ανοδικά ρεύματα). Η εξίσωση μεταφοράς ενέργειας με ακτινοβολία (διάδοσης ενέργειας) H διάδοση ροής ενέργειας ως συνάρτηση της θερμοβαθμίδας ( δηλαδή ως συνάρτηση του r= μεταβολή της θερμοκρασίας ως συνάρτηση της απόστασης) Όπου κ R είναι η αδιαφάνεια που αποτελεί μέτρο της αντίστασης ενός υλικού στη ροή ενέργειας.

Λύνοντας τις εξισώσεις της δομής των αστέρων 8 Θεωρώντας ότι δεν υπάρχει ο μηχανισμός μεταφοράς μάζας όπου r = ακτίνα P = πίεση σε ακτίνα r M = μάζα που περιέχεται σε ακτίνα r  = πυκνότητα σε ακτίνα r L = φωτεινότητα σε ακτίνα r sphere of radius r) T = θερμοκρασία σε ακτίνα r  R = μέση αδιαφάνεια Rosseland για ακτίνα r  = ενέργεια που εκλύεται ανά μονάδα μάζας και χρόνου P = P ( , T, χημική σύνθεση)  R =  R ( , T, χημική σύνθεση)  =  ( , T, χημική σύνθεση) Καταστατική εξίσωση (1)(2)(3)(4)

Οριακές συνθήκες 9 Οι δύο είναι προφανείς, στο κέντρο του αστέρα r=0 M=0, L=0 στο r=0 Στην επιφάνεια; …ποιά επιφάνεια; Για τον ‘Ήλιο  (επιφάνειας)~10 -4 kg m -3 <<< από μέση πυκνότητα  (μέση)~1.4  10 3 kg m -3 (την υπολογίσαμε). Επίσης T eff =5780K <<<ελάχιστη μέση 2  10 6 K. Δύο προσεγγίσεις για τις οριακές συνθήκες στην επιφάνεια :  = T =P= 0 για r=r s Δηλαδή υπάρχει σαφές όριο μεταξύ αστέρα και περιβάλλοντα χώρου Εάν γνωρίζουμε M s και Ls από παρατηρήσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αντίι  =0, T=0 για M=M s τις παρατηρούμενες τιμές καιι χρήση μοντέλου αστρικής ατμόσφαιρας. Ολοκλήρωση P. T, M, L από έξω προς τα μέσα μεχρι το κέντρο όπου Μ=0 και L=0 Στην πράξη αλλάζουμε χημική σύσταση μέχρι να επιτύχουμε Μ=0 και L=0 στο κέντρο ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΑΣΤΕΡΑ P(r), T (r), M (r), L (r), ρ (r ) και χημική σύσταση. Με βαση τα μοντέλα η κ.μ περιεκτικότητα ενός αστέρα σε Η, Ηe >95% της μάζας του και σε Η > 70% ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ =κατασκευή μοντέλων διαφορετικής μάζας

Χρήση μάζας ως ανεξάρτητης μεταβλητής 10 Επειδή η ακτίνα ενός αστέρα μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της εξέλιξης του (και όχι η μάζα του), εκφράζουμε τις εξισώσεις (1),(2),(3),(4) ως προς τη μάζα διαιρώντας με την εξίσωση συνέχειας μάζας και παίρνουμε 4 εξισώσεις ως προς τη μάζα (Μ) Με οριακές συνθήκες : r=0, L=0 για M=0  =0, T=0 για M=M s Υπάρχουν άλλες 3 για τις P, ,  (με την υπόθεση ιδανικού αερίου με αμελητέα πίεση αερίου και εκθετικούς νόμους αδιαφάνειας και παραγωγής ενέργειας) Όπου , ,  σταθερές και  0 και  0 σταθερές για δεδομένη χημική σύνθεση. Αριθμητικά με υπολογιστή (II)(I) (III)(IV)

Αστρική εξέλιξη 11 Με δεδομένη μάζα και χημική σύσταση μπορούμε να καθορίσουμε τη δομή του αστέρα με τις παραπάνω εξισώσεις. Δεν περιέχουν όμως χρονική εξάρτηση άρα πως θα μελετήσουμε την εξέλιξη; Ευτυχώς σε πολλά στάδια οι χρονικές μεταβολές είναι μικρές και αμελητέες. Είδαμε ότι εάν η εξέλιξη ενός αστέρα γίνεται με μικρότερο ρυθμό από το δυναμικό χρόνο ζωής μπορούμε να αγνοήσουμε τις μεταβολές δηλαδή αναπάλσεις Και για τον Ήλιο t d ~2000s, οπότε ισχύει Επίσης εάν ο πυρηνικός χρόνος είναι πολύ μεγαλύτερος από τον t th δεν υπάρχει χρονική εξάρτηση στην εξίσωση παραγωγής ενέργειας. Αρα έχουμε υποθέσει ότι ισχύει

Αστρική εξέλιξη 12 Εάν δεν υπάρχουν μεγάλες κινήσεις υλικού στο εσωτερικό, τότε οι μεταβολές της χημικής σύνθεσης είναι τοπικές και η χημική σύνθεση του αστέρα είναι συνάρτηση της M. Πως θα εξελισσόταν ένα μοντέλο… Εάν υπάρχουν τότε οι μεταβολές της χημικής σύνθεσης είναι ο κύριος παράγοντας που καθορίζει την εξέλιξη του αστέρα θα πρέπει να έχουμε εξίσωση μεταβολής της χημικής σύνθεσης. Εάν C X,Y,Z είναι η χημική σύνθεση ως προς τη μάζα του υδρογόνου (X), ήλιου, (Y) και μετάλλων (Z) [δηλαδή για το Ηλιακό σύστημα X=0.7,Y=0.28, Z=0.02]

Επίδραση των ρευμάτων 13 Πότε θα πρέπει να λάβουμε υπόψη τη μεταφορά ύλης δια ρευμάτων; Ας κάνουμε ένα πρόχειρο υπολογισμό της ποσότητας της ενέργειας που μεταφέρεται με ρεύματα. Τα ανοδικά είναι θερμότερα από το περιβάλλον απ΄ότι τα καθοδικά. Έστω ότι διαφέρει κατά  T από το περιβάλλον του, επειδή βρίσκεται σε ισορροπία πίεσης με το περιβάλλον, έχει ενέργεια/kg που διαφέρει από την ενέργεια 1 kg περιβάλλοντος κατά c p  T. Εάν το υλικό είναι ιδανικό αέριο μονοατομικό, c p =5k/2m όπου m = μέση μάζα σωματιδίων αερίου Υποθέτοντας ότι ένα κλάσμα  (  1) του υλικού ανέρχεται ή κατέρχεται με ταχύτητα υ (ms -1 ) τότε ο ρυθμός μεταφοράς της επιπλέον ενέργειας ως προς την ακτίνα :

14 Θέτοντας τις τιμές για τον Ήλιο, μέση ρ=1.4 x 10 3 Kg m -3 και m=1/2 (1.67 x kg, για r=R/2 : L conv ~ α υ δΤ (W) Στην επιφάνεια L  =3.86 x W, και σε κανένα σημείο δε μπορεί να υπερβεί αυτή την τιμή. Τι συμπεραίνουμε; Επειδή τα  T και υ των ανοδικών ρευμάτων καθορίζονται από τη διαφορά μεταξύ της πραγματικής βαθμίδας Τ από την αδιαβατική, σημαίνει ότι δεν απέχει πολύ από την αδιαβατική. Άρα μπορούμε να πούμε ότι στις περιοχές των ρευμάτων στο εσωτερικό των αστέρων η βαθμίδα Τ είναι όση η αδιαβατική κι άρα να ξαναγράψουμε τη συνθήκη ανοδικών ρευμάτων

15 Άρα στην περιοχή των ρευμάτων πρέπει να λύσουμε 4 διαφορικές εξισώσεις μαζί με αυτές για  και P Ισχύει ακόμα η εξίσωση ενέργειας λόγω ακτινοβολίας: Όταν λυθούν οι παραπάνω μπορεί να υπολογιστεί και η L rad. Τότε συγκρίνεται με την L (από την dL/dM=  ) και η διαφορά δίνει τη φωτεινότητα λόγω μεταφοράς ενέργειας δια ρευμάτων L conv =L-L rad Εάν L conv> <0 σταματά Άρα όποτε η βαθμίδα Τ φτάνει την αδιαβατική τιμή ενεργοποιείται και το αντίστροφο. Στην επιφάνεια η μέθοδος δεν δουλεύει (ρ~10 -3 kg/m 3 πυκνότητα μικρή). Ταχύτητα της τάξης ταχύτητας ήχου (10 4 ms -1 ) και ΔΤ~10 4 Κ

Hinode Solar Optical Telescope (SOT) 16

Η Ηλιακή επιφάνεια από το Swedish Solar Telescope 17 Resolution ~100km Granule size ~1000km

18 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

19 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Παναγιώτα Ελευθερία Χριστοπούλου 2015, Σπετσιέρη Ζωή Τζόγια. «Αστροφυσική Ι. Η δομή των αστέρων IV». Έκδοση: 1.0. Πατρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

20 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

21 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:  το Σημείωμα Αναφοράς  το Σημείωμα Αδειοδότησης  τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων  το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

22 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (1/2) Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνα 1: Εικόνα 2: Εικόνα 3: Εικόνα 4: Εικόνα 5: Εικόνα 6: Εικόνα 7:

23 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (2/2) Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Πίνακες Πίνακας 1: Πίνακας 2: Πίνακας 3: