ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΜΠΟΥΓΟΥΛΙΑ ΣΤΕΡΓΙΑΝΝΩ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ: ΖΙΑΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΔΑΣΙΚΗ ΒΙΟΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Παρουσίαση στατιστικών στοιχείων Εκφώνηση άσκησης 1 Η παραγωγή βιομηχανικής ξυλείας κατά τα έτη 1951, 1954, 1957, 1960, 1963, 1966, και 1969 ήταν 600 m 3, 186 m 3, 543 m 3, 543 m 3, 715 m 3, 1111 m 3 και 1099 m 3 αντίστοιχα. Να καταρτιστεί πίνακας απλής εισόδου με βάση τα στοιχεία αυτά.

Λύση άσκησης 1 Τίτλος πίνακα: Επικεφαλίδες στηλών ΈτηΠαραγωγή m Κ Ο Ρ Μ Ο Σ Παραγωγή βιομηχανικής ξυλείας τα έτη ανά τριετία

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Παρουσίαση στατιστικών στοιχείων Εκφώνηση άσκησης 2 Οι δημόσιες δασικές εκτάσεις της Ελλάδας είναι σε χιλιάδες εκτάρια: Δάση 1644, Μερικώς δασοσκεπείς εκτάσεις 2548, Φρυγανότοποι 182. Να παρασταθούν σε τετραγωνικό, τριγωνικό και κυκλικό διάγραμμα.

Λύση άσκησης 2 Το σύνολο των δημοσίων δασικών εκτάσεων στην Ελλάδα είναι: Δάση: 1644 χιλ. Ha Μερ. Δασ.: 2548 χιλ. Ha Φρυγανότοποι: 182 χιλ. Ha Σ Υ Ν Ο Λ Ο 4374 χιλ. Ha Σε εκατοστιαία ποσοστά Δάση: 1644/4374 Χ 100 = 37,58% Μερ. Δασ.: 2548/4374 Χ 100 = 58,25% Φρυγανότοποι: 182/4374 Χ 100 = 4,16% Ανηγμένα σε επιφάνεια κύκλου: Δάση: 1644/4374 Χ 360 = 136,30 o Μερ. Δασ.: 2548/4374 Χ 360 = 209,70 o Φρυγανότοποι: 182/4374 Χ 360 = 14,9 o

Λύση άσκησης 2 (συν.) 4,16% 37,58% 58,25% 4,16% 37,58% 58,25% 14,9 ο 209,70 ο 135,30 ο Φρυγανότοποι Δάση Μερ. Δασ. Εκτ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Κατανομές συχνοτήτων πίνακες και διαγράμματα συχνοτήτων Εκφώνηση άσκησης 3 Σε χρονικές μελέτες ρίψης δένδρων ένας υλοτόμος σημείωσε τους εξής χρόνους ρίψης 64 δένδρων σε πρώτα λεπτά της ώρας Να καταρτιστούν 1) πίνακας απολύτων συχνοτήτων 2) πίνακας σχετικών συχνοτήτων 3) πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων και 4) πίνακας σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων

Λύση άσκησης ,56 21,87 37,50 14,06 15,62 4,68 1,56. 1, ,56 23,43 60,93 74,99 90,61 95,29 96,85 98,41. 99,97 Κλάσεις χρόνου C=10 Μέση κλάση χρόνου Απόλυτη συχνότητα fi Σχετική συχνότητα % Αθροιστική συχνότητα Σχετική αθροιστική συχνότητα % 64

Εκφώνηση άσκησης 4 Από τα δεδομένα της παραπάνω άσκησης να γίνει 1) το ιστόγραμμα συχνότητας 2) το ιστόγραμμα αθροιστικής συχνότητας 3) το πολύγωνο συχνότητας

Αθροιστική Συχνότητα Κλάσεις χρόνου Απόλυτη Συχνότητα Κλάσεις χρόνου Πολύγωνο συχνότητας Λύση άσκησης 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο Μέτρηση της κεντρικής τάσης Εκφώνηση άσκησης 5 Δίνονται οι συχνότητες κατά κλάση από τη μέτρηση της διαμέτρου των δένδρων μιας δοκιμαστικής επιφάνειας. Να βρεθεί ο αριθμητικός μέσος όρος. (Να γίνει χρήση και του βοηθητικού τρόπου). Κλάσεις διαμ. C = Συχνότητα fi

Λύση άσκησης Κλάσεις διαμ. C = 10 Μέση τιμή Κλάσης Χ i Απόλυτη συχνότητα f i fiΧifiΧi Χ0Χ0 d i = X i -X 0 fidifidi 45 Σ f i = 45 Σ f i X i = 2255 Σ f i d i = 230 Χ = Σf i χ i /Σf i = 2255/45 = 50,11 cm

Λύση άσκησης 5 (συν.) Βοηθητικός τρόπος: - Θέτουμε Χ 0 = 45 (βοηθητικός μέσος όρος) - Υπολογίζουμε τις διαφορές d i = X i -X 0 και στη συνέχεια τα γινόμενα f i d i - Εφαρμόζουμε τον τύπο Χ = Χ 0 +Σf i d i /Σf i = /45 = ,11 = 50,11 cm

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο Μέτρηση της διασποράς Εκφώνηση άσκησης 6 Ο μετεωρολογικός σταθμός Μετσόβου έδωσε μέση μηνιαία θερμοκρασία αέρα για την τελευταία 10ετία ως εξής: Μήνας Ι Φ Μ Α Μ Ι Ι Α Σ Ο Ν Δ Μέση θερμ. 1,9 1,1 4,5 9,4 13, ,4 22,3 17,8 11 9,2 3,5 και μέση ετήσια: 11,2 Ο C. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση.

ΙΦΜΑΜΙΙΑΣΟΝΔΙΦΜΑΜΙΙΑΣΟΝΔ ΜήναςΜέση θερμ. (Χ i )Χ i -ΧΜέση ετήσια (Χ)(Χ i -Χ) 2 1,9 1,1 4,5 9,4 13, ,4 22,3 17,8 11,0 9,2 3,5 11,2 -9,3 -10,1 -6,7 -1,8 2,5 6,8 10,2 11,1 6,6 -0, ,7 86,49 102,01 44,89 3,24 6,25 46,24 104,04 123,21 43,56 0, ,29

Λύση άσκησης 6 (συν.) n-1 Σ(χ i -χ) 2 S= Σ(χ i -χ) 2 = 623,26 623,26 = 12-1 = 56,66= + 7,52

Εκφώνηση άσκησης 7 Ο αριθμός δασεργατών στην Ελλάδα κατά μέσο όρο ήταν: Να βρεθεί ο μέσος όρος, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής κύμανσης του αριθμού των δασεργατών κατά το διάστημα αυτό.

Λύση άσκησης 7 Έτη X i Χ d i d i ,34·10 8 Σ d i = Σ d i 2 = 1,75·10 8 d i = ΣdiΣdi 4 = = - 617,75 Μέσος όρος: X = ,75 = ,25

Λύση άσκησης 7 (συν.) (Σdi)2(Σdi)2 Σdi2Σdi2 n - n-1 S = (-2471) 2 1,75· = Τυπική απόκλιση: = = 7626,24 + Διακύμανση: S 2 = Συντελεστής κύμανσης: CV = S X · 100 = 7626, ,25 · 100 = 19,36%

Η παραγωγή ξυλείας ελάτης κατά έτη είχε ως εξής σε ·000 m 3. Τριετία Παραγωγή σε.000 m 3 Να βρεθεί ο μέσος όρος της παραγωγής, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής κύμανσης Εκφώνηση άσκησης 8

Λύση άσκησης 8 Κλάσεις Χρόνου X i ·000 m X 0 60 d i = X i -X d i Σ d i = 150 Σ d i 2 = 5178

Λύση άσκησης 8 (συν.) d i = ΣdiΣdi 10 = = 15 Μέσος όρος: X = = 75 σε ·000 m 3 (Σdi)2(Σdi)2 Σdi2Σdi2 n - n-1 S = (150) = = 325,33 = 18,03 + Τυπική απόκλιση: Διακύμανση: S 2 = 325,33 S X · 100 = 18,33 75 · 100 = 24,04% Συντελεστής κύμανσης: CV =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο Πιθανότητες Εκφώνηση άσκησης 9 Ρίχνουμε έναν ιδανικό κύβο τρείς φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε στη σειρά 1, 2, 3 (οι έδρες του κύβου είναι αριθμημένες με 1, 2, 3, 4, 5, 6). Λύση άσκησης 9 Γεγονός Α «1» P(Α) = 1/6 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονός B «2» P(Β) = 1/6 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονός Γ «3» P(Γ) = 1/6 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονότα εξαρτώμενα. Άρα P(Α·Β·Γ) = Ρ(Α)·Ρ(Β)·Ρ(Γ) = 1/6·1/6·1/6 = 1/216 = 0,00463 = 0,463%

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο Εκφώνηση άσκησης 10 Τραβούμε από μια τράπουλα τρία χαρτιά. Ποια η πιθανότητα να είναι ένας ρήγας, μια ντάμα, ένα σπαθί αν α) επανατοποθετούνται και β) δεν επανατοποθετούνται

Λύση άσκησης 10 Α) αν επανατοποθετούνται τότε: Γεγονός Α «ρήγας» P(Α) = 4/52 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονός B «ντάμα» P(Β) = 4/52 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονός Γ «σπαθί» P(Γ) = 13/52 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Οπότε επειδή τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα P(Α·Β·Γ) = Ρ(Α)·Ρ(Β)·Ρ(Γ) = 4/52·4/52·13/52 = 0,00147 = 0,147% Β) αν δεν επανατοποθετούνται τότε: Γεγονός Α «ρήγας» P(Α) = 4/52 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονός B «ντάμα» P(Β) = 4/51 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονός Γ «σπαθί» P(Γ) = 13/50 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Οπότε επειδή τα γεγονότα είναι εξαρτώμενα P(Α·Β·Γ) = Ρ(Α)·Ρ(Β/Α)·Ρ(Γ/Α) = 4/52·4/51·13/50 = 0,00156 = 0,15%

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο Εκφώνηση άσκησης 11 Σε ένα σάκο έχουμε 4 ισομεγέθη τεμάχια ξύλου πεύκης και 5 δρυός. Σ’ ένα άλλο σάκο έχουμε 3 πεύκης και 7 δρυός. Παίρνουμε στην τύχη 1 τεμάχιο από τον ένα σάκο και ένα από τον άλλο. Ποια η πιθανότητα α) και τα δυο τεμάχια να είναι πεύκης β) και τα δυο τεμάχια να είναι δρύϊνα και γ) το ένα τεμάχιο να είναι πεύκης και το άλλο δρυός.

Λύση άσκησης 11 Θεωρούμε τα γεγονότα «εξαρτώμενα» Α) Γεγονός Α «πεύκη» P(Α) = 4/9 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονός B «πεύκη» P(Β) = 3/10 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις P(Α·Β) = Ρ(Α)·Ρ(Β) = 4/9·3/10 = 12/90 = 0,1333 = 13,33% Β) Γεγονός Α «δρύς» P(Α) = 5/9 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονός B «δρύς» P(Β) = 7/10 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις P(Α·Β) = Ρ(Α)·Ρ(Β) = 5/9·7/10 = 35/90 = 0,388 = 38,8% Γ.1) Γεγονός Α «πεύκη από 1 ο σάκο» P(Α) = 4/9 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονός Β «δρύς από 2 ο σάκο» P(Β) = 7/10 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις P(Α·Β) = Ρ(Α)·Ρ(Β) = 4/9·7/10 = 28/90 = 0,311 = 31,1% Γ.2) Γεγονός Α «δρύς από 1 ο σάκο» P(Α) = 5/9 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις Γεγονός Α «πεύκη από 2 ο σάκο» P(Α) = 3/10 ευνοϊκές (δυνατές) περιπτώσεις P(Α·Β) = Ρ(Α)·Ρ(Β) = 5/9·3/10 = 15/90 = 0,1666 = 16,6%

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο Εκφώνηση άσκησης 12 Δίνονται οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5. Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματισθούν αν κάθε ψηφίο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί πάνω από μια φορά σε κάθε αριθμό? Λύση άσκησης 12 π.χ κ.ο.κ (περιπτώσεις με το 1ο νούμερο) Χ 5 (νούμερα) = 60 5! 5·4·3·2·1 5 Ρ 3 = = = 60 (5-3)! 2·1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο Εκφώνηση άσκησης 13 Πόσες 4μελείς επιτροπές μπορούν να δημιουργηθούν από μία ομάδα 10 ατόμων? 10 10! 10·9·8·7·6 · 5·4·3·2·1 G 3 = = = 210 (10-4)! 4! (6 · 5·4·3·2·1) 4·3·2·1 Λύση άσκησης 13

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο Εκφώνηση άσκησης 14 Μια επιθεώρηση δασών διαθέτει 5 Δασολόγους και 9 Δασοπόνους. Πρέπει να σχηματιστεί μια ομάδα σύνταξης διαχειριστικής μελέτης από 2 Δασολόγους και 4 Δασοπόνους. Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί η ομάδα? 5 5! 5·4·3·2·1 G 2 = = = 10 (5-2)! 2! (3·2·1) 2·1 Λύση άσκησης ! 9·8·7·6·5·4·3·2·1 G 4 = = = 126 (9-4)! 4! (5·4·3·2·1) 4·3·2·1 Η ομάδα μπορεί να σχηματιστεί με 10·126 = 1260

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Κατανομές Πιθανοτήτων Εκφώνηση άσκησης 15 Υποθέτουμε ότι το 40% των σπουδαστών που εισάγονται στα ΤΕΙ θα πάρουν οπωσδήποτε πτυχίο στην πρώτη περίοδο. Αν πάρουμε στην τύχη 5 σπουδαστές ποια είναι η πιθανότητα να πάρουν πτυχίο στην πρώτη περίοδο α) κανένας, β) ένας, γ) τουλάχιστον ένας σπουδαστής?

Λύση άσκησης 15 P = 0,4 q = 0,6 n = 5 5 α) P(X=0) = G 0 ·(0,4) 0 ·(0,6) 5 = 1·1·0,077 = 7,7% 5 β) P(X=1) = G 1 · (0,4) 1 ·(0,6) 4 = 5·0,4·0,1296 = 0,25 = 25% γ) P(X≥1) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = = G 1 ·(0,4) 1 ·(0,6) 4 + G 2 ·(0,4) 2 ·(0,6) 3 + G 3 ·(0,4) 3 ·(0,6) 2 + G 4 ·(0,4) 4 ·(0,6) G 5 ·(0,4) 5 ·(0,6) 0 = 0, ·0,16·0, ·0,064·0,36 + 5·0,02·0, ·0,01·1 = 0,25 +0,34 + 0,23 + 0,07 +0,01 = 0,9222 = 92,24%

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Εκφώνηση άσκησης 16 Μια πενταμελής ομάδα υλοτόμων ασφαλίζονται κατά κινδύνου θανάτου. Σύμφωνα με στατιστικά δεδομένα η πιθανότητα να ζήσουν οι άνθρωποι της ηλικίας αυτής πάνω από 30 χρόνια είναι 2/3. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι στα 30 χρόνια θα ζήσουν α) όλοι οι υλοτόμοι, β) τουλάχιστον 3, γ) μόνο δύο, δ) τουλάχιστον ο ένας.

Λύση άσκησης 16 P = 2/3 q = 1/3 n = 5 5 α) P(X=5) = G 5 (2/3) 5 ·(1/3) 0 = 1·(32/243) = 0,13 = 13% β) P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = = G 3 ·(2/3) 3 ·(1/3) 2 + G 4 ·(2/3) 4 ·(1/3) 1 + G 5 ·(2/3) 5 ·(1/3) 0 = =10·(8/27)·(1/9) + 5·(16/81)·(1/3) + 1·(32/243) = 80/ / /243 = = 0,79 = 79% 5 γ) P(X=2) = G 2 (2/3) 2 ·(1/3) 3 = 10·4/9·1/27 = 40/243 = 0,16 = 16%

Λύση άσκησης 16 (συν.) δ) P(X≥1) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = = G 1 ·(2/3) 1 ·(1/3) 4 + G 2 ·(2/3) 2 ·(1/3) 3 + G 3 ·(2/3) 3 ·(1/3) 2 + G 4 ·(2/3) 4 ·(1/3) G 5 ·(2/3) 5 ·(1/3) 0 = 5·2/3·1/ / /243 = 242/243 = 0,99 = 99%

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Εκφώνηση άσκησης 17 Σε μια κωμόπολη υπάρχουν 2000 οικογένειες με 4 παιδιά. Πόσες οικογένειες αναμένεται να έχουν α) τουλάχιστον ένα αγόρι β) δύο αγόρια, γ) ένα ή δύο κορίτσια, δ) κανένα κορίτσι.

Λύση άσκησης 17 P = 1/2 q = 1/2 n = 4 α) P(X≥1) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = = G 1 ·(1/2) 1 ·(1/2) 3 + G 2 ·(1/2) 2 ·(1/2) 2 + G 3 ·(1/2) 3 ·(1/2) 1 + G 4 ·(1/2) 4 ·(1/2) 0 = =10·(1/2)·(1/8) + 6·(1/4)·(1/4) + 4·(1/8)·(1/2) + 1·(1/16)·1 = 4/16 + 6/ /16 + 1/16 = 15/16 = 0,93 = 93% άρα 0,93·2000 = 1860 οικογένειες 4 β) P(X=2) = G 2 (1/2) 2 ·(1/2) 2 = 6·(1/4)·(1/4) = 6/16 = 0,37 = 37% άρα 0,37·2000 = 740 οικογένειες γ) P(X=3) + P(X=2) = 4/16 + 6/16 = 10/16 = 62% άρα 1240 οικογένειες δ) P(X=4) = 1/16 = 0,06 = 6% άρα 120 οικογένειες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Εκφώνηση άσκησης 18 Μια ψηφοδόχος έχει 4 λευκά και 6 μαύρα σφαιρίδια. Παίρνουμε τυχαία 5 σφαιρίδια. Ποια η πιθανότητα να βγάλουμε α) ακριβώς 2 λευκά, β) ακριβώς δύο μαύρα, γ) και το πολύ ένα μαύρο σφαιρίδιο.

Λύση άσκησης 18 P = 0,4 q = 0,6 n = 5 α) P(X= 2) = 5 = G 2 ·(0,4) 2 ·(0,6) 3 = 10·0,16·0,216 = 0,34 = 34% Χ = επιτυχία (λευκό) β) P(X= 3) = 5 = G 3 ·(0,4) 3 ·(0,6) 2 = 10·0,064·0,36 = 0,23 = 23% Χ = επιτυχία (μαύρο) P = 0,6 q = 0,4 n = 5 5 = G 1 ·(0,6) 1 ·(0,4) 4 = 5·0,6·0,0256 = 0,0768 = 7,68% γ) P(X=0) + P(X=1) = Ρ(Χ=0) αδύνατον

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Εκφώνηση άσκησης 19 Ένας τόρνος αντιγραφής λεπτών ξύλινων οργάνων δίδει 2% ελαττωματικά τεμάχια. Αν πάρουμε στην τύχη 100 ξυλοτεμάχια του τόρνου ποια η πιθανότητα 5 απ’ αυτά να είναι ελαττωματικά? Λύση άσκησης 19 Ρ = 2% = 0,02 λ = η·Ρ = 100·0,02 = 2 άρα Ρ(5 ελατ. στα 100) = e -2 ·2 5 /5! = (1/e 2 )·[2 5 / (5·4·3·2·1)] = 0,036 = 3,6%

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Εκφώνηση άσκησης 20 Αν το 3% των λαμπτήρων που κατασκευάζει μια εταιρεία είναι ελαττωματικό, ποια η πιθανότητα από ένα δείγμα 200 λαμπτήρων οι 5 ή 6 να είναι ελαττωματικοί? Λύση άσκησης 20 Ρ = 3% = 0,02 λ = η·Ρ = 200·0,03 = 6 άρα Ρ(5 ελατ. στα 200) = e -6 ·6 5 /5! = (1/e 6 )·[6 5 / (5·4·3·2·1)] = 0,159 = 15,9% Ρ(6 ελατ. στα 200) = e -6 ·6 6 /6! = (1/e 6 )·[6 6 / (6·5·4·3·2·1)] = 0,159 = 15,9% Ρ(5 ή 6) = 0, ,159 = 0,318 = 31,8%

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Εκφώνηση άσκησης 21 Ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση των διαμέτρων δένδρων μιας δοκιμαστικής επιφάνειας είναι χ = 45 cm και S = 10 cm, αντίστοιχα. Να βρεθεί το ποσοστό των δένδρων που έχει διάμετρο μεγαλύτερη από 57 cm.

Λύση άσκησης 21 Από τον πίνακα Π1 βρίσκουμε την επιφάνεια στο Ζ = 1,2 ίση με 0,8849. Επειδή όμως θέλουμε το ποσοστό των δένδρων με διάμετρο μεγαλύτερη απο 57 cm θα αφαιρέσουμε το 0,8849 από την μονάδα που είναι η κανονική καμπύλη ολόκληρη και θα έχουμε: 1-0,8849 = 0,1151 Αρα το 11,51% των δένδρων έχουν διάμετρο μεγαλύτερη από 57 cm. Ζ = (x-μ)/σ = (57-45)/10 = 1,2 4557Χ 01,2 Ζ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Εκφώνηση άσκησης 22 Το μέσο βάρος 500 σπουδαστών ΤΕΙ βρέθηκε 65 kg και η τυπική απόκλιση 6,25 kg. Υποθέτουμε ότι τα βάρη ακολοθούν κανονική κατανομή. Να βρεθεί πόσοι σπουδαστές ζυγίζουν μεταξύ 60 και 70 kg και πόσοι πάνω από 72 kg.

Λύση άσκησης 22(α) Η επιφάνεια για Ζ 2 =0,8 κάτω από την κανονική καμπύλη είναι 0,7881. Για Ζ 1 = -0,8 είναι 0,2119. Για να βρούμε την επιφάνεια μεταξύ 60 και 70 kg αφαιρούμε την επιφάνεια που αντιστοιχεί στο Ζ 2 από την επιφάνεια του Ζ 1 ή 0,7881-0,2119 = 0,5762. Άρα το 57,52% των σπουδαστών έχει βάρος μεταξύ kg ή 0,5762·500 = 288. Ζ 1 = (x-μ)/σ = (60-65)/6,25 = -0,8 Ζ 2 = (x-μ)/σ = (70-65)/6,25 = -0,8 6570Χ 00,8 Ζ 60 -0,8 57,62%

Λύση άσκησης 22(β) Ζ = (x-μ)/σ = (72-65)/6,25 = 1,1 6572Χ 01,1 Ζ Για Ζ =1,1 έχουμε επιφάνεια στην κανονική καμπύλη 0,8643. Επειδή θέλουμε την επιφάνεια πάνω από 72 kg θα έχουμε: 1 - 0,8643 = 0,1357 = 13,57% Άρα ο αριθμός των σπουδαστών: 0,1357·500 = 68 13,57%

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Εκφώνηση άσκησης 23 Ενδιαφερόμαστε να μεταφυτεύσουμε σε μια επιφάνεια αναδάσωσης δενδρύλια πεύκης. Κατάλληλα κρίνουμε 2ετη φυτάρια ύψους ανω των 30 cm. Σε φυτώριο που έχουμε τέτοια φυτάρια βρήκαμε ότι έχουν μέσο ύψος μ=45 cm και τυπική απόκλιση σ=9 cm. Επειδή η διαλογή στο φυτώριο είναι πολυδάπανη αποφασίστηκε να γίνει η διαλογή στον τόπο φύτευσης. Υποθέτοντας ότι ο πληθυσμός των φυταρίων είναι κανονικός, να βρεθεί πόσα φυτάρια θα στείλει στον τόπο αναδάσωσης ο προϊστάμενος του φυτωρίου.

Λύση άσκησης 23 Η επιφάνεια για Ζ=-1,6 κάτω από την κανονική καμπύλη είναι 0,0548. Ενδιαφερόμαστε για την επιφάνεια που είναι πάνω από 30 cm άρα 1-0,0548 = 0,9452 = 94,52%. Δηλαδή το 94,52% των φυταρίων θα έχουν ύψος πάνω από 30 cm. Οπότε στον τόπο αναδάσωσης θα πρέπει να στείλει · 100/94,52 = 10579,77 ≈ φυτάρια. Ζ = (x-μ)/σ = (30-45)/9 = -1,6 45Χ 0 Ζ 30 -1,6 94,52%

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Εκφώνηση άσκησης 24 Το μέσο ύψος 1500 δένδρων ενός δάσους βρέθηκε μ = 45 m με τυπική απόκλιση σ = 4 m. Να βρεθεί α) πόσα δένδρα έχουν ύψος πάνω από 20 m β) πόσα δένδρα έχουν ύψος από m γ) πόσα δένδρα έχουν ύψος πάνω από 16 m και δ) πόσα δένδρα έχουν ύψος κάτω από 17 m.

Λύση άσκησης 24(α) Ζ = (x-μ)/σ = (20-18)/4 = 0,5 1820Χ 00,5 Ζ Για Ζ = 0,5 έχουμε επιφάνεια στην κανονική καμπύλη 0,6915. Επειδή θέλουμε την επιφάνεια πάνω από 20 m θα έχουμε: 1 - 0,6915 = 0,3085 = 30,85% των δένδρων έχουν ύψος μεγαλύτερο από 20 m δηλαδή αριθμός δένδρων 1500 · 0,3085 = ,85%

Λύση άσκησης 24(β) Η επιφάνεια για Ζ 1 κάτω από την κανονική καμπύλη είναι 0,5. Για Ζ 2 είναι 0,8413. Άρα η μεταξύ τους επιφάνεια που μας ενδιαφέρει είναι : 0,8413-0,5 = 0,3413 Άρα το 34,13% των δένδρων έχει ύψος μεταξύ 18 και 22 m ή 0,3413·1500 = 512 δένδρα. Ζ 1 = (x-μ)/σ = (18-18)/4 = 0 Ζ 2 = (x-μ)/σ = (22-18)/4 = Χ 01 Ζ 34,13%

Η επιφάνεια για Ζ= -0,5 κάτω από την κανονική καμπύλη είναι 0,3085. Ενδιαφερόμαστε για την επιφάνεια που είναι πάνω από 16 m άρα 1-0,3085 = 0,6915 = 69,15%. Δηλαδή το 69,15% των δένδρων έχουν ύψος πάνω από 16 m. Δηλαδή 1500 · 0,6915 = 1037 δένδρα. Ζ = (x-μ)/σ = (16-18)/4 = -0,5 18Χ 0 Ζ 16 -0,5 69,15% Λύση άσκησης 24(γ)

Η επιφάνεια για Ζ= -0,2 κάτω από την κανονική καμπύλη είναι 0,4207 άρα το 42,07% των δένδρων έχουν ύψος κάτω από 17 m. Δηλαδή 1500 · 0,4207 = 631 δένδρα. Ζ = (x-μ)/σ = (17-18)/4 = -0,2 18Χ 0 Ζ 17 -0,2 42,07% Λύση άσκησης 24(δ)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο Εκφώνηση άσκησης 25 (Εφαρμογή των ιδιοτήτων της διωνυμικής κατανομής) Σε ένα εκκολαπτήριο φασιανών θέλουμε να αποκτήσουμε 20 αρσενικούς φασιανούς τουλάχιστον. Πόσα αυγά θα πρέπει να βάλουμε στην μηχανή εκκολάψεως? Η πιθανότητα να εκκολαφθούν αρσενικοί φασιανοί είναι 50%.

Λύση άσκησης 25 Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός φασιανών που θα βάλουμε στην μηχανή εκκολάψεως τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα να πάρουμε 20 αρσενικά ή θηλυκά πουλιά. Έστω ότι στην μηχανή εκκολάψεως βάζουμε 50 αυγά τότε θα έχουμε Μέσο όρο: μ = n·P = 50 · 1/2 = 25 και τυπική απόκλιση σ = n·P·q = = 50·1/2·1/2 = 3,5 Αν αυτό το μετρήσουμε σε μονάδες τυπικής απόκλισης έχουμε: Z= (20-25)/3,5 = -1,4

Λύση άσκησης 25 (συν.) Η επιφάνεια για Ζ=-1,4 κάτω από την κανονική καμπύλη είναι 0,0808. Ενδιαφερόμαστε για την επιφάνεια που είναι πάνω από το 20 η οποία ισούται με 1-0,0808 = 0,9192 = 91,92%. Άρα υπάρχει πιθανότητα 91,92% να πάρουμε 20 αρσενικούς φασιανούς όταν στην μηχανή εκκολάψεως βάλουμε 50 αυγά. 2525Χ 0 Ζ ,4 91,92%

Λύση άσκησης 25 (συν.) Αν βάλουμε 60 αυγά τότε κατά τον ίδιο τρόπο θα έχουμε Μέσο όρο: μ = n·P = 60 · 1/2 = 30 και τυπική απόκλιση σ = n·P·q = = 60·1/2·1/2 = 3,8 Αν αυτό το μετρήσουμε σε μονάδες τυπικής απόκλισης έχουμε: Z= (20-30)/3,8 = -2,6

Λύση άσκησης 25 (συν.) Η επιφάνεια για Ζ = -2,6 κάτω από την κανονική καμπύλη είναι 0,0047. Ενδιαφερόμαστε για την επιφάνεια που είναι πάνω από το 20 η οποία ισούται με 1-0,0047 = 0,9953 = 99,53%. Άρα υπάρχει πιθανότητα 99,53% να πάρουμε 20 αρσενικούς φασιανούς όταν στην μηχανή εκκολάψεως βάλουμε 60 αυγά. 30Χ 0 Ζ ,6 99,53%

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο Καθορισμός των ορίων εμπιστοσύνης Εκφώνηση άσκησης 26 Από ομήλικη συστάδα πεύκης πήραμε τυχαίο δείγμα 40 επιφανειών του ενός στρέμματος. Υπολογίσαμε τον μέσο όγκο των επιφανειών αυτών σε Χ = 128 m 3 και την τυπική απόκλιση S = 10 m 3. ζητείται να υπολογιστούν τα όρια εμπιστοσύνης του μέσου όγκου του πληθυσμού σε επίπεδο σημαντικότητας q = 0,05.

Λύση άσκησης 26 Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι Χ – z 0,05 ·S X < μ < X + z 0,05 ·S X S X = S/ n = 10/ 40 = 1,58 Η τιμή του z για επίπεδο σημαντικότητας 5% είναι από τον Πίνακα ΙΙΙ του παραρτήματος 1,96. Αντικαθιστούμε στον παραπάνω γενικό τύπο και έχουμε: 128 – 1,96 · 1,58 < μ < ,96 · 1,58 ή 128 – 3,09 < μ < ,09 ή 124,91 < μ < 131,09

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο Εκφώνηση άσκησης 27 Μετρήσεις των διαμέτρων δείγματος 200 ατόμων μαύρης πεύκης έδωσαν Χ = 0,30 m και τυπική απόκλιση S = 0,03 m. Ζητείται να υπολογιστούν τα όρια εμπιστοσύνης της μέσης διαμέτρου του πληθυσμού σε επίπεδο σημαντικότητας q = 0,05.

Λύση άσκησης 27 Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι Χ – z 0,05 ·S X < μ < X + z 0,05 ·S X S X = S/ n = 0,03/ 200 = 2,12 · Η τιμή του z για επίπεδο σημαντικότητας 5% είναι από τον Πίνακα ΙΙΙ του παραρτήματος 1,96. Αντικαθιστούμε στον παραπάνω γενικό τύπο και έχουμε: 0,03 – 1,96 · 2,12· < μ < 0,03 + 1,96 · 2,12· ή 128 – 3,09 < μ < ,09 ή 0,295 < μ < 0,304

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο Εκφώνηση άσκησης 28 Η μέση διάμετρος 140 κορμών μαύρης πεύκης περιοχής Θάσου βρέθηκε Χ 1 = 35 cm και η διακύμανση σ 1 2 = 169 cm 2. Οι 160 κορμοί δάσους όμοιου είδους Γρεβενών έδωσε Χ 2 = 32 cm και σ 2 2 = 144 cm 2. Να βρεθούν τα όρια εμπιστοσύνης της διαφοράς των δύο μέσων όρων σε επίπεδο σημαντικότητας q = 0,05.

Λύση άσκησης 28 Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ή (35-32)-1,96 (169/ /160) <μ 1 -μ 2 < (35-32)+1,96 (169/ /160) (Χ 1 – Χ 2 ) – z π (σ 1 /n 1 + σ 2 /n 2 ) <μ 1 -μ 2 < (Χ 1 – Χ 2 ) + z π (σ 1 /n 1 + σ 2 /n 2 ) ή 3-1,96·1,45 <μ 1 -μ 2 < 3+1,96·1,45 ή 0,158 <μ 1 -μ 2 < 5,842 Z π = Z 0,05 = 1,96

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο Εκφώνηση άσκησης 29 Δείγμα 20 ατόμων πυκνοφυτείας ελάτης έδωσε Χ 1 = 6,8 cm και Σ(Χ 1i -X 1 ) 2 = 53,2 cm 2. Άλλο δείγμα 28 ατόμων άλλης πυκνοφυτείας έδωσε Χ 2 = 6,2 cm και Σ(Χ 2i -X 2 ) 2 = 42,32 cm 2. Να βρεθεί σε επίπεδο σημαντικότητας q = 0,05 α) αν οι δυο μέσοι όροι διαφέρουν σημαντικά ή όχι και β) τα όρια εμπιστοσύνης της διαφοράς των δυο μέσων όρων.

Λύση άσκησης 29 Το διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι: (Χ 1 – Χ 2 ) – t π S 2 (1/n 1 + 1/n 2 ) <μ 1 -μ 2 < (Χ 1 – Χ 2 ) + t π S 2 (1/n 1 + 1/n 2 ) Βρίσκουμε την τιμή του t 0 από τον Πίνακα ΙΙ για ν=n 1 +n 2 -2= =46 βαθμούς ελευθερίας και q 0,05, t π = 2,07 (περίπου είναι η τιμή του t 0 γιατί ο Πίνακας ΙΙ μας δίνει την τιμή του για ν=30 και ν=50 βαθμούς ελευθερίας). Σ(Χ 1i -X 1 ) 2 + Σ(Χ 2i -X 2 ) 2 53,2 + 42,32 S 2 = = = 2,07 n 1 +n Αντικαθιστούμε στον γενικό τύπο και έχουμε: (6,8–6,2 ) – 2,07 2,07(1/20 + 1/28) < μ 1 -μ 2 < (6,8-6,2) + 2,07 2,07(1/20 + 1/28) ή 0,6–2,07·0,4 < μ 1 -μ 2 < 0,6+2,07·0,4 ή -0,22 < μ 1 -μ 2 < 1,42

Λύση άσκησης 29 (συν.) Στο διάστημα εμπιστοσύνης περιέχεται το μηδέν. Υπολογίζουμε την τιμή του X 1 – X 2 S 2 (1/n 1 + 1/n 2 ) t υπ = = 0,6/0,4 = 1,5 t υπ < t π και στο διάστημα εμπιστοσύνης περιέχεται το μηδέν άρα και οι μέσοι όροι των δύο πληθυσμών δεν διαφέρουν σημαντικά.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο Εκφώνηση άσκησης 30 Σε δυο χωριστές πρασιές φυταρίων πεύκης έχουμε τα εξής ύψη φυταρίων (cm). A: 58, 50, 56, 69, 54, 61, 59, 56, 44, 41 B: 50, 51, 40, 51, 50, 60, 57, 54, 62, 52 Στην πρασιά που περιέχει τα πρώτα φυτάρια ρίξαμε λίπασμα ενώ στην άλλη όχι. Να βρεθεί σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 η διαφορά από την επίδραση του λιπάσματος στην πρασιά Α.

Λύση άσκησης 30 Χ i X 0 50 d i = X i -X d i Σ d i = 48 Σ d i 2 = 832 Χ i X 0 50 d i = X i -X d i Σ d i = 27 Σ d i 2 = 415

Χ 1 = Χ 0 + Σd i /n = /10 = 54,8 Χ 2 = Χ 0 + Σd i /n = /10 = 52,7 Λύση άσκησης 30 (συν.) Σdi2Σdi2 (Σdi)2(Σdi)2 - n n-1 Σ(X 1i - X 1 ) 2 = Σdi2Σdi2 (Σdi)2(Σdi)2 - n n-1 Σ(X 2i – X 2 ) 2 = = 832 – 48 2 /10 = 601,6 = 415 – 27 2 /10 = 342,1 Σ(Χ 1i -X 1 ) 2 + Σ(Χ 2i -X 2 ) 2 601, ,1 S 2 = = = 52,42 n 1 +n

Λύση άσκησης 30 (συν.) Το διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι: (Χ 1 – Χ 2 ) – t π S 2 (1/n 1 + 1/n 2 ) <μ 1 -μ 2 < (Χ 1 – Χ 2 ) + t π S 2 (1/n 1 + 1/n 2 ) t π = 2,101 για ν = = 18 και q 0,05 Αντικαθιστούμε στον γενικό τύπο και έχουμε: (54,8–52,7 )–2,101 52,42(1/10 + 1/10) < μ 1 -μ 2 < (54,8-52,7)+2,101 52,42(1/10 + 1/10) ή 2,1–2,101·3,23 < μ 1 -μ 2 < 2,1+2,101·3,23 ή -4,68 < μ 1 -μ 2 < 8,88

Λύση άσκησης 30 (συν.) Στο διάστημα εμπιστοσύνης περιέχεται το μηδέν. Υπολογίζουμε την τιμή του X 1 – X 2 S 2 (1/n 1 + 1/n 2 ) t υπ = = 2,1/3,23 = 0,65 t υπ < t π και στο διάστημα εμπιστοσύνης περιέχεται το μηδέν άρα δεν έχουμε σημαντική διαφορά στα ύψη άρα το λίπασμα δεν έδωσε καλύτερα αποτελέσματα ή η διαφορά στα ύψη από την επίδραση του λιπάσματος δεν είναι σημαντική.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο Εκφώνηση άσκησης 31 Σε πρεμνοφυή δάσος δρυός υλοτομήθηκαν αποψιλωτικά 10 δοκιμαστικές επιφάνειες του ενός στρέμματος και έδωσαν μέση απόδοση Χ 1 = 10 m3 και S 2 = 5,1 m 3. Άλλες 7 δοκιμαστικές επιφάνειες του ίδιου δάσους έδωσαν Χ 2 = 16 m 3 και S 2 = 5,1 m 3. Να βρεθεί σε επίπεδο σημαντικότητας q = 0,05 αν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο δειγμάτων.

Λύση άσκησης 31 n 1 = 10 X 1 = 18 S 1 2 = 5,1 n 2 = 7 X 2 = 16 S 2 2 = 1,2 Έχουμε μικρά δείγματα άρα χρησιμοποιούμε το κριτήριο. Έχουμε t = (X 1 -X 2 )/(σ X 1 -X 2 ) = (18-16)/0,84 = 2,38 Κάνουμε μονόπλευρο έλεγχο γιατί ζητείται να κάνουμε σύγκριση. Επειδή το t είναι θετικό θα κάνουμε μονόπλευρο δεξιά έλεγχο. Διατυπώνουμε την υπόθεση Η 0 : μ 1 > μ 2 H ε : μ 1 < μ 2 (n 1 -1)S (n 2 -1)S 2 2 (10-1)·5,1+(7-1)·1,2 S 2 = = = 3,54 n 1 +n σ X 1 -X 2 = S 2 (1/n 1 +1/n 2 ) = 3,54(1/10+1/10) = 0,84

Λύση άσκησης 31 (συν.) t 0 = 1,753 Για q = 0,05 και επειδή έχουμε μονόπλευρο έλεγχο q = 0,10 και ν = =15 βρίσκουμε t 0 = 1,753. Βλέπουμε ότι το t = 2,38 πέφτει έξω από το διάστημα παραδοχής. Άρα σε επίπεδο σημαντικότητας q = 0,05 δεν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο δειγμάτων. qp=1-q t = 2,38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο Συμμεταβολή και συσχέτιση Εκφώνηση άσκησης 32 Δίνονται τα παρακάτω ζεύγη τιμών των μεταβλητών Χ και Ψ. Χ: 1, 3, 0, 4 Ψ: 4, 2, 4, 2 Να προσδιοριστεί η ευθεία συμμεταβολής του Ψ ως προς το Χ.

Λύση άσκησης 32 Χ1304Χ1304 Ψ4242Ψ4242 χ=Χ-Χ Σ Χ = 8 Χ = 8/4 =2 Ψ = 12/4= 3 ψ=Ψ-Ψ 1 1 χ21144χ21144 χψ -2 Σ Ψ = 12 Σ χ = 0 Σ ψ = 0 Σ χ 2 = 10 Σ χψ = -6 Ψ-Ψ = b(X-X) b = Σχψ/Σχ 2 = -6/10 = -0,6 Ψ-3 = -0,6(X-2) ή Ψ-3 = -0,6Χ +1,2 ή Ψ = -0,6Χ + 4,2 ή Ψ = 4,2 – 0,6Χ Δίνουμε στο Χ την τιμή 0 και υπολογίζουμε την τιμή του Ψ. Επίσης για Ψ=0 υπολογίζουμε την τιμή του Χ.

Λύση άσκησης 32 (συν.) Για Χ = 0 το Ψ = 4,2 Για Ψ = 0 το Χ = 4,2/0,6 = 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο Εκφώνηση άσκησης 33 Από μία δοκιμαστική επιφάνεια μετρήθηκαν τα ύψη (Χ) και οι διάμετροι (Ψ) 9 δένδρων. Ύψη Χ: Διάμετροι Ψ: 0,32 0,42 0,33 0,30 0,34 0,38 0,33 0,30 0,34 Να προσδιοριστεί η ευθεία συμμεταβολής του Ψ ως προς το Χ.

Λύση άσκησης 33 Χ Ψ 0,32 0,42 0,33 0,34 0,38 0,33 0,30 0,34 χ=Χ-Χ ψ=Ψ-Ψ -0,02 0,08 -0,01 -0,04 0,00 0,04 -0,01 -0,04 0,00 χ χψ 0,02 0,32 0,02 0 0,04 0,01 0,08 0 Σ Ψ = 3,06 Σ χ = 0 Σ ψ = 0 Σ χ 2 = 32 Σ χψ = 0,49 Σ Χ = 171

Λύση άσκησης 33 (συν.) Χ = ΣX/n = 171/9 = 19 Ψ = ΣΨ/n = 3,06/9 = 0,34 Ψ-Ψ = b(X-X) b = Σχψ/Σχ 2 = 0,49/32 = 0,015 Ψ-0,34 = 0,015(X-19) ή Ψ-0,34 = 0,015Χ -0,285 ή Ψ = 0, ,015Χ Για Χ = 0 το Ψ = 0,055 Για Ψ = 0 το Χ = -0,055/0,015 = -3,6

Λύση άσκησης 33 (συν.)