Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα: Μαθηματικό Πρακτική Άσκηση σε σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Παρασκευή Παπαδάκη Α.Μ

Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Πανεπιστημίου Αθηνών Συνέντευξη σε μία ομάδα μαθητών της Γ' Γυμνασίου 2/12/2014

Παρατηρητές: Δήμητρα – Στέλλα Δέγκλερη (μεταπτυχιακή φοιτήτρια, συνοδός) Καλλιόπη Σελιανάκη (προπτυχιακή φοιτήτρια) Ομάδα μαθητών: Ζητήθηκε από την καθηγήτρια του τμήματος να επιλέξει 4 μαθητές (2 αγόρια και 2 κορίτσια) οι οποίοι κατά την γνώμη της αντιπροσωπεύουν την γενική εικόνα του τμήματος.

Αναλυτικό Πρόγραμμα: Δημοτικό: Μεταβλητές-κουτάκια μια ποσότητα που ψάχνουν να βρουν Α' Γυμνασίου: Χρησιμοποιούνται γράμματα σε ιδιότητες μέσα στο σχολικό βιβλίο. Επίλυση εξισώσεων πρώτου βαθμού χρήση της μεταβλητής χ ως άγνωστος. Β' Γυμνασίου: Ορίζονται για πρώτη φορά οι έννοιες μεταβλητή και αλγεβρική παράσταση. Απλές μορφές αλγεβρικών παραστάσεων. Γ' Γυμνάσιου: Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις. Το πριν... Μαθηματικό περιεχόμενο: Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις και πράξεις.

Το πριν... Στόχοι:  Πότε ορίζεται μια ρητή αλγεβρική παράσταση και γιατί πρέπει να γνωρίζουμε το πεδίο ορισμού της πριν προχωρήσουμε στις πράξεις.  Σημασία του πεδίου ορισμού.  Σωστή εκτέλεση των πράξεων.  Μετάφραση και απόδειξη ενός λεκτικού προβλήματος στην μαθηματική γλώσσα.  Η τιμή μιας παράστασης εξαρτάται από τις τιμές των μεταβλητών

Η Δραστηριότητα: Το πριν... Η γενική ιδέα της δραστηριότητας βασίζεται στο graphic novel “Ποιος σκότωσε τον κύριο Χ”. Οι μαθητές θα εξετάσουν 3 καταθέσεις- ασκήσεις για να βρουν ποιος έκλεψε τις σημειώσεις του κύριο Ντάβιντ.

Το πριν... Σε αυτή την δραστηριότητα αναμένεται ότι οι μαθητές θα εκτελέσουν πρώτα τις πράξεις και μετά θα κοιτάξουν που ορίζεται η Α. Με αφορμή αυτό θα συζητηθεί γιατί το πεδίο ορισμού είναι πάντα το πρώτο που εξετάζουμε. Αν οι μαθητές δεν πάρουν περιορισμούς στην αρχική παράσταση δέχονται το α=0 ως λύση.

Η συγκεκριμένη δραστηριότητα είναι ένα “mind trick” που αναμένεται να κινήσει το ενδιαφέρον των μαθητών. Εδώ οι μαθητές καλούνται να κατασκευάσουν την αλγεβρική παράσταση που περιγράφεται λεκτικά, έπειτα να εκτελέσουν τις πράξεις και να εξετάσουν τι συμβαίνει αν επιλέξουν τον αριθμό μηδέν. Το πριν...

Η τελευταία δραστηριότητα στοχεύει στην αναγνώριση των μεταβλητών. Οι μαθητές αναμένεται να αντικαταστήσουν το χ=3 και να παρατηρήσουν ότι η τιμή της παράστασης Β είναι μηδέν. Θα εξεταστεί έμμεσα αν η ύπαρξη της μεταβλητής y επηρεάζει τις διαδικασίες που θα ακολουθήσουν οι μαθητές. Το πριν...

...και το μετά! Κρίσιμα Συμβάντα (Δραστηριότητα 1) Υπήρξε σύγχυση στον τρόπο έυρεσης του πεδίου ορισμού μια ρητή αλγεβρική παράσταση. Βλέποντας μερικά πιο απλά παραδείγματα περιορίστηκε ο χρόνος εύρεσης περιορισμών στο αρχικό πρόβλημα. Κατά συνέπεια συζητήθηκε πολύ βιαστικά το ότι οι περιορισμοί διαφέρουν πριν και μετά τις πράξεις. Δεν συζητήθηκε το γιατί. Ε: (Γράφω την παράσταση στον πίνακα) Το πρόβλημά μας τι μας ζητάει;... Τι μας λέει; Πώς θα βρούμε ποια είναι η απόσταση του; Μ4: Θα λύσουμε την παράσταση; Ε: Θα λύσουμε την παράσταση... Λέει το α είναι οι τιμές για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Εε; Μ: Ναι! Μ3: Άρα λέει ότι η τιμή της παράστασης ισούται με α; Ε: Οοοχι, όταν λέμε που ορίζεται η παράσταση.... άμα είχαμε ας πούμε μια πιο απλή παράσταση, είχαμε... το... (x 2 +3x+1)/x για να ορίζεται αυτό...; Μ4: Ταυτότητες... Όχι...

(Δραστηριότητα 2) Οι μαθητές δοκίμασαν διάφορους αριθμούς. Αρχικά οι μαθητές επέλεξαν άρτιους αριθμούς. Έπειτα εξέτασαν αν για περιττούς και δεκαδικούς εξασφαλίζεται το ίδιο αποτέλεσμα. Ε: Συνέχεια 4 θα βγαίνει λες εε;.. Μπορείς να πάρεις έναν-έναν όλους τους αριθμούς να τους ελέγξεις; Μ4: 4 βρήκα. Μ2: Κι εγώ 4 βρήκα. Ε: Ναι αλλά άμα το πάμε στο δικαστήριο... Πάμε στο δικαστήριο και λέμε αυτός είναι αθώος γιατί μας έδωσε ένα γρίφο και κάθε φορά που τον κάναμε βγαίνει 4. Άμα σου πει ο δικαστής ότι... “εγώ σου λέω ότι υπάρχει ένας αριθμός, δεν τον ξέρω... αλλά υπάρχει ένας αριθμός για τον οποίο δεν θα βγάζω 4.”.... Μ1: Είναι κάποια μεταβλητή μήπως; Ε: Χμμ!! Περίπου... Για να σας το έδωσα σημαίνει ότι ξέρετε να το κάνετε. Μπορεί να μην μπορείτε να το σκεφτείτε τώρα, αλλά άμα το δουλέψουμε λίγο θα το βγάλουμε. Οπότε μην το φοβάστε... [...] Τι κάνουμε τώρα στα μαθηματικά;...και το μετά! Κρίσιμα Συμβάντα

Για να βοηθηθούν οι μαθητές τους ζητήθηκε να αναφέρουν μαθηματικές έννοιες και διαδικασίες που βλέπουν αυτήν την περίοδο στα μαθηματικά τις οποίες και καταγράφηκαν στον πίνακα. Έπειτα αναγνώρισαν αμέσως ποια είναι η μεταβλητή του προβλήματος και κατασκεύασαν την παράσταση βήμα - βήμα χωρίς πρόβλημα. Κρίσιμα Συμβάντα...και το μετά!

Ο μαθητής που ανέλαβε να συμπληρώσει το τελευταίο βήμα για την δημιουργία της παράστασης πρότεινε την εξής γραφή: [4(χ+2)−8]÷χ Ο ίδιος μαθητής όταν είχε ερωτηθεί στην πρώτη δραστηριότητα τι παριστάνει το κλάσμα αρχικά δήλωσε πολλαπλασιασμό και έπειτα το διόρθωσε. Ίσως δεν έχει κατανοήσει ή εξοικειωθεί πλήρως με την έννοια του κλάσματος ως διαίρεση. Κρίσιμα Συμβάντα...και το μετά!

Αναστοχασμός και τροποποιήσεις... Πιο συστηματική καταγραφή όσων ειπώνονται μέσα στην αίθουσα. Στα τα φύλλα εργασίας παρατήρησα ότι οι μαθητές σημείωσαν αποκλειστικά, σχεδόν, μόνο όσα δεδομένα είχαν καταγράφει στον πίνακα. Λιγότερη καθοδήγηση. Το άγχος και ο χρόνος με έκαναν να δρω αρκετά καθοδηγητικά σε κάποια σημεία. Αν οι μαθητές αφήνονταν πιο ελεύθεροι ίσως αναδύονταν περισσότερες δυσκολίες ή παρανοήσεις....και το μετά!

Στο τέλος κάθε δραστηριότητας επαναλάμβανα συνοπτικά τα όσα έγιναν. Ίσως θα ήταν προτιμότερο να παροτρύνω τους μαθητές να εξάγουν οι ίδιοι ένα γενικό συμπέρασμα....και το μετά! Αναστοχασμός και τροποποιήσεις... Η πρώτη δραστηριότητα απέκλινε αρκετά από τον αρχικό σχεδιασμό. Σε μελλοντική εφαρμογή θα προσπαθούσα να επιμείνω περισσότερο στην αναγκαιότητα του πεδίου ορισμού.

Πηγές: ◦ Ανδριόπουλος Θ. (2010), Ποιος σκότωσε τον κύριο Χ;, εικονογράφηση: Γκιόκας Θ., Ελληνοεκδροτική. ◦ Duncan Mhakure, Mark Jacobs and Cyril Julie,GRADE 10 STUDENTS’ FACILITY WITH RATIONAL ALGEBRAIC FRACTIONS IN HIGH STAKES EXAMINATION: OBSERVATIONS AND INTERPRETATIONS University of Cape Town, Cape Peninsula University of Technology and 3University of Western Cape. ◦ G. Donald Allen, Student Thinking: Lesson 1. Misconceptions in mathematics, Department of Mathematics Texas A&M University ◦ Eric J. Knuth, Martha W. Alibali, Nicole M. McNeil, Aaron Weinberg, Ana C. Stephens Madison, Middle School Students’ Understanding of Core Algebraic Concepts: Equivalence & Variable, WI (USA)