Το Πρόβλημα ως Εργαλείο στη Διδασκαλία των Μαθηματικών Μιχάλης Γρ. Βόσκογλου Ομότιμος Καθηγητής ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδας Διάλεξη στο Παράρτημα Αχαϊας της Ε. Μ. Ε. Πάτρα, 25 – 1 – 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.Φορμαλισμός και Ενορατισμός στα Μαθηματικά 2.Το Πρόβλημα στην Καθημερινή μας Ζωή 3.Το Πρόβλημα στη Μαθηματική Εκπαίδευση ( ) 4.Λύση Προβλημάτων με τη Μέθοδο του Ανάλογου Προβλήματος 5.Μαθηματική Μοντελοποίηση 6.Τελευταίες Εξελίξεις της Έρευνας στη Μαθηματική Εκπαίδευση για τη ΛΠ 7.Μελλοντικές Προοπτικές για τη ΛΠ 8.Συμπεράσματα - Επίλογος

1. Φορμαλισμός και Ενορατισμός (Intuitionism) στα Μαθηματικά Μ. Βόσκογλου, Η Φιλοσοφία των Μαθηματικών και οι Σχολές της Μαθηματικής Σκέψης, 23 ο Συνέδριο ΕΜΕ, , Πάτρα, 2006 Παράδοξα Θεωρίας Συνόλων (τέλη 19 ου, αρχές 20 ου αιώνα): D. Hilbert, Brouwer «Στοιχεία» Ευκλείδη – “Jiu Zhang Swan Shu”, 246 Προβλήματα σε 9 Κεφάλαια: Τετραγωνίζοντας αγρούς – Καθαρίζοντας το ρύζι – Αναλογική διανομή – Ελάχιστο πλάτος – Ομαδικές Εργασίες – Μέση μεταφορά – Πλεόνασμα και έλλειμμα - Ορθογώνια Παράταξη – Βάση, ύψος (ορθογώνια τρίγωνα). Παρουσίαση: Διατύπωση, Απάντηση (μονολεκτική), Περιγραφή μεθόδου, Σχόλια (Βόσκογλου, 22 ο ΕΜΕ, Λαμία, 2005) Davis, P. & Hersh, R. (1981), The mathematical experience, Penguin Books, σελ. 183: Διαρκής ταλάντωση μεταξύ Φ και Ε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: Bourbaki – Πειραματικά Μαθηματικά, Αυστηρές μαθηματικές μέθοδοι έρευνας και ανακάλυψης – Γραφικά Η/Υ, Τριαδικό σύνολο Cantor 1883 (Smith 1874) + Kαμπύλη Peano Γεωμετρία της φύσης των fractals (Mandelbrot, 1983)

1. Συνέχεια……. Verstappen (1988): Περίοδος 50 ετών. Διασταυρώνεται από Galbraith (1988) με χρήση ενός ποιοτικού διαγράμματος του Shirley, που αναπαριστά μια παράλληλη πορεία ανάμεσα στις μεταβολές των οικονομικών/κοινωνικών συνθηκών των ανεπτυγμένων δυτικών χωρών και στις αλλαγές της μαθηματικής τους εκπαίδευσης, που γίνονται με διαφορά φάσης 20 ετών. Μαθημ. Εκπαίδευση: ΝΕΑ Μαθηματικά (Μ. Kline 1973: Why Johnny can’t add), Πίσω στα Βασικά, ΛΠ και ΜΜ-Εφαρμογές (G. Kaiser: Application Oriented Teaching of Maths)

2. Το Πρόβλημα στην Καθημερινή μας Ζωή Α’ Βιομηχανική Επανάσταση (τέλη 19 ου Αιώνα) Β’ Βιομηχανική Επανάσταση (τέλη δεκαετίας 1940: Αυτοματισμός) Γ’ Βιομηχανική Επανάσταση (Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας – Μηχανήματα με Αισθητήρες - Ενεργειακό Διαδίκτυο – 3D Εκτύπωση) ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ: Γνώση - Κριτική Σκέψη - Υπολογιστική Σκέψη = Τρόπος σκέψης ειδικού της Πληροφορικής για την Ανάλυση Συστημάτων και ΛΠ (Papert 1996, Wing 2006)

2. Συνέχεια…… Ορισμός Προβλήματος ( Martinez 2007) ΑΡΧΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Δεδομένα – Ζητούμενα) ΕΜΠΟΔΙΑ (Δε γνωρίζουμε εκ των προτέρων τη διαδικασία. για την υπέρβαση τους: Schoenfeld 1983) ΤΕΛΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Επίτευξη σκοπού) Voskoglou – Buckley, ECSJ, 36(4), 28-46, 2012: Σχέση ΚΣ και ΥΣ Το γραμμικό μοντέλο Το τρισδιάστατο μοντέλο

3. Το Πρόβλημα στη Μαθηματική Εκπαίδευση ( ) Ι) Jean Piaget ( ): Ψυχολόγος – Ανάμεσα σε Εμπειριστές και Ορθολογιστές. Ποσοτικές πληροφορίες για τις ικανότητες των μαθητών). Στάδια γνωστικής ανάπτυξης, Ενεργός μάθηση (Βόσκογλου: Ε.Γ΄, 51, 1986) II) George Polya ( ): Ποιοτική συμπεριφορά- Ορθολογιστής : ΕΤΗ Ζυρίχη, : Stanford 1945: How to Solve it 1954: Mathematics and Plausible Reasoning (2 Τόμοι: Επαγωγή και Αναλογία – Υποδείγματα) 1962/65: Mathematical Discovery (2 Τόμοι) Heuristics (Κανόνες Προτίμησης – Απλοποίηση Προβλήματος), Διδασκαλία Μαθηματικών με Μέθοδο Ανακάλυψης (Εξερεύνηση – Διατύπωση – Αφομοίωση), Αξιώματα Μάθησης (Ενεργητική Μάθηση με διάλογο – Επιθυμητό Κίνητρο – Διαδοχικά Στάδια).

3. Συνέχεια….. II)Συνεχιστές: Lucas, Wickengren, Goldberg, Kantowski, Hatfield (1978): Διδασκαλία για το ΠΛ (σχολικά βιβλία), γύρω από το ΠΛ (δάσκαλος), μέσα από το ΠΛ (Polya) III) Δεκαετία του 80 (Πλαίσιο περιγραφής διαδικασίας ΠΛ – Αίτια επιτυχίας, Αποτυχίας) Alan Schoenfeld: Λέξεις Κλειδιά – Σφαιρικές Ευρετικές (ΑΝΑΛΟΓΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ) - Expert performance model (Teaching PS Skills: Amer. Math. Monthly, 87, , 1980): S1:ΑΝΑΛΥΣΗ (Διάγραμμα – Ειδικές Περιπτώσεις- Απλοποιήσεις χωρίς περιορισμό της γενικότητας), S2: ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ (εφαρμογή συμπερασμάτων ανάλυσης) S3: ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗ (Απαγωγή σε άτοπο, Αναλυτική μέθοδος, Ανάλογο Πρόβλημα, Τροποποίηση προβλήματος), S4: ΕΦΑΡΜΟΓΗ, S5: ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ (με tests) Αρχάριοι λύτες παραλείπουν το τελευταίο στάδιο

3. Συνέχεια…… IV) Αμφισβητήσεις: Σχήματα Γνώσης και Αυτοματισμός των Κανόνων Owen & Sweller, Should PS be used as a learning device of Maths? (J. For Research in Math. Educ., 20, , 1989): Υποδειγματικά λυμένα προβλήματα. Η αναλυτική μέθοδος επιβάλει βαρύ νοητικό φορτίο, που δε διευκολύνει τη ΜΕΤΑΦΟΡΑ της γνώσης. Lawson (JRME, 21, , 1990): Συμφωνεί ως προς το χρόνο και την έμφαση, που δόθηκαν για τη διδασκαλία των ΕΣ. ΩΣΤΟΣΟ: Στη σύνθετη της μορφή (high road transfer) η μεταφορά δεν αποτελεί μια απλή γενίκευση της υπάρχουσας γνώσης, που επιτυγχάνεται με την αυτόματη ενεργοποίηση ενός ΣΓ, αλλά απαιτεί αφαιρετική ικανότητα, που διευκολύνεται με τη χρήση των ΕΣ (PS Model Voss για τη μάθηση, 1987). V) Δεκαετία του 90: Εμφάνιση μοντέλων διδασκαλίας βασισμένων στη ΛΠ, π.χ. Constructivism (Von Clasefeld 1987), Μαθηματική Μοντελοποίηση και Εφαρμογές, Problem-Posing (Brown & Walters, The art of problem posing, Erlbaum, NJ, 1990)

4. Λύση Προβλημάτων με τη Μέθοδο του Ανάλογου Προβλήματος Το πρόβλημα όγκου του Dunker (Gick & Holyak, 1980): 10%-30% Bazzini (1997, 1st Med. Conf., Cyprus): Μέσο παραγωγής νέας γνώσης ή πηγή δημιουργίας παρανοήσεων (αρνητική μεταφορά). ΣΤΑΔΙΑ: Αναπαράσταση του προβλήματος – στόχου (target), Αναζήτηση- Ανάκληση του ανάλογου προβλήματος – Απεικόνιση των αναπαραστάσεων των δυο προβλημάτων- Προσαρμογή της λύσης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Target): Κουτί 8 σφαιρίδια. Ανασύρω 3 φορές με επανατοποθέτηση. Πιθανότητα 3 διαφορετικά. Remote analogue (κοινά μόνο δομικά χαρακτηριστικά): Πόσοι διψήφιοι σχηματίζονται με τα ψηφία 1-6 και πόσοι έχουν τα ψηφία τους διαφορετικά; Distracting (κοινά μόνο επιφανειακά χαρακτηριστικά): Κουτί 3 λευκά, 4 κόκκινα, 6 μαύρα σφαιρίδια. Αν ανασύρω 2, πιθανότητα να είναι διαφορετικού χρώματος. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Αρνητική μεταφορά κυρίως στους άπειρους λύτες. Παρουσίαση μεθόδου βοηθά τους άπειρους λύτες να βελτιωθούν

5. Μαθηματική Μοντελοποίηση Ο «κύκλος» της μοντελοποίησης (Pollak: ICME-3, Karlsruhe 1976) Παραλλαγές του μοντέλου του Pollak: Berry & Davies 1993, Blomhsj & Jensen 2003, Blum & Lei 2007, Edwards & Hamson 1996, Voskoglou 2007, Greefrath 2007 κ.λπ. (Haines & Crouch, ICTMA 13, , NY, Springer, 2010).

5. Συνέχεια……. * In cases of systems having no past history, an extra SIMULATION model could be used to validate the initial mathematical model.

5. Συνέχεια……. International Community of Teachers of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA): 1-2. Exeter ,….., 6. Univ. Delaware, USA 1993,……., 17. Nottingham 2015, 18. Cape Town ICTMA Newsletter, 7(1), 11-13, 2014: Remarks on and Examples of MM Problems Διαστάσεις 20Χ32 cm (Κλαουδάτος, Ε.Γ’ 25, 42-65, 1991): Ε(Χ)=(32- 2Χ)Χ, Ε΄(Χ)=0, Χ=8 cm, E(8)=128 cm2. ΟΜΩΣ Ε(Χ)=(20-2Χ)Χ=…. Newsletter, 8(1), 12-13, 2015: Teaching Maths or MM? (An Answer to a Comment)

6. Σύγχρονες Τάσεις για τη ΛΠ Η προσοχή στρέφεται από τη διαδικασία της ΛΠ στον λύτη με το σκεπτικό ότι, αν γίνει αντιληπτό πως λειτουργεί ο ΕΜΠΕΙΡΟΣ (expert), μπορεί να βοηθηθεί ο ΑΠΕΙΡΟΣ (novice) λύτης για να βελτιωθεί. Schoenfeld 1985 (Mathematical PS, Orlando, Academic Press): Γνωστικό επίπεδο, ευχέρεια στη χρήση των ευρετικών, ικανότητα ελέγχου, beliefs (αυτοπεποίθηση, στάση απέναντι στα μαθηματικά κ.λπ.) και πρακτικές απόκτησής τους. Αντανακλαστική σκέψη (monitoring) απέναντι στην αποτελεσματικότητα της πορείας που ακολουθήθηκε μέχρι κάποιο σημείο για τη ΛΠ και στα συμπεράσματα, που προκύπτουν. Η ρυθμιστική συμπεριφορά, που είναι επακόλουθο αυτής της σκέψης αποδίδεται με τον όρο μεταγνώση (metagognition)` Lesh & Atkerson1982, Lester, Garofalo & Kroll 1989 κ.λπ. Η δυσκολία για τη ΛΠ έχει να κάμει περισσότερο με τα χαρακτηριστικά του λύτη, παρά με το ίδιο το πρόβλημα (DeBellis & Golgin 1999, Lester 1994, Geiger & Galbraith 1998 κ.λπ.). Carlson & Bloom (2005): Μελέτη της συμπεριφοράς 12 έμπειρων μαθηματικών (8 ερευνητές, 4 υποψήφιοι διδάκτορες, 1 γυναίκα) από 2 μεγάλα δημόσια πανεπιστήμια των Δ. ΗΠΑ κατά τη λύση 4 (από 5) προβλημάτων, που απαιτούσαν στοιχειώδη Άλγεβρα, Αναλογίες και Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΤΑΞΙΝΟΜΙΑ: Μέσα (Γνώση και ικανότητα χρήσης κανόνων και αλγορίθμων ρουτίνας), έλεγχος (κατανόηση- γνωστική ενασχόληση – μεταγνώση), μέθοδοι/ευρετικές (γενικές και ειδικές στρατηγικές), συναισθηματικές αντιδράσεις (στάσεις, πεποιθήσεις, συναισθήματα, αξίες). Η ταξινομία και οι ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΕΙΣ δεν αρκούσαν. Τεχνικές (grounded theory) Strauss & Cobin (1999) οδήγησαν στο Multidimensional Problem Solving Framework (MPSF) με στάδια τον ΠΡΟΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟ, τον ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ (με πιθανή χρήση του κύκλου ΕΙΚΑΣΙΑ – ΦΑΝΤΑΣΙΑ - ΕΚΤΙΜΗΣΗ), την ΕΚΤΕΛΕΣΗ και την ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ.

6. Συνέχεια………

Συνέχεια………. Αντιστοίχιση Schoenfeld με MPSF: Ανάλυση – Προσανατολισμός, Σχεδιασμός (Design) – Σχεδιασμός (Planning), Εξερεύνηση – Κύκλος Εικασίας, Εφαρμογή – Εκτέλεση, Επαλήθευση – Έλεγχος. Ποιοτική διαφορά: Schoenfeld περιγράφει τις ΕΣ, MPSF περιγράφει την συμπεριφορά του λύτη (ταξινομία). Θεωρία της κατευθυνόμενης από τους στόχους (goal-oriented) συμπεριφοράς (Schoenfeld) (2007: CIEAEM 59, Dobogoko, Hungary, 2010: How we think: A theory of goal-oriented decision making and its educational applications, Routlege, NY) ΓΙΑΤΙ γίνονται οι συγκεκριμένες επιλογές κατά τη ΛΠ; AΡXITEKTONIKH: Γνώση – Στόχοι – Προσανατολισμοί – Αποφάσεις, που λαμβάνονται με βάση όχι την αντικειμενική, αλλά την υποκειμενική αξία Π.χ. αγορά λαχνού: Αναμενόμενη αντικειμενική αξία = Κ.Π- αγορά<0, γιατί το Π είναι πολύ μικρό. Όμως Αναμενόμενη υποκειμενική αξία = ΥΚ.Π-αγορά>0, γιατί το ΥΚ (καλή ζωή) είναι πολύ μεγάλο ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ: Ξεκινώ ΛΠ με γνώση και στόχους, προσανατολίζομαι και λαμβάνω αποφάσεις για τους τρόπους επίτευξης των στόχων. Ελέγχω αποτελεσματικότητα πορείας με monitoring και η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να ολοκληρωθεί η ΛΠ με επιτυχία. Το ίδιο συμβαίνει και με πολλές άλλες ανθρώπινες δραστηριότητες, π.χ. Μαγείρεμα, εγχείρηση στον εγκέφαλο, διδασκαλία κ.λπ. ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΞΙΑ: Η κατανόηση του μηχανισμού της ΛΠ βοηθά το δάσκαλο να αλλάξει λαθεμένες πεποιθήσεις και προσανατολισμούς των μαθητών του και τον ερευνητή να διορθώσει λαθεμένες συμπεριφορές του δασκάλου.

7. Μελλοντικές προοπτικές για τη ΛΠ Συνέχιση με μέτρο της διδασκαλίας των ΕΣ και ιδίως των σφαιρικών (π.χ. ανάλογο πρόβλημα) μέσα από πρακτικές εφαρμογές (π.χ. Ευκλείδεια Γεωμετρία) ή και σε ειδικά κεφάλαια των Μαθηματικών (π.χ. μέθοδοι αποδείξεων στη Μαθηματική Λογική). Έμφαση στη ΜΜ και τις εφαρμογές, που αποδεδειγμένα τονώνουν το ενδιαφέρον των μαθητών για τα Μαθηματικά και αποδεικνύουν την πρακτική τους αξία συνδέοντας τα με την καθημερινή μας ζωή. Αυτό όμως να μη γίνεται αυτοσκοπός. Εκμετάλλευση των δυνατοτήτων, που προσφέρουν οι νέες τεχνολογίες και ειδικά οι Η/Υ για τη βελτίωση των ικανοτήτων των μαθητών στη ΛΠ. Με μεγάλη όμως προσοχή, γιατί η λανθασμένη ή η υπερβολική τους χρήση μπορεί να έχει και αρνητικά αποτελέσματα. Πληρέστερη μελέτη και ερμηνεία των διαφορών στη συμπεριφορά των έμπειρων και απείρων λυτών, με στόχο τη βελτίωση της απόδοσης των τελευταίων. Προσπάθεια ανεύρεσης τρόπων πρακτικής αξιοποίησης των πορισμάτων της θεωρίας της κατευθυνόμενης από στόχους συμπεριφοράς του Schoenfeld και των πρόσφατων συμπερασμάτων άλλων ερευνητών για τη βελτίωση της διδασκαλίας και της απόδοσης των μαθητών στη ΛΠ.

8. Συμπεράσματα - Επίλογος Η επιτυχής ΛΠ απαιτεί την ανάπτυξη το συντονισμό τη σωστή και τον έλεγχο διαχείριση ενός πολύ μεγάλου αποθέματος προτύπων σκέψης, γνώσης και τρόπων συμπεριφοράς, καθώς επίσης και ένα μεγάλο βαθμό πρακτικής εξάσκησης και εμπειρίας. Ο σχεδιασμός της επίλυσης πολύπλοκων προβλημάτων απαιτεί την καλλιέργεια της κριτικής σκέψης για σύνθεση και ανάλυση, προσοχή στους περιορισμούς, λήψη αποφάσεων για την επιλογή των κατάλληλων μεθόδων κ.λπ.. Η υπολογιστική σκέψη συνδυάζει τη γνώση και την κριτική σκέψη για την εκτέλεση της λύσης. Στην Κινέζικη φιλοσοφία οι όροι Yin καιYang παριστάνουν όλες τις αντίθετες αρχές και αντιλήψεις (Ma Li, Μεσογειακό Συνέδριο, Παλέρμο, 2005). Ωστόσο παράλληλα αλληλοσυμπληρώνονται μεταξύ τους, αφού ο καθένας περιέχει ένα κομμάτι του άλλου. Μέσα από αυτή τη λογική, φαίνεται αναγκαίο να βρεθεί μια ισορροπία μεταξύ των διαφόρων φιλοσοφιών και τάσεων στα Μαθηματικά, η κάθε μια από τις οποίες παρουσιάζει αναμφίβολα τα δικά της πλεονεκτήματα, αλλά και τις αδυναμίες. Έτσι, στην περίπτωση μας η ΛΠ πρέπει να συνδυάζεται με τη μέριμνα για την απόκτηση των κατάλληλων γνώσεων, τον αυτοματισμό των κανόνων, την καλλιέργεια της σωστής έκφρασης κ.λπ.

8. Συνέχεια…… Οι λειτουργίες του ανθρώπινου μυαλού είναι κατά πολύ πιο πολύπλοκες από αυτές του ανθρώπινου σώματος. Κατά συνέπεια, όπως παρατηρεί και ο Schoenfeld (CIEAEM 2007), συγκρίνοντας με την εξέλιξη της ιατρικής επιστήμης, θα πρέπει να αναμένουμε ότι ανάλογη πρόοδος στη ΜΕ, που ως αυτοτελής επιστήμη θεμελιώθηκε μόλις τη δεκαετία του 1970, θα απαιτήσει ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, παρόλο που στα 45 χρόνια που πέρασαν σημειώθηκε μεγάλη προόδος.