ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 12 ο Πίνακες – Πράξεις με πίνακες Ορίζουσα ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: αντιλαμβάνεστε την έννοια του πίνακα, κάνετε πράξεις με πίνακες, μπορείτε να υπολογίσετε την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα..

Παράδειγμα 1 Ας υποθέσουμε ότι μια επιχείρηση παράγει 3 τύπους προϊόντων Τ 1,Τ 2 και Τ 3 τα οποία διοχετεύονται σε δύο πελάτες Π 1 και Π 2. Οι μηνιαίες πωλήσεις είναι 7 μονάδες Τ 1 στον πελάτη Π 1 και 1 μονάδα στον πελάτη Π 2, 3 μονάδες Τ 2 στον πελάτη Π 1 και 5 μονάδες στον πελάτη Π 2 και 4 μονάδες Τ 3 στον πελάτη Π 1 και 6 μονάδες στον πελάτη Π 2. Η παραπάνω πληροφορία μπορεί να περιγραφεί με την τοποθέτηση αριθμών σε γραμμές και στήλες.

Παράδειγμα 1 Όπου α ij δηλώνει τις μονάδες που διατίθενται στον πελάτη Π i από το προϊόν Τ j. Η παραπάνω διάταξη αριθμών ονομάζεται πίνακας και προσδιορίζεται από τον αριθμό των γραμμών και των αριθμό των στηλών του. Το γινόμενο του αριθμού γραμμών επί τον αριθμό στηλών ονομάζεται διάσταση του πίνακα και γενικότερα γράφεται (μΧν). Ο πίνακας Α είναι διάστασης 2Χ3.

Παράδειγμα 2 Έστω οι πίνακες Να προσδιοριστούν τα στοιχεία b 11, b 21, c 12, c 34.

Ανάστροφος πίνακας Αρχικά γράψαμε τον πίνακα Α που περιγράφει τη διάθεση 3 προϊόντων σε 2 πελάτες στη μορφή 2Χ3 Όμως και ο πίνακας Β διάστασης 3Χ2 δίνει την ίδια πληροφορία Ο πίνακας Β λέγεται ανάστροφος του Α και συμβολίζεται Β=Α Τ. Προφανώς ισχύει και Α=Β Τ.

ΜΑΘΗΜΑ 12 ο Πίνακες – Πράξεις με πίνακες Ορίζουσα ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: αντιλαμβάνεστε την έννοια του πίνακα, κάνετε πράξεις με πίνακες, μπορείτε να υπολογίσετε την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα.

Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων Βασική προϋπόθεση για τις δύο πράξεις είναι να έχουν οι πίνακες την ίδια διάσταση. Στην περίπτωση αυτή το άθροισμα ή η διαφορά των πινάκων διάστασης μΧν Α=[a ij ] και Β=[b ij ] είναι ο πίνακας C=[c ij ], όπου c ij =a ij ±b ij Να υπολογιστούν οι πίνακες Α+Β και Α-Β.

Πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα Ένας πίνακας, οποιασδήποτε διάστασης μΧν, Α=[a ij ] μπορεί να πολλαπλασιαστεί με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ και ως αποτέλεσμα θα προκύψει πίνακας της ίδιας διάστασης μΧν του οποίου όλα τα στοιχεία θα έχουν πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό. Δηλαδή, λΑ=[λa ij ] Να υπολογιστεί το γινόμενο 3Α

Πολλαπλασιασμός πινάκων Ας υποθέσουμε ότι τα προϊόντα Τ 1,Τ 2 και Τ 3 του αρχικού παραδείγματος πωλούνται αντί 50, 30 και 20 € ανά μονάδα. Η παραπάνω πληροφορία μπορεί να αναπαρασταθεί με τη βοήθεια ενός πίνακα 1Χ3 (δηλαδή με μια γραμμή και 3 στήλες) ο οποίος εναλλακτικά ονομάζεται διάνυσμα γραμμής p= [ ]. Αν οι πωλήσεις συνολικά είναι 100, 200 και 175 μονάδες προϊόντων Τ 1, Τ 2 και Τ 3 αντίστοιχα, η πληροφορία μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν πίνακα 3Χ1

Πολλαπλασιασμός πινάκων Το συνολικό έσοδο της επιχείρησης θα είναι: TR= 50Χ100€ +30Χ200€ +20Χ175€= 5000€+6000€+3500€= 14500€ Το συνολικό έσοδο είναι ένας αριθμός που μπορεί να γραφεί σε μορφή πίνακα ως ένας 1Χ1 πίνακας [14500]. Ο πίνακας αυτός προκύπτει από το γινόμενο των δύο διανυσμάτων 1Χ3 και 3Χ1 με τον εξής τρόπο

Πολλαπλασιασμός πινάκων Αν θεωρήσουμε τον mXs πίνακα Α και τον sXn πίνακα Β, τότε το γινόμενο των δύο πινάκων είναι ο mXn πίνακας C=AB όπου το στοιχείο c ij είναι το γινόμενο της i γραμμής του πίνακα Α με την j στήλη του πίνακα Β. Να υπολογιστεί το γινόμενο ΑΒ όταν:

Παράδειγμα 3 Πρώτα πρέπει να ελέγξουμε αν μπορεί να γίνει ο πολλαπλασιασμός. Το γινόμενο ΑΒ αφορά τους πίνακες Α διάστασης 2Χ3 και Β διάστασης 3Χ4. Αφού ο αριθμός στηλών του πρώτου είναι ίσος με τον αριθμό γραμμών του δευτέρου (3) ο πολλαπλασιασμός γίνεται και ως αποτέλεσμα θα έχουμε τον πίνακα C διάστασης 2Χ4 (δηλαδή (2Χ3)Χ(3Χ4))

Παράδειγμα 3 Στη θέση του c 11 βάλαμε το γινόμενο της πρώτης γραμμής του Α με την πρώτη στήλη του Β. Δηλαδή c 11 = 2X3+1X1+0X5=7

Παράδειγμα 3 Στη θέση του c 12 βάλαμε το γινόμενο της πρώτης γραμμής του Α με τη δεύτερη στήλη του Β. Δηλαδή c 12 = 2X1+1X0+0X4=2

Παράδειγμα 4 Να υπολογιστούν τα γινόμενα ΑΒ και ΒΑ. Επομένως, ΑΒ≠ΒΑ

ΜΑΘΗΜΑ 12 ο Πίνακες – Πράξεις με πίνακες Ορίζουσα ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: αντιλαμβάνεστε την έννοια του πίνακα, κάνετε πράξεις με πίνακες, μπορείτε να υπολογίσετε την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα.

Ορίζουσα

Για κάθε 2Χ2 πίνακα Ο αριθμός ad-bc ονομάζεται και ορίζουσα του πίνακα Α Αν η ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν ο πίνακας ονομάζεται μη- ιδιάζων, ενώ όταν η ορίζουσα είναι μηδέν ο πίνακας ονομάζεται ιδιάζων. Να υπολογιστεί η ορίζουσα των πινάκων. Είναι οι πίνακες ιδιάζοντες ;

Ορίζουσα 3Χ3

Παράδειγμα 5

Ορίζουσα