Αριθμοί δια μέσου των πολιτισμών Μια ιστορική ανασκόπηση: από τους Σουμέριους στους Βαβυλώνιους, Αιγύπτιους και Έλληνες. Πυθαγόρας και αριθμοί Συστήματα αρίθμησης: εξηνταδικό, δεκαδικό, δυαδικό.

Ένα παιδί μετράει αριθμούς και άστρα Σε ένα χωριό της Γερμανίας γύρω στα 1784 στην πρώτη τάξη του σχολείου ένα παιδί άρχισε να μαθαίνει τους αριθμούς και τις αριθμητικές πράξεις. Όταν ο δάσκαλος ζήτησε να υπολογίσουν το άθροισμα εκείνο δεν αρνήθηκε την πρόκληση. Μόνο που για να μάθετε την απάντηση που έδωσε, θα χρειαστεί να περιμένετε λίγο...ως το τέλος της παρουσίασης... Johann Carl Friedrich Gauss

Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι ψηφιακό, δεκαδικό, θεσιακό, με υποδιαστολή και μηδέν. Ψηφιακό: οι μονάδες του παριστάνονται με διαφορετικά σύμβολα και όχι με επανάληψη του ίδιου συμβόλου, π.χ. το δύο έχει το δικό του σύμβολο (2), ενώ σε ένα μη ψηφιακό σύστημα θα συμβολιζόταν επαναλαμβάνοντας δύο φορές το σύμβολο 1. Δεκαδικό: κάθε φορά που συμπληρώνονται δέκα μονάδες δημιουργείται μια μονάδα ανώτερης τάξης. Οι αριθμοί από το 0 μέχρι το 9 είναι μονοψήφιοι. Ο αριθμός 10 γράφεται ως ένα και μηδέν, δηλαδή μια μονάδα ανώτερης τάξης (δεκάδα) και καμιά απλή μονάδα. Σημερινό σύστημα αρίθμησης

Θεσιακό: η αξία του κάθε ψηφίου καθορίζεται από τη θέση του μέσα στον αριθμό. Για παράδειγμα, όταν γράφουμε τον αριθμό 3723,5 έχουμε: 3 χιλιάδες, 7 εκατοντάδες, 2 δεκάδες, 3 μονάδες και 5 δέκατα δηλαδή, 3723,5= 3×1000+7×100+2×10+3+5×0,1 =3×10³+7×10²+2×10+3+5×10ˉ¹

Μεσοποταμία Κατά την 6η χιλιετηρίδα π.Χ. πραγματοποιήθηκε μια σημαντική εξέλιξη στο νότιο τμήμα της Μεσοποταμίας, κοντά στις εκβολές του Τίγρη και του Ευφράτη: άρχισε η μόνιμη εγκατάσταση ανθρώπων. στάδιο της τροφοπαραγωγής Αυτό σημαίνει ότι πέρασαν από το στάδιο της τροφοσυλλογής στο στάδιο της τροφοπαραγωγής.

Μεσοποταμία Η καλλιέργεια της γης και η κτηνοτροφία άρχισαν να αναπτύσσονται συστηματικά. συλλογικότητα Για τον σκοπό αυτό ήταν αναγκαία η συλλογικότητα. Οι κοινότητες για την επιβίωσή τους ανέπτυξαν ένα αρδευτικό σύστημα, όπως και υπερυψωμένα πλατώματα για να προφυλαχθούν από τις πλημμύρες.

Βαβυλώνιοι Τον σουμεριακό πολιτισμό προσοικειώθηκαν οι Σημίτες Ακκάδιοι, που κατοικούσαν πολύ βορειότερα. Με την πάροδο του χρόνου κυριάρχησαν όλο και περισσότερο και, περίπου το 1700 π.Χ., ο μεγάλος ηγέτης Χαμουραμπί μπορούσε πλέον να αποκαλεί τον εαυτό του “Βασιλέα του Σουμέρ και του Ακκάδ”. Έχουμε την πρώτη βαβυλωνιακή δυναστεία και την εμφάνιση της σφηνοειδούς γραφής.

Μεσοποταμία Εμφάνιση σφηνοειδούς γραφής Για τις αυξημένες ανάγκες της γραφειοκρατίας η γραφή εγκατέλειψε τις καμπυλόγραμμες εγχαράξεις στις πήλινες πινακίδες και υιοθέτησε έναν τρόπο συνδυασμού μικρών γραμμών, που είχαν το σχήμα της σφήνας. Το γράψιμο γινόταν πάνω σε πλάκες από άργιλο οι οποίες στη συνέχεια ψήνονταν στον ήλιο ή σε κλίβανο.

Οι αρχαιολόγοι έχουν βρει εκατοντάδες χιλιάδες πινακίδες της εποχής με σφηνοειδείς χαρακτήρες. Από τις γνωστότερες είναι η Plimpton 322 που βρίσκεται στο Πανεπιστήμιο Columbia, ανήκει στην περίοδο της δυναστείας του Χαμουραμπί (1800 – 1600 π.Χ.) και περιέχει μια λίστα από ορθογώνια τρίγωνα και τις πλευρές τους. Βαβυλώνιοι Αριθμοί στη Μεσοποταμία και βασικές πηγές Έχουμε την πινακίδα YBC 7289 του 1800 π.Χ., που φυλάσσεται στο Πανεπιστήμιο του Yale και, σύμφωνα με τους ερευνητές, ανταποκρίνεται σε προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 με έξι δεκαδικά ψηφία.

Βαβυλώνιοι Το σύστημα αρίθμησης που εφαρμόζεται στη Βαβυλώνα είναι ατελές, μη ψηφιακό, εξηνταδικό, σύστημα θέσης (αρχικά χωρίς το 0).  Ατελές : Δεν έχουμε 60 διαφορετικά σύμβολα από το 0 ως το 59 αλλά δύο.  Εξηνταδικό: βάση το 60.  Σύστημα θέσης: Η θέση του συμβόλου δίνει την αντίστοιχη αξία. Οι αριθμοί από το 1 έως το 9 Μετρώντας σε 10άδες έως το 50

Βαβυλώνιοι Ατελές: μετρώντας από το 1 έως το 59 δεν έχουμε 59 διαφορετικά σύμβολα. Ουσιαστικά για τους αριθμούς αυτούς οι Βαβυλώνιοι έχουν το ίδιο σύστημα με τους Αιγύπτιους, δηλαδή με βάση το 10.

Βαβυλώνιοι 48×60²+20×60+12= Θεσιακό σύστημα γραφής Νωρίτερα σφήνα μεγαλύτερης “αξίας”

Βαβυλώνιοι Οι Βαβυλώνιοι γράφανε τον αριθμό μονάδων στα δεξιά και προς τ’ αριστερά ακολουθούσε ο αριθμός των εξηντάδων, στη συνέχεια ο αριθμός των 60×60- δων, όπως και εμείς σήμερα. Οι Βαβυλώνιοι όμως δεν είχαν εξηνταδικό σημείο. Έτσι, γράφοντας το διπλανό σύμβολο, δεν είμαστε σίγουροι αν πρόκειται για τον αριθμό 2 ή 2×60 ή 2×60×60 ή ακόμη και για κάποιον άλλο. Στους ίδιους τους Βαβυλώνιους δεν δημιουργούσε μάλλον μεγάλη δυσκολία, αφού, από το συγκεκριμένο πρόβλημα, καταλάβαιναν για ποιον αριθμό πρόκειται. Αδυναμίες συστήματος Βαβυλωνίων

Βαβυλώνιοι Αδυναμίες συστήματος Βαβυλωνίων Μη ύπαρξη συμβόλου για το μηδέν. Συνέπεια: ο διπλανός αριθμός θα μπορούσε να είναι το 64=1×60+4 αλλά και το 3604=1×60×60+4. Στην πορεία (περίπου 7ο-4ο αιώνα π.Χ.) εισάγεται η διπλή πλαϊνή σφήνα, για να δηλώσει την απουσία συγκεκριμένων δυνάμεων του 60. Όμως το 0 συνεχίζει να μην θεωρείται κανονικός αριθμός.

Βαβυλώνιοι Πλεονεκτήματα συστήματος Βαβυλωνίων  Η επιλογή τους Βαβυλωνίους του συστήματος αρίθμησης με βάση το 60 πιθανόν να στηρίζεται στο ότι γνώριζαν ότι ένα έτος είναι 360 ημέρες (εύκολα διαιρείται με το 60).  Από μαθηματική άποψη, η επιλογή του αριθμού 60 ως βάσης είναι πολύ πιο δικαιολογημένη από ό,τι το δεκαδικό σύστημα, ως ένα αριθμός που διαιρείται με πολύ περισσότερους απ’ ό,τι το 10 (έχει ως διαιρέτες τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 ενώ το 10 μόνο τους 1,2,5,10).  Σημαντικό πλεονέκτημά του ως θεσιακό.

Βαβυλώνιοι Πλεονεκτήματα συστήματος Βαβυλωνίων  Οι λέξεις λεπτό και δευτερόλεπτο έχουν πηγάσει από τους Βαβυλώνιους. Οι Έλληνες, τόσο ως έμποροι αλλά και ως κατακτητές, ήρθαν σε επαφή με τους Βαβυλώνιους, οι οποίοι, προκειμένου να γνωρίζουν την κατάλληλη περίοδο για σπορά και θερισμό, τα αστρονομικά δεδομένα τα εξέφραζαν στο εξηνταδικό σύστημα. Οι Έλληνες αστρονόμοι τα υιοθέτησαν έχοντας τα εξηκοστά (πρώτες υποδιαιρέσεις) και εξηκοστά των εξηκοστών (δεύτερες υποδιαιρέσεις). Μεταφράστηκαν στα αραβικά και έπειτα στα λατινικά, όπου έγιναν pars minuta prima, pars minuta seconda και στα αγγλικά αργότερα minutes και seconds για τη μέτρηση του χρόνου. Έτσι, όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εμείς σήμερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουμε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά.  Κατά τον ίδιο τρόπο υποδιαιρούνται και οι γωνίες εκφρασμένες σε μοίρες (ένας κύκλος 360º, 1º=60'=60×60΄).

Αιγύπτιοι Πηγή: Η αφύπνιση της επιστήμης, Van Der Waerden, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης

Πρώτες μόνιμες εγκαταστάσεις γύρω από το Νείλο (περίοδος π.Χ. και στα μέσα της 4ης χιλιετηρίδας). Δημιουργούνται δύο βασίλεια: το Βόρειο στην Κάτω Αίγυπτο και το Νότιο στην Άνω Αίγυπτο. Γύρω στο π.Χ. ο βασιλιάς Μένες από την Άνω Αίγυπτο κυρίευσε το βασίλειο της Κάτω Αιγύπτου και ενοποίησε την περιοχή σ’ένα βασίλειο. Άρχισε η ονομαζόμενη εποχή των δυναστειών, η εποχή των Φαραώ (μέχρι το 341 π.Χ.). Αίγυπτος

Η Αίγυπτος ήταν ένα πάρα πολύ πλούσιο και τεράστιο σε έκταση βασίλειο. Ήταν λοιπόν απαραίτητο τα πλούτη του βασιλείου να μετρούνται και να καταγράφονται, όπως επίσης και οι φόροι που πλήρωναν οι άνθρωποι στο βασιλιά, ανάλογα με το εισόδημά τους. Αίγυπτος

Αυτή ήταν δουλειά των γραφέων. Οι γραφείς ήταν καλά πληρωμένοι δημόσιοι υπάλληλοι και πολλοί απ’ αυτούς βρίσκονταν στην κορυφή της αιγυπτιακής κοινωνίας. Ο ουσιαστικός όμως λόγος για τον οποίο οι γραφείς θεωρούνταν τόσο σπουδαία πρόσωπα ήταν τα ιερογλυφικά, που απαιτούσαν μεγάλη καλλιτεχνική δεξιοτεχνία. Αίγυπτος Ο καθιστός γραφέας: άγαλμα από την Σακάρα της Αιγύπτου. Χρονολογείται στο 2600 έως 2350 π.Χ.

Είδη γραφής: Ιερογλυφική γραφή (περίπου 3100 π.Χ.) που συναντάται σε “σκληρά” μνημεία (πέτρες και βράχους), εξέλιξή της η Ιερατική γραφή, γύρω στο 2000 π.Χ. και στο 700 π.Χ. η δημοτική γραφή. Αίγυπτος

Αριθμοί στην αρχαία Αίγυπτο με βασικές πηγές : Πάπυρος Rhind· είναι μια συλλογή 84 προβλημάτων που αντιγράφτηκε περίπου το 1650 π.Χ. από ένα πρωτότυπο του 1850 π.Χ. Αίγυπτος Πάπυρος της Μόσχας · γράφτηκε γύρω στο 1850 π.Χ. Είναι μια συλλογή 25 προβλημάτων.

Αριθμοί στην αρχαία Αίγυπτο και βασικές πηγές : Ο δερμάτινος κύλινδρος γράφτηκε γύρω στο 1650 π.Χ. και περιέχει 26 αθροίσματα μοναδιαίων κλασμάτων. Υπάρχoυν οι πάπυροι Kahun και του Βερολίνου που είναι του 1850 π.Χ. και περιέχουν μαθηματικές πράξεις και προβλήματα. Αίγυπτος

Σύμβολα αριθμών Μια γραμμή κατακόρυφη για το 1 Ένα χερούλι καλαθιού για το 10 Ένα τυλιγμένο σχοινί για το 100 Ένα άνθος λωτού για το 1000 Ένα δάκτυλο που δείχνει για το Ένα ψάρι τάντμπολ για το Ένας άνθρωπος με τα χέρια ψηλά για το Αιγύπτιοι

Αιγυπτιακό σύστημα αρίθμησης  Όχι θεσιακό  δεκαδικό: μάλλον εξαιτίας των 10 δακτύλων  επαναληπτικό: το ίδιο σύμβολο πολλές φορές Αιγύπτιοι

Μη θεσιακό. Επίσης... Φανταστείτε να θέλουμε να γράψουμε το Χρειαζόμαστε 55 σύμβολα Αιγύπτιοι Αδυναμίες συστήματος Αιγυπτίων

Αρχαίοι Έλληνες-Ιωνική περίοδος

Αρχαίοι Έλληνες - Ιωνική γραφή Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν γράμματα αντί για αριθμούς. Οι αριθμοί σχηματίζονταν με την προσθετική αρχή, από αριστερά προς τα δεξιά με φθίνουσα τάξη, πχ 621=χκα. Το αποτέλεσμα ήταν, σε σχέση με το πρώιμο αρχαιο-ελληνικό σύστημα, ότι όλοι οι αριθμοί μέχρι το 1000 χρειάζονταν 3 ψηφία. Οι χιλιάδες, 1000 έως 9000, αντικαταστάθηκαν από την απόστροφο «΄».

Παραδείγμα: Το μειονέκτημα του ιωνικού συστήματος είναι ότι δεν μπορεί να εκφράσει απεριόριστα μεγάλους αριθμούς. Όμως εξυπηρετούσε τις καθημερινές ανάγκες. Εικάζεται ότι οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν την χρήση του συστήματος θέσης και τη χρήση ενός συμβόλου στην κενή θέση του μηδενός. Δεν φαίνεται όμως ότι πίστεψαν στην αναγκαιότητα ενός τέτοιου συστήματος Αρχαίοι Έλληνες - Ιωνική γραφή

Πυθαγόρας Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε στη Σάμο. Η γέννησή του πιθανολογείται ανάμεσα στο 592 και το 572 π.Χ., με πιθανότερη το 585 π.Χ. Ο Πυθαγόρας με τη διδασκαλία του αποσκοπούσε στα εξής: να οδηγήσει τον άνθρωπο στην κατανόηση των νόμων της φύσης και στο να βελτιώσει και αναπτύξει τις ικανότητές του.

Τον 6ο αιώνα π.Χ. ιδρύθηκε από τον Πυθαγόρα η ομώνυμη σχολή στον Κρότωνα της σημερινής Νότιας Ιταλίας. Ήδη, από την εποχή των Βαβυλωνίων, όπως παρουσιάσαμε, είχε αρχίσει να ερευνάται η έννοια του αριθμού, όπως μαρτυρούν οι αριθμολογικές τους ενασχολήσεις. Στην πυθαγόρεια σχολή, όμως, κυριαρχούσε η ιδέα ότι τα “πάντα είναι αριθμοί”. Πυθαγόρας

Η αληθινή πηγή της σοφίας για τους Πυθαγόρειους είναι η τετρακτύς, δηλαδή οι τέσσερις πρώτοι φυσικοί αριθμοί που θεωρείται ότι συνδέονται μεταξύ τους με διάφορες σχέσεις. Η Τετρακτύς (τετράδα) του Πυθαγόρα σημαίνει το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών, δηλαδή ο αριθμός 10=( ). Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν ως ρίζα και πηγή κάθε δημιουργίας την τετράδα αυτή των αριθμών και αποτελούσε τον μέγιστο και ιερότερο όρκο τους. Πυθαγόρας

Ο Πυθαγόρας χρήζει παγκόσμιας αναγνώρισης. Το όνομά του είναι σήμερα ταυτισμένο με το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Εμείς θα σταθούμε περισσότερο στην αγάπη του για τους αριθμούς και θα δούμε πώς στη βάση της σκέψης του νεαρού μαθητή Gauss βρίσκεται η φιλοσοφία των αριθμών του Πυθαγόρα. Τρίγωνοι αριθμοί, τετράγωνοι αριθμοί, τέλειοι, φίλοι αριθμοί, πρώτοι αριθμοί. Πυθαγόρας

Τετράγωνοι αριθμοί Πυθαγόρας

Τρίγωνοι αριθμοί Μήπως αυτό σκέφθηκε ο νεαρός μαθητή Gauss;αυτό Πυθαγόρας

Ή μήπως τελικά αυτό σκέφθηκε ο νεαρός μαθητής Gauss; Πυθαγόρας-Gauss

Ινδοαραβικά ψηφία Είναι το γνωστό ινδο-αραβικό σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιεί το μεγαλύτερο μέρος του σύγχρονου κόσμου. Στην αρχή είχαμε τα βραχμανικά ψηφία, τα 9 πρώτα ήταν τα εξής Ποια είναι όμως η προέλευση των γνωστών μας ψηφίων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 που χρησιμοποιούμε σήμερα;

Ινδοαραβικά ψηφία Από αραβικά και περσικά βιβλία αριθμητικής, η επινόηση των εννέα ψηφίων αποδίδεται ομόφωνα στους Ινδούς Ποιά είναι όμως η προέλευση των γνωστών μας ψηφίων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 που χρησιμοποιούμε σήμερα; Αυτά έχουν, μάλλον, προκύψει από παραλλαγή των βραχμανικών ψηφίων και στην πορεία εξελίχθηκαν σε δυτικο- αραβικά (που χρησιμοποιούμε σήμερα και σε ανατολικο- αραβικά).

Ινδοαραβικά ψηφία Η εξάπλωση των Αράβων (7ος αιώνας μ.Χ.), οδήγησε σε μια μεγάλη αυτοκρατορία, με επίκεντρο την Βαγδάτη, την οποία, επισκέπτονταν επιστήμονες απ’όλο τον κόσμο. Μέσα σε αυτή την απέραντη αυτοκρατορία διαδόθηκαν τα αραβικά ψηφία. Έγιναν ιδιαίτερα γνωστά από το βιβλίο του Άραβα μαθηματικού Αλ-Χουαρίζμι (Al-Khwarizmi εξ ου και τ’ όνομα αλγόριθμος) που συνέγραψε το πρώτο αραβικό βιβλίο άλγεβρας Αλ-τζαμπρ ουάλ- μουκάμπαλα (820 μ.Χ.) εξ ου και το όνομα της άλγεβρας. Πώς οι λαοί του δυτικού κόσμου υιοθέτησαν τα αραβικά ψηφία;

Σήμερα, χρησιμοποιούμε στην καθημερινότητά μας μάλλον περισσότερο το δεκαδικό σύστημα. Παρ’ όλα αυτά, βλέπετε την παρουσίαση αυτή στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αφού αυτό χρησιμοποιείται στους υπολογιστές και άρα μόνο τα ψηφία 0 και 1. Σήμερα….

Οι ανθρωπολόγοι ανακάλυψαν ότι όλοι οι πολιτισμοί είχαν αναπτύξει κάποια μορφή αρίθμησης. Ακόμα και στους πιο πρωτόγονους από αυτούς παρατηρήθηκαν στοιχειώδεις αριθμητικές λέξεις. Η χρήση αριθμητικών συμβόλων είναι ένα από τα ολιγάριθμα στοιχεία που παρατηρούνται σε όλους τους πολιτισμούς που εμφανίζονται στην ιστορία. Αυτές οι παρατηρήσεις έχουν οδηγήσει τους μελετητές να αναφέρονται στη μέτρηση ως πολιτιστική αναγκαιότητα. Η διαδικασία της μέτρησης, έννοια που εμπεριέχει την έννοια του φυσικού αριθμού και του τρόπου συμβολικής αναπαράστασής του, θεωρείται το εγκυρότερο πολιτιστικό στοιχείο. Μήπως, τελικά, πολιτισμοί δια μέσω των αριθμών;

Μικρό Τεστ Ποιοί αριθμοί είναι; 234=3×

Πηγές που χρησιμοποιήθηκαν-Βιβλιογραφία Van Der Waerden, B. L. (2003). Η Αφύπνιση της Επιστήμης (2 η εκδ.). Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Τα μυστήρια των αριθμών, Marcus Du Sautoy lawson, Calvin C. Η μαγεία των μαθηματικών : αποκαλύπτοντας τα μυστικά των αριθμών / Calvin C. Clawson ; μετάφραση Παναγιώτης Παπαχρήστου. - Αθήνα : Κέδρος, 2008 Heath,Thomas.,1981.A History of Greek Mathematics. Vol.II. Dover Publications, Inc. New York,Ελληνική µετάφραση : Ιστορία των Ελληνικών Μαθηµατικών, Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ., Αθήνα, 2001.

Υπεύθυνος Παρουσίασης Ζυγούρης Κώστας Μαθηματικός MSc, Med

ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ!!!