Μεταβατική απόκριση ενός συστήματος δεύτερης τάξης Σχήμα 5.7 σελίδα 370

Μεταβατική απόκριση ενός συστήματος δεύτερης τάξης

Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας ενός ευσταθούς συστήματος κλειστού βρόχου είναι συνήθως πολλές φορές μικρότερο από το σφάλμα σε ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου. Σφάλμα Όταν και στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας

Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Τύπος συστήματος 0 1 2

Ευστάθεια Γραμμικών Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ένα ευσταθές σύστημα (stable system) παράγει μια πεπερασμένη έξοδο όταν του εφαρμοστεί μια πεπερασμένη είσοδος (Bounded Input Bounded Ooutput stability (BIBO)) Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz Υπολογισμός του πλήθος των πόλων ενός συστήματος που βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο χωρίς να έχουμε υπολογίσει τις τιμές τους!! Συμπέρασμα για την ευστάθεια χωρίς την εύρεση των πόλων! Σχετική ευστάθεια (relative stability)- μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τον βαθμό ευστάθειας ενός συστήματος Κεφάλαιο 6ο

Ευστάθεια Γραμμικών Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Με τη προσθήκη ανάδρασης μπορούμε να μετατρέψουμε μια ασταθή διεργασία σε ευσταθή, και κατόπιν να ρυθμίσουμε και την αντίστοιχη μεταβατική κατάσταση. (Η ανάδραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για συστήματα ανοικτού βρόχου που είναι ευσταθή για την προσαρμογή της συμπεριφοράς του) Ένα ευσταθές σύστημα είναι ένα δυναμικό σύστημα το οποίο παρουσιάζει πεπερασμένη απόκριση για πεπερασμένη είσοδο Απόλυτη ευστάθεια – δηλώνει αν ένα σύστημα είναι ευσταθές ή όχι Σχετική ευστάθεια – δηλώνει «πόσο» ευσταθές είναι ένα ευσταθές σύστημα

Παράδειγμα αναλογία ισορροπίας-ευστάθειας Α) Ευσταθής Β) Ουδέτερη Γ) Ασταθής Σχήμα 6.1 σελίδα 459

Παράδειγμα αναλογία ισορροπίας-ευστάθειας Ένα γραμμικό σύστημα είναι ευσταθές αν και μόνο αν ορίζεται το ολοκλήρωμα της απόλυτης τιμής της κρουστικής απόκρισης g(t) σε όλο το διάστημα του άξονα των χρόνων. -Για μια φραγμένη είσοδο θα πρέπει Οι πόλοι ενός ευσταθούς δυναμικού συστήματος θα πρέπει να βρίσκονται αποκλειστικά στο αριστερό μιγαδικό επίπεδο Σχήμα 6.2 σελίδα 460

Παράδειγμα αστάθειας Γέφυρα στον Tacoma Narrows Σχήμα 6.3 σελίδα 461

Για γραμμικά συστήματα η ευστάθεια μπορεί να οριστεί συναρτήσει των θέσεων των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου Όπου είναι η χαρακτηριστική εξίσωση, οι ρίζες της οποίας αποτελούν τους πόλους του συστήματος κλειστού βρόχου. Για Ν=0 η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι Όπου είναι σταθερές που εξαρτώνται από τις

Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου ευσταθές, απαιτεί όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος να έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη. Ένα σύστημα θα χαρακτηρίζεται ως ασταθές όταν υπάρχουν πόλοι που δεν βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Αν ένα σύστημα έχει απλές ρίζες (πολλαπλότητας 1) στον φανταστικό άξονα, με όλες τις άλλες ρίζες στο αρνητικό ημιεπίπεδο, τότε αν η είσοδος διεγερθεί από μία φραγμένη συνάρτηση τότε η έξοδος του συστήματος θα συντηρεί αμείωτες ταλαντώσεις. Αν η είσοδος διεγερθεί από ένα ημιτονοειδές σήμα του οποίου η συχνότητα ισούται με το μέτρο των ριζών του φανταστικού άξονα τότε η έξοδος του συστήματος γίνεται θεωρητικά άπειρη και το σύστημα ασταθές (Οριακή ευστάθεια (marginal stability)) Ένα ασταθές σύστημα έχει τουλάχιστον έναν πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο ή επαναλαμβανόμενες ρίζες στον φανταστικό άξονα και η έξοδος του συστήματος απειρίζεται για κάθε σήμα εισόδου..

Παράδειγμα Συνάρτηση μεταφοράς Απόκριση σε βηματική είσοδο

Παράδειγμα Συνάρτηση μεταφοράς Απόκριση σε είσοδο sin(4t)

Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz Η χαρακτηριστική εξίσωση στο πεδίο Laplace δίνεται Πρέπει να εξετάσουμε αν υπάρχει ρίζα στο δεξιό μιγαδικό επίπεδο. Γράφοντας την χαρακτηριστική εξίσωση σε παραγοντική μορφή έχουμε όπου είναι η i-οστή ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Αναλύοντας την πιο πάνω εξίσωση, έχουμε μετά από πράξεις

Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz Ή με άλλα λόγια Αν όλες οι ρίζες βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο τότε όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου θα πρέπει να έχουν το ίδιο πρόσημο τότε. Επίσης για να είναι το αντίστοιχο σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλοι οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου να είναι μη μηδενικοί. Οι παραπάνω συνθήκες είναι αναγκαίες αλλά όχι ικανές!!!!! Π.χ. το σύστημα με χαρακτηριστική εξίσωση είναι ασταθές να και όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι θετικοί

Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ευστάθεια γραμμικών συστημάτων αποτελεί το κριτήριο Routh, το οποίο βασίζεται στη διάταξη των συντελεστών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. υπό μορφή πίνακα ή δομής έχουμε Επιπρόσθετες γραμμές της δομής συμπληρώνονται ως εξής...

Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz όπου και και ούτω καθεξής

Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz Ο αριθμός των ριζών του πολυωνύμου q(s) που έχουν θετικά πραγματικά μέρη ισούται με τον αριθμό των εναλλαγών προσήμου στην πρώτη στήλη του πίνακα Routh. Για να είναι ένα σύστημα ευσταθές δεν πρέπει να εμφανίζονται εναλλαγές στο πρόσημο των στοιχείων της πρώτης στήλης του πίνακα. Η συνθήκη αυτή είναι και αναγκαία και ικανή συνθήκη Υπάρχουν 4 πιθανές περιπτώσεις διάταξης της πρώτης στήλης που πρέπει να ληφθούν υπόψη και οι οποίες απαιτούν κατάλληλες τροποποιήσεις στην διαδικασία υπολογισμού του πίνακα. Α) Όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είναι διάφορα του 0 Π.χ. Ένα σύστημα δεύτερης τάξης όπου

Για να είναι ένα σύστημα δεύτερης τάξης ευσταθές θα πρέπει όλοι οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου να είναι θετικοί ή όλοι οι συντελεστές να είναι αρνητικοί. Για ένα σύστημα τρίτης τάξης Για να είναι ένα σύστημα τρίτης τάξης ευσταθές θα πρέπει όλοι οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου να είναι θετικοί αριθμοί και ταυτόχρονα να ισχύει Αν τότε το σύστημα είναι οριακά ευσταθές και ένα ζεύγος των ριζών βρίσκεται πάνω στο φανταστικό άξονα του μιγαδικού επιπέδου (περίπτωση Γ) Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz

Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Το πολυώνυμο αυτό ικανοποιεί τις αναγκαίες συνθήκες καθώς όλοι του οι συντελεστές είναι θετικοί και διάφοροι του 0. Παρόλα αυτά όπως φαίνεται από τον πίνακα Routh το σύστημα είναι ασταθές γιατί έχουμε 2 εναλλαγές προσήμου, οπότε 2 ρίζες του πολυωνύμου βρίσκονται στο δεξί ημιεπίπεδο

Β) Υπάρχουν μηδενικά στοιχεία στην πρώτη στήλη αλλά η γραμμή που αντιστοιχεί στα μηδενικά αυτά στοιχεία, περιλαμβάνει άλλα στοιχεία που είναι διάφορα του 0. Αν μόνο ένα στοιχείο της πρώτης στήλης ισούται με το 0, μπορούμε να το αντικαταστήσουμε με μια πολύ μικρή θετική ποσότητα ε, η οποία μπορεί να τείνει στο 0 αφού ολοκληρωθεί η διάταξη του πίνακα. Π.χ. Στην πρώτη στήλη του πίνακα εμφανίζονται 2 διαδοχικές αλλαγές προσήμου λόγω του μεγάλου αρνητικού αριθμού Άρα το σύστημα είναι ασταθές και 2 ρίζες του χ.π. βρίσκονται στο δεξί ημιεπίπεδο Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz

Παράδειγμα-ασταθές σύστημα Χ.Π. Για ποιες τιμές του K το σύστημα είναι ευσταθές? Τα 2 τελευταία στοιχεία της πρώτης στήλης πρέπει να είναι και τα 2 θετικά κάτι το οποίο είναι αδύνατο. Οπότε θα έχουμε τουλάχιστον μια αλλαγή προσήμου, οπότε το σύστημα δεν μπορεί να είναι ευσταθές για κανένα K. Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz

Γ) Υπάρχουν μηδενικά στοιχεία στην πρώτη στήλη και όλα τα άλλα στοιχεία της γραμμής που αντιστοιχεί σε μηδενικό είναι και αυτά 0. Σε αυτή την περίπτωση το αντίστοιχο πολυώνυμο περιλαμβάνει σημεία ιδιομορφίας (singularities) τα οποία είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου. Συνεπώς θα πρέπει να υπάρχουν όροι της μορφής ή Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με τη χρήση του βοηθητικού πολυωνύμου U(s). Ο βαθμός του βοηθητικού πολυωνύμου είναι πάντοτε άρτιος και αντιστοιχεί στο πλήθος των συμμετρικών ριζών Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα τρίτης τάξης με Χ.Π. Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz

Ο πίνακας Routh για το προηγούμενο σύστημα είναι Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz Για να είναι το σύστημα ευσταθές, πρέπει Όταν Κ=8 έχουμε 2 ρίζες πάνω στον φανταστικό άξονα και το σύστημα είναι οριακά ευσταθές

Για Κ=8 η τρίτη γραμμή στον πίνακα Routh περιέχει μόνο μηδενικά. Το βοηθητικό πολυώνυμο αντιστοιχεί στην εξίσωση της γραμμής που βρίσκεται πάνω από τη γραμμή με τα μηδενικά – στην προκειμένη περίπτωση από την γραμμή του όρου Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz Αν διαιρέσουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο με το βοηθητικό πολυώνυμο, διαπιστώνουμε ότι η διαίρεση δεν αφήνει υπόλοιπο που σημαίνει ότι το βοηθητικό πολυώνυμο είναι πράγματι παράγοντας του Χ.Π. οπότε

Δ) Επαναλαμβανόμενες ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πάνω στον φανταστικό άξονα. Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα και έχουν πολλαπλότητα 1 τότε το σύστημα είναι οριακά ευσταθές. Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης που βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα έχουν πολλαπλότητα μεγαλύτερη της μονάδας τότε το σύστημα είναι ασταθές και η απόκρισή του έχει τη μορφή Το κριτήριο Routh-Hurwitz δεν μπορεί να αποκαλύψει αυτή τη μορφή της αστάθειας. Π.χ. έστω σύστημα που έχει το παρακάτω χαρακτηριστικό πολυώνυμο Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz

Ο πίνακας Routh για το προηγούμενο σύστημα είναι Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz Όπου ε μια πολύ μικρή θετική ποσότητα η οποία τείνει στο 0 Στον παραπάνω πίνακα Routh δεν εμφανίζονται αλλαγές προσήμου, και δημιουργείται η εσφαλμένη εντύπωση ότι το σύστημα είναι οριακά ευσταθές.

Η κρουστική απόκριση όμως του συστήματος αυξάνει με το χρόνο Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz Το βοηθητικό πολυώνυμο που λαμβάνεται από τη γραμμή του όρου είναι το, ενώ από τη γραμμή του όρου προκύπτει το οποίο αντιστοιχεί στις επαναλαμβανόμενες ρίζες του φανταστικού άξονα

Παράδειγμα Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του παραπάνω συστήματος είναι Σχήμα 6.4 σελίδα 471

Ο πίνακας Routh για το προηγούμενο σύστημα είναι Το βοηθητικό πολυώνυμο θα είναι Άρα υπάρχουν 2 ρίζες πάνω στο φανταστικό άξονα. Για να εξετάσουμε τις υπόλοιπες ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου το διαιρούμε με το βοηθητικό πολυώνυμο Παράδειγμα

Ο πίνακας Routh για το προηγούμενο σύστημα είναι Στον πίνακα αυτό έχουμε 2 αλλαγές προσήμου στην πρώτη στήλη που σημαίνει ότι το σύστημα έχει 2 ρίζες στο δεξί μιγαδικό επίπεδο οπότε είναι ασταθές Παράδειγμα

Σύστημα ελέγχου θέσης μιας κεφαλής συγκόλλησης Για ποιες τιμές των α, Κ το σύστημα είναι ευσταθές? Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι Σχήμα 6.5 σελίδα 473

Ο πίνακας Routh για το προηγούμενο χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει Παράδειγμα

Οι περιοχή τιμών για τα a,K φαίνεται γραμμοσκιασμένο σχήμα Π.χ. Αν πάρουμε Κ=40 τότε θα πρέπει α<0.639

Η γενική μορφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης ενός συστήματος n-οστής τάξης είναι Διαιρώντας με και θέτοντας παίρνουμε την κανονικοποιημένη μορφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Π.χ.

Για την κανονικοποιημένη μορφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης οι συνθήκες ευστάθειας για πολυώνυμα μέχρι 6ου βαθμού παρατίθονται στον παρακάτω πίνακα nΧαρακτηριστική εξίσωσηΚριτήριο

ΠΠΕ 6.3 σελίδα 510 Α) Από τη συνθήκη του σφάλματος παίρνουμε θέλουμε Β) Για την ευστάθεια εξετάζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Σχήμα ΠΠΕ6.3 σελίδα 510

Ο πίνακας Routh για το προηγούμενο σύστημα είναι Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει b>0. Λύνοντας βρίσκουμε α>0.618 Γ) Παίρνοντας α=1 ικανοποιούνται και οι δύο συνθήκες (και μάλιστα μηδενίζουμε και το σφάλμα) ΠΠΕ 6.3 σελίδα 510