ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΡΙΖΩΝ  Ορισμός του γεωμετρικού τόπου ριζών Αποτελεί μια συγκεκριμένη καμπύλη, πάνω στην οποία κινούνται οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ενός συστήματος συναρτήσει των μεταβολών μιας συγκεκριμένης παραμέτρου.  Σκοπός της μεθόδου του γεωμετρικού τόπου ριζών Η ανάλυση και ο σχεδιασμός ενός συστήματος κλειστού βρόχου, μελετώντας την σχετική ευστάθεια και την μεταβατική απόκριση του, οι οποίες σχετίζονται άμεσα με τις θέσεις των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Με αυτή τη μέθοδο, αναλύουμε ένα σύστημα στο πεδίο του χρόνου.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Έστω το σύστημα κλειστού βρόχου με μια μεταβαλλόμενη παράμετρο Κ που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: με συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου: όπου είναι η χαρακτηριστική εξίσωση που εδώ ισούται με: οι ρίζες της οποίας καθορίζουν την απόκριση του συστήματος

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Η μεταβλητή s είναι μια μιγαδική μεταβλητή, οπότε η χαρακτηρηστική εξίσωση μπορεί να γραφει σε πολική μορφή: Από την παραπάνω σχέση συνεπάγονται δύο συνθήκες: 1. Συνθήκη του μέτρου 2. Συνθήκη της φάσης

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Έστω ότι η G(s) δίνεται από τη σχέση: οπότε έχουμε ένα απλό σύστημα δεύτερης τάξης, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: με χαρακτηριστική εξίσωση:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Χρησιμοποιώντας τις συνθήκες του μέτρου και της φάσης, στην περίπτωσή μας θα ισχύει: 1. Συνθήκη του μέτρου: 2. Συνθήκη της φάσης: Πρέπει να σημειωθεί ότι ο προσδιορισμός του γεωμετρικού τόπου πραγματοποιείται, όταν και οι αντίστοιχες ρίζες της είναι: για

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Ο γεωμετρικός τόπος αυτού του συστήματος είναι: Πρέπει να σημειωθεί ότι: & Γραφικά, για τους δύο πόλους του ανοικτού βρόχου, ο γεωμετρικός τόπος είναι μια κατακόρυφη ευθεία, έτσι ώστε να ικανοποιείται η ζητούμενη συνθήκη φάσης

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Υπολογισμός της γωνίας και του κέρδους στο σημείο της ρίζας, Από τη συνθήκη φάσης υπολογίζουμε τη γωνία ως εξής: Η συνθήκη της φάσης ικανοποιείται για κάθε σημείο πάνω στην κατακόρυφη διχοτόμο του τμήματος από 0 εως και το –2, Από τη συνθήκη του μέτρου υπολογίζουμε το κέρδος Κ, για τη ρίζα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Γενική περίπτωση: Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα κλειστού βρόχου, του οποίου η χαρακτηριστική εξίσωση δίνεται από την σχέση: όπου Όποτε η συνθήκη μέτρου είναι: και η συνθήκη φάσης είναι: με

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Γεωμετρικός τόπος ριζών συστήματος δεύτερης τάξης, υπό την επίδραση των μεταβολών της παραμέτρου α. Έστω το σύστημα του διπλανού σχήματος: Η χαρακτηρηστική εξίσωση του συστήματος δίνεται από την παρακάτω σχέση από την οποία λαμβάνουμε ισοδύναμα:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Η συνθήκη του μέτρου θα ικανοποιείται, όταν: για τη ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης Η συνθήκη της φάσης θα είναι: Ο γεωμετρικός τόπος ριζών της παραπάνω χαρακτηριστικής εξίσωσης παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Η τιμή της παραμέτρου α στο σημείο που ορίζεται η ρίζα δίνεται από την παρακάτω σχέση: Από το γεωμετρικό τόπο που είδαμε παραπάνω, παρατηρούμε ότι οι δύο ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ταυτίζονται πάνω στον πραγματικό άξονα παρουσιάζεται μια κρίσιμα αποσβεννύμενη βηματική απόκριση. Σε αυτή την περίπτωση, όπου, η τιμή της παραμέτρου α θα είναι: με Καθώς το α αυξάνει πέρα από αυτή την κρίσιμη τιμή, οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Διαδικασία κατασκευής του γεωμετρικού τόπου ριζών Έστω η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος, η οποία δίνεται από την μορφή: Γράφουμε το πολυώνυμο με τη μορφή πόλων-μηδενικών, οπότε: μεκαι

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη  Βήμα 1 ο Καθορίζουμε τους κλάδους του γεωμετρικού τόπου. (αριθμός κλάδων) = (αριθμός πόλων της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόχου) ο γεωμετρικός τόπος ξεκινάει από τους πόλους του και καταλήγει στα μηδενικά του καθώς το K κινείται από το μηδέν στο άπειρο. κλάδοι του γεωμετρικού τόπου τείνουν στο άπειρο, σε (n -m) το πλήθος μηδενικά. Οι κλάδοι του γεωμετρικού τόπου πρέπει να είναι συμμετρικοί ως προς τον πραγματικό άξονα Γεωμετρικός τόπος συστήματος με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη  Βήμα 2 ο Καθορίζουμε τα τμήματα του γεωμετρικού τόπου τα οποία βρίσκονται πάνω στον πραγματικό άξονα Θεωρώ ένα σημείο s πάνω στον πραγματικό άξονα (αρχικά το s 1 και μετά το s 2, s 3 ) Για να είναι τo s σημείο του γεωμετρικού τόπου, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη της φάσης. Δηλαδή, για με

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Τις φάσεις των πόλων και των μηδενικών τις υπολογίζουμε, βασιζόμενοι σε τρεις περιπτώσεις: I. Πόλοι ή μηδενικά τα οποία βρίσκονται αριστερά του σημείου s,έχουν φάση 0 0 II. Πόλοι ή μηδενικά τα οποία βρίσκονται δεξιά του σημείου s,έχουν φάση III. Μιγαδικοί πόλοι ή μιγαδικά μηδενικά έχουν φάση Για K>0, το s 1 και s 3 είναι σημεία του γεωμετρικού τόπου, σε αντίθεση με το σημείο s 2 το οποίο δεν ανήκει στο γεωμετρικό τόπο. Αντίθετα, για K<0, τα τμήματα του γεωμετρικού τόπου τα οποία βρίσκονται στον πραγματικό άξονα θα είναι

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη  Βήμα 3 ο Καθορίζουμε τις ασύμπτωτες του γεωμετρικού τόπου, καθώς το τέινει στο άπειρο. 1.Αριθμός ασυμπτώτων: 2.Κέντρο των ασυμπτώτων: 3.Γωνία των ασυμπτώτων ευθειών ως προς τον πραγματικό άξονα:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη  Βήμα 4 ο Καθορίζουμε το σημείο θλάσης του γεωμετρικού τόπου καθώς απομακρύνεται από τον πραγματικό άξονα. 1 ος Τρόπος υπολογισμού σημείου θλάσης Θέτω: Έστω η χαρακτηριστική εξίσωση: Έπειτα λύνουμε την εξίσωση: Πρέπει να σημειώσουμε ότι το σήμειο θλάσης είναι σημείο του τόπου (άρα μπορεί να μην είναι δεκτές όλες οι λύσεις). 2 ος Τρόπος υπολογισμού σημείου θλάσης Χρησιμοποιούμε τον προσεγγιστικό τύπο:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη  Βήμα 5 ο Καθορίζουμε τη γωνία αναχώρησης με την οποία ο γεωμετρικός τόπος απομακρύνεται από ένα πόλο. Ο τύπος που μας δίνει τη γωνία αναχώρησης δίνεται παρακάτω: όπου είναι η συνάρτηση μεταφοράς σε μορφή πόλων-μηδενικών, ΧΩΡΙΣ τον παράγοντα  Βήμα 6 ο Καθορίζουμε τη γωνία άφιξης με την οποία ο γεωμετρικός τόπος προσεγγίζει ένα μηδενικό. Ο τύπος που μας δίνει τη γωνία αναχώρησης δίνεται παρακάτω:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη  Βήμα 7 ο Καθορίζουμε τα σημεία τομής του γεωμετρικού τόπου με τον φανταστικό άξονα, δηλαδή Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι της μορφής: 1 ος τρόπος υπολογισμού: Εφαρμόζουμε το κριτήριο Routh – Hurwitz, υπολογίζοντας πρώτα το Κ και μετά αντικαθιστώντας το στην χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκω το σημείο s 2 ος τρόπος υπολογισμού: Στη χαρακτηριστική εξίσωση κάνω την αντικατάσταση s=jω και προχωράω σε εξίσωση πολυωνύμων, υπολογίζοντας τα ω και Κ, οπότε

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη  Το ω και Κ που αντιστοιχούν στα σημεία τομής είναι οι κρίσιμες τιμές, ω c και Κ c. Συγκεκριμένα, ο φανταστικός άξονας είναι η διαχωριστική γραμμή, μεταξύ της ασταθούς και της ευσταθούς περιοχής. Όταν οι πόλοι του κλειστού συστήματος βρίσκονται επί του φανταστικού άξονα, η έξοδος του συστήματος εκτελεί ταλάντωση, με συχνότητα ω c. Στην περίπτωση που έχουμε παραπάνω από μια τιμή για το Κ c, τότε η κρίσιμη τιμή είναι η μικρότερη απ’όλες. Αντικαθιστούμε τις τιμές των Κ c και ω c στη χαρακτηριστική εξίσωση, οπότε θα είναι: και υπολογίζουμε τουυ πόλους του κλειστού συστήματος.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη  Βήμα 9 ο Καθορίζουμε την τιμή της παραμέτρου Κ x για μία συγκεκριμένη ρίζα s x της χαρακτηριστικής εξίσωσης, χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο:  Βήμα 8 ο Καθορίζουμε τις θέσεις των ριζών εκείνων που ικανοποιούν τη συνθήκη φάσης για s x, με x=1,2,…n. Σύμφωνα με τη συνθήκη φάσης είναι:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Παραμετρική σχεδίαση συστημάτων με βάση το ΓΤΡ Πώς μπορούμε να διερευνήσουμε την επίδραση από την ταυτόχρονη μεταβολή 2 παραμέτρων α και β; Η μέθοδος του γεωμετρικού τόπου ριζών μπορεί να επεκταθεί για τη διερεύνηση των μεταβολών δύο ή και περισσοτέρων παραμέτρων ενός συστήματος παραμετρική σχεδίαση Έστω η χαρακτηριστική εξίσωση ενός δυναμικού συστήματος: Για την επίδραση των μεταβολών του συντελεστή γράφουμε την παραπάνω εξίσωση στη μορφή της εξίσωσης του ΓΤΡ.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Αν η συγκεκριμένη παράμετρος α δεν εμφανίζεται ως ένας απλός συντελεστής, τότε μπορούμε να την απομονώσουμε ως εξής Π.χ. Ένα σύστημα 3ης τάξης: Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ο γεωμετρικός τόπος, καθώς μεταβάλλεται η παράμετρος α. η οποία μπορεί να γραφτεί ως εξής:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Για τον προσδιορισμό της επίδρασης των μεταβολών 2 παραμέτρων α και β ενός συστήματος, η χαρακτηρηστική εξίσωση είναι της μορφής: Η επίδραση των παραμέτρων προσδιορίζεται ως εξής: 1 ο βήμα: Απομονώνουμε τις δύο παραμέτρους 2 ο βήμα: Προσδιορίζουμε την επίδραση των μεταβολών της πρώτης παραμέτρου, μηδενίζοντας την άλλη παράμετρο 3 ο βήμα: Προσδιορίζουμε την επίδραση των μεταβολών της δεύτερης παραμέτρου, έχοντας επιλέξει κατάλληλη τιμή από το προηγούμενο βήμα για την πρώτη παράμετρο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Π.χ. Χαρακτηριστική εξίσωση τρίτης τάξης με 2 παραμέτρους α, β: Η επίδραση των μεταβολών της παραμέτρου β προσδιορίζεται με τη βοήθεια της εξίσωσης του ΓΤΡ Παρατηρούμε ότι η παράσταση στον παρονομαστή συμπίπτει με την αρχική χαρακτηριστική εξίσωση για β=0. Συνεπώς διερευνούμε πρώτα την δράση της παραμέτρου α, καθώς αυτή μεταβάλλεται από το μηδέν μέχρι το άπειρο, χρησιμοποιώντας την εξίσωση.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη οπότε ο γεωμετρικός τόπος που προκύπτει φαίνεται στο διπλανό σχήμα: Επιλέγουμε δύο τιμές για το α (το οποίο θεωρείται ως κέρδος), α 1 και α 2. Εξετάζοντας την τιμή α 1, από το σχήμα βλέπουμε ότι για κέρδος α 1 αντιστοιχούν τρεις πόλοι, οι δύο είναι συζυγείς, και, Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την τιμη α 1,,στην αρχική εξίσωση, οπότε:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Έτσι έχουμε τον εξής γεωμετρικό τόπο ριζών, ο οποίος παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα: Παρατηρούμε ότι έχουμε τους ίδιους πόλους με τους πόλους που αντιστοιχούσαν στην παράμετρο α 1 που επιλέξαμε προηγουμένως. Αυτή η διαδικασία είναι η διαδικασία κατασκευής Διπλού Γεωμετρικού Τόπου. Πρέπει να σημειώσουμε ότι ο περιορισμός που ανακύπτει από αυτή τη διαδικασία είναι ότι η μορφή της χαρακτηριστικης εξίσωσης ΔΕΝ είναι ΠΑΝΤΑ γραμμική ως προς την υπό έλεγχο παράμετρο α

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 7 η Διάλεξη Επικρατούντες πόλοι Επικρατούντες πόλοι είναι οι πιο «αργοί» πόλοι, δηλαδή οι πόλοι, οι οποίοι έχουν το πραγματικό τους μέρος πιο κοντά στην αρχή των αξόνων Η επίδραση των επικρατούντων πόλων είναι ότι κυριαρχούν στη μεταβατική απόκριση του συστήματος σε σχέση με τους άλλους πόλους Π.χ. Η βηματική απόκριση του συστήματος μπορεί να γραφτεί ως: Αν p 1 είναι ο επικρατών πόλος και p 1 <<p 2,τότε η βηματική απόκριση θα είναι: