Ηλεκτροτεχνικές Εφαρμογές Ενότητα 8: Θέρμανση Αγωγής Γεώργιος Χ. Ιωαννίδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί Ενότητας Στην 8 η Ενότητα ο φοιτητής μελετά την εφαρμογή θέρμανσης μέσω αγωγής. Μελετά τις βασικές ηλεκτρικές & ηλεκτροθερμικές εξισώσεις και ποσοτικοποιεί μεγέθη όπως εναλλασσόμενο ρεύμα σε αγωγούς, απώλειες ισχύος, dc και ac αντίσταση σε πλάκα ορθογωνικής διατομής, σε αγωγούς κυκλικής διατομής και σε σωληνωτούς αγωγούς. 4

Περιεχόμενα Ενότητας Θέρμανση Αγωγής Βασικές Ηλεκτροθερμικές Εξισώσεις Εναλλασσόμενο Ρεύμα σε Αγωγούς AC Ρεύμα σε Ημιάπειρη Πλάκα Βάθος Διείσδυσης Συνολικό Ρεύμα AC Ρεύμα σε Πλάκα Ορθογωνικής Διατομής 5 Κατανομή Πυκνότητας Ρεύματος Πυκνότητα Ισχύος Συντελεστής Ισχύος Κυκλωματικές Παράμετροι Ισχύς για AC και DC Ρεύματα AC Ρεύμα σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής Η Qw και ο PF

Θέρμανση Αγωγής (1) Απ’ ευθείας παραγωγή θερμότητας σε υλικό από την ροή ρεύματος στο ίδιο το υλικό. Βασικές ηλεκτρικές εξισώσεις. Θεωρούμε μεταλλικό αγωγό με: Ειδική Αντίσταση ρ (Ωm), Ομοιόμορφη Διατομή Α (m2) και Μήκος l (m) Παρουσιάζει αντίσταση στο συνεχές ρεύμα R: 6

Θέρμανση Αγωγής (2) 7 Έστω V η τάση που εφαρμόζεται στα άκρα του: Η ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση R, (φαινόμενο Joule), είναι ίση με: Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτουν:

Θέρμανση Αγωγής (3) 8 Τα μεγέθη J και E είναι διανύσματα με την ίδια φορά και διεύθυνση. Επίσης τα ρ, J και E έχουν θεωρηθεί σταθερά στο αγωγό, όμως η σχέση (4) ισχύει και όταν αυτά είναι μεταβλητά. Η σχέση (3) μπορεί να πάρει την παρακάτω μορφή :

Βασικές Ηλεκτροθερμικές Εξισώσεις Έστω αγωγός μήκους l και διατομής A, θερμαίνεται με Pu W/m3 για t sec, τότε: Όπου: Θ m : Μέση θερμοκρασιακή ανύψωση του αγωγού c: Ειδική θερμότητα σώματος σε J/kgK γ: Πυκνότητα αγωγού Kg/m 3 Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν απώλειες: 9

Εναλλασσόμενο Ρεύμα σε Αγωγούς Ροή AC Ρεύματος  Μεταβαλλόμενο Μαγνητικό Πεδίο. Συγκέντρωση ρεύματος στην επιφάνεια του αγωγού  Επιδερμικό Φαινόμενο, με αποτέλεσμα: Αύξηση της αντίστασης (Rac) αγωγού και Αύξηση των θερμικών απωλειών του. 10

AC Ρεύμα σε Ημιάπειρη Πλάκα (1) Περιοχή ύλης ευρισκόμενη πίσω από επίπεδο το οποίο εκτείνεται προς το άπειρο και στις δύο διαστάσεις του. Στην μια πλευρά του επιπέδου υπάρχει αέρας ενώ στην άλλη υπάρχει αγωγός. 11 Ροή Ρεύματος σε Ημιάπειρη Πλάκα (α) (β)

AC Ρεύμα σε Ημιάπειρη Πλάκα (2) 12 Ροή Ι κατά z άξονα  Ένταση Η κατά x άξονα. Εφαρμογή νόμου Ampere κατά μήκος γραμμοσκιασμένης περιοχής (α): Όπου H xy  H κατά x άξονα εξαρτώμενο από την μεταβλητή y. Παραλείποντας τον δείκτη y έχουμε:

AC Ρεύμα σε Ημιάπειρη Πλάκα (3) 13 Εφαρμογή νόμου Faraday κατά μήκος γραμμοσκιασμένης περιοχής (β), ενθυμούμενοι ότι Ε = ρJ και δΦ = Βlδy: Στην ανάλυση που κάνουμε ασχολούμαστε με ημιτονοειδείς μεταβαλλόμενες ποσότητες επομένως:

AC Ρεύμα σε Ημιάπειρη Πλάκα (4) 14 Εξαλείφοντας το Η προκύπτει: Ομοίως:

AC Ρεύμα σε Ημιάπειρη Πλάκα (5) 15 Η λύση της παραπάνω διαφορικής είναι: Τελικά έχουμε: Για:

Βάθος Διείσδυσης (1) Εκθετική μείωση πλάτους πυκνότητας ρεύματος και διατήρηση συχνότητας ω παντού ίδια. Διαφορά φάσης μεταξύ πυκνότητας ρεύματος στην επιφάνεια και βάθους y, ίσο με αy. Το βάθος αυτό καλείται Βάθος Διείσδυσης ή Επιδερμικό Βάθος και συμβολίζεται με το γράμμα δ. Βάθος διείσδυσης: 16

Βάθος Διείσδυσης (2) 17 Μεταβολή της Πυκνότητας Ρεύματος με το Βάθος της Ημιάπειρης Πλάκας

Συνολικό Ρεύμα Συνολικό ρεύμα ημιάπειρης πλάκας  Άπειρο. Το ρεύμα σε πεπερασμένου πλάτους w τμήματος της πλάκας είναι πεπερασμένο. Δίνεται ως εξής: 18

Απώλειες ανά Μονάδα Επιφάνειας Για ημιάπειρη πλάκα: Με βάση τα προηγούμενα έχουμε: 19

Επιφανειακή Ένταση Μαγνητικού Πεδίου Υπολογισμός Hs από το νόμο Ampere: Από προηγούμενες σχέσεις προκύπτει: 20

AC Ρεύμα σε Πλάκα Ορθογωνικής Διατομής Όταν το πάχος της πλάκας είναι πολύ μεγαλύτερο από το βάθος διείσδυσης τότε: Η πλάκα μπορεί να θεωρηθεί ως δύο ημιάπειρες πλάκες σε επαφή και Με ρεύματα ανεξάρτητα μεταξύ τους. 21

Κατανομή Πυκνότητας Ρεύματος (1) Λόγω συμμετρίας, η πυκνότητα ρεύματος στις δύο επιφάνειες θα είναι ίδια και στο πλάτος αλλά και στη κατεύθυνση. Js η ενεργός πυκνότητα ρεύματος στις εξωτερικές επιφάνειες της πλάκας. 22 Ροή Ρεύματος σε Λεπτή Ορθογωνική Πλάκα

Κατανομή Πυκνότητας Ρεύματος (2) 23 Η επίλυση της αντίστοιχης διαφορικής για την πυκνότητα ρεύματος J x δίνει: Ο υπολογισμός των σταθερών A 1 και Α 2 θα γίνει εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες για y=±b: Οι παραπάνω σχέσεις γίνονται ίσες όταν Α 1 = Α 2 = Α Οπότε:

Κατανομή Πυκνότητας Ρεύματος (3) 24 Για y = 0: και άρα: Επομένως, Οπότε: Το πλάτος της κανονικοποιημένης πυκνότητας ρεύματος είναι:

Κατανομή Πυκνότητας Ρεύματος (4) 25 Μεταβολή της Πυκνότητας Ρεύματος με το Βάθος σε Λεπτή Πλάκας για Διάφορους Λόγους Πάχους προς Βάθος Διείσδυσης

Κατανομή Πυκνότητας Ρεύματος (5) Συνολικό ρεύμα. Εάν το πλάτος της πλάκας είναι w το συνολικό Ι είναι: 26

Πυκνότητα Ισχύος (1) Οι απώλειες ανά m2 της πλάκας είναι: Βάση της εξίσωσης πλάτους της κανονικοποιημένης πυκνότητας ρεύματος έχουμε: 27

Πυκνότητα Ισχύος (2) Για λεπτές πλάκες έχουμε: Οι συνολικές απώλειες στην πλάκα υπολογίζονται: Αποδεικνύεται ότι για 2b/δ >= 4 το pr= 1/(2b/δ) Άρα: 28

Πυκνότητα Πραγματικής και Άεργου Ισχύος (1) Οι απώλειες ανά m2 της πλάκας υπολογίζονται και από την γενική σχέση. Επειδή η ισχύς εισέρχεται και από τις δύο πλευρές της πλάκας, η συνολική S πολλαπλασιάζεται επί 2. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ίση με: Ενώ το ρεύμα ανά m μήκους (Α/m) : 29

Πυκνότητα Πραγματικής και Άεργου Ισχύος (2) Οπότε έχουμε: 30

Συντελεστής Ισχύος Ο συντελεστής ισχύος PF είναι ίσος με: 31 pr, qr και Συντελεστής Ισχύος PF για Πλάκα Ορθογωνικής Διατομής όταν 2b/δ>8 pr=qr=1/2b/δ

Κυκλωματικές Παράμετροι (1) Η V κατά μήκος l είναι ίση με: Το Ι σε τμήμα πλάτους w είναι ίσο με: Η Ζ ενός τμήματος πλάτους w και μήκους l είναι Z=V/I Επομένως: 32

Κυκλωματικές Παράμετροι (2) Η ανά μονάδα μήκους και πλάτους Ζ είναι: Εάν η πλάκα μετέφερε DC ρεύμα και είχε μήκος 1m και πλάτος 1m, τότε: Οπότε: 33

Κυκλωματικές Παράμετροι (3) Όταν το 2b/δ γίνει μικρό τότε: Σε υψηλές συχνότητες το δ είναι μικρό και το 2b/δ γίνεται μεγάλο οπότε: Γραφική Παράσταση R ac /R dc και X ac /R dc σε Λεπτές Πλάκες Συναρτήσει του Λόγου Πάχους προς Βάθος Διείσδυσης 34

Ισχύς για AC και DC Ρεύματα Θεωρώντας ότι έχουμε την εφαρμογή του ίδιου E και της ίδια επιφανειακής πυκνότητας ρεύματος για AC και DC συνθήκες έχουμε: AC Ισχύς= ρbJs2 ανά πλευρά= 2ρbJs2 pr DC Ισχύς= ρJ2 (Όγκος)= ρJ2(2bx1x1) Εάν οι συνθήκες επιφανείας είναι ίδιες στο AC και DC δηλαδή, J= Js Τότε: AC Ισχύς / DC Ισχύς= pr 35

AC Ρεύμα σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής (1) Συναντώνται πάντα στα προβλήματα θέρμανσης. Ροή μόνο στον z-άξονα. Εφαπτομενική συνιστώσα του B και του Η. 36 Ροή Ρεύματος σε Κυλινδρικό Αγωγό

AC Ρεύμα σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής (2) Βάση νόμου Ampere στην γραμμοσκιασμένη επιφάνεια έχουμε: Θεωρώντας ότι δΗ θ δr είναι αμελητέο προκύπτει: Θεωρώντας ότι τα μεγέθη είναι ημιτονοειδή έχουμε: και 37

AC Ρεύμα σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής (3) Βάση νόμου Faraday στην γραμμοσκιασμένη επιφάνεια προκύπτει: Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (1) και (2) έχουμε: 38

AC Ρεύμα σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής (4) Η παραπάνω διαφορική είναι εξίσωση Bessel μηδενικής τάξης με λύση: 39

AC Ρεύμα σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής (5) Επειδή η Πυκνότητα Ρεύματος: Πρέπει να είναι πεπερασμένη για r= 0 και Ko(0)= , θα πρέπει: Α2= 0 Θέτοντας: Α1= Α Έχουμε: Όπου: 40

AC Ρεύμα σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής (6) Έστω J= Jo για r= 0. Τότε: Εάν Js η επιφανειακή πυκνότητα ρεύματος: Τότε: ή το μέτρο της προηγούμενης σχέσης: 41

AC Ρεύμα σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής (7) 42 Μεταβολή της Κανονικοποιημένης Πυκνότητας Ρεύματος (|J/J s |) Συναρτήσει της Κανονικοποι-ημένης Ακτίνας Συμπαγούς Κυλινδρικού Αγωγού(r/R) για Διάφορους Λόγους Ακτίνας προς Βάθος Διείσδυσης

AC Ρεύμα σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής (8) 43 Συνολικό Ρεύμα: Υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την ποσότητα J dA από r=0 έως r=R.

AC Ρεύμα σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής (9) 44 Όταν mR είναι μεγάλο λόγω υψηλής συχνότητας τότε: Άρα έχουμε:

Ισχύς Απωλειών Οι απώλειες ανά m του κυλινδρικού αγωγού υπολογίζονται από την γενική σχέση P= EI* 45

Η Pw και η Ισχύς στο AC και στο DC Η Pw είναι ίση με: Όπου l: Το μήκος του αγωγού Η ισχύς στο AC και στο DC δίνεται: 46

Η Qw και ο PF Η Q w είναι ίση με: Ο PF είναι ίσος με: 47

pr, qr και Συντελεστής Ισχύος PF για Συμπαγή Κυλινδρικό Αγωγό 48 p r, q r και Συντελεστής Ισχύος PF για Συμπαγή Κυλινδρικό Αγωγό όταν d/δ>8 q r = 2/(1.23+d/δ), p r = 2/(d/δ)

Κυκλωματικές Παράμετροι – (1) Υπολογίζουμε την Z που παρουσιάζει αγωγός μήκους l Οπότε: Η Rdc που παρουσιάζει αγωγός κυκλικής διατομής μήκους l είναι ίση με: 49

Κυκλωματικές Παράμετροι – (2) Ο λόγος της σύνθετης αντίστασης του αγωγού προς της DC αντίσταση του είναι: Χωρίζοντας το πραγματικό μέρος από το φανταστικό προκύπτουν οι παρακάτω λόγοι αντιστάσεων και αντιδράσεων: 50

Κυκλωματικές Παράμετροι – (3) Για μεγάλες τιμές του R/δ μια καλή προσέγγιση είναι να θεωρηθεί ως AC αντίσταση αυτή ενός κυλίνδρου πάχους δ και ακτίνας R δηλ,: Για υψηλές τιμές συχνότητας το δ είναι μικρό ενώ τα α και mR είναι μεγάλα: Για λεπτούς αγωγούς όπου το mR είναι μικρό, μπορεί να αποδειχθεί ότι προσεγγιστικά ισχύει: 51

Κυκλωματικές Παράμετροι – (4) 52 R ac /R dc και X ac /R dc σε Αγωγούς Κυκλικής Διατομής, για Διάφορους Λόγους Ακτίνας προς Βάθος Διείσδυσης

AC Ρεύμα σε Σωληνωτούς Αγωγούς (1) Όμοια με τον Συμπαγή Κύλινδρο Διαφορετικές Οριακές Συνθήκες Λύση διαφορικής εξίσωσης: 53

AC Ρεύμα σε Σωληνωτούς Αγωγούς (2) Επειδή η επιφανειακή πυκνότητα ρεύματος είναι J s ισχύει ό,τι: Εφόσον διαδρομή ακτίνας b δεν περικλείει ρεύμα θα πρέπει: 54

AC Ρεύμα σε Σωληνωτούς Αγωγούς (3) 55

AC Ρεύμα σε Σωληνωτούς Αγωγούς (4) 56

AC Ρεύμα σε Σωληνωτούς Αγωγούς (5) 57

AC Ρεύμα σε Σωληνωτούς Αγωγούς (6) 58

AC Ρεύμα σε Σωληνωτούς Αγωγούς (7) 59

AC Ρεύμα σε Σωληνωτούς Αγωγούς (8) 60 Μεταβολή της κανονικοποιημένης πυκνότητας ρεύματος (|J/Js|) συναρτήσει της κανονικοποιημένης ακτίνας σωληνωτού κυλινδρικού αγωγού (r/R) με παραμέτρους το λόγο εξωτερικής ακτίνας προς βάθος διείσδυσης (R/δ) και το λόγο εσωτερικής ακτίνας προς την εξωτερική (b/R)

Συνολικό Ρεύμα – (1) Υπολογίζεται ολοκληρώνοντας το γινόμενο J dA από r=b έως r=R. 61

Συνολικό Ρεύμα – (2) 62

Συνολικό Ρεύμα – (3) 63

Συνολικό Ρεύμα – (4) 64

Ισχύς Απωλειών (1) Οι απώλειες ανά m του σωληνωτού αγωγού μπορούν να υπολογιστούν από την γενική σχέση P= EI* με βάση το Ε= ρJ s 65

Κυκλωματικές Παράμετροι Υπολογίζουμε την σύνθετη αντίσταση Z που παρουσιάζει αγωγός μήκους l. Υπενθυμίζουμε ότι η τάση αγωγού μήκους l είναι ίση με V= ρJ s l Η Rdc που παρουσιάζεται είναι ίση με: Οπότε έχουμε: 66

Rac/Rdc και Xac/Rdc σε Σωληνωτούς Αγωγούς για Διάφορα Πάχη (1) 67 R ac /R dc και X ac /R dc σε Σωληνωτούς Αγωγούς για Διάφορα Πάχη

Rac/Rdc και Xac/Rdc σε Σωληνωτούς Αγωγούς για Διάφορα Πάχη (2) 68 R ac /R dc και X ac /R dc σε Σωληνωτούς Αγωγούς για Διάφορα Πάχη

69 Βιβλιογραφία (1) 1. N.Mohan, T.M. Undeland, “Power Electronics, Converters, Applications and Design”, John Wiley & Sons, Στέφανος Μανιάς, «Ηλεκτρονικά Ισχύος», Εκδόσεις Συμεών, Στέφανος Μανιάς, Αθανάσιος Καλετσάνος, «Βιομηχανικά Ηλεκτρονικά», Εκδόσεις Συμεών, A.C. Metaxas, “Foundations of Electroheat, A Unified Approach”, John Wiley & Sons, E. J. Davies, Induction Heating Handbook, Mcgraw-Hill Book Company Ltd, London, H.B.Cary, “Modern Welding Technology, Prentice Hall, A.T.Johns, J.R.Platts, G.Ratcliffe, "Conduction and Induction Heating", Peter Peregrinus Ltd, 1990.

70 Βιβλιογραφία (2) 8. Siemens and John Wiley & Sons, “Electrical Engineering Handbook”, John Wiley & Sons, New York, Φ.Ζ. Νομπέλη, «Χημεία για τεχνολόγους», Μακεδονικές Εκδόσεις. 10. F.A. Lowencheim "Modern Electroplating", Electrochemical Society, M. Schlesinger, M. Paunovic, "Modern Electroplating”, John Wiley & Sons, I. Khan, J. Tapson, I. de Vriew, “Frequency control of a current-fed inverter for induction heating”, IEEE Proceedings on Industrial Electronics, Vol. 1, No.1, 2000, pp N. S. Bayindir, O. Kukrer, M. Yakup, “ DSP- based PLL-controlled kHz 20kW high-frequency induction heating system for surface hardening and welding applications”, IEE Proceedings on Electric Power Applications, Vol. 150, No. 3, 2003, pp

71 Βιβλιογραφία (3) 14. S. Moisseev, H. Muraoka, M.Nakamura, A. Okumo, E. Hiraki, M. Nakaoka, “Zero voltage switching PWM high-frequency inverter using IGBTs for induction heated fixing roller”, IEE Proccedings on Electric Power Applications, Vol.150, No. 2, 2003, pp H. Ogiwara, M. Nakaoka, “ZCS high frequency inverter using SIT for induction heating applications”, IEE Proceedings on Electric Power Applications, Vol.150, No.2, pp A. Schonknecht, R.W.A.A. De Doncker, “Novel Topology for parallel connection of soft-switching high-power high-frequency inverters”, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol.39, No.2, 2003, pp A. Schonknecht, R.W.A.A. De Doncker, “Novel Topology for parallel connection of soft-switching high-power high-frequency inverters”, IEEE Conference on Power Electronics and Drive Systems, Vol.2, No.2, 1999, pp

72 Βιβλιογραφία (4) 18. S. Dieckerhoff, M.J. Ruan, R.W. De Doncker, “Design of an IGBT-based LCL- resonant inverter for high frequency induction heating”, IEEE Conference on Power Electronics and Drive Systems, Vol.3, No.3, 1999, pp D. Yoshida, Y. Hatanaka, “ZCS high frequency inverter for induction heating with quasi-constant frequency power control”, IEEE Conference on Power Electronics and Drive Systems, Vol.2, No.22-25, 1999, pp A. Schonknecht, R.W. De Doncker, “Novel topology for parallel connection of soft switching, high power, high frequency inverters”, IEEE Conference on Industry Applications, Vol.3, No.30, 2001, pp E.J. Dede, J. Jordan, V. Esteve, J.M. Epsi, S. Casan, “Series and parallel 22. E.J. Dede, J. Jordan, V. Esteve, J.M. Epsi, S. Casan, “Behaviour of series and parallel resonant inverters for induction heating in short-circuit conditions”, IEEE Conference on Power Electronics and Drive Systems, Vol.2, No.2, 2000, pp

73 Βιβλιογραφία (5) 23. I. Khan, J. Tapson, I. de Vries, “Frequency control of a current-fed inverter for induction heating”, IEEE Proceedings on Industrial Electronics International Symposium, Vol. 1, No. 1, 2000, pp I. Khan, J. Tapson, I. de Vries, “Frequency control of a current-fed inverter for induction heating”, IEEE Proceeding on Industrial Electronics, Vol. 1, No. 1, 2000, pp I. Khan, J. Tapson, I. de Vries, “Frequency control of a current-fed inverter for induction heating”, IEEE Proceeding on Industrial Electronics, Vol. 1, No. 1, 2000, pp A.Weber, E.Carroll, M.Frecker, “IGCTs for Induction Heating”, PCIM, S. Bernet, M.Loscher, P.Steimer, “IGCTs in Soft-Switching Power Converters”, EPE, Lausanne, A.Weber, T.Talibor, P.Kern, B.Oedegard, “Reverse Blocking IGCTs for current Source Inverters”, PCIM Norberg, June 2002.

74 Βιβλιογραφία (6) 28. A.Zied, H.Mutschler, P.Bachmann,. “A Modular IGBT Converter System for High Frequency Induction Heating Applications”, PCIM 2002, Nürnberg. 29. Fairchild semiconductors, “Induction Heating System Topology Review”, Applications notes, July 2000.

Τέλος Ενότητας