Σήματα και Συστήματα Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χρήστος Μιχαλακέλης

2 Διακριτός MF ΜF διακριτού χρόνου: συνάρτηση περιοδική (περίοδος 2π) Υπολογισμός ΜF στον υπολογιστή για κάθε τιμή της συνεχούς μεταβλητής ω: «άπειρος» χρόνος Τρόπος υπολογισμού Έχοντας στη διάθεσή μας πεπερασμένο αριθμό δειγμάτων στο πεδίο συχνοτήτων. Υπόθεση: σήμα διακριτού χρόνου πεπερασμένης χρονικής διάρκειας

3 Δειγματοληψία MF σήματος διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας x(n): σήμα διάρκειας Ν δειγμάτων, με x(n) = 0, n < 0 και n ≥ N. ΜF του x(n): Θα υπολογίσουμε: - περίοδο δειγματοληψίας, ω s, στο πεδίο των συχνοτήτων - αριθμό Μ δειγμάτων του Χ(e jω ) από τα οποία θα είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε το Χ(e jω ) για κάθε ω. Τα δείγματα που θα προκύψουν πρέπει να είναι αρκετά, ώστε να μπορούμε να ανακτήσουμε το MF για κάθε συχνότητα.

4 Δειγματοληψία MF σήματος διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας Για τις Μ συχνότητες (δείγματα) ισχύει: Θεώρημα Nyquist: ισχύει και για δειγματοληψία στο πεδίο συχνοτήτων του ΜF σήματος διακριτού χρόνου Προϋπόθεση: το σήμα στο πεδίο του χρόνου είναι πεπερασμένης διάρκειας Ν Πρέπει: ω s ≤ 2π/Ν Για ω s = 2π/Ν, Χ(k): περιοδική (περίοδος Ν)

5 Δειγματοληψία MF σήματος διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας Επιλέγοντας Μ=Ν, τα Ν δείγματα καλύπτουν μια πλήρη περίοδο της Χ(e jω ) και αποτελούν δείγματα στις συχνότητες 0, 2π/Ν,..., 2π(Ν- 1)/Ν, από τα οποία μπορούμε να αναπαράγουμε τη Χ(e jω ), για κάθε τιμή του ω. - Τα δείγματα Χ(k) αναπαράγουν το ΜF της Χ(e jω ). - Υπάρχει σχέση μέσω της οποίας μπορούμε να υπολογίσουμε την αρχική ακολουθία x(n), απευθείας από τα δείγματα Χ(k), k = 0, 1, …, N-1.

6 Διακριτός MF (DFT) Σχέσεις ανάλυσης και σύνθεσης του DFT (Discrete Fourier Transform) της ακολουθίας x(n): FFT (Fast Fourier Transform): πολύ γρήγορος υπολογιστικός αλγόριθμος -> υπολογίζει το DFT μιας ακολουθίας σε πολύ μικρότερο χρόνο από ότι θα απαιτούσε ο απευθείας υπολογισμός του

7 Ιδιότητες DFT 1. Γραμμικότητα Αν x 1 (n), x 2 (n) ακολουθίες πεπερασμένου μήκους Ν και x 3 (n) = ax 1 (n) + bx 2 (n), 0 ≤ n ≤ N-1 όπου α, b σταθερές, τότε: X 3 (k) = aX 1 (k) + bX 2 (k), 0 ≤ k ≤ N-1 2. Ιδιότητες συμμετρίας Αν x(n) πραγματική ακολουθία πεπερασμένου μήκους Ν, Re[X(k)] = Re[X(N-k)] Im[X(k)] = -Im[X(N-k)]

8 Ιδιότητες DFT Μέτρο DFT: συμμετρική (ως προς Ν/2) ακολουθία Φάση DFT: αντισυμμετρική ακολουθία Τιμές DFT για k ≥ N/2: τα δείγματα του Χ(e jω ) για αρνητικές τιμές του ω, λόγω περιοδικότητας του ΜF της x(n)

9 Ιδιότητες DFT 3. Πραγματικές και συμμετρικές ακολουθίες Από το ορισμό του ζεύγους DFT, μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε στα ακόλουθα: και

10 Ιδιότητες DFT Αν x(n): πραγματική και συμμετρική, x(n) = x(N-n), 0 < n ≤ N-1 και επειδή η s(n) = sin(2πkn/N) είναι αντισυμμετρική, s(n) = - s(N-n) προκύπτει από τις προηγούμενες σχέσεις: Im[X(k)] = 0 Άρα και ο DFT: πραγματική ακολουθία και αντιστοιχεί στο μετασχηματισμό συνημιτόνου

11 Ιδιότητες DFT 4. Πραγματικές αντισυμμετρικές ακολουθίες Αν x(n): πραγματική και αντισυμμετρική, x(n) = -x(N-n), 0<n≤N-1, προκύπτει ότι Re[X(k)] = 0 και

12 Ιδιότητες DFT 5. Κυκλική ολίσθηση ακολουθίας x(n): σήμα διακριτού χρόνου ορισμένο στο διάστημα 0≤n ≤N-1 Χρονική ολίσθηση (γραμμική ολίσθηση): υπό τη συνήθη έννοια δεν θα είχε νόημα για σήματα σε πεπερασμένο διάστημα [0, Ν- 1] Έστω ότι υπάρχει πληροφορία εκτός του παραθύρου [0, Ν-1] -> μετά από κάθε ολίσθηση, το τμήμα του σήματος μέσα στο παράθυρο θα είναι διαφορετικό Κυκλική ολίσθηση: του x(n) κατά m δείγματα είναι το σήμα x c,m (n) που ορίζεται ως όπου

13 Ιδιότητες DFT Κυκλική ολίσθηση ολίσθηση modulo N, που εξασφαλίζει πάντα ότι και μετά την ολίσθηση οι χρονικές στιγμές (δείκτες της ακολουθίας) παίρνουν τιμές πάνω στο διάστημα [0, Ν-1] Ίδια δείγματα με τη x(n), αλλά χρονικά αναδιατεταγμένα Μετατόπιση m ή –m, m>0: περιστροφή σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή αντίστροφα

14 Ιδιότητες DFT Από τις ιδιότητες της modulo N πράξης: δηλαδή μετά από Ν διαδοχικές κυκλικές ολισθήσεις αναπαράγουμε την ίδια ακολουθία Άλλη φυσική ερμηνεία της κυκλικής ολίσθησης: Έστω x(n), n = 0, 1,..., Ν-1 η βασική περίοδος μιας περιοδικής ακολουθίας με περίοδο Ν: x p (n+rN) = x(n), 0 ≤ n ≤ N-1, r = …, -1, 0, 1, … Αν ολισθήσουμε τη x p (n) κατά m δείγματα και κρατήσουμε τα δείγματα στο διάστημα [0, Ν-1] -> κυκλική ολίσθηση x c,m (n) = x p (n-m), 0 ≤ n ≤ N-1

15 Ιδιότητες DFT

16 Ιδιότητες DFT Αν x(n) X(k) τότε 6. Κυκλική ολίσθηση στη συχνότητα Αν x(n) X(k) τότε 7. Μιγαδική συζυγής ιδιότητα Αν x(n) X(k) τότε

17 Κυκλική συνέλιξη Έστω x 1 (n), x 2 (n): ακολουθίες σημάτων που ορίζονται στο διάστημα [0, Ν-1], με DFT Χ 1 (k) και X 2 (k). z(n) X 1 (k)X 2 (k) Αποδεικνύεται ότι Το z(n) δεν αντιστοιχεί στην συνέλιξη των ακολουθιών, αλλά σε μία άλλη ακολουθία, την κυκλική συνέλιξη. Κυκλική συνέλιξη: έχει τον ίδιο αριθμό δειγμάτων Ν με τις ακολουθίες x 1 (n), x 2 (n) Υπολογισμός για n ≥ N -> αναπαράγει περιοδικά τα δείγματα, λόγω της modulo N πράξης

18 Κυκλική συνέλιξη Να υπολογιστεί η κυκλική συνέλιξη, z(n), των ακολουθιών: x(n): 1, 0, 2.5, 1.5 y(n): 1, 1, 0.5, 2

19 Κυκλική συνέλιξη Υπολογισμός z(n) για κάθε τιμή του n - υπολογισμός y((n-m)) N για κάθε n -> η ακολουθία y((-m)) N ολισθημένη κάθε φορά κυκλικά κατά n y (s) (m) = y((-m)) N : κυκλικά κατοπτρική ακολουθία της y(m) y (s) (0) = y((0)) 4 = y(0) = 1 y (s) (1) = y((-1)) 4 = y(3) = 2 y (s) (2) = y((-2)) 4 = y(2) = 0.5 y (s) (3) = y((-3)) 4 = y(1) = 1 ((-m)) N =N-m, για m=1,2,3 ((-m)) N =0, για m=0

20 Κυκλική συνέλιξη Υπολογισμός κυκλικής συνέλιξης για n = 0 Πολλαπλασιασμός δειγμάτων των x(m), y (s) (m) και άθροισμα z(0) = 1×1 + 0× × ×1 = 3.75 Υπολογισμός κυκλικής συνέλιξης για n = 1 Κυκλική ολίσθηση της y (s) (m), στρέφοντας τον κύκλο μία θέση με φορά αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού Πολλαπλασιασμός δειγμάτων x(m), y (s) ((m-1)) 4 και άθροισμα z(1) = 1×1 + 0× × ×0.5 = 6.75

21 Κυκλική συνέλιξη Υπολογισμός κυκλικής συνέλιξης για n = 2,3 z(2) = 1× × × ×2 = 6 z(3) = 1×2 + 0× × ×1 = 6

22 Θεώρημα Parseval Ο υπολογισμός της ενέργειας (ή ισχύος) στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο του εκάστοτε μετασχηματισμού δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Αποδεικνύεται ότι αν x(n) X(k) και y(n) Y(k) τότε Θέτοντας x(n) = y(n), προκύπτει η ακόλουθη μορφή του θεωρήματος Parseval: Η ενέργεια του σήματος ισούται με την ενέργεια των δειγμάτων του DFT διαιρεμένη με το Ν.

23 Σχέση κυκλικής και γραμμικής συνέλιξης Έστω δύο ακολουθίες x(n) και y(n), πεπερασμένου μήκους Ν. MF: DFT: Τα Ν δείγματα του γινομένου Χ(k)Y(k) δεν έχουν αντίστροφο DFT τη γραμμική συνέλιξη, αλλά την κυκλική. N δείγματα των DFT των x(n) και y(n): αρκετά για αναπαραγωγή των ΜF X(e jω ) και Υ(e jω ), αλλά και των αρχικών ακολουθιών Μήκος γραμμικής συνέλιξης: 2Ν-1 (M+N-1 για ακολουθίες μήκους Μ και Ν)

24 Σχέση κυκλικής και γραμμικής συνέλιξης Δειγματοληψία ΜF συνέλιξης X(e jω )Υ(e jω ): απόσταση δειγμάτων το πολύ 2π/(2Ν-1) Ν δείγματα Χ(k)Y(k): αντιστοιχούν σε συχνότητα δειγματοληψίας ω s = 2π/Ν -> υποδειγματοληψία (τα δείγματα έχουν μεταξύ τους απόσταση σχεδόν διπλάσια από τη μέγιστη που επιτρέπει το θεώρημα του Nyquist) -> απώλεια πληροφορίας Άρα αντίστροφος μετασχηματισμός -> όχι την αρχική ακολουθία της συνέλιξης, αλλά την κυκλική συνέλιξη Κυκλική συνέλιξη: αποτέλεσμα επικάλυψης περιοδικών επαναλήψεων (με περίοδο Ν) στο πεδίο του χρόνου της αρχικής ακολουθίας της γραμμικής συνέλιξης

25 Σχέση κυκλικής και γραμμικής συνέλιξης Αντιμετώπιση Πριν τον υπολογισμό των ΜF των x(n) και y(n), αυξάνουμε το μήκος τους κατά Ν (ή Ν-1), με την προσθήκη μηδενικών (zero-padding). π.χ. x e (n): x(0), x(1), …, x(N-1), 0, 0, …, 0 Προσθήκη μηδενικών: N -> δεν αλλάζει τους αντίστοιχους MF -> οι αντίστοιχοι DFT διαφοροποιούνται και η περίοδος δειγματοληψίας είναι τώρα 2π/2N (σε αρμονία με το κριτήριο του Nyquist) και δεν δημιουργούνται επικαλύψεις