Ενότητα 10: Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Β’ Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής

 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.  Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.  Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.  Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς Niels Bohr (documentary, Nobel Prize)documentary Nobel Prize «Εκείνοι που δεν συγκλονίζονται από την κβαντική θεωρία, σίγουρα δεν την έχουν κατανοήσει» Πηγή: WikipediaWikipedia

5 Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Β’ E. Schrödinger ( documentary ) Nobel Prize lecture Max Born (documentary) (documentary) Nobel Prize lecture Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262Wikipedia Πηγή: WikipediaWikipedia

6 Περιεχόμενα της ενότητας 10  Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Διερεύνηση της εξίσωσης του Schrödinger: Φυσικοί και μαθηματικοί περιορισμοί των λύσεων (οριακές συνθήκες) Κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής

7 Κβαντομηχανική και μονοδιάστατα προβλήματα Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει:  Τη συμπεριφορά σωματίου ως κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή.  Την κβάντωση της ενέργειάς του.  Την έννοια του κύριου κβαντικού αριθμού.

Ας υποθέσουμε ένα σωμάτιο του οποίου η δυναμική ενέργεια U δίδεται από την σχέση: Κβαντικός αρμονικός Ταλαντωτής Η δύναμη τότε που ασκείται στο σωμάτιο δίδεται από τη σχέση: Είναι γνωστό ότι ένα σωμάτιο, στο οποίο ασκείται δύναμη αυτής της μορφής, εκτελεί αρμονική ταλάντωση γύρω από το x=0. Η δύναμη ονομάζεται «δύναμη επαναφοράς» και η δυναμική ενέργεια «δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή» (παρόλο που πρόκειται για δυναμική ενέργεια έχει επικρατήσει ιστορικά στη κβαντική φυσική ο όρος δυναμικό). E. Schrödinger

Κβαντικός αρμονικός Ταλαντωτής Η έκφραση αυτή της δυναμικής ενέργειας U έχει μεγάλη σημασία για δύο κυρίως λόγους:  Η έκφραση αυτή του U μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή μιας μεγάλης κατηγορίας προβλημάτων όπου το σωμάτιο εκτελεί μικρές ταλαντώσεις γύρω από ένα σημείο ευσταθούς ισορροπίας.  Επίσης, μπορούμε να περιγράψουμε την συμπεριφορά διαφόρων «συνεχών» συστημάτων αντιστοιχώντας έναν αρμονικό ταλαντωτή σε κάθε σημείο του συστήματος, δηλαδή μπορούμε να εξομοιώσουμε το συνεχές σύστημα με ένα άπειρο σύνολο αρμονικών ταλαντωτών. Τέτοια συστήματα είναι π.χ. οι παλλόμενες χορδές και τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία μέσα σε μία κοιλότητα (μέλαν σώμα). Η έκφραση αυτή της δυναμικής ενέργειας είναι μια από τις λίγες περιπτώσεις για την οποία η εξίσωση του Schrödinger μπορεί να λυθεί ακριβώς, χωρίς δηλαδή τη χρήση προσεγγιστικών μεθόδων. E. Schrödinger

Κβαντικός αρμονικός Ταλαντωτής Ακριβώς επειδή η δυναμική ενέργεια είναι συνάρτηση μόνο θέσης και όχι χρόνου η χρονοανεξάρτητη Παρόλο που, όπως έχουμε αναφέρει η εξίσωση αυτή μπορεί να λυθεί ακριβώς, η επίλυσή της υπερβαίνει το επίπεδο της παρουσίασης αυτής. εξίσωση του Schrödinger για τον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή γράφεται: Η λύση της εξίσωσης μας δίνει την συνάρτηση y(x) για τη θεμελιώδη κατάσταση του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. C και α είναι σταθερές. E. Schrödinger

Κβαντικός αρμονικός Ταλαντωτής Υπολογίζουμε τη 2 η παράγωγο ως προς x της συνάρτησης y(x). Προκύπτει: Συγκρίνουμε τη σχέση αυτή με την εξίσωση του Schrödinger. Προκύπτει: E. Schrödinger

Κβαντικός αρμονικός Ταλαντωτής Επομένως η συνάρτηση y(x), για τη θεμελιώδη κατάσταση δίδεται από την σχέση: Την οποία κανονικοποιούμε και προκύπτει Άρα για τη y(x) και την ενέργεια Ε στη θεμελιώδη κατάσταση έχουμε: Προσέξτε ότι η ενέργεια στη θεμελιώδη κατάσταση δεν είναι μηδέν, όπως είχε υποθέσει ο Planck στην ακτινοβολία μέλανος σώματος, αλλά έχει μια ελάχιστη τιμή η οποία ονομάζεται ενέργεια μηδενικού σημείου. E. Schrödinger

Κβαντικός αρμονικός Ταλαντωτής Οι συναρτήσεις για τις διεγερμένες καταστάσεις καθώς και οι αντίστοιχες ενέργειες δίδονται από τις σχέσεις: E. Schrödinger

Κβαντικός αρμονικός Ταλαντωτής Είναι φανερό πλέον ότι η ολική ενέργεια Ε n του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή δίδεται από τη σχέση: Η ενεργειακή διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών σταθμών είναι ΔΕ=ħω. Σε αυτό το αποτέλεσμα βρίσκεται η κβαντική ερμηνεία της υπόθεσης του Planck για το μέλαν σώμα. Σας θυμίζω ότι ο Planck έκανε την παραδοχή ότι οι ταλαντωτές στο εσωτερικό της κοιλότητας εκπέμπουν ή απορροφούν φωτεινή ενέργεια σε κβάντα ενέργειας ΔΕ= ħω. Το αρμονικό δυναμικό περιγράφει ικανοποιητικά το φάσμα ταλάντωσης διατομικών μορίων. Η ύπαρξη μη μηδενικής ενέργειας της θεμελιώδους κατάστασης δείχνει ότι τα μόρια, ακόμη και στη κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, κάθε άλλο παρά ηρεμούν. Ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά του αρμονικού ταλαντωτή είναι οι ισαπέχουσες ενεργειακές στάθμες. E. Schrödinger

Κβαντικός αρμονικός Ταλαντωτής Οι πυκνότητες πιθανότητας |Ψ x | 2 του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή εμφανίζονται στο σχήμα. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται οι κλασικές πυκνότητες πιθανότητας για την ίδια ενέργεια. Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται η τιμή του κύριου κβαντικού αριθμού n τόσο βελτιώνεται η συμφωνία μεταξύ των κλασικών και κβαντικών πιθανοτήτων. Αυτό είναι αναμενόμενο σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας. E. Schrödinger

Ε ΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ Π ΡΟΣΟΧΗ Σ ΑΣ

Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις προσωπικές σημειώσεις και το υλικό παρουσιάσεων του μαθήματος όπως δημιουργήθηκαν από τον Καθηγητή κ. Χριστόφορο Κροντηρά. Οι εικόνες και οι φωτογραφίες των μεγάλων Φυσικών που δημιούργησαν την σύγχρονη θεώρηση της Φύσης, είναι διάσπαρτες σε όλο το δίκτυο και την βιβλιογραφία και αποτελούν κοινό κτήμα της ανθρωπότητας εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά στις αντίστοιχες παραπομπές. Οι ιστότοποι προέλευσης όσων αναφέρονται ήταν ενεργοί κατά την 21η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Χριστόφορος Κροντηράς. «Σύγχρονη Φυσική. Ενότητα 10». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: /PHY1961/ /PHY1961/

19 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας