ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 1 η : Ο ΔΙΣΚΟΣ ΚΑΙ Η ΔΟΚΟΣ Διάλεξη: Διαγράμματα δοκού με τη μέθοδο της ομόλογης αμφιέρειστης. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Νέα μέθοδος εύρεσης διαγραμμάτων Η νέα μέθοδος εύρεσης των διαγραμμάτων Μ και Q βασίζεται σ’ αυτά της αμφιέρειστης δοκού (μέθοδος ομόλογης αμφιέρειστης). Έστω αμφιέρειστη δοκός με κατανεμημένο φορτίο q(ξ). Το ξ καθορίζει τη θέση ενός σημείου του φορέα σε σχέση με την αριστερή στήριξη και το ξ’ αντίστοιχα σε σχέση με τη δεξιά στήριξη. Για οποιοδήποτε σημείο της δοκού i θα ισχύει ξ i +ξ’ i = l. 2

Υπολογισμός αντιδράσεων αμφιέρειστης δοκού ΣΗΜΕΙΩΣΗ: ο δείκτης «ο» που εμφανίζεται παρακάτω γενικά θα χρησιμοποιείται ως αναφορά στην αμφιέρειστη δοκό. Αρχικά, πρέπει να υπολογιστούν οι αντιδράσεις Α ο και Β ο. Έλεγχος ισορροπίας: Συνισταμένη του κατανεμημένου φορτίου, άρα υπάρχει ισορροπία 3

Υπολογισμός εντατικών μεγεθών αμφιέρειστης δοκού (1) Για τον υπολογισμό των εσωτερικών φορτίων πρέπει να γίνει τομή σε κάποιο σημείο του φορέα, έστω στο σημείο x. Για να υπολογιστεί η ροπή που προκαλεί το κατανεμημένο φορτίο, θεωρούνται στοιχειώδεις λωρίδες που έχουν κάποια συνισταμένη και κάποιο μοχλοβραχίονα ως προς το σημείο που θεωρείται η ροπή. 4

Υπολογισμός εντατικών μεγεθών αμφιέρειστης δοκού (2) Με βάση τα προηγούμενα ισχύει: 5

Εφαρμογή της μεθόδου σε τυχαίο φορέα Έστω τυχαίος φορέας (ισοστατικός ή υπερστατικός), που φορτίζεται με το ίδιο κατανεμημένο q(ξ), αλλά και επιπλέον φορτία: Στη συνέχεια, θα μελετηθεί το τμήμα ΑΒ που θα αποκοπεί από τον αρχικό τυχαίο φορέα, ώστε να βρεθεί η σχέση των διαγραμμάτων Μ, Q του τμήματος με τα αντίστοιχα της αμφιέρειστης δοκού που φορτίζεται με το ίδιο φορτίο. Το πρόβλημα της αξονικής και το διάγραμμα Ν δεν αποτελεί ζητούμενο στην προκειμένη περίπτωση. 6

Μελέτη του τμήματος ΑΒ του αρχικού φορέα Για να αποκοπεί το τμήμα ΑΒ από τον αρχικό φορέα και να αποκατασταθεί η ισορροπία, θα πρέπει να εφαρμοστούν στα άκρα Α και Β τα φορτία διατομής. Επίσης, θεωρείται και το ίδιο σύστημα αναφοράς ξ και ξ’ με την αμφιέρειστη: Αντικαθιστώντας τον όρο από την εξίσωση της αμφιέρειστης έχουμε: Εξ. (1) Η τελευταία σχέση δίνει τη δυνατότητα σύνδεσης των διαγραμμάτων Μ, Q αυτού του τμήματος με εκείνα της αμφιέρειστης. 7

Υπολογισμός Q του τμήματος ΑΒ Για τον υπολογισμό των Q θα πρέπει να γίνει τομή σε κάποια θέση, έστω στη θέση x: Αντικαθιστώντας τον όρο από την εξίσωση της αμφιέρειστης έχουμε: Η τελευταία σχέση δείχνει το συσχετισμό του διαγράμματος Q του υπό μελέτη τμήματος, με το διάγραμμα Q ο που θα είχε μια αμφιέρειστη δοκός με το φορτίο του τμήματος αυτού. 8

Υπολογισμός Μ του τμήματος ΑΒ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Για τον υπολογισμό του διαγράμματος Q, ο υπολογισμός των Q A και Q B δεν απαιτείται. Σημασία έχει ο υπολογισμός των Μ α και Μ δ, έτσι ώστε να μπορεί να υπολογιστεί το ΔQ. Τότε το πρόβλημα θα μπορεί να αναχθεί σε πρόβλημα αμφιέρειστης δοκού. Συνέχεια επίλυσης για τον υπολογισμό των ροπών: Αντικαθιστώντας τoυς όρους από την εξίσωση της αμφιέρειστης έχουμε: 9

Παρατηρήσεις πάνω στη μέθοδο Από την τελευταία σχέση φαίνεται πως αν υπολογιστεί η Μ Α και γνωρίζοντας το Μ ο, μπορεί να υπολογιστεί το διάγραμμα ροπών του υπό μελέτη τμήματος. ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν μπορούν να υπολογιστούν οι ροπές Μ Α και Μ Β ενός τμήματος, τότε αρκεί να είναι γνωστά τα διαγράμματα Q ο και Μ ο της αντίστοιχης αμφιέρειστης δοκού, ώστε να υπολογιστεί οποιοδήποτε διάγραμμα, οποιουδήποτε φορέα. 10

Σχεδιασμός διαγραμμάτων του τμήματος ΑΒ (1) Τι σημαίνει γεωμετρικά η σχέση: Ζητούμενο είναι να σχεδιαστεί το διάγραμμα Μ στο τμήμα ΑΒ. 1.Έστω ότι έχουν υπολογιστεί οι Μ Α και Μ Β. 2.Υπάρχει η ευθεία που ενώνει Μ Α και Μ Β. Η ευθεία αυτή ονομάζεται κλείουσα. 3.Υπάρχει η ευθεία που καθορίζει το τμήμα Μ Β -Μ Α. 4.Το Μ Β -Μ Α / l είναι η εφαπτομένη της γωνίας φ. 5.Για κάθε θέση x του τμήματος υπολογίζεται η τεταγμένη ΔQ*x. 11

Σχεδιασμός διαγραμμάτων του τμήματος ΑΒ (2) 6.Σχεδιάζεται το διάγραμμα Μ ο (x) της ομόλογης αμφιέρειστης δοκού που φορτίζεται με κατανεμημένο ίδιο με εκείνο του τμήματος ΑΒ. 7.Σε κάθε θέση x της κλείουσας του τμήματος ΑΒ προστίθεται στην τεταγμένη Μ A +Δq*x η τεταγμένη Μ ο (x) και έτσι προκύπτει το ζητούμενο διάγραμμα ροπών. 8.Το διάγραμμα Q του τμήματος ΑΒ προκύπτει αν στο διάγραμμα Q ο της ομόλογης αμφιέρειστης δοκού, προστεθεί η ποσότητα ΔQ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν σε κάποιο υπό μελέτη τμήμα δεν υπάρχει κατανεμημένο φορτίο αλλά μόνο συγκεντρωμένα, τότε Q o (x)=0 και άρα το ζητούμενο διάγραμμα Q είναι ουσιαστικά το ΔQ. 12

Παράδειγμα 1 ο – γνωστή μέθοδος Έστω πρόβολος μήκους l που φορτίζεται με κατανεμημένο φορτίο q. Ζητούμενα είναι τα διαγράμματα Μ και Q του φορέα. Αρχικά, το παράδειγμα θα λυθεί με τη γνωστή μέθοδο εύρεσης των διαγραμμάτων, τη μέθοδο των εμβαδών και στη συνέχεια θα λυθεί με τη νέα μέθοδο που βασίζεται στην ομόλογη αμφιέρειστη δοκό, έτσι ώστε να γίνει και σύγκριση των αποτελεσμάτων. Το σχήμα περιγράφει τη γνωστή μέθοδο εύρεσης των Μ και Q. 13

Παράδειγμα 1 ο – νέα μέθοδος 1.Υπολογίζονται Μ Α =-ql 2 /2 και Μ Β =0 για τον πρόβολο. 2.Σχεδιάζονται τα διαγράμματα Μ ο και Q ο. 3.Για το σχεδιασμό του διαγράμματος Μ του προβόλου αρχικά σχεδιάζεται η κλείουσα. Από τη μέση της φέρνουμε το f και το 2f. Το 2f τέμνει τον άξονα του προβόλου. Από το σημείο τομής φέρνουμε ευθείες στο Μ Α και στο Μ Β. Διαγράφουμε την παραβολή 2 ου βαθμού με εφαπτομένες τις δύο αυτές ευθείες. 4.Για το σχεδιασμό του διαγράμματος Q του προβόλου υπολογίζεται ΔQ=Μ δ -Μ α /l =ql/2. Στη συνέχεια προστίθεται το ΔQ στο διάγραμμα Q o της αμφιέρειστης και προκύπτει το ζητούμενο διάγραμμα. 14

Παράδειγμα 2 ο 1.Υπολογίζονται Μ Α =-Pl-ql 2 /2 και Μ Β =0 για τον πρόβολο. 2.Σχεδιάζονται τα διαγράμματα Μ ο και Q ο. 3.Για το σχεδιασμό του διαγράμματος Μ του προβόλου αρχικά σχεδιάζεται η κλείουσα. Από τη μέση της φέρνουμε το f και το 2f. Από το 2f φέρνουμε ευθείες στο Μ Α και στο Μ Β. Διαγράφουμε την παραβολή 2 ου βαθμού με εφαπτομένες τις δύο αυτές ευθείες. 4.Για το σχεδιασμό του διαγράμματος Q του προβόλου υπολογίζεται ΔQ=Μ δ -Μ α /l =P+ql/2. Στη συνέχεια προστίθεται το ΔQ στο διάγραμμα Q o της αμφιέρειστης και προκύπτει το ζητούμενο διάγραμμα. 15