Ενότητα 2 η Σήματα και Συστήματα

Σήματα Γενικά η πληροφορία αποτυπώνεται και μεταφέρεται με την βοήθεια των σημάτων. Ως σήμα ορίζουμε την οποιαδήποτε χρονική συνάρτηση ενός φυσικού μεγέθους. Έτσι μπορεί να έχουμε: –Σήματα τάσης, V=V(t), –Σήματα ρεύματος I=I(t) και –Σήματα ισχύος P=P(t)

Σήματα συνεχούς – διακριτού χρόνου Ένα σήμα x(t) ορίζεται ως: Σήμα συνεχούς χρόνου εάν η μεταβλητή t είναι συνεχής. Σήμα διακριτού χρόνου εάν η t είναι διακριτή μεταβλητή, δηλαδή το σήμα x(t) ορίζεται σε συγκεκριμένες διακριτές χρονικές στιγμές (α) σήμα συνεχούς χρόνου (β) σήμα διακριτού χρόνου

Θεμελιώδη κριτήρια χαρακτηρισμού σήματος Το πεδίο τιμών από το οποίο λαμβάνει τις τιμές του στο χρόνο Η ύπαρξη περιοδικότητάς του, δηλαδή εάν μία συγκεκριμένη μορφή του σήματος επαναλαμβάνεται αυτούσια στο χρόνο ή όχι. Με βάση το πρώτο κριτήριο, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ένα σήμα ως αναλογικό ή ως ψηφιακό, το δεύτερο κριτήριο τα σήματα κατηγοριοποιούνται ως περιοδικά ή μη περιοδικά. Μία ειδική κατηγορία αναλογικών περιοδικών σημάτων είναι τα ημιτονικά σήματα, τα οποία χρησιμοποιούνται ευρέως στο χώρο των τηλεπικοινωνιών.

Αναλογικά – Ψηφιακά σήματα Ένα αναλογικό σήμα x(t) είναι ένα συνεχές σήμα το οποίο μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μέσα σε ένα πεδίο τιμών [x min,x max ]. Ένα ψηφιακό σήμα y(t) είναι ένα σήμα το οποίο επιτρέπεται να πάρει μονάχα συγκεκριμένες τιμές x i μέσα σε ένα πεδίο τιμών [x min,x max ].

Αναλογικά – Ψηφιακά σήματα

Περιοδικά – Μη περιοδικά σήματα Η ιδιότητα των περιοδικών σημάτων εκφράζεται συνοπτικά από την εξίσωση: x(t) = x(t + T), –∞ < t < ∞ όπου η μικρότερη σταθερή T, με T > 0, που ικανοποιεί την εξίσωση ορίζεται ως η βασική περίοδος του σήματος.

Ημιτονικά σήματα Ειδική κατηγορία σημάτων: τα ημιτονικά σήματα ή, αλλιώς, οι ημιτονικές κυματομορφές. Στα ηλεκτρομαγνητικά μέσα μετάδοσης, το σήμα που διατρέχει το σύνδεσμο μεταξύ πομπού και δέκτη έχει ημιτονοειδή μορφή και ονομάζεται φέρον σήμα (carrier). Ένα ημιτονικό σήμα περιγράφεται από την εξίσωση x(t) = Acos(2πft + θ), όπου –A, f και θ σταθερές, –Α: πλάτος, –f : συχνότητα –θ: γωνία φάσης –cos: συνάρτηση συνημίτονου.

Ημιτονικό σήμα

Παραδείγματα ημιτονικών σημώτων

Ισχύς και Ενέργεια Σημάτων Στιγμιαία ισχύς ενός σήματος x(t) Μέση ισχύς ενός σήματος x(t) Ενέργεια του σήματος x(t)

Ρυθμός Μετάδοσης Τα ψηφιακά σήματα είναι συνήθως διακριτού χρόνου: Δηλαδή αλλάζουνε τιμές σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές t i που συνήθως απέχουν κατά Δt. Οι τιμές x(t i ) καθορίζονται από μία σειρά συμβόλων. Η παρακάτω αντιπροσωπεύει ένα τυχαίο σήμα που παράγεται από 20 διαφορετικά σύμβολα (από το 0 ως το 19). Η διάρκεια T καθορίζει και την ταχύτητα που αποτυπώνονται τα σύμβολα στο σήμα. Ο ρυθμός σηματοδοσίας R s καθορίζεται από το αντίστροφο του Τ, δηλαδή R s =1/T και μετριέται σε symbols/s Τ Στην πιο απλή περίπτωση έχουμε δύο σύμβολα 0 και 1 που ονομάζονται bits Ο ρυθμός μετάδοσης R s τότε μετριέται σε bit/s Στα συστήματα επικοινωνίας μας ενδιαφέρει κυρίως με πόσο μεγάλο ρυθμό σηματοδοσίας μπορούμε να μεταδώσουμε τα σύμβολα μας και σε ποια απόσταση.

Ένα τηλεπικοινωνιακό σύστημα Ο μετατροπέας εισόδου μετατρέπει την πληροφορία της πηγής σε ηλεκτρικό σήμα Ο πομπός μετατρέπει το ηλεκτρικό σήμα σε κατάλληλη μορφή για να μεταδοθεί μέσα στο κανάλι. Το σήμα διαδίδεται στο κανάλι και τελικά καταλήγει στο δέκτη Ο δέκτης μετατρέπει το σήμα σε ηλεκτρικό σήμα Ο μετατροπέας εξόδου μετατρέπει το ηλεκτρικό σήμα σε μία μορφή κατάλληλη για επεξεργασία.

Ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα

Τα επιμέρους… Η έξοδος της πηγής πληροφορίας μπορεί να είναι ένα αναλογικό σήμα (π.χ. φωνή ή video) ή ένα ψηφιακό (π.χ. η έξοδος από ένα PC). Τα μηνύματα που παράγονται από την πηγή μετατρέπονται συνήθως σε ακολουθίες από δυαδικά ψηφία (0 και 1). Ο κωδικοποιητής πηγής αναλαμβάνει να μετατρέψει τα δυαδικά ψηφία αυτά σε άλλες ακολουθίες ψηφίων που είναι πιο κατάλληλες για την μετάδοση (π.χ. κάνει κάποιο είδος συμπίεσης). Ο κωδικοποιητής καναλιού αναλαμβάνει να αυξήσει την αξιοπιστία των δεδομένων με την χρήση πλεονασμού: Π.χ. θα μπορούσε να επαναλαμβάνει δύο φορές κάθε σύμβολο που έρχεται από τον κωδικοποιητή πηγής ώστε να μπορούμε να ανιχνεύουμε τα σφάλματα κατά την μετάδοση. Ο ψηφιακός διαμορφωτής αντιστοιχεί μία ακολουθία από δυαδικά ψηφία σε μία κυματομορφή. Στον δέκτη υπάρχουνε τα αντίστροφα επιμέρους στοιχεία.

Μετατροπή αναλογικού σήματος σε ψηφιακό Πως όμως μεταφέρουμε τα αναλογικά δεδομένα (π.χ. φωνή) πάνω από ένα ψηφιακό σύστημα (π.χ. ASK) ? Υπάρχουν μία σειρά τρόπων μετατροπής αναλογικού σήματος σε ψηφιακό. Στα ψηφιακά τηλέφωνα (π.χ. κινητά) χρησιμοποιείται συχνά το PCM (Pulse Code Modulation). Έχουμε: Α) Δειγματοληψία Β) Κβάντιση Για kT  t  (k+1)T θα έχουμε z(t)=m i αν x i  x(kT)  x i+1 όπου m i =(x i +x i+1 )/2 x 14 x 15 m 14

Δειγματοληψία

Θεώρημα της Δειγματοληψίας Αν κάνουμε σωστά την δειγματοληψία τότε δεν χάνουμε κάτι από την αρχική πληροφορία του σήματος(!) Αυτό μας το διασφαλίζει το θεώρημα δειγματοληψίας των Shannon/Νyquist: “Μία συνάρτηση x(t) που δεν περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες της B μπορεί να αναπαρασταθεί πλήρως από τα δείγματα της x(kT) αρκεί ο ρυθμός δειγματοληψίας f s =1/T να είναι μεγαλύτερος από 2Β” Ωστόσο η κβάντιση εισάγει κάποιο θόρυβο αφού χάνουμε κάποια πληροφορία για το αρχικό σήμα… Ωστόσο με αρκετές στάθμες η απώλεια αυτή ελαχιστοποιείται. Harry Nyquist Claude Shannon