Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Mπανανής Νικόλαος Στρούβαλη Παρασκευή

1ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Κ:''Ποια η διαφορά του διανύσματος και της ευθείας;'' Μ/της1:''Το χόντρυνε τώρα.'' Μ/της2:''Ότι δεν έχει διεύθυνση και φορά η ευθεία, εεε μόνο φορά.'' Μ/της3:'' Ούτε μέτρο έχει η ευθεία.'' Κ:''Μας ενδιαφέρει μόνο η διεύθυνση.'' Ο καθηγητής γράφει στον πίνακα:

Κ:''Πάμε να ορίσουμε την γωνία ευθείας με τον άξονα χ'χ.'' Ο καθηγητής αφού ορίσει την γωνία ευθείας με τον άξονα χ'χ αναφέρει ότι έχουμε προσανατολισμένη ευθεία. Κ:''Ποιος θα μου πει μεταξύ ποιών τιμών και γιατί θα είναι η γωνία ω;'' Μία μαθήτρια λέει ότι θα είναι 0≤ω<π. Στη συνέχεια συζητούν για τις τιμές που παίρνει η γωνία ω και αναφέρουν διαφορές με το προσανατολισμό του διανύσματος. Κ:''Αφού ορίσαμε τη γωνία που ορίζει η ευθεία με τον άξονα χ'χ θα δούμε και τον ορισμό της κλίσης της ευθείας.''

Γράφει στον πίνακα:

Κ:''Πάμε να δούμε τις τέσσερις περιπτώσεις αναλυτικά;'' Μία μαθήτρια αναφέρει ότι στο 1ο η γωνία είναι οξεία στο 2ο αμβλεία και ότι στο 3ο δεν σχηματίζεται κάποια γωνία. K:''Άρα κάνει μηδέν'' Μαθήτρια:''Μα δεν υπάρχει γωνία!Άρα δεν ορίζεται!'' Κ:''Όχι!Είναι παράλληλη η ευθεία στον χ'χ άρα κάνει γωνία 0 ο. '' Συζητούν πάνω σε αυτό και αναφέρουν ότι στο 4ο είναι ορθή η γωνία που σχηματίζεται.

Ο καθηγητής αναφέρει στους μαθητές ότι αν η γωνία που σχηματίζεται είναι οξεία τότε η ευθεία είναι στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο, αν είναι αμβλεία τότε είναι στο 2ο και 4ο αν είναι 0 τότε η ευθεία είναι παράλληλη στο χ'χ ενώ αν είναι ορθή είναι κάθετη στο χ'χ ή παράλληλη στον y'y. Κ:''Συμφωνείτε πως αυτές είναι όλες οι δυνατές περιπτώσεις;'' Οι μαθητές συμφωνούν και φαίνεται πώς όλοι το έχουν κατανοήσει. Κατόπιν ο καθηγητής τους αναφέρει ότι θα δουν την έννοια του συντελεστή διεύθυνσης. Γράφει στον πίνακα: Κλίση ευθείας λ=εφω `

Κ:''Αν η γωνία είναι οξεία τότε η εφαπτομένη είναι;'' Μ/τες:''Θετική!'' Κ:''Και είναι αμβλεία τότε η εφω είναι;'' Μ/της:''Μικρότερη του μηδενός.'' Κ:''Αν είναι 0 η εφω είναι;'' Μ/της1:''1...Όχι...Εεε'' Κ:''Το ημίτονο του 0;'' Μ/της2:''Ίσο με το 0.'' Κατόπιν ο καθηγητής αναφέρει στους μαθητές ότι επειδή δεν ορίζεται η εφ(π/2) δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης αν η ευθεία είναι κάθετη στο χ'χ. Γράφει στον πίνακα: Η συνάρτηση της ευθείας.

Κ:''Ποιός θα μου θυμίσει ποια ήταν η συνάρτηση που γραφικά παρίστανε ευθεία;'' Μ/της:''Συνάρτηση κάναμε, όχι ευθεία.'' Κ:''Ποιά συνάρτηση μας δίνει ευθεία;'' Ο καθηγητής σε αυτό το σημείο δεν παίρνει κάποια απάντηση απο τους μαθητές και γράφει στον πίνακα: f(χ)=αχ+β α=εφω Μ/της:''Αυτό είναι συνάρτηση.'' Κ:''Συμβολίζει ευθεία.'' Μ/της:''Δεν το λέγαμε ευθεία.'' Κ:''Όλες οι συναρτήσεις παριστάνουν γραμμές. Η γραφική παράσταση παρίστανε όλων των μορφών τις ευθείες που περιγράψαμε σήμερα εκτός από μία, ποιά είναι αυτή;''

Μ/τρια:''Την τελευταία, γιατί δεν ορίζεται το α.'' Μ/της:''Το τρίτο επειδή το α είναι 0;'' Κ:''Γιατί την τελευταία; Επειδή δεν όριζεται ο συντελεστής διεύθυνσης.'' Ένας μαθητής αναφέρει ότι η τελευταία δεν έχει μορφή συνάρτησης γιατί για ένα χ έχουμε περισσότερα από ένα y. Κ:''Δεν ικανοποιεί τον ορισμό της συνάρτησης. Γι' αυτό δεν τις κάνατε αυτές τις ευθείες πέρισυ γιατί δεν ήταν συναρτήσεις.''

2ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Κ:''Θέλω να δούμε τώρα τη σχέση μεταξύ των διανυσμάτων με τις ευθείες τους.'' Γράφει στον πίνακα: Διανύσματα – Ευθείες

Εξηγεί ότι παράλληλα σημαίνει ο φορέας του διανύσματος να είναι παράλληλος στο φορέα της (ε). Κ:''Αυτοί είναι οι δύο τρόποι να μπορεί ένα διάνυσμα να είναι παράλληλο σε μία ευθεία. Πάμε να το ερμηνεύσουμε γεωμετρικά;'' Μ/της:''Ναι!'' Κ:''Ποιός θα μου πει από πλευρά γεωμετρική τι πληροφορία έχω για το φ και το ω;'' Μ/της:''Είναι ίσες.'' Εξηγούν κατόπιν συζητήσεως ότι είναι ίσες ως εντός εκτός και επί ταυτά. Κατόπιν προχωρούν στη δεύτερη περίπτωση.

Κ:''Ποιός θα μου πει τι σχέση έχουν γεωμετρικά;'' Μ/της:''Εντός εκτός εναλλάξ.''Ένας άλλος μαθητής αναφέρει ότι σε αυτή την περίπτωση μέχρι το διάνυσμα είναι ω και το υπόλοιπο 180 μοίρες. Ο καθηγητής τους αναφέρει ότι οι γωνίες αυτές διαφέρουν κατα 180 μοίρες. Κ:''Να δούμε τι συμβαίνει με τις εφαπτομένες. Όταν δύο γωνίες είναι ίσες δεν είναι και οι εφαπτομένες τους ίσες;'' Μ/της:''Ναι!'' Κ:''Στο 2ο σχήμα;''

Δεν παίρνει απάντηση από τους μαθητές. Κ:''Ποιες γωνίες έχουν ίδια εφαπτομένη; Ποιες γωνίες έχουν ίδιο ημίτονο;'' Μ/της:''Οι ίσες, αυτό θέλετε να ακούσετε;'' Ο καθηγητής αναφέρει στους μαθητές ότι έχουν ξεχάσει την τριγωνομετρία και γράφει στον πίνακα τον τριγωνομετρικό κύκλο.

Συζητούν λίγο πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο και ο καθηγητής τους υπενθυμίζει το ΟΗΕΣ. Κ:''Ποιές γωνίες έχουν ίδια εφαπτομένη; Βλεπουμε στο 1ο και 3ο. Ποιές είναι αυτές; Αυτές που διαφέρουν κατα π. Η εφαπτομένη τι ορίζει; Το συντελεστή διεύθυνσης είτε διανύσματος είτε ευθείας. Άρα τι προκύπτει; Ότι το διάνυσμα και η ευθεία έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.'' Ο καθηγητής ανακεφαλαιώνει όλα όσα έχει πει μέχρι τώρα και τους λέει ότι θα κάνει μία μικρή υπενθύμιση στη τριγωνομετρία γιατί βλέπει ότι δεν τη θυμούνται καλά. Γράφει στον πίνακα:

Κ:''Αν πούμε ότι οι εφαπτομένες είναι ίσες μπόρουμε να πούμε ότι και οι γωνίες είναι ίσες; Γιατί ναι; Γιατι όχι;'' Μ/της:''Όχι!'' Χτυπάει το κουδούνι, συζητούν πάνω σε αυτό και ψάχνουν τη λύση της παραπάνω εξίσωσης. Ο καθηγητής τους ζητάει να κάνουν επανάληψη στην τριγονωμετρία. Το μάθημα τελειώνει και οι μαθητές αποχωρούν από την αίθουσα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΕΡΕΥΝΕΣ A) Η έννοια της συνάρτησης είναι µια δύσκολη έννοια. Πολλοί µαθητές ταυτίζουν οποιαδήποτε σχέση µε την έννοια της συνάρτησης, άλλοι θεωρούν ότι µια οποιαδήποτε σχέση µεταξύ δύο µεταβλητών x και y είναι συνάρτηση ή ότι µόνο οι συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις κ.λ.π. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα όμως συμβαίνει το αντίστροφο. Οι μαθητές έχουν την γραφική παράσταση της ευθείας αλλά δυσκολεύονται να την ταυτίσουν με μια συνάρτηση.

Μια συνάρτηση µπορεί να εκφραστεί µε τη χρήση ενός πίνακα τιµών, µιας γραφικής παράστασης, µιας αλγεβρικής έκφρασης ή µιας λεκτικής έκφρασης. Κάθε αναπαράσταση παρέχει πληροφορίες για ορισµένες πτυχές της έννοιας, χωρίς να µπορεί να την περιγράψει ολοκληρωτικά. Ως παράδειγµα αναφέρεται η µετάβαση από την αλγεβρική έκφραση µιας συνάρτησης στη γραφική της παράσταση και αντίστροφα. Ακόµη οι µαθητές δυσκολεύονται στο να κάνουν µετάφραση από ένα σύστηµα αναπαράστασης σε άλλο.

Τέλος είναι λίγοι οι µαθητές που µπορούν να συνδυάζουν δύο ή περισσότερα συστήµατα αναπαράστασης µε στόχο την επίλυση προβλήµατος. Το πλαίσιο µελέτης της συνάρτησης παρουσιάζεται πολύ περιορισµένο και τα προβλήµατα που χρησιµοποιούνται είναι συγκεκριµένου τύπου. Συνήθως καλλιεργείται η µετάβαση από την αλγεβρική έκφραση στη γραφική παράσταση. Ένας βασικός στόχος της διδασκαλίας της έννοιας της συνάρτησης πρέπει να αφορά την ικανότητα των µαθητών να περνούν από µια αναπαράσταση σε άλλη χωρίς να υποπίπτουν σε αντιφάσεις.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Πώς οι µαθητές αντιλαµβάνονται την έννοια της συνάρτησης; Ποια είναι τα εµπόδια και οι δυσκολίες που αντιµετωπίζουν στην κατανόηση της έννοιας αυτής; Μπορεί σχετική διδασκαλία στηριγµένη στα εµπόδια και στις δυσκολίες αυτές να επιφέρει θετικές αλλαγές στις αρχικές αντιλήψεις;

B)Η κατασκευή της ημιτονοειδούς καμπύλης, η γεωμετρική επίλυση μιας εξίσωσης ή μιας ανίσωσης, η κλίση της εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης ως παράγωγος και τόσα άλλα γεωμετρικά ζητήματα που εγείρονται στη μελέτη της Άλγεβρας και της Ανάλυσης φαντάζουν τουλάχιστον εξωγήινα σε μια μεγάλη μερίδα μαθητών. Γιατί δεν έχουν γίνει οι κατάλληλες νοητικές διασυνδέσεις ανάμεσα στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις από τους μαθητές;

Δυστυχώς το πρόβλημα φαίνεται πως έχει τις ρίζες του στο γεγονός ότι το βάρος δίνεται στην εξαγωγή συμπερασμάτων από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Η ίδια η κατασκευή της γραφικής παράστασης μάλλον έρχεται σε δεύτερη μοίρα. Οι τριγωνοµετρικές ταυτότητες λειτουργούν καθαρά αλγεβρικά και ο µαθητής τις νιώθει αποκοµµένες από τον τρόπο µε τον οποίο ορίστηκαν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί.Οι τριγωνοµετρικές έννοιες σήµερα έχουν διαφορετικές σηµασίες σε διαφορετικά επίπεδα,αποτέλεσµα των διαφορετικών αναγκών και προσεγγίσεων στην ιστορική τους εξέλιξη. Αυτό καθιστά αδύνατη την γραµµική συσχέτιση της ιστορικής τους εξέλιξης και της διδασκαλίας τους.

Ο µαθητής την κατάκτηση χρόνων εξέλιξης της τριγωνοµετρίας καλείται να την κατανοήσει σε 45 λεπτά. Σε ένα µήνα µέσα (αρχές Β’ Λυκείου), το ηµω από λόγος πλευρών ορθογωνίου τριγώνου, µε το ω να είναι γωνία, έγινε ένας αφηρηµένος αριθµός µε το ω να είναι αριθµός όπως επίσης και στην Γ Γυµνασίου.

Στην σελίδα 37 του σχολικού βιβλίου της Β’ Λυκείου παρουσιάζεται ο νόµος συνηµίτονων και η απόδειξή του, η οποία παρουσιάζεται µε “οικονοµικό” τρόπο (λόγω του ορθοκανονικού συστήµατος δεν χρειάζεται διάκριση περιπτώσεων για το είδος της γωνίας Α) και κάνει χρήση του διευρυµένου ορισµού (σελ του σχολικού βιβλίου της Α’ Λυκείου) για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µίας οποιασδήποτε γωνίας. Παρότι δηλαδή ιστορικά ο νόµος αυτός σχετίζεται άµεσα µε τα συγκεκριµένα θεωρήµατα της γεωµετρίας, ο πρωτογενής διδακτικός µετασχηµατισµός αφορά µία πιο “σύγχρονη” και πιο “οικονοµική” παρουσίασή του.

Τέλος είναι βέβαια σαφές ότι ο κάθε διδάσκων αναπτύσσει στην διδασκαλία του πρακτικές που συναρτώνται άµεσα µε τις προσωπικές του αντιλήψεις για τα Μαθηµατικά και που έχουν κατ΄αρχήν σχέση µε την βασική του µόρφωση.