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第七讲 2.5 序列的 Z 变换. 本讲要点 Z 变换收敛域的意义 Z 变换收敛域的特点 Z 变换与傅里叶变换的关系 Z 变换与拉普拉斯变换的关系 如何根据序列特性判断收敛域 Z 反变换的唯一性.

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Παρουσίαση με θέμα: "第七讲 2.5 序列的 Z 变换. 本讲要点 Z 变换收敛域的意义 Z 变换收敛域的特点 Z 变换与傅里叶变换的关系 Z 变换与拉普拉斯变换的关系 如何根据序列特性判断收敛域 Z 反变换的唯一性."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 第七讲 2.5 序列的 Z 变换

2 本讲要点 Z 变换收敛域的意义 Z 变换收敛域的特点 Z 变换与傅里叶变换的关系 Z 变换与拉普拉斯变换的关系 如何根据序列特性判断收敛域 Z 反变换的唯一性

3 第二章作业 2-1 ( 1 )( 3 )( 4 )( 6 )( 7 ), 2-2 , 2-3 , 2-4 , 2-5 ( 1 )( 3 )( 5 ), 2-6 ( 1 )( 3 ), 2-10 , 2-12 , ( 2 )( 3 )( 6 ), 2-16 , 2-23 , 2-24 , 2-28

4 信号与系统的分析方法 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一. 时域分析法 1. 连续时间信号与系统: 信号的时域运算,时域分解,经典时域 分析法,卷积积分。 2. 离散时间信号与系统: 序列的变换与运算,卷积和,差分方程 的求解。

5 二. 变换域分析法 1. 连续时间信号与系统: 信号与系统的频域分析( FT )、复频域( LT )分 析。 2. 离散时间信号与系统: 信号与系统的频域分析 DFT(FFT) 、复频 域( ZT ) 分析。 Z 变换在离散信号与系统的复频域分析中的 意义等价于连续时间信号与系统的拉氏变换 。

6 2.5.1 Z 变换的定义及收敛域 一.Z 变换定义: 序列的 Z 变换定义如下: * 实质是将 x(n) 展为 z -1 的幂级数。因此存在收敛域的问 题。 傅立叶变换 s 平面与 z 平面的映射

7 二. 收敛域 1. 定义 : 使序列 x(n) 的 z 变换 X(z) 收敛的所有 z 值的 集合称作 X(z) 的收敛域. 2. 收敛条件: X(z) 收敛的充要条件是绝对可和。

8 3. 收敛域( ROC )特点 Z 变换的收敛域是中心在原点的圆盘或环 状区域; 仅当 ROC 包含单位圆时,序列的傅里叶 变换存在; 收敛域内部不包含任何极点且是连通的, 也即收敛域是以极点为边界的; Z 变换加收敛域才能唯一确定一个序列

9 序列收敛域预备知识 阿贝尔定理 : 如果级数 ,在 收敛, 那么, 满足 0 ≤ |z|

10 同样, 对于级数 ,若满足 ,级数必绝对收敛。 R x _ 为最小收敛半径。 对于负幂级数,其收 敛域为以 R x- 为半径的圆 外, R x- 为其最外部极点 的模值。

11 0n2n2 n1n1 n (n) 有限长序列 序列特性对收敛域影响

12

13 x(n) n 0 n1n 右边序列 * 第一项为有限长序列,第二项为 z 的负幂级数,

14 收敛域 第一项为有限长序列, 其收敛域为 0<|z|<∞; 第二项为 z 的负幂次级数,由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 R x- <|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为 R x- <|z|<∞; R x- 为最小收敛半径。

15 因果序列 它是一种最重要的右边序列, 由阿贝尔 定理可知收敛域为:

16 3. 左边序列 x(n) 0 n n 2

17 第二项为有限长序列, 其收敛域 ; 第一项为 z 的正幂次级数,根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径.

18 双边序列指 n 为任意值时,x(n) 皆有值的序列, 即左边序列和右边序列之和。 4. 双边序列 0 n x

19 第二项为左边序列,其收敛域为: 第一项为右边序列 ( 因果 ) 其收敛域为: 当 R x-

20 例 x(n)=u(n) , 求其 Z 变换。 解: X(z) 存在的条件是 , 因此收敛域 为 |z|>1 , |z|>1 ? 傅立叶变换是否存在

21 其收敛域应包括 即充满整个 Z 平面。 [ 例 2-1] 求序列的 Z 变换及收敛域。 解:这相当时的有限长序列,

22 当时,这是无穷递缩等比级数。 [ 例 2.5.3] 求序列的 Z 变换及收敛域。 解: 若收敛域包含单位 圆即 ,其傅 里叶变换也存在!

23 * 右边序列的收敛域一定在模最大的极点所 在的圆外。 收敛域:

24 例 求序列 的 Z 变换及收敛域。 同样的,当 |a|>|z| 时,这是无穷递减等比级数,收敛。 收敛域: * 左边序列的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。

25 2.5.3 Z 反变换 一. 定义: 已知 X(z) 及其收敛域, 反过来求序列 x(n) 的变换称作 Z 反变换。

26 C 为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭 合单围线. 0 c

27 1. 留数法 由留数定理可知: 为 c 内的第 k 个极点, Z m 为 c 外的第 m 个极点, Res[ ] 表示极点处的留数。若在 c 外有 M 个极点 Z m ,且分母 多项式 z 的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上,则 可利用外部极点留数围线积分。 二. 求 Z 反变换的方法

28 2 、当 Z r 为 l 阶 ( 多重 ) 极点时的留数: 留数的求法: 1 、当 Z r 为一阶极点时的留数:

29 例 已知 X(z)=(1-az -1 ) -1 , |z|>a , 求其 逆 Z 变换 x(n) 。 n≥0 时,

30 例 已知 , 求其逆变换 x(n) 。 解: 该例题没有给定收敛域, 为求出 可能的原序列 x(n) ,必须先确定收敛域, 分析 X(z) , 得到其二个极点 z=a 和 z=a -1 , 于是收敛域有三种选法, 它们是 (1) |z|>|a -1 | , 对应的 x(n) 是右序列; (2) |a|<|z|<|z -1 | , 对应的 x(n) 是双边序列; (3) |z|<|a| , 对应的 x(n) 是左序列。

31 下面按照收敛域的不同求其 x(n) 。 (1) 收敛域 |z|>|a -1 | 此收敛域对应因果的右序列, 无须求 n<0 时的 x(n) 。 当 n≥0 时, 围线积分 c 内有二个极点 z=a 和 z=a -1 , 因此

32 (2) 收敛域 |z|<|a| 这种情况原序列是左序列, 无须计算 n≥0 情况, 当 n≥0 时, 围线积分 c 内没有极点, 因此 x(n)=0 。 n<0 时, c 内只有一个极点 z=0 , 且是 n 阶极点, 改求 c 外极点留数之 和

33 n<0 时, c 内极点有二个, 其中 z=0 是 n 阶极点, 改求 c 外极点留数, c 外极点只有 z=a -1 , 因此 x(n)=-Res [ F(z), a -1 ] =a -n 最后将 x(n) 表示为 a n n≥0 x(n)= a -n n<0 即 : x(n)=a |n|

34 2 、幂级数展开法(长除法) 把 X(z) 展开成幂级数 级数的系数就是序列 x(n)

35 根据收敛域判断 x(n) 的性质,在展开成相应 的 z 的幂级数 将 X(z) X(z) 的 x(n) 展成 z 的 分子分母 按 z 的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列

36 解:由 Roc 判定 x(n) 是因果序列, 用长除法展成 z 的负幂级数

37 解:由 Roc 判定 x(n) 是左边序列, 用长除法展成 z 的正幂级数

38 3 、部分分式展开法 X(z) 是 z 的有理分式,可分解成部分分式: 对各部分分式求 z 反变换:

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41

42 如果则有: * 即满足均匀性与叠加性; * 收敛域为两者重叠部分。 1. 线性 §2-5.4 Z 变换的基本性质和定理

43 [ 例 2-7] 已知, 求其 z 变换。 解:

44 2. 序列的移位 如果则有: [ 例 2-8] 求序列 x(n)=u(n)-u(n-3) 的 z 变换。

45 3. Z 域尺度变换 ( 乘以指数序列 ) 如果,则 证明:

46 4. 序列的线性加权 (Z 域求导数 ) 如果,则 证明:

47 5. 共轭序列 如果 ,则 证明:

48 6. 翻褶序列 如果 ,则 证明:

49 7. 初值定理 证明:

50 8. 终值定理 证明:

51 又由于只允许 X(z) 在 z=1 处可能有一阶极点,故 因子( z-1) 将抵消这一极点,因此 (z-1)X(z) 在 上收敛。所以可取 z 1 的极限。

52 9. 序列的卷积和 ( 时域卷积定理 )

53 证明:

54 [ 例 2-9] 解:

55 10. 序列相乘 (Z 域复卷积定理 ) 其中,C 是在变量 V 平面上, X(z/v),H(v) 公共收敛域 内环原点的一条逆时针闭合围线。 (证明从略)

56 [ 例 2-10] 解:

57

58 11. 帕塞瓦定理 (parseval) 其中 “ * ” 表示复共轭,闭合积分围线 C 在公共收敛域内。 (证明从略) 如果 则有 :

59 * 几点说明:

60 2.5.5 利用 Z 变换解差分方程 在第一章中介绍了差分方程的递推解法, 本节介绍用 Z 变换求解差分方程。这种方法将 差分方程变成了代数方程,使求解过程简单。 设 N 阶线性常系数差方程为 1. 求稳态解 如果输入序列 x(n) 是在 n=0 以前 ∞ 时加上的, n 时 刻的 y(n) 是稳态解,对差分方程求 Z 变换,得到

61 式中

62 2. 求暂态解 对于 N 阶差分方程,求暂态解必须已 知 N 个初始条件。设 x(n) 是因果序列,即 x(n)=0,n<0 ,已知初始条件 y(-1),y(-2) … y(- N) 。对差分方程进行 Z 变换时,注意这里 要用单边 Z 变换。方程式的右边由于 x(n) 是因果序列,单边 Z 变换与双边 Z 变换是 相同的。但 y(n) 的单边 Z 变换与双边 Z 变 换是不同的。所以必须先求 y(n) 移位序列 的单边 Z 变换。

63

64 对差分方程进行单边 Z 变换 (2.5.34)

65 例 已知差分方程 y(n)=by(n-1)+x(n) ,式 中 x(n)=a n u(n),y(-1)=2 ,求 y(n) 。 解:将已知差分方程进行 Z 变换 式中, 于是

66 收敛域为 |z|>max(|a|,|b|) , 式中第一项为零输入解,第二项为零状态解。

67 2.5.6 Z 变换与拉氏变换、 傅氏变换的关系 (补充) 一.Z 变换与拉氏变换的关系(注意联系的桥梁) 1. 理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号, 为其理想抽样信号, 则

68 序列 x(n) 的 z 变换为 ,考虑到, 显然,当 时,序列 x(n) 的 z 变 换就等于理想抽样信号的拉氏变换。 两个域的映 射关系 ?

69 2.Z 变换与拉氏变换的关系 ( S 、 Z 平面映射关系) S 平面用直角坐标表示为: Z 平面用极坐标表示为: 又由于 所以有: 因此, ; 这就是说, Z 的模只与 S 的实部相对应, Z 的相角只与 S 虚部 Ω 相对应。

70 =0, 即 S 平面的虚轴 r=1, 即 Z 平面单位圆; σ → σ σ <0, 即 S 的左半平面 r<1, 即 Z 的单位圆内; → >0, 即 S 的右半平面 r>1, 即 Z 的单位圆外 。 → j → 0 0 (1).r 与 σ 的关系

71 Ω= 0 , S 平面的实轴, ω= 0 , Z 平面正实轴; Ω=Ω 0 ( 常数 ) , S: 平行实轴的直线, ω= Ω 0 T,Z: 始于 原点的射线; Ω S: 宽 的水平条带, ω 整个 z 平面. 0 jIm[Z] Re[Z] (2).ω 与 Ω 的关系( ω=ΩT ) ω

72 二.Z 变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后, 其频谱产生周期延拓, 即 我们知道, 傅氏变换是拉氏变换在虚轴 S=jΩ 的特例, 因而映射到 Z 平面上为单位圆。因此, 这就是说, (抽样)序列在单位圆上的 Z 变换, 就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率 ω 作为 Z 平面的单位圆的参数, ω 表示 Z 平面的辐角,且 。

73 所以,序列在单位圆上的 Z 变换为序列的傅氏变换。


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