Αλ Χουαρίζμι Muhammad ibn Mūsā Αl-Khwarizmi Γεννήθηκε περίπου το 780 μ.Χ Πέθανε περίπου το 850 μ.Χ.

Παρουσίαση με θέμα: "Αλ Χουαρίζμι Muhammad ibn Mūsā Αl-Khwarizmi Γεννήθηκε περίπου το 780 μ.Χ Πέθανε περίπου το 850 μ.Χ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αλ Χουαρίζμι Muhammad ibn Mūsā Αl-Khwarizmi Γεννήθηκε περίπου το 780 μ.Χ Πέθανε περίπου το 850 μ.Χ.

2 Ο πρώτος αιώνας της μουσουλμανικής αυτοκρατορίας δεν έχει να παρουσιάσει κανένα επιστημονικό κατόρθωμα. Αν το Ισλάμ δεν "ξυπνούσε" πολιτιστικά, κατά το δεύτερο ήμισυ του όγδοου αιώνα, θα είχαν χαθεί πολύ περισσότερα από τις αρχαίες επιστήμες και τα μαθηματικά. Οι Άραβες, όμως, ενέδωσαν στο πάθος τους για μεταφράσεις, όταν χαλίφης ήταν ο Αλ Μαμούν (786-833). Λέγεται, ότι ο χαλίφης είδε στον ύπνο του τον Αριστοτέλη και το όνειρο αυτό είχε ως συνέπεια να αποφασίσει ο Αλ Μαμούν να μεταφρασθούν στα αραβικά όλα τα ελληνικά έργα που μπορούσε να βρει, συμπεριλαμβανομένης της Μεγίστης του Πτολεμαίου και όλων των Στοιχείων του Ευκλείδη. Οι Άραβες διατηρούσαν με το Βυζάντιο αμφίβολες ειρηνικές σχέσεις όπου από εκεί, έπαιρναν με ειδικές συμφωνίες τα ελληνικά χειρόγραφα. Γενικά

3 Μωχάμμετ Ιμπν Μούσα Αλ Χουαρίζμι, Ο Αλ Μαμούν ίδρυσε στη Βαγδάτη το λεγόμενο "Σπίτι της Σοφίας" (Μπάιτ αλ-χικμά) που είχε βιβλιοθήκη και αστεροσκοπείο ανάλογο με το αρχαίο Μουσείο στην Αλεξάνδρεια. Ανάμεσα στους καθηγητές ήταν ένας μαθηματικός και αστρονόμος, ο Μωχάμμετ Ιμπν Μούσα Αλ Χουαρίζμι, του οποίου το όνομα έμελλε να γίνει τόσο γνωστό, αργότερα, στη Δυτική Ευρώπη, όσο αυτό του Ευκλείδη Ο Αλ - Χουαρίζμι, πού καταγόταν από τη Χίβα (στο σημερινό Ουζμπεκιστάν) και άκμασε γύρω στο 825. Ο σοφός αυτός, έγραψε πάνω από έξι αστρονομικά και μαθηματικά έργα, εκ των οποίων τα πρώτα βασίζονταν κατά πάσα πιθανότητα στο Σιντχίντ, που ήρθε από την Ινδία. Ο Αλ Χουαρίζμι, εκτός από αστρονομικούς πίνακες και μελέτες για τον αστρολάβο και το ηλιακό ρολόι, έγραψε δύο βιβλία αριθμητικής και άλγεβρας που έπαιξαν πολύ σημαντικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών. Βιογραφία

4 De numero Indorum Ένα από τα βιβλία του διασώζεται σε ένα μοναδικό αντίγραφο του 12ου αιώνα, μιας λατινικής μετάφρασης με τον τίτλο De numero Indorum (Αναφορά στην Ινδική Τέχνη Υπολογισμών). Το βιβλίο αυτό αποτέλεσε ένα από τα μέσα με τα όποια η δυτική Ευρώπη γνώρισε το δεκαδικό σύστημα θέσης. Ο Αλ Χουαρίζμι δεν διεκδίκησε την πατρότητα του συστήματος και θεώρησε προφανή την ινδική καταγωγή του. Όταν,όμως αργότερα, οι λατινικές μεταφράσεις του έργου του κυκλοφόρησαν στην Ευρώπη, κάποιοι απρόσεχτοι αναγνώστες άρχισαν να αποδίδουν σε αυτόν όχι μόνο το βιβλίο αλλά και το σύστημα αρίθμησης. αλγόριθμος. Ο καινούριος αυτός συμβολισμός άρχισε να γίνεται γνωστός ως αυτός του Αλ Χουαρίζμι ή ακόμα, χειρότερα, ως «αλγκορίζμι» παραφράζοντας το ονομά του.Τελικά, το σύστημα αρίθμησης που έκανε χρήση των ινδικών συμβόλων ονομάστηκε απλώς αλγόρισμος,και στην συνέχεια αλγόριθμος. Σήμερα πλέον, σημαίνει κάποιον συγκεκριμένο κανόνα ή διαδικασία πράξεων. Βιογραφία

5 Χισάμπ Αλ - τζάβρ ούάλ – μουκιάμπαλαχ Κάτι παρόμοιο έχει συμβεί και με την άλγεβρα του Αλ - Χουαρίζμι. Το αραβικό κείμενο σώζεται και έχει τον τίτλο Χισάμπ Αλ - τζάβρ ούάλ – μουκιάμπαλαχ κατά λέξη,«επιστήμη αναγωγής και ισοστάθμισης», που πιθανώς σημαίνει «επιστήμη εξισώσεων». Η λέξη αλ τζαβρ, σημαίνει "αποκατάσταση" ή "συμπλήρωση" και φαίνεται ότι αναφερόταν στην μεταφορά των όρων στο άλλο μέλος της εξίσωσης. Η, δε, λέξη μουκιαμπαλάχ λέγεται ότι αναφέρεται στην "ελάττωση" ή "εξισορρόπηση" δηλαδή στην απαλοιφή των ίδιων όρων στα δύο μέλη της εξίσωσης. Η άλγεβρα του Αλ - Χουαρίζμι έγινε κι αυτή γνωστή στη Δύση από λατινικές μεταφράσεις, οι όποιες, αλλοιώνοντας λίγο τον τίτλο, δημιούργησαν τη λέξη άλγεβρα. Διακρίνουμε την αραβική επιρροή στην Ισπανία, πολύ μετά την εποχή του Αλ Χουαρίζμι, στον Δον Κιχώτη, όπου η λέξη αλγεβριστας χρησιμοποιείται για κάποιον που επιδιορθώνει. Βιογραφία

6 Στην άλγεβρα του Αλ - Χουαρίζμι γίνεται μια μελέτη των γραμμικών και δευτεροβάθμιων εξισώσεων, δίχως όμως αλγεβρικό φορμαλισμό. Απουσιάζει ακόμα και ο «ρητορικός» συμβολισμός του Διόφαντου. Ανάμεσα στις εξισώσεις πού περιέχει προβάλλουν διάφοροι χαρακτηριστικοί τύποι όπως: χ 2 + 1Οχ = 39, χ 2 + 21 = 1Οχ, 2χ 2 +10χ=48, 3χ + 4 = χ 2. Αντιμετωπίζονται χωριστά, για τον λόγο ότι μόνο θετικοί συντελεστές ήσαν παραδεχτοί. Αυτοί οι τρεις τύποι ξαναεμφανίζονται συχνά σε μεταγενέστερα κείμενα. Όπως γράφει ό καθηγητής Καρπίνσκι (Karpinski): «Η εξίσωση χ 2 + 1Οχ = 39 αποτέλεσε για πολλούς αιώνες το χρυσό νήμα ανάμεσα στα διάφορα βιβλία άλγεβρας». Αλ τζαβρ

7 Αναλυτικότερα, η λατινική μετάφραση της Άλγεβρας του Αλ Χβαρίζμι ξεκινά με μια σύντομη εισαγωγική περιγραφή της αρχής θέσης για τους αριθμούς και προχωρεί στην επίλυση (σε έξι μικρά κεφάλαια) έξι ειδών εξισώσεων που περιέχουν ρίζες, τετράγωνα και αριθμούς (δηλαδή, χ, χ 2 και αριθμούς). Το κεφάλαιο Ι καλύπτει σε τρεις μικρές παραγράφους, την περίπτωση όπου τα τετράγωνα ισούνται με ρίζες, δηλαδή, σήμερα θα γράφαμε : χ 2 = 5χ, χ 2 / 3 = 4χ και 5χ 2 =10x· δίνει δε τις απαντήσεις, χ = 5, χ = 12 και χ = 2 αντίστοιχα.(Δεν θεωρεί ρίζα την χ = Ο). Το κεφάλαιο II αναφέρεται στην περίπτωση όπου τα τετράγωνα ισούνται με αριθμούς και το κεφάλαιο ΙΙΙ στην περίπτωση όπου οι ρίζες ισούνται με αριθμούς· και εδώ συναντάμε τρία παραδείγματα σε κάθε κεφάλαιο, τα οποία καλύπτουν τις περιπτώσεις όπου ο συντελεστής της μεταβλητής ισούται, είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος της μονάδας. Αλ τζαβρ

8 Τα κεφάλαια IV, V και VI είναι πιο ενδιαφέροντα, διότι καλύπτουν τις τρεις κλασικές περιπτώσεις των δευτεροβάθμιων εξισώσεων με τρεις όρους: (1) τετράγωνα και ρίζες ίσες με αριθμούς, (2) τετράγωνα και αριθμοί ίσοι με ρίζες και (3)ρίζες και αριθμοί ίσοι με τετράγωνα. Οι λύσεις θυμίζουν "οδηγίες μαγειρικής" για τη συμπλήρωση του τετραγώνου" σε συγκεκριμένες περιπτώσεις. Το κεφάλαιο IV, για παράδειγμα, περιέχει τα τρία παραδείγματα: χ 2 + 10χ = 39, 2χ 2 +10χ = 48 και 1/2x 2 + 5x =28. Σε όλες τις περιπτώσεις αναφέρεται μόνο η θετική απάντηση. Στο κεφάλαιο V υπάρχει μόνον ένα παράδειγμα, το χ 2 + 21 = 10χ, αλλά δίνονται και οι λύσεις 3 και 7, σύμφωνα με τον τύπο. Εδώ ο Αλ Χουαρίζμι τονίζει ότι η διακρίνουσα πρέπει να είναι θετική.

9 Στo κεφάλαιο VI, ο συγγραφέας χρησιμοποιεί πάλι ένα και μοναδικό παράδειγμα, 3χ+4= χ 2 και μας υπενθυμίζει ότι αν ο συντελεστής του χ 2 δεν είναι η μονάδα, πρέπει Εξαιρέσουμε πρώτα με αυτόν τον συντελεστή (όπως και στο κεφάλαιο IV). Στη συνέχεια, περιγράφει τα βήματα για τη συμπλήρωση του τετραγώνου με κάθε λεπτομέρεια χωρίς, όμως, να τα δικαιολογεί. Η λύση του είναι ισοδύναμη με την. Ακόμη μία φορά βλέπουμε μόνο τη μία ρίζα εφόσον η άλλη είναι αρνητική. Τα έξι είδη εξισώσεων που αναφέραμε παραπάνω καλύπτουν όλες τις περιπτώσεις· γραμμικών και δευτεροβάθμιων εξισώσεων με θετική ρίζα. Η περιγραφή του Αλ Χουαρίζμι ήταν τόσο συστηματική και λεπτομερής ώστε οι αναγνώστες του πρέπει να μη συναντούσαν ιδιαίτερα προβλήματα στην παρακολούθηση των λύσεων Αλ τζαβρ

10 Η Άλγεβρα του Αλ Χουαρίζμι δεν αναφέρεται μόνο στην επίλυση εξισώσεων, θέμα που καλύπτει το ήμισυ περίπου του έργου. Συναντάμε και κανόνες για υπολογισμούς διωνυμικών εκφράσεων, για παράδειγμα, συμπεριλαμβανομένων και γινομένων, όπως (10 + 2)(10-1) και (10 + χ)(10-χ). Μολονότι οι Άραβες απέρριπταν τις αρνητικές ρίζες και τα αρνητικά μεγέθη, ήταν εξοικειωμένοι με τους κανόνες που ισχύουν για τους αριθμούς, που σήμερα ονομάζουμε προσημασμένους. Ο συγγραφέας αναφέρει, ακόμη, και εναλλακτικές γεωμετρικές αποδείξεις για ορισμένες από τις έξι περιπτώσεις εξισώσεων· Τέλος, η Άλγεβρα περιλαμβάνει και μια μεγάλη ποικιλία προβλημάτων- παραδειγμάτων των έξι κεφαλαίων ή περιπτώσεων.

11 Καθώς συνεχίζουμε την ανάγνωση, όμως, πέρα από το έκτο κεφάλαιο·συναντάμε τελείως καινούρια στοιχεία. Ο Αλ Χουαρίζμι συνεχίζει: «Έχουμε πει αρκετά όσον αφορά στους αριθμούς για τα έξι είδη εξισώσεων. Τώρα, όμως είναι απαραίτητο να αποδείξουμε γεωμετρικά την αλήθεια των ίδιων προβλημάτων πού έχουμε εξηγήσει αριθμητικά». Το κείμενο αυτό προφανώς είναι επηρεασμένο από την Ελλάδα και όχι από την Ινδία ή τη Βαβυλώνα. Υπάρχουν, λοιπόν, τρεις βασικές σχολές σκέψης στην αραβική άλγεβρα η μία τονίζει τις ινδικές επιρροές, η άλλη τη μεσοποτάμια ή συριοπερσική παράδοση και η τρίτη την ελληνική. Ελληνικές επιρροές

12 Η Άλγεβρα του Αλ Χουαρίζμι προδίδει τις αναμφισβήτητες ελληνικές επιρροές που έχει δεχθεί ο συγγραφέας της. Οι πρώτες, όμως, γεωμετρικές αποδείξεις έχουν λίγα κοινά στοιχεία με τα κλασικά ελληνικά μαθηματικά. Ο Αλ Χουαρίζμι, για την εξίσωση χ 2 +1Οχ = 39, σχεδίασε ένα τετράγωνο ab για να παραστήσει το χ 2 και τοποθέτησε στις τέσσερις πλευρές του τετραγώνου τα ορθογώνια c, d, e και f, πλάτους 2,5 μονάδων, το καθένα. Ελληνικές επιρροές

13 Για να "συμπληρώσουμε" το μεγαλύτερο τετράγωνο πρέπει να προσθέσουμε τα τέσσερα μικρότερα γωνιακά τετράγωνα (που σημειώνονται με διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα 13.1), το καθένα από τα οποία έχει εμβαδόν 6,25 μονάδων. Έτσι, "για να συμπληρώσουμε το τετράγωνο" προσθέτουμε 4 φορές, 6.25 μονάδες, ή 25 μονάδες και καταλήγουμε σε ένα τετράγωνο συνολικού εμβαδού 39 + 25 = 64 μονάδων (όπως φαίνεται από το δεύτερο μέλος της αρχικής εξισώσεις). Άρα, η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου πρέπει να είναι 8 μονάδες, από την οποία αφαιρούμε 2 φορές το 2,5 ή 5 μονάδες για να καταλήξουμε στην τιμή χ = 3 έτσι, αποδεικνύουμε ότι η απάντηση του είναι σωστή.

14 Αστρονομία- τριγωνομετρία Οι αστρονομικοί και οι τριγωνομετρικοί πίνακες του Αλ -Χουαρίζμι (με ημίτονα και εφαπτόμενες) ανήκουν επίσης στα αραβικά έργα πού μεταφράστηκαν αργότερα στα λατινικά. Η γεωμετρία του συνίσταται από έναν απλό κατάλογο χωρομετρικών κανόνων. Αυτό έχει κάποια σημασία, γιατί υπάρχει άμεσος συσχετισμός μ' ένα εβραϊκό κείμενο του 150 μ.Χ. Επίσης φανερώνει έλλειψη συμπάθειας προς την ευκλείδεια παράδοση. Η αστρονομία του Αλ Χουαρίζμι είναι μια περίληψη από τα Σιδχάντα. Μπορούμε λοιπόν να διαπιστώσουμε εδώ κάποια ελληνική επίδραση, έστω και έμμεση, διαμέσου ενός σανσκριτικού κειμένου. Πάντως τα έργα του Αλ -Χουαρίζμι μοιάζουν, στο σύνολο τους, επηρεασμένα από την ανατολική επιστήμη και όχι από την ελληνική, επιλογή προφανώς συνειδητή.

15 Το όλο έργο του Αλ - Χουαρίζμι έχει σημαντικά συμβάλει στην ιστορία των μαθηματικών, γιατί έχει αποτελέσει μια από τις κύριες πηγές, από τις όποιες η δυτική Ευρώπη γνώρισε τον ινδικό αριθμητικό συμβολισμό και την αραβική άλγεβρα. Ίσαμε τα μέσα του 19ου αιώνα, η άλγεβρα αποκάλυπτε την ανατολική της προέλευση με την έλλειψη αξιωματικής θεμελίωσης. Από αυτήν την άποψη, παρουσίαζε οξεία αντίθεση με την ευκλείδεια γεωμετρία. Το νόημα πού πρωτοδόθηκε στην λέξη «άλγεβρα» δεν συμπίπτει με το σημερινό, το όποιο αναφέρεται σ' ολόκληρο τον επιστημονικό κλάδο «άλγεβρα». Ως τα μέσα του 19ου αιώνα, ή άλγεβρα δεν ήταν τίποτ' άλλο παρά ή επιστήμη των εξισώσεων. Η σημερινή σχολική άλγεβρα και η γεωμετρία διατηρούν ακόμα αυτά τα δείγματα της διαφορετικής τους προέλευσης. Έργο του Αλ Χουαρίζμι

16 Πολλές φορές αποκαλούμε το Διόφαντο "πατέρα της άλγεβρας" αλλά ο Αλ Χουαρίζμι είναι εξίσου κατάλληλος για να του αποδοθεί αυτός ο τίτλος. Είναι αλήθεια, ότι από μερικές απόψεις η δουλειά του Αλ Χουαρίζμι αποτελεί ένα "αναμάσημα" του έργου του Διόφαντου. Κατ' αρχήν, το επίπεδο της είναι πολύ πιο χαμηλό από αυτό που συναντάμε στα διοφαντικά προβλήματα και δεύτερον, η άλγεβρα του Αλ Χουαρίζμι είναι σαφώς ρητορική εφόσον ο συγγραφέας δεν χρησιμοποιεί καμία συντόμευση ή σύντμηση όπως κάνουν ο Διόφαντος στην Αριθμητική του και ο Βραχμαγκούπτα. Ο Αλ Χουαρίζμι γράφει τους άρτιους αριθμούς με λέξεις και όχι με σύμβολα Είναι μάλλον απίθανο, να γνώριζε ο Αλ Χουαρίζμι το έργο του Διόφαντου αλλά πρέπει να ήταν εξοικειωμένος τουλάχιστον με τα τμήματα της δουλειάς του Βραχμαγκούπτα που αναφέρονταν στην αστρονομία και στους αλγόριθμους. Πατέρας της Άλγεβρας

17 Η Αλ τζαβρ, όμως, βρίσκεται πολύ πιο κοντά στη σημερινή στοιχειώδη άλγεβρα απ’ ότι τα έργα του Διόφαντου ή του Βραχμαγκούπτα, γιατί το βιβλίο δεν περιέχει δύσκολα προβλήματα της απροσδιόριστης ανάλυσης αλλά μια απλή περιγραφή της επίλυσης εξισώσεων, κυρίως δευτεροβάθμιων. Για το λόγο αυτό, ο Αλ Χουαρίζμι δικαιούται να ονομάζεται «Πατέρας της άλγεβρας». Πατέρας της Άλγεβρας