© 2002 Thomson / South-Western Slide 12-1 Κεφάλαιο 12 Απλή Παλινδρόμηση & Ανάλυση Συσχέτισης.

Παρουσίαση με θέμα: "© 2002 Thomson / South-Western Slide 12-1 Κεφάλαιο 12 Απλή Παλινδρόμηση & Ανάλυση Συσχέτισης."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-1 Κεφάλαιο 12 Απλή Παλινδρόμηση & Ανάλυση Συσχέτισης

2 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-2 Στόχοι Μαθήματος Υπολογισμός της εξίσωσης μιας απλής γραμμής παλινδρόμησης από ένα δείγμα δεδομένων, και ερμηνεία της κλίσης και της σταθεράς της εξίσωσης. Κατανόηση της χρησιμότητας της ανάλυσης καταλοίπων στον έλεγχο των υποθέσεων πάνω στις οποίες στηρίζεται η ανάλυση παλινδρόμησης καθώς και στον έλεγχο καλής προσαρμογής της γραμμής παλινδρόμησης στα δεδομένα μας. Υπολογισμός του τυπικού σφάλματος των εκτιμητών και ερμηνεία του περιεχομένου του.

3 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-3 Στόχοι Μαθήματος, συνέχεια Υπολογισμός του συντελεστή προσδιορισμού και ερμηνεία του. Έλεγχος υποθέσεων για τη κλίση του μοντέλου παλινδρόμησης και ερμηνεία των αποτελεσμάτων. Εκτίμηση τιμών του Y με τη χρήση του μοντέλου παλινδρόμησης. Υπολογισμός του συντελεστή συσχέτισης και ερμηνεία του.

4 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-4 Συσχέτιση και Παλινδρόμηση Συσχέτιση είναι ένα μέτρο του βαθμού εξάρτησης δυο μεταβλητών. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης είναι η διαδικασία κατασκευής ενός μαθηματικού μοντέλου ή μιας συνάρτησης που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη πρόβλεψη ή το προσδιορισμό μιας μεταβλητής από μια άλλη μεταβλητή.

5 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-5 Απλή Ανάλυση Παλινδρόμησης Διμεταβλητή (δυο μεταβλητές) γραμμική παλινδρόμηση– το πιο στοιχειώδες μοντέλο παλινδρόμησης –Εξαρτημένη μεταβλητή, η μεταβλητή που πρόκειται να προβλεφθεί, συνήθως συμβολίζεται με Y –Ανεξάρτητη μεταβλητή, η επεξηγηματική ή ερμηνευτική μεταβλητή, συνήθως συμβολίζεται με X.

6 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-6 Δεδομένα Κόστους Αεροπορικής Εταιρείας Αριθμός Κόστος επιβατών($1,000) X Y 614.28 634.08 674.42 694.17 704.48 744.30 764.82 814.70 865.11 915.13 955.64 975.56

7 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-7 Διάγραμμα Διασποράς (Scatter Plot) των Δεδομένων Κόστους Αεροπορικής Εταιρείας

8 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-8 Μοντέλα Παλινδρόμησης  Ντετερμινιστικό Μοντέλο Παλινδρόμησης (Deterministic Regression Model): Y =  0 +  1 X  Πιθανοθεωρητικό Μοντέλο Παλινδρόμησης (Probabilistic Regression Model): Y =  0 +  1 X +    0 και  1 είναι πληθυσμιακοί παράμετροι   0 και  1 εκτιμώνται μέσω των δειγματικών στατιστικών b 0 και b 1

9 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-9 Εξίσωση της Απλής Γραμμής Παλινδρόμησης

10 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-10 Κλίση και σταθερά του Y της Γραμμής Παλινδρόμησης

11 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-11 Ανάλυση Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Squares Analysis)

12 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-12 Παράδειγμα Κόστους Αεροπορικής Εταιρείας:Εύρεση του συντελεστή κλίσης και της σταθεράς της γραμμής παλινδρόμησης(Μέρος 1) Αριθμός Επιβατών Κόστος ($1,000) X Y X 2 XY 61 4.28 3,721 261.08 63 4.08 3,969 257.04 67 4.42 4,489 296.14 69 4.17 4,761 287.73 70 4.48 4,900 313.60 74 4.30 5,476 318.20 76 4.82 5,776 366.32 81 4.70 6,561 380.70 86 5.11 7,396 439.46 91 5.13 8,281 466.83 95 5.64 9,025 535.80 97 5.56 9,409 539.32  X = 930  Y = 56.69  2 X = 73,764  XY = 4,462.22

13 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-13 Παράδειγμα Κόστους Αεροπορικής Εταιρείας:Εύρεση του συντελεστή κλίσης και της σταθεράς της γραμμής παλινδρόμησης (Μέρος 2) 745.68 12 )69.56)(930( 22.462,4    n YX XYSS XY 1689 12 )930( 764,73 )( 2 2 2    n X XSS XX 0407. 1689 745.68 1  XX XY SS b 57.1 12 930 )0407(. 12 69.56 10   n X b n Y b XY0407.57.1 ˆ 

14 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-14 Διάγραμμα της Γραμμής Παλινδρόμησης: Παράδειγμα Κόστους Αεροπορικής Εταιρείας

15 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-15 Ανάλυση Καταλοίπων Το κατάλοιπο είναι η διαφορά μεταξύ της παρατηρούμενης (πραγματικής) τιμής της Y και της τιμής της Y που προκύπτει από το μοντέλο παλινδρόμησης. Με άλλα λόγια είναι το σφάλμα του μοντέλου παλινδρόμησης στην διαδικασία πρόβλεψης των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής.

16 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-16 Παράδειγμα Κόστους Αεροπορικής Εταιρείας: Ανάλυση καταλοίπων Αριθμός Προβλεφθείσα Επιβατών Κόστος ($1,000) Τιμή Κατάλοιπο X Y Y ˆ YY ˆ  61 4.28 4.053.227 63 4.08 4.134.054 67 4.42 4.297.123 69 4.17 4.378 -.208 70 4.48 4.419.061 74 4.30 4.582 -.282 76 4.82 4.663.157 81 4.70 4.867 -.167 86 5.11 5.070.040 91 5.13 5.274 -.144 95 5.64 5.436.204 97 5.56 5.518.042   001.) ˆ (YY

17 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-17 Παράδειγμα Κόστους Αεροπορικής Εταιρείας: Γράφημα των Καταλοίπων στο Excel

18 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-18 Διάγραμμα μη γραμμικών καταλοίπων 0 X

19 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-19 Μη σταθερά (μεταβαλλόμενη) διακύμανση καταλοίπων 0 X 0 X

20 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-20 Διαγράμματα μη ανεξάρτητων καταλοίπων 0 X 0 X

21 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-21 Διάγραμμα αποδεκτών καταλοίπων 0 X

22 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-22 Τυπικό σφάλμα παλινδρόμησης Άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων Τυπικό σφάλμα παλινδρόμησης

23 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-23 Παράδειγμα Κόστους Αεροπορικής Εταιρείας: Καθορισμός SSE Αριθμός Επιβατών Κόστος($1,000) Κατάλοιπο X Y YY ˆ  2 ) ˆ (YY  61 4.28.227.05153 63 4.08 -.054.00292 67 4.42.123.01513 69 4.17 -.208.04326 70 4.48.061.00372 74 4.30 -.282.07952 76 4.82.157.02465 81 4.70 -.167.02789 86 5.11.040.00160 91 5.13 -.144.02074 95 5.64.204.04162 97 5.56.042.00176   001.) ˆ (YY   2 ) ˆ (YY =.31434 Άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων = SSE =.31434

24 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-24 Παράδειγμα Κόστους Αεροπορικής Εταιρείας: Τυπικό σφάλμα παλινδρόμησης Άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων Άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων Τυπικό σφάλμα παλινδρόμησης Τυπικό σφάλμα παλινδρόμησης

25 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-25 Συντελεστής Προσδιορισμού Το ποσοστό της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής που ερμηνεύεται από τις μεταβολές της ανεξάρτητης σε ένα μοντέλο παλινδρόμησης.

26 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-26 Συντελεστής Προσδιορισμού

27 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-27 Παράδειγμα κόστους Αεροπορικής εταιρείας: Συντελεστής Προσδιορισμού 89.9% της μεταβλητότητας του κόστους πτήσης ενός Boeing 737 ερμηνεύεται από τον αριθμό των επιβατών.

28 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-28 Έλεγχοι Υποθέσεων για το συντελεστή κλίσης του Μοντέλου Παλινδρόμησης

29 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-29 Παράδειγμα κόστους Αεροπορικής εταιρείας : Σημειακή Εκτίμηση

30 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-30 Παράδειγμα κόστους Αεροπορικής εταιρείας : Διάστημα Εμπιστοσύνης για την εκτίμηση του δεσμευμένου μέσου του Υ

31 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-31 Παράδειγμα κόστους Αεροπορικής εταιρείας : Διάστημα Εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της μέσης τιμής της Y για κάποιες τιμές της X Διάστημα Εμπιστοσύνης

32 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-32 Διάστημα Πρόβλεψης της Y για μια συγκεκριμένη τιμή της X

33 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-33 Διαστήματα Εμπιστοσύνης Μέθοδος Παλινδρόμησης 60 70 80 90100 4 5 6 Regression 95% CI 95% PI Διάγραμμα Παλινδρόμησης Αριθμός Επιβατών ΚόστοςΚόστος

34 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-34 Ο Συντελεστής Συσχέτισης του Pearson Ένα μέτρο συσχέτισης το οποίο χρησιμοποιείται για το καθορισμό του βαθμού εξάρτησης δυο μεταβλητών.

35 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-35 Τρεις μορφές Συσχέτισης r < 0r > 0 r = 0

36 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-36 Παράδειγμα Οικονομικών: Υπολογισμός του r (Μέρος 1) Μέρα Τόκος X Δείκτης ΣΜΕ Y 17.4322155.20548,8411,642.03 27.4822255.95049,2841,660.56 38.0022664.00051,0761,808.00 47.7522560.06350,6251,743.75 57.6022457.76050,1761,702.40 67.6322358.21749,7291,701.49 77.6822358.98249,7291,712.64 87.6722658.82951,0761,733.42 97.5922657.60851,0761,715.34 108.0723565.12555,2251,896.45 118.0323364.48154,2891,870.99 128.0024164.00058,0811,928.00 Αθροίσματα92.932,725720.220619,20721,115.07 X2X2 Y2Y2 XY

37 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-37 Παράδειγμα Οικονομικών: Υπολογισμός του r (Μέρος 2)

38 © 2002 Thomson / South-Western Slide 12-38 Παράδειγμα Οικονομικών : Διάγραμμα Διασποράς και Πίνακας Συσχέτισης 220 225 230 235 240 245 7.407.607.808.008.20 Τόκος Δείκτης ΣΜΕ ΤόκοςΔείκτης ΣΜΕ Τόκος1 Δείκτης ΣΜΕ0.8152541