Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΕΠΛ 445 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΕΠΛ 445 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΕΠΛ 445 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Τύποι Εικόνων Γεωμετρία Απεικόνισης
Όργανα Απεικόνισης Απόκτηση Εικόνας Αναπαράσταση Εικόνας

3 Σκοπός Του Μαθήματος (1/2)
Να μεταφέρει τις βασικές ιδέες της Ψηφιακής Επεξεργασίας Εικόνας (ΨΕΕ) από μια λειτουργική όψη με κάποια επαφή στην θεωρία. Οι βασικές αυτές ιδέες είναι: - Ανάληψη: κάμερες, διασύνδεση, και υπολογιστές. - Επεξεργασία, αλγόριθμοι και θεωρία. - Πρακτικές εφαρμογές της ΨΕΕ. - Βασικοί αλγόριθμοι ανάλυσης εικόνας. Κάνει προσιτή την ψηφιακή επεξεργασία εικόνας. Παρουσιάζει το αντικείμενο με λογική μαθηματική ευκολία. Παρουσιάζει τα αποτελέσματα πολλαπλών παραδειγμάτων οπτικών εικόνων στην μορφή της ακριβούς ΨΕΕ, όπως αυτά έχουν αναλυθεί στο Laboratory for Vision Systems στο University of Texas at Austin, και στο Τμήμα Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Κύπρου.

4 Σκοπός Του Μαθήματος (2/2)
Να γίνονται ερωτήσεις όσον αφορά το αντικείμενο του μαθήματος Να μη διστάζουν οι φοιτητές να δείξουν τη μη κατανόηση κάποιου θέματος Να γίνονται σχόλια για την ταχύτητα διδαχής του μαθήματος Να γίνονται σχόλια για το επίπεδο διδαχής

5 Σχόλια Για Το Βιβλίο Το βιβλίο που καλύπτει την ύλη του μαθήματος είναι το: Digital Image Processing, R.C. Gonzalez and R.E. Woods Πολύ ευπρόσιτο βιβλίο – Φιλικό προς το χρήστη Πολύ καλά εικονογραφημένο - με χρήσιμα παραδείγματα εφαρμογών Οι σημειώσεις της τάξης είναι αυτόνομες. Εντούτοις, το βιβλίο είναι καλό για διάβασμα.

6 Άλλα Προτεινόμενα Βιβλία
Digital Image Processing, W.K. Pratt, Wiley, 1992, Encyclopedic, somewhat dated. There is a new edition. Digital Picture Processing, Rosenfeld & Kak, Academic 1982, Encyclopedic but readable Fundamentals of Digital Image Processing, Jain, Prentice 1989, Handbook-style, meant for advanced level. Machine Vision, Jain, Kasturi, and Schunk, McGraw-Hill, 1995, Beginner’s book on computer vision. Robot Vision, B.K.P. Horn, MIT Press, 1986, Advanced-level book on computer vision Digital Video Processing, M. Tekalp, Prentice-Hall, 1995, Only book devoted to digital video; high-level; excellent.

7 Δημοσιεύσεις - Journals
·        IEEE Transactions on: - Image Processing - Pattern Analysis and Machine Intelligence - Medical Imaging - Remote Sensing ·        Computer Vision, Graphics, and Image Processing - Image Understanding - Graphics and Image Processing  ·        Pattern Recognition ·        Journal of Visual Communication and Image Representation  ·        Image and Vision Computing

8 Εφαρμογές της ΨΕΕ (1/2) Υπάρχουν αμέτρητες περιοχές εφαρμογών της ΨΨΕ, οι οποίες εξελίσσσονται ραγδαία. Θα δώσουμε πιο κάτω μερικές από αυτές.

9 Που χρησιμοποιείται? (2/2)
ΨΨΕ – Μια επιστήμη με πολλές εφαρμογές:

10 Εξέλιξη της ΨΨΕ Πλεονεκτήματα της ΨΨΕ σε σταθμούς εργασίας
Είναι σημαντική στις περιοχές με στοιχεία πολλών διαστάσεων Η απεικόνιση είναι ανεκτίμητο μέσο και μετάφραση δεδομένων Η όραση είναι η πιο σημαντική αίσθηση μας και είναι πανταχού παρών Εφαρμογές σε σταθμούς εργασίας και προσωπικούς υπολογιστές Σημαντική πρόοδος σε αλγορίθμους και επιπρόσθετα στοιχεία του υλικού των υπολογιστών Πλεονεκτήματα της ΨΨΕ σε σταθμούς εργασίας Χειρισμός – κόστος των προσωπικών σταθμών εργασίας είναι ιδανικό για εργαστηριακή δουλειά Τεράστια ικανότητα μείωσης χρόνου Μπορεί να επιβλέπει και να ελέγχει πολλαπλές διεργασίες Ικανότητα εντολών των σταθμών εργασίας για την καλπάζουσα ΨΕΕ

11 Τι Είναι οι Ψηφιακές Εικόνες?
Υπάρχουν τόσων ειδών εικόνες όσοι και οι τύποι της ακτινοβολίας και οι τρόποι που δείχνουν πώς η ακτινοβολία αντιδρά με τα αντικείμενα.

12 Γενικοί τύποι εικόνων (1/2)
Μπορούμε να διακρίνουμε τρεις τύπους εικόνας, οι οποίοι δημιουργούν διαφορετικούς τύπους πληροφορίας εικόνας. Απεικόνιση Αντανάκλασης: Η πληροφορία της εικόνας είναι η πληροφορία της επιφάνειας, δηλαδή πως ένα αντικείμενο αντανακλά/απορροφά ακτινοβολία - Οπτική (ορατή, φωτογραφική, με βάση ακτίνων laser) - Radar - Sonar, ultrasound (non-EM) Υπέρηχοι - Electron microscopy Ηλεκτρονικό Μικροσκόπιο

13 Γενικοί τύποι εικόνων (2/2)
Απεικόνιση εκπομπής: Η πληροφορία εικόνας είναι εσωτερική πληροφορία, δηλαδή πως ένα αντικείμενο δημιουργεί ακτινοβολία. - Θερμική, υπέρυθρη (γεωφυσική, ιατρική, στρατιωτική)        - Αστρονομία (άστρα, γαλαξίες, κλπ.)        - Πυρηνική (εκπομπή σωματιδίων Απεικόνιση Απορρόφησης: Η πληροφορία της εικόνας είναι εσωτερική πληροφορία, δηλαδή πως ένα αντικείμενο αλλάζει / απορροφά ακτινοβολία που περνά διαμέσου του. - Ακτίνες Χ σε πολλές χρήσεις - Οπτική μικροσκοπία σε χρήσεις εργαστηρίου - Τομογραφία στην ιατρική - “Vibro-Seis” στην γεωφυσική έρευνα

14 Ηλεκτρομαγνητική Ακτινοβολία (1/2)
Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα καλύπτει πολλές χρήσιμες ακτινοβολίες που χρησιμοποιούνται στην απεικόνιση:

15 Ηλεκτρομαγνητική Ακτινοβολία (2/2)
Μερικοί κλάδοι της επιστήμης, π.χ. αστρονομία, περιέχουν εικόνες απο όλο το φάσμα. Συνήθως θα χρησιμοποιήσουμε παραδείγματα εικόνων από το ορατό φάσμα. Αυτό είναι ένα πολύ μικρό κομμάτι του φάσματος ακτινοβολίας!

16 Κλίμακες Απεικόνισης Μεταβάλλονται ανάλογα με τις κλίμακες που υπάρχουν στην φύση:

17 Διαστάσεις Εικόνων Οι εικόνες είναι πολύ-διαστατά σήματα ( 2 διαστάσεις) Ο αριθμός των διαστάσεων μιας εικόνας είναι ο αριθμός των συντεταγμένων που χρειάζονται για ένα σημείο

18 Απλοποιημένη γεωμετρία φωτογραφικής απεικόνισης
Γεωμετρία οπτικής εικονοληψίας (1/2) Απλοποιημένη γεωμετρία φωτογραφικής απεικόνισης

19 Γεωμετρία Οπτικής Απεικόνισης (2/2)
ΟΠΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ 3-Δ ΣΕ 2-Δ Η απεικόνιση περιλαμβάνει μείωση διαστάσεων, έτσι κάποια 3-Δ πληροφορία χάνεται.

20 Σκηνογραφική προβολή Προβολή: είναι η μείωση των διαστάσεων
Σκηνογραφική προβολή: είναι η μείωση διαστάσεων από 3-Δ σε 2-Δ Συστήματα συντεταγμένων: Συντεταγμένες πραγματικού χώρου (Χ,Υ,Ζ) : δηλώνουν σημεία στο 3-Δ χώρο Το σημείο αναφοράς (Χ,Υ,Ζ)=(0,0,0) χρησιμοποιείται σαν το κέντρο του φακού Συντεταγμένες εικόνας (x,y) : δηλώνουν σημεία σε 2-Δ εικόνα Το πεδίο x - y είναι παράλληλο του πεδίου Χ – Υ Ο οπτικός άξονας περνά και από τα δυο σημεία αναφοράς

21 Γεωμετρία προβολής οπής
Ο φακός θεωρείται σαν μια οπή από την οποία περνούν όλες οι ακτίνες φωτός που κτυπούν το πεδίο εικόνας. Πρόβλημα: σε αυτό το μοντέλο, αλλά και στην πραγματικότητα η εικόνα είναι αντιστραμμένη. Έτσι, αλλάζουμε το μοντέλο.

22 Γεωμετρία αντεστραμμένης προβολής (1/3)
Παρατήρηση: το διάγραμμα δεν είναι σε κλίμακα.

23 Γεωμετρία αντεστραμμένης προβολής (2/3)
Το πιο πάνω διάγραμμα δείχνει όλους τους άξονες συντεταγμένων

24 Γεωμετρία αντεστραμμένης προβολής (3/3)
Το ισοδύναμο απλουστευμένο διάγραμμα περιέχει μόνο τα στοιχεία που σχετίζουν το (Χ,Υ,Ζ) = (A,B,C) με την προβολή (x,y) = (a,b).

25 Θεώρημα: τα όμοια τρίγωνα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες
Όμοια Τρίγωνα Δυο τρίγωνα είναι όμοια όταν οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες Θεώρημα: τα όμοια τρίγωνα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες D = d , E = e , F = f E e F f D d

26 Λύση σκηνογραφικής προβολής (1/2)
Χρησιμοποιώντας όμοια τρίγωνα μπορούμε να βρούμε τη σχέση μεταξύ 3-Δ συντεταγμένων χώρου και 2-Δ συντεταγμένων εικόνας Ξανασχεδιάζουμε τη γεωμετρική εικόνα φανερώνοντας δυο ζεύγη από όμοια τρίγωνα

27 Λύση σκηνογραφικής προβολής (2/2)
Από το θεώρημα των ομοίων τριγώνων συμπεραίνουμε: και ή (a,b) = f . (A,B) = (fA/C, fB/C) C

28 Εξίσωση Σκηνογραφικής Προβολής
Έτσι, έχουμε την ακόλουθη σχέση: (x,y) = f . (X,Y) Z όπου f = εστιακή απόσταση Η αναλογία f είναι ο συντελεστής μεγέθυνσης, ο οποίος μεταβάλλεται Ζ με την απόσταση Ζ από το κέντρο του φακού μέχρι το πεδίο του αντικειμένου

29 Παράδειγμα 1 Υπάρχει ένας άνθρωπος σε απόσταση 10 μέτρων μπροστά μας.
Έχει 2 μέτρα ύψος. Η εστιακή απόσταση του ματιού μας είναι 17mm. Ερώτηση: ποιο είναι το ύψος Η της εικόνας που σχηματίζεται στη ρέτινα; Από τα όμοια τρίγωνα: 2 m = H 10 m 17mm H = 3.4 mm

30 Παράδειγμα 2 (1/3) Γιατί οι ευθείες (ή τμήματα ευθειών) σε 3-Δ χώρο προβάλλονται σε ευθεία γραμμή στη 2-Δ εικόνα;

31 Παράδειγμα 2 (2/3) Παρατηρούμε ότι όλες οι γραμμές που περνούν από το κέντρο του φακού (σημείο αναφοράς) και την 3-Δ ευθεία πρέπει να είναι στο ίδιο επίπεδο (ένα σημείο και μια ευθεία προσδιορίζουν ένα επίπεδο). Η διασταύρωση αυτού του επιπέδου με το επίπεδο της εικόνας δίνει την προέκταση της ευθείας. Η διασταύρωση δυο οποιονδήποτε μη παράλληλων επιπέδων είναι μια ευθεία.

32 Παράδειγμα 2 (3/3) Έτσι, η προβολή μιας 3-Δ ευθείας είναι σε μια 2-Δ ευθεία.

33 Αισθητήρες CCD (Charged Couple Devices)
Ψηφιοποίηση Εικόνας Τι είναι; Η μετατροπή μιας δυσδιάστατης φυσικής εικόνας (στην ουσία μιας κατανομής φωτεινοτήτων) σε ηλεκτρικό σήμα και έπειτα σε ψηφιακή πληροφορία Αισθητήρες CCD (Charged Couple Devices) Μετατρέπουν την φωτεινότητα σε ηλεκτρικό φορτίο Οι πλείστες κάμερες αυτούς χρησιμοποιούν

34 Αισθητήρες Charged Couple Device (1/3)
Τα στοιχεία του CCD πίνακα φορτίζονται ανάλογα με την φωτεινότητα η οποία προσπίπτει επάνω τους Κάθε παλμός του Vertical Scan Generator αναγκάζει τα φορτία από κάθε γραμμή του πίνακα να μετακινηθούν σε ένα Shift Register Ο Shift Register μεταφέρει τα φορτία σε ένα ενισχυτή, γραμμή προς γραμμή. Για το παραπάνω παράδειγμα, ο Shift Register θα μεταφέρει στον ενισχυτή τα φορτία της πρώτης γραμμής, έπειτα της δεύτερης, της τρίτης κ.ο.κ

35 Αισθητήρες Charged Couple Devices (2/3)
Κάθε CCD συσκευή διαθέτει τρεις «πηγές δυναμικού» (potential wells). Η μεσαία παράγει φορτίο (ροή ηλεκτρονίων) ανάλογα με το πλήθος των φωτονίων (δηλαδή την ένταση του φωτός) τα οποία προσπίπτουν επάνω της Έπειτα το φορτίο της μεσαίας πηγής μεταπηδά στις άλλες δύο. Τέλος καταλήγει στον Shift Register από όπου θα οδηγηθεί στον ενισχυτή

36 Αισθητήρες Charged Couple Devices (3/3)
Με τον ίδιο τρόπο, το φορτίο του Shift Register μεταβιβάζεται στον ενισχυτή, ο οποίος παράγει ηλεκτρικό ρεύμα ανάλογο με την τάση του αριθμού ηλεκτρονίων που λαμβάνει: Η έξοδος του ενισχυτή είναι μια γραμμή – προς – γραμμή αναλογική κυματομορφή η οποία συνήθως έχει προκαθορισμένη μορφή (NTSC: 525 γραμμές/πλαίσιο , 30 πλαίσια/sec, RS-170). Τα τηλεοπτικά σήματα συνήθως ακολουθούν την NTSC Οι ψηφιακές εικόνες που δημιουργούνται από εργαστηριακές κάμερες και κάμερες ασφαλείας είναι συνήθως της μορφής RS-170 Για να μπορεί να τύχει επεξεργασίας από υπολογιστή, η αναλογική εικόνα πρέπει να μετατραπεί σε ψηφιακό σήμα από μια συσκευή ADC – Analog to Digital Converter

37 Μετατροπέας Αναλογικού σε Ψηφιακού (Analog to Digital Converter – ADC)
Διεξάγει Δειγματοληψία και Κβαντοποίηση για να μετατρέψει μια συνεχής κυματομορφή τάσης σε διακριτές τιμές  σημαντική η Συχνότητα Δειγματοληψίας και το Διάστημα Κβαντοποίησης Οι κάρτες ψηφιοποίησης βίντεο (video digitizer board) συνήθως μπορούν να ενωθούν με την βιντεοκάμερα Οι νέες «εντελώς ψηφιακές» κάμερες περιλαμβάνουν ενσωματωμένο ADC

38 Εικόνα Από Δειγματοληψία (1/4)
Τα αποτελέσματα τα οποία προκύπτουν από τη δειγματοληψία αποθηκεύονται ως πίνακες από τιμές. Κάθε τιμή αντιπροσωπεύει τη φωτεινότητα της εικόνας στο συγκεκριμένο σημείο. Δίπλα απεικονίζεται ένας 10x10 πίνακας εικόνας Κάθε ένα από τα κελιά του πίνακα ονομάζεται εικονοστοιχείο – (“pixel” από τις λέξεις «picture element») Στην ΨΕΕ συνήθως χρησιμοποιούμε τετραγωνικούς πίνακες NxN με διαστάσεις δύναμη του 2 (N=2M) - είναι πιο εύκολοι στον χειρισμό και μερικοί αλγόριθμοι είναι αποδοτικότεροι για τέτοιες διαστάσεις M=7 27 x 27 = 128 x 128 σύνολο: 214 =16384 pixels M= x 210 = 1024 x 1024 σύνολο: 220 = pixels

39 Εικόνα Από Δειγματοληψία (2/4)
Η δειγματοληψία πρέπει να είναι επαρκώς πυκνή αλλιώς: μεγάλη απώλεια πληροφορίας  μεγάλη αλλοίωση της εικόνας Παρακάτω απεικονίζονται οι προκύπτουσες ψηφιακές εικόνες με δειγματοληψία σε τρεις διαφορετικές συχνότητες – 600, 200 και 75 DPI) 600 DPI 200 DPI 75 DPI Ποιά είναι κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας;  Θεώρημα Δειγματοληψίας του Nyquist (Nyquist Sampling Theorem) Παρόμοια, το διάστημα κβαντοποίησης πρέπει να είναι αρκετά μικρό

40 Εικόνα Από Δειγματοληψία (3/4)
Κβαντοποίηση: η φωτεινότητα κάθε pixel παίρνει μια τιμή από ένα πεπερασμένο σύνολο K αριθμών (συνήθως ακεραίων, από 0 έως K-1) Τυπικά, το πλήθος επιπέδων φωτεινότητας είναι δύναμη του 2: K=2Β Άρα με B bits μπορούμε να κρατάμε την φωτεινότητά σε κάθε pixel Στις εικόνες τόνων γκρίζου συνήθως B=8, άρα έχουμε 256 πιθανά επίπεδα φωτεινότητας (τιμές 0 έως 255) με 8 bit ανά pixel Όπως και με την συχνότητα δειγματοληψίας, οι τιμές φωτεινότητας της εικόνας θα πρέπει να κβαντοποιηθούν επαρκώς πυκνά (μικρό διάστημα κβαντοποίησης) ώστε να μην χαθεί σημαντική πληροφορία φωτεινότητας 8-Bit Κβαντοποίηση 5-Bit Κβαντοποίηση 3-Bit Κβαντοποίηση

41 Εικόνα Από Δειγματοληψία (4/4)
Αναπαράσταση εικόνας ως σύνολο επιπέδων bits =

42 Η Επανάσταση Της Ψηφιακής Εικόνας (1/4)
Χώρος που απαιτείται για αποθήκευση ψηφιακής εικόνας: Ανάλυση εικόνας H x W pixels (Height, Width) B bits για αποθήκευση της φωτεινότητας σε κάθε pixel  Χώρος = H x W x B (σε bits) Για εικόνες τόνων γκρίζου, συνήθως: Οι διαστάσεις είναι H = W = 2M, Μ = 9 (512 x 512 pixels) B = 8 (256 επίπεδα φωτεινότητας γκρίζου)  Χώρος = B x 2M x 2M = 8 x 218 = bits = 0.4 Mbytes Για βίντεο, συνήθως έχουμε 30 πλαίσια (καρέ εικόνας) να μεταδίδονται ανά δευτερόλεπτο. Χρησιμοποιώντας μια τεχνική για μείωση των αναγκών σε bandwidth (Πεπλεγμένη Σάρωση 2:1 - Interlaced Scanning 2:1), μια κινούμενη γκρι εικόνα με τις παραπάνω διαστάσεις και επίπεδα φωτεινότητας απαιτεί περίπου 7.5 Mbytes για 1 δευτερόλεπτο βίντεο Για μια έγχρωμη ταινία 2 ωρών χρειάζονται περίπου Mbytes. Η ποσότητα αυτή είναι υπερβολική. Για αυτό χρειάζονται τεχνικές μείωσης των αναγκών σε αποθηκευτικό χώρο και bandwidth  Συμπίεση (θα τη δούμε σε άλλα κεφάλαια)

43 Η Επανάσταση Της Ψηφιακής Εικόνας (2/4)
Τα συστήματα ΨΕΕ κατά κανόνα χρησιμοποιούν Καρτεσιανή (ορθογώνια) δειγματοληψία. Δηλαδή οι εικόνες αναπαριστούνται ως πίνακες με σειρές και στήλες. Τα pixels δεικτοδοτούνται με βάση τον αριθμό στήλης και γραμμής όπου βρίσκονται  Γιατί; Για απλοποίηση των αλγορίθμων Εντούτοις, η «δειγματοληψία» στον αμφιβληστροειδή χιτώνα του ανθρώπινου ματιού προσεγγίζεται περισσότερο από εξαγωνική δειγματοληψία, όπου τα pixels είναι πιο συμπαγή μεταξύ τους Εξαγωνικές εικόνες μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν ως πίνακες με σειρές και στήλες, αλλά οι άξονες δεν είναι ορθογώνιοι Οι εξαγωνικές εικόνες έχουν πλεονεκτήματα: Δεν υπάρχει αμφιλεγόμενη διασύνδεση (θα το δούμε στην επόμενη διαφάνεια) Είναι ευκολότερη η υλοποίηση κυκλικά συμμετρικών τελεστών

44 Η Επανάσταση Της Ψηφιακής Εικόνας (3/4)
Παράδοξα Σύνδεσης (Connectivity Paradoxes) Σύνδεση: αφορά τον τρόπο με τον οποίο αποφασίζουμε κατά πόσον ένα pixel είναι ενωμένο με κάποιο άλλο. Τα Παράδοξα Σύνδεσης συχνά συγχύζουν αλγόριθμους οι οποίοι χρησιμοποιούν περιγράμματα. Πως αποφασίζουμε αν ένα pixel είναι ενωμένο με κάποια άλλα; Δύο τρόποι: 4 – Connectivity: το pixel συνδέεται μόνο με τα 4 γειτονικά του pixel πάνω, κάτω, αριστερά και δεξιά. 8 – Connectivity: το pixel συνδέεται με τα 8 γειτονικά pixel που το περιτριγυρίζουν.

45 Η Επανάσταση Της Ψηφιακής Εικόνας (4/4)
Προβλήματα που Δημιουργούνται: Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να διεξάγουμε κάποια λειτουργία στον διπλανό κύκλο βασιζόμενοι στο περίγραμμά του.  Χρησιμοποιώντας 4 – Connectivity: Η λειτουργία θα θεωρήσει τον κύκλο ως 4 ασύνδετα τμήματα  Χρησιμοποιώντας 8 – Connectivity: Τα μπλε pixels θεωρούνται συνδεδεμένα, όμως το ίδιο και τα άσπρα: επικάλυψη μεταξύ συνδεδεμένων τμημάτων ! Πιθανή λύση: 4-Connectivity στο φόντο, 8-Connectivity στον κύκλο Η εξαγωνική δειγματοληψία δεν υποφέρει από τέτοιου είδους ασάφειες: 4-Connectivity 8-Connectivity

46 Χρώμα Μια έγχρωμη εικόνα αναπαρίσταται ως διάνυσμα τιμών. Σε κάθε pixel έχουμε τρεις τιμές φωτεινότητας: Κόκκινο, Πράσινο και Μπλε. Αυτό συνήθως εκφράζεται ως τρεις διαφορετικές εικόνες: μια για το Κόκκινο, μια για το Πράσινο και μια για το Μπλε χρώμα. Η αναπαράσταση αυτή ονομάζεται RGB. Υπάρχουν και άλλες, όπως η HSL και η CMYK. = + Έγχρωμη Εικόνα  Μπλε Εικόνα  Πράσινη Εικόνα  Κόκκινη Εικόνα (Στις παραπάνω τρεις εικόνες το λευκό χρώμα είναι ψηλή φωτεινότητα, και το μαύρο χαμηλή) Συνήθως επεξεργαζόμαστε την εικόνα συνολικής φωτεινότητας (intensity image) I = R + G + B. Οι περισσότεροι αλγόριθμοι οι οποίοι χρησιμοποιούν χρώμα, επεξεργάζονται τις RGB εικόνες ξεχωριστά ως εικόνες τόνων γκρίζου και έπειτα τις προσθέτουν για να πάρουν το τελικό αποτέλεσμα.

47 Κάρτες Συλλογής Πλαισίων (Frame Grab Boards)
Υπάρχουν κάρτες συλλογής πλαισίων για μικρούς και μεγάλους υπολογιστές και για διαφορετικά περιβάλλοντα εργασίας Κάρτες με FIFO Buffers – συνήθως 1 μέχρι 8 Kb μνήμη Με ενσωματωμένη μνήμη – αρκετά Megabytes (Matrox Meteor II: 4MB SGRAM) Τέτοιες κάρτες συνήθως υποστηρίζουν: Είσοδο βίντεο RS-170 Συνεχής ψηφιοποίηση εικόνας στα 30 πλαίσια ανά δευτερόλεπτο Επαναδιαμόρφωση ψηφιακού βίντεο για προβολή σε οθόνη Αποθήκευση εικόνων σε ενσωματωμένη στην συσκευή μνήμη (on-board memory) Διεξαγωγή ορισμένων βασικών λειτουργιών επεξεργασίας εικόνας Μερικές εταιρείες: Matrox (http://www.matrox.com/) Imaging Technology, Inc. Datacube Data Translation

48 Αναπαράσταση Και Αποθήκευση Ψηφιακής Εικόνας (1/4)
Όπως είπαμε, μια εικόνα αποθηκεύεται συνήθως ως ένας πίνακας από ακέραιους αριθμούς Χρήση πινάκων για αναπαράσταση ψηφιακής εικόνας Έστω τετραγωνικός πίνακας εικόνας I = [ I(i, j); 0 ≤ i, j ≤ N-1 ] Ο δείκτης i αντιπροσωπεύει αριθμό γραμμής στον πίνακα Ο δείκτης j αντιπροσωπεύει αριθμό στήλης στον πίνακα Αυτό είναι σε αντίθεση με την συνήθη σημειογραφία των μαθηματικών, όπου χρησιμοποιούμε συνήθως την σύμβαση I(x,y), με το x να υποδηλώνει τον αριθμό στήλης και το y να υποδηλώνει τον αριθμό γραμμής. Το I(i,j) αντιπροσωπεύει την τιμή του pixel στην γραμμή i, στήλη j

49 Αναπαράσταση Και Αποθήκευση Ψηφιακής Εικόνας (2/4)
I = Μορφή Πίνακα Εικόνας Διαστάσεων NxN Πίνακας Εικόνας Διαστάσεων NxN με Τιμές Pixel

50 Αναπαράσταση Και Αποθήκευση Ψηφιακής Εικόνας (3/4)
Ο αριθμός των Bits ανά pixel ο οποίος χρησιμοποιείται καθορίζει το πλήθος χρωμάτων (ή φωτεινότητας) τα οποία μπορεί να πάρει. 4 bits: εικόνες 16 χρωμάτων 8 bits: εικόνες 256 χρωμάτων ή εικόνες τόνων γκρίζου 16, 24, 32 bits: εικόνες πραγματικού χρώματος κλπ 2 bits ανά pixel: δυαδικές εικόνες (binary images) Περιέχουν μόνο δύο χρώματα (συνήθως άσπρο και μαύρο) Θα μας απασχολήσουν περισσότερο στο κεφάλαιο 2.

51 Αναπαράσταση Και Αποθήκευση Ψηφιακής Εικόνας (4/4)
Μορφή πίνακα δυαδικής εικόνας (δεξιά) Εναλλακτικός τρόπος απεικόνισης πίνακα δυαδικής εικόνας (αριστερά)

52 Παρατηρήσεις Οι εικόνες φωτεινότητας τόνων γκρίζου (grey-level images) τυγχάνουν χειρισμού ως πίνακες ακεραίων στους οποίους διεξάγονται αριθμητικές λειτουργίες Οι δυαδικές εικόνες τυγχάνουν χειρισμού (συνήθως) ως λογικοί πίνακες πάνω στους οποίους εφαρμόζονται λογικοί τελεστές και λειτουργίες Στις σημειώσεις του μαθήματος ακολουθείται η σύμβαση: Λογική τιμή 1 = Μαύρο Λογική τιμή 0 = Άσπρο Στο MATLAB και στις πλείστες εφαρμογές ΨΕΕ χρησιμοποιείται το ανάποδο: 1 = Άσπρο, 0 = Μαύρο. Αυτό μπορεί να αλλάξει με την κατάλληλη εντολή

53 Τέλος Πρώτου Κεφαλαίου
Εισαγωγή Τύποι Εικόνων Γεωμετρία Απεικόνισης Όργανα Απεικόνισης Απόκτηση Εικόνας Αναπαράσταση Εικόνας

54 ΕΠΛ 445 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας
Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή

55 Δυαδική Επεξεργασία Εικόνας
Κεφάλαιο 2 Δυαδική Επεξεργασία Εικόνας Δημιουργία Δυαδικών Εικόνων Λογικές Λειτουργίες Χρωματισμός Μερών Δυαδική Μορφολογία Συμπίεση Δυαδικής Εικόνας

56 Δυαδικές Εικόνες (1/4) Μια ψηφιακή εικόνα είναι ένας πίνακας από αριθμούς: δείγματα από τη φωτεινότητα της εικόνας Κάθε επίπεδο φωτεινότητας κβαντοποιείται: του δίνεται ένας αριθμός από κάποιο πεπερασμένο σύνολο αριθμών (γενικά ακέραιοι αριθμοί με δείκτες από 0 μέχρι K-1)

57 Δυαδικές Εικόνες (2/4) Πίνακας εικόνας 10 x 10 γκρι-επιπέδων φωτεινότητας

58 Δυαδικές Εικόνες (3/4) Υπάρχουν K = 2^Β πιθανά επίπεδα φωτεινότητας
Κάθε στίγμα αντιπροσωπεύεται από B bits Οι δυαδικές εικόνες έχουν B = 1 Μια 10 x 10 δυαδική εικόνα

59 Δυαδικές Εικόνες (4/4) Πως εμφανίζονται οι δυαδικές εικόνες;
Δυαδικό = δύο-τιμές ‘1’ = μαύρο ‘0’ = άσπρο Οι λογικές τιμές 0 ή 1 συνήθως δείχνουν την απουσία ή την παρουσία σε κάποιο χαρακτηριστικό της εικόνας σε μια εικόνα γκρι-επιπέδων φωτεινότητας: Σημεία από υψηλή ή χαμηλή ένταση Σημεία όπου ένα αντικείμενο είναι παρόν ή απόν Αφηρημένα χαρακτηριστικά όπως ομαλότητα σε αντίθεση με μη ομαλότητα

60 Δημιουργία Δυαδικών Εικόνων (1/2)
Είσοδος με Βάση Πινακίδα Οι δυαδικές εικόνες μπορούν να παραχθούν από ένα απλό όργανο αίσθησης με δυαδική έξοδο Απλούστερο παράδειγμα: πινακίδα, resistive pad με πέννα φωτός Όλα τα στίγματα αρχικά παίρνουν την τιμή ‘0’ I = [I(i, j)], I(i, j) = '0' για όλα (i, j) = (γραμμές,στήλες)

61 Δημιουργία Δυαδικών Εικόνων (2/2)
Όταν πίεση η φως πέφτει πάνω στο (i0, j0), η εικόνα παίρνει την τιμή '1': I(i0, j0) = ‘1’ Αυτό συνεχίζεται μέχρι ο χρήστης τελειώσει το σχέδιο Χρήσιμο για σχέδια μηχανικών, καταχώρηση χειρόγραφων χαρακτήρων, κλπ.

62 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (1/24)
Συνήθως μια δυαδική εικόνα δημιουργείται από μια γκρι-επιπέδων εικόνα Πλεονεκτήματα B-fold μείωση στον χώρο αποθήκευσης Απλή αφαιρετικότητα των πληροφοριών Γρήγορη επεξεργασία – λογικές λειτουργίες Μπορεί να συμπιεστεί περισσότερο

63 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (2/24)
Απλή Κατωφλίωση Η απλούστερη λειτουργία στην επεξεργασία εικόνας Μια ακραία μορφή κβαντοποίησης γκρι-επιπέδων φωτεινότητας Ορίζουμε ένα ακέραιο κατώφλι T (στην περιοχή της γκρι-κλίμακας επιπέδων φωτεινότητας) Συγκρίνουμε την ένταση κάθε στίγματος με το T

64 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (3/24)
Ας υποθέσουμε ότι μια γκρι-επιπέδων εικόνα I έχει K γκρι-επίπεδα φωτεινότητας: 0, 1, 2, ...., K-1 Επιλέγουμε το κατώφλι T T ανήκει { 0, 1, 2, ...., K-1} Συγκρίνουμε κάθε επίπεδο φωτεινότητας στην γκρι-επιπέδων εικόνα I με το T

65 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (4/24)
Ορίζουμε μια νέα δυαδική εικόνα J ως ακολούθως J(i, j) = '0' εάν I(i, j) ≥ T J(i, j) = '1' εάν I(i, j) < T Μια νέα δυαδική εικόνα J δημιουργείται από την γκρι-επιπέδων εικόνα I

66 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (5/24)
Επιλογή Κατωφλίου Η ποιότητα της δυαδικής εικόνας J που παίρνουμε από την κατωφλίωση της εικόνας I, εξαρτάτε πάρα πολύ από το κατώφλι T Πραγματικά είναι πολύ χρήσιμο να παρατηρήσουμε τα αποτελέσματα κατωφλίωσης μιας εικόνας σε πολλά διαφορετικά επίπεδα σε σειρά Διαφορετικά κατώφλια μπορούν να δημιουργήσουν διαφορετικές σημαντικές εικόνες αφαιρετικότητας

67 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (6/24)
Μερικές εικόνες δεν δίνουν ενδιαφέροντα αποτέλεσματα όταν κατωφλιώνονται με οποιοδήποτε Τ Επομένως: Πως αποφασίζει κάποιος αν είναι δυνατή η κατωφλίωση; Πως αποφασίζει κάποιος για το κατώφλι Τ; Παράδειγμα κατωφλίωσης στο MATLAB I = imread(‘exampleim.tif’); b = im2bw(I,map,0.4); figure1,imshow(I,map); figure2, imshow(b);

68 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (7/24)
Ιστόγραμμα Γκρι-Επιπέδων Εικόνας Το Ιστόγραμμα HI της εικόνας Ι είναι μια γραφική παράσταση κάθε πεδίου φωτεινότητας στην εικόνα Ι Το HI είναι μια μονοδιάστατη συνάρτηση με πεδίο ορισμού 0, ... , K-1 HI(k) = n αν I περιέχει ακριβώς n φορές το επίπεδο φωτεινότητας k, για κάθε k = 0, ... K-1

69 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (8/24)
Εμφάνιση Ιστογράμματος Η εμφάνιση του ιστογράμματος φανερώνει πολλά στοιχεία για την εικόνα

70 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (9/24)
Παράδειγμα ιστογράμματος σκοτεινής εικόνας

71 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (10/24)
Αυτά μπορεί να είναι τα ιστογράμματα από μια υποφωτισμένη - σκοτεινή και μια υπερφωτισμένη - φωτεινή εικόνα, αντίστοιχα

72 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (11/24)
Αυτό το ιστόγραμμα δείχνει καλύτερη χρήση της περιοχής της γκρι-κλίμακας πεδίων φωτεινότητας

73 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (12/24)
Παράδειγμα ιστογράμματος καλής κατανομής

74 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (13/24)
Ιστόγραμμα Δύο Κατανομών Η κατωφλίωση συνήθως δουλεύει καλύτερα όταν υπάρχουν σκούρα αντικείμενα σε φωτεινό φόντο Ή όταν υπάρχουν φωτεινά αντικείμενα σε ένα σκοτεινό φόντο Οι εικόνες αυτού του τύπου τείνουν να έχουν ιστογράμματα με πολλές διακριτές κορυφές Αν οι κορυφές είναι καλά χωρισμένες, η επιλογή του κατωφλίου είναι εύκολη

75 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (14/24)

76 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (15/24)
Παράδειγμα ιστογράμματος κακώς διαχωρισμένου

77 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (16/24)
Το κατώφλι T καθορίζεται κάπου μεταξύ των κορυφών. Μπορεί να είναι μια διαδικασία προσπάθειας και λάθους

78 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (17/24)
Παράδειγμα ιστογράμματος καλά διαχωρισμένου

79 Κατωφλίωση Γκρι-Επιπέδων Φωτεινότητας (18/24)
Επιλογή Κατωφλίου από το Ιστόγραμμα Τοποθετώντας το κατώφλι T μεταξύ κορυφών μπορεί να οδηγήσει σε επιθυμητά αποτελέσματα Ακριβώς που μεταξύ μπορεί να είναι δύσκολο να βρεθεί

80 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (19/24)
Ένα ιστόγραμμα εικόνας μπορεί να περιέχει πολλές κορυφές. Τοποθετώντας το κατώφλι σε διαφορετικά σημεία δημιουργεί πολύ διαφορετικά αποτελέσματα.

81 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (20/24)
Το ιστόγραμμα μπορεί να είναι ‘επίπεδο’ κάνοντας την επιλογή κατωφλίου δύσκολη

82 Κατωφλίωση Γκρι-Επιπέδων Φωτεινότητας (21/24)
Συζήτηση για τους τύπους Ιστογράμματος Θα επιστρέψουμε στο ιστόγραμμα μετά, μέσα στα πλαίσια των ποσοτικών ιδιοτήτων των γκρι-πεδίων φωτεινότητας. Τα ιστογράμματα που περιέχουν δύο κατανομές συχνά δείχνουν αντικείμενα σε φόντο με σημαντική διαφορά στην μέση φωτεινότητα. Τα ιστογράμματα που περιέχουν δύο περιοχές κατανομών κατωφλιώνονται πολύ εύκολα.

83 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (22/24)
Το αποτέλεσμα της κατωφλίωσης ενός ιστογράμματος που περιέχει δύο κατανομές είναι ιδανικά, μια απλή δυαδική εικόνα που δείχνει τον διαχωρισμό του αντικειμένου με το φόντο Παράδειγμα εικόνες από: Εκτυπωτή Κύτταρα αίματος σε διάλυμα Μηχανικά εργαλεία σε μια γραμμή συναρμολόγησης

84 Κατωφλίωση Γκρι-Επιπέδων Φωτεινότητας (23/24)
Τα ιστογράμματα με πολλές περιοχές διαφορετικών κατανομών δημιουργούνται συχνά όταν η εικόνα περιέχει διαφορετικά αντικείμενα από διαφορετικούς μέσους όρους φωτεινότητας σε ένα ομογενές φόντο. Τα επίπεδα ιστογράμματα συνήθως δηλώνουν πιο πολύπλοκες εικόνες, περιέχοντας λεπτομέρειες, με μη-ομοιογενές φόντο, κ.λ.π

85 Κατωφλίωση Γκρι-επιπέδων Φωτεινότητας (24/24)
Η κατωφλίωση σπάνια δίνει καλά αποτελέσματα. Συνήθως, μερικοί τύποι διόρθωσης μέρους της εικόνας πρέπει να χρησιμοποιηθούν Θα μελετήσουμε τεχνικές διόρθωσης μέρους της εικόνας αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο

86 Λογικές Λειτουργίες Σε Δυαδικές Εικόνες
Για τις δυαδικές εικόνες που θα χρησιμοποιήσουμε δεν χρειάζεται να δείξουμε την ψηφιοποίηση τους σε στίγματα.

87 Βασικές Λογικές Λειτουργίες (1/5)
Λογικό Συμπλήρωμα: NOT(X1) = complement of X1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ

88 Βασικές Λογικές Λειτουργίες (2/5)
Λογικό ΚΑΙ: AND (X1, X2) = X1 Λ X2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ

89 Βασικές Λογικές Λειτουργίες (3/5)
Λογικό Ή: OR (X1, X2) = X1 V X2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ

90 Βασικές Λογικές Λειτουργίες (4/5)
Δυαδική Πλειοψηφία: (περιττός # μεταβλητών μόνο) ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ

91 Βασικές Λογικές Λειτουργίες (5/5)
Ιδιότητες Άλγεβρας Boole: NOT [NOT(X)] = X X1ΛX2ΛX3 = (X1ΛX2)ΛX3 = X1Λ(X2ΛX3) X1VX2VX3 = (X1VX2)VX3 = X1V(X2VX3) X1ΛX2 = X2ΛX1 X1VX2 = X2VX1 (X1ΛX2)VX3 = (X1VX3)Λ(X2VX3) (X1VX2)ΛX3 = (X1ΛX3)V(X2ΛX3) NOT(X1ΛX2) = NOT(X1)VNOT(X2) NOT(X1VX2) = NOT(X1)ΛNOT(X2)

92 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (1/9)
Το συμπλήρωμα μιας εικόνας: J1 = NOT( I1), if J1(i, j) = NOT[ I1(i, j) ] for all (i, j) Αυτό αντιστρέφει την αντίθεση - δημιουργεί ένα δυαδικό αρνητικό.

93 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (2/9)
Η τομή δυο εικόνων: J2 = AND(I1, I2) = I1 Λ I2, if J2(i, j) = AND[ I1(i, j), I2(i, j) ] for all (i, j) Δείχνει την επικάλυψη των ΜΑΥΡΩΝ περιοχών στις εικόνες I1 και I2.

94 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (3/9)
Η ένωση δυο εικόνων: J3 = OR(I1, I2) = I1 V I2, if J3(i, j) = OR[ I1(i, j), I2(i, j) ] for all (i, j) Δείχνει την επικάλυψη των ΛΕΥΚΩΝ περιοχών στις εικόνες I1 και I2.

95 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (4/9)
Παράδειγμα: Μια γραμμή-συναρμολόγησης ελεγχόμενη από σύστημα εικόνας. Παρόμοιο με πολλά συστήματα της βιομηχανίας

96 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (5/9)
Στόχος: Αριθμητική σύγκριση της αποθηκευμένης εικόνας Imodel και της εικόνας λήψης I. Παρατηρούμε ότι το αντικείμενο στην εικόνα I έχει μετακινηθεί πολύ λίγο.

97 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (6/9)
Λογικό ΚΑΙ: Όπως φαίνεται και στο πιο κάτω σχήμα το λογικό ΚΑΙ θα μας δώσει την επικάλυψη:

98 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (7/9)
Μια μέτρηση της μετακίνησης δίνεται από το exclusive or (XOR). XOR(I,Imodel)= OR{AND[Imodel,NOT(I)],AND[NOT(Imodel), I ]}

99 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (8/9)
XOR(I, Imodel) Το XOR δείχνει που είναι το λάθος της μετακίνησης.

100 Λογικές Λειτουργίες στις Εικόνες (9/9)
Για να αποφασίσουμε κατά πόσο υπάρχει πρόβλημα, ή ελάττωμα, έχουμε το λόγο ή την ποσοστιαία αναλογία: PERCENT = [#μαύρων στιγμάτων XOR(I, Imodel)] / [#άσπρων στιγμάτων Imodel] Αυτό το ποσοστό μπορεί να συγκριθεί με μια προ-υπολογισμένη ανοχή, έστω P, στο σφάλμα της εκατοστιαίας αναλογίας. Αν Percent > P, τότε το εξάρτημα μπορεί είτε να είναι ελαττωματικό, είτε λανθασμένα τοποθετημένο.

101 Blob Coloring Χρωματισμός Μερών
Είναι μια απλή τεχνική για ταξινόμηση κάποιας περιοχής της εικόνας, καθώς επίσης και διόρθωσης της. Κίνητρο: Η κατωφλίωση εικόνων γκρι δημιουργεί συνήθως μια ατελή δυαδική εικόνα, όπου υπάρχουν: Άσχετα μέρη ή οπές λόγο θορύβου. Άσχετα μέρη από κατωφλίωση αντικειμένων μικρού ενδιαφέροντος. Μη ομαλή ανάκλαση επιφάνειας αντικειμένου.

102 Χρωματισμός Μερών Συνήθως είναι επιθυμητό να εξάγουμε ένα μικρό
αριθμό αντικειμένων ή ένα μόνο αντικείμενο μετά την κατωφλίωση.

103 Χρωματισμός Μερών (1/2) Αλγόριθμος: Έστω δυαδική εικόνα Ι.
Ορίζουμε σαν μια έγχρωμη περιοχή, τον πίνακα R: R(i, j) = αριθμός περιοχής από στίγματα I(i, j) Αρχικά θέτουμε R = 0 και k = 1, όπου k = μετρητής αριθμού περιοχής Στη συνέχεια θα σαρώσουμε την εικόνα μας από αριστερά προς δεξιά και από πάνω προς τα κάτω, και θα υπολογίσουμε τα εξής:

104 Ενημέρωση ολων των περιοχών που είναι ισοδύναμες
Χρωματισμός Μερών (2/2) if I(i, j) = 1 and I(i, j-1) = 0 and I(i-1, j) = 0 then set R(i, j) = k and k = k + 1; if I(i, j) = 1 and I(i, j-1) = 0 and I(i-1, j) = 1 then set R(i, j) = R(i-1, j); if I(i, j) = 1 and I(i, j-1) = 1 and I(i-1, j) = 0 then set R(i, j) = R(i, j-1); if I(i, j) = 1 and I(i, j-1) = 1 and I(i-1, j) = 1 if R(i, j-1) ≠ R(i-1, j) then set R(i, j-1), R(i-1, j) as equals Ενημέρωση ολων των περιοχών που είναι ισοδύναμες

105 Χρωματισμός Μερών Παράδειγμα
Από το παράδειγμα αυτό βλέπουμε ότι το χρώμα του μεγαλύτερου μέρους είναι το 2.

106 Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών (1/5)
Θέτουμε m = "χρώμα" της μεγαλύτερης περιοχής Ενώ σαρώνουμε την εικόνα από αριστερά προς δεξιά και από πάνω προς τα κάτω υπολογίζουμε if I( i, j) = 1 and R( i, j) ≠ m then set I( i, j) = 0;

107 Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών (2/5)
Μετά από την αφαίρεση των ασήμαντων περιοχών! Η διαδικασία δεν έχει τελειώσει ακόμα! Για να πάρουμε ένα συνεκτικό, συνδεδεμένο αντικείμενο επαναλαμβάνουμε την διαδικασία στα ΛΕΥΚΑ στίγματα.

108 Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών (3/5)
Υπολογίζουμε το συμπλήρωμα του τελευταίου αποτελέσματος συμπλήρωμα

109 Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών (4/5)
Τότε επαναλαμβάνουμε όλα τα ίδια βήματα: ‘Χρώμα’ του μεγαλύτερου μέρους: 1

110 Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών (5/5)
Συμπλήρωμα Απλό και αποτελεσματικό, αλλά δεν τα διορθώνει όλα!

111 Δυαδική Μορφολογία (1/2)
Η πιο δυνατή τάξη από δυαδικές λειτουργίες εικόνων ονομάζεται μαθηματική μορφολογία Οι μορφολογικές λειτουργίες επηρεάζουν το σχήμα των αντικειμένων και περιοχών στις δυαδικές εικόνες. Όλη η επεξεργασία γίνεται σε τοπική βάση, δηλαδή περιοχές η μορφές αντικειμένων επηρεάζονται με τοπικό τρόπο.

112 Δυαδική Μορφολογία (2/2)
Δυαδική Μορφολογία (2/2) Μορφολογικές λειτουργίες: Μεγέθυνση - Διαστολή αντικειμένων (Dilate) Σμίκρυνση – Συστολή αντικειμένων (Erode) Ομαλοποίηση ορίων αντικειμένων και περιορισμός μικρών περιοχών η οπών Γέμισμα κενών και περιορισμός ‘χερσονήσων’ Όλα κατορθώνονται χρησιμοποιώντας τοπικές λογικές λειτουργίες!

113 Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα Structuring Elements or Windows
Ένα δομικό στοιχείο είναι μια γεωμετρική συσχέτιση μεταξύ στιγμάτων. Μερικά παραδείγματα δομικών στοιχείων:

114 Δυαδική Μορφολογία Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα
Δυαδική Μορφολογία Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα Οι μορφολογικές λειτουργίες ορίζονται από την μετακίνηση ενός παραθύρου πάνω στη συγκεκριμένη εικόνα, με τέτοιο τρόπο ώστε το παράθυρο να κεντράρεται πάνω σε κάθε ένα από τα στίγματα της Συνήθως αυτό γίνεται σειρά προς σειρά, στήλη προς στήλη Το δομικό στοιχείο συχνά αναφέρεται ως κινητό παράθυρο.

115 Δυαδική Μορφολογία Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα
Δυαδική Μορφολογία Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα Όταν το δομικό στοιχείο κεντραριστεί πάνω σε μια περιοχή της εικόνας, μια λογική λειτουργία εκτελείται στα στίγματα που καλύπτει το δομικό στοιχείο, οδηγώντας σε μια δυαδική έξοδο πάνω στο κεντρικό στίγμα που καλύπτει το παράθυρο Συνήθως τα δομικά στοιχεία ορίζονται να έχουν κυκλικά σχήματα, αφού είναι επιθυμητό ότι αντιδρούν με τον ίδιο τρόπο με ένα αντικείμενο ακόμα και αν το αντικείμενο περιστραφεί.

116 Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα (1/2)
=> => ...

117 Δομικά Στοιχεία ή Παράθυρα (2/2)
=> ... Μετά από κάποια ενδιάμεσα βήματα => => =>

118 Επίσημος Ορισμός Παραθύρων (1/4)
Χρησιμοποιείται επίσης αργότερα για επεξεργασία εικόνων γκρι και βίντεο. Ένα παράθυρο είναι μια γεωμετρική συσχέτιση η οποία δημιουργεί μια σειρά από μικρογραφικές εικόνες καθώς περνά πάνω από την εικόνα διαδοχικά σειρά προς σειρά, στήλη προς στήλη (Ακολουθιακή Υλοποίηση). Στην παράλληλη υλοποίηση, ένας μεγάλος αριθμός από παράθυρα θα καλύπτουν την εικόνα συγχρόνως.

119 Επίσημος Ορισμός Παραθύρων (2/4)
Μερικά τυπικά Μονοδιάστατα Παράθυρα: ROW(2M+1) και COL(2M+1). Αυτά λειτουργούν σε Σειρές και Στήλες Μόνο Ένα παράθυρο θα καλύπτει πάντα ένα περιττό αριθμό στιγμάτων 2M+1, διαγώνια συμμετρικά στίγματα με το κεντρικό στίγμα Οι λειτουργίες φίλτρου ορίζονται συμμετρικά με αυτό τον τρόπο.

120 Επίσημος Ορισμός Παραθύρων (3/4)
Μερικά τυπικά Δυσδιάστατα Παράθυρα:

121 Επίσημος Ορισμός Παραθύρων (4/4)
Τυπικά Δυσδιάστατα Παράθυρα SQUARE(2M+1), CROSS(2M+1), CIRC(2M+1) Αυτά είναι τα πιο κοινά σχήματα παραθύρων . Και πάλι, 2M+1 δείχνει τον περιττό αριθμό στιγμάτων που καλύπτονται από το παράθυρο. Μπορεί να γενικοποιηθεί σε παράθυρα οποιουδήποτε-μεγέθους που να καλύπτει 2M+1 στίγματα.

122 Συμβολισμός Παραθύρων (1/3)
Ένα παράθυρο είναι: Ένας τρόπος συγκέντρωσης τοπικών φωτεινοτήτων εικόνας. Ένα σύνολο από μετακινήσεις συντεταγμένων Bi = (mi, ni) με κέντρο το (0,0): B = {B1, ..., B2M+1} = {(m1, n1),..., (m2M+1,n2M+1)}

123 Συμβολισμός Παραθύρων (2/3)
Παραδείγματα Μονοδιάστατων Παραθύρων Β: B = ROW(2M+1) = {(0, -M), ..., (0, M)} = {(0, n); n = -M ,..., M} π.χ B = ROW(3) = {(0, -1), (0, 0), (0, 1)} B = COL(2M+1) = {(-M, 0), ..., (M, 0)} = {(m, 0); m = -M ,..., M} π.χ B = COL(3) = {(-1, 0), (0, 0), (1, 0)}

124 Συμβολισμός Παραθύρων (3/3)
Παραδείγματα Δυσδιάστατων Παραθύρων Β: B = SQUARE (9) = {(-1, -1) , (-1, 0), (-1, 1), (0, -1) , (0, 0), (0, 1), (1, -1) , (1, 0), (1, 1)} B = CROSS(2M+1) = ROW(2M+1) και COL(2M+1) πχ B = CROSS(5) = { (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, 0) }

125 Σύνολο Παραθύρων (1/3) Δεδομένης μιας εικόνας Ι και ενός παραθύρου Β ορίζουμε το σύνολο παραθύρων στις συντεταγμένες εικόνας (i, j) ως: B.I( i, j ) = {I( I + m, j + n); όπου (m, n) Î B και ( i, j ) Î [0,n-1] } το οποίο είναι το σύνολο των στιγμάτων εικόνας που καλύπτεται από το παράθυρο όταν έχει κέντρο τις συντεταγμένες (i, j).

126 Σύνολο Παραθύρων (2/3) Παραδείγματα 1D: B = ROW(3):
B˚I( i, j ) = {I( i, j-1 ) , I( i, j ), I( i, j+1 )} B = COL(3): B˚I( i, j ) = {I( i-1, j ) , I( i, j ) , I( i+1, j )}

127 Σύνολο Παραθύρων (3/3) Παραδείγματα 2D: B = SQUARE (9):
B.I( i, j ) = {I( i-1, j-1 ) , I( i-1, j ), I( i-1, j+1 ), I( i, j-1 ) , I( i, j ), I( i, j+1 ), I( i+1, j-1 ) , I( i+1, j ), I( i+1, j+1 )} B = CROSS(5): B.I(i, j) = { I( i-1, j ), I( i, j-1 ), I( i, j ), I( i, j+1 ), I( i+1, j ) }

128 Γενικά Δυαδικά Φίλτρα Δείχνουμε τις δυαδικές λειτουργίες G στο σύνολο παραθύρου B.I( i, j ) ως εξής: J( i, j ) = G {B.I( i, j )} = G{I( I + m, j + n ); όπου (m, n) Î B και ( i, j ) Î [0,n-1] } Εφαρμόζοντας αυτήν σε κάθε στίγμα της εικόνας, δίνει μια φιλτραρισμένη εικόνα J = G[I, B] = [J( i, j ); 0 ≤ i, j ≤ N-1]

129 Επεξεργασία Στα Όρια Της Εικόνας
Το παράθυρο καλύπτει ‘κενό χώρο’ Συνήθως γεμίζουμε τους κενούς χώρους του παραθύρου με την τιμή του κοντινότερου στίγματος της εικόνας. Αυτό λέγεται Επανάληψη.

130 Διαστολή, Συστολή Και Μέση Τιμή
Διαστολή - Καλείται έτσι επειδή αυτή η λειτουργία μεγαλώνει το μέγεθος των ΜΑΥΡΩΝ αντικειμένων στην δυαδική εικόνα. Συστολή - Καλείται έτσι επειδή αυτή η λειτουργία μειώνει το μέγεθος των ΜΑΥΡΩΝ αντικειμένων στην δυαδική εικόνα. Μέση τιμή - Στην πραγματικότητα πλειοψηφία. Μια ειδική περίπτωση του γκρι-επιπέδου μεσαίου φίλτρου. Κατέχει ποιοτικές ιδιότητες και των δυο, της διαστολής και της συστολής, αλλά γενικά δεν αλλάζει το μέγεθος του αντικειμένου η του φόντου.

131 Διαστολή, Συστολή Και Μέση Τιμή
Διαστολή – Δίδεται ένα παράθυρο Β και μια δυαδική εικόνα Ι J1 = DILATE (I, B) αν J1(i, j) = OR {B˚I(i, j)} = OR {I(i-m, j-n); (m, n)  B} Συστολή – Δίδεται ένα παράθυρο Β και μια δυαδική εικόνα Ι J2 = ERODE (I, B) αν J2(i, j) = AND {B˚I(i, j)} = AND {I(i-m, j-n); (m, n)  B} Μέση τιμή – Δίδεται ένα παράθυρο Β και μια δυαδική εικόνα Ι J3 = MEDIAN (I, B) αν J3(i, j) = MAJ {B˚I(i, j)} = MAJ {I(i-m, j-n); (m, n)  B}

132 Διαστολή Παράδειγμα 1.

133 Διαστολή Παράδειγμα 2.

134 Συστολή Παράδειγμα 1.

135 Συστολή Παράδειγμα 2.

136 Μέση Τιμή Παράδειγμα 1. Το φίλτρο μεσαίου αφαίρεσε το μικρό αντικείμενο Α και την μικρή οπή Β, αλλά δεν άλλαξε το όριο (μέγεθος) της μεγαλύτερης περιοχής C.

137 Ποιοτικές Ιδιότητες Διαστολής
1. Αφαιρεί τις πολύ-μικρού μεγέθους οπές του αντικειμένου 2. Η διαστολή επίσης αφαιρεί πολύ-στενά κενά ή κόλπους

138 Ποιοτικές Ιδιότητες Διαστολής
3. Η διαστολή του ΜΑΥΡΟΥ μέρους της εικόνας είναι το ίδιο με την συστολή του ΛΕΥΚΟΥ μέρους!

139 Ποιοτικές Ιδιότητες Συστολής
1. Αφαιρεί αντικείμενα πολύ - μικρού μεγέθους 2. Η συστολή αφαιρεί επίσης πολύ-στενά ‘ακρωτήρια’

140 Ποιοτικές Ιδιότητες Συστολής
3. Η συστολή του ΜΑΥΡΟΥ μέρους της εικόνας είναι το ίδιο με την διαστολή του ΛΕΥΚΟΥ μέρους!

141 Συσχέτιση Συστολής Και Διαστολής
Η συστολή και η διαστολή είναι στην πραγματικότητα η ίδια λειτουργία – έχουν δυική (dual) λειτουργία αναφορικά με το συμπλήρωμα (complementation) Η συστολή και η διαστολή είναι μόνο αντίστροφες κατά προσέγγιση η μια της άλλης Η διαστολή μιας ήδη υπό συστολή εικόνας, πολύ σπάνια οδηγεί στην αρχική εικόνα. Κατ’ ακρίβεια η διαστολή δεν μπορεί να Ξαναδημιουργήσει τις χερσονήσους που αφαίρεσε η συστολή, Ξαναδημιουργεί μικρά αντικείμενα που αφαίρεσε η συστολή.

142 Συσχέτιση Συστολής και Διαστολής
Η συστολή μιας ήδη υπό διαστολή εικόνας πολύ σπάνια οδηγεί στην αρχική εικόνα. Κατ΄ ακρίβεια, η συστολή δεν μπορεί να Αδειάσει οπές που γέμισαν από την διαστολή, Ξαναδημιουργεί κενά η κόλπους που γέμισαν από την διαστολή.

143 Ποιοτικές Ιδιότητες Μέσης τιμής
1. Το φίλτρο μεσαίου αφαιρεί και αντικείμενα και οπές πολύ-μικρού μεγέθους 2. Το φίλτρο μεσαίου αφαιρεί κενά (κόλπους) και χερσονήσους πολύ-στενές

144 Ποιοτικές Ιδιότητες Μέσης τιμής
3. Το φίλτρο μεσαίου γενικά δεν αλλάζει το μέγεθος των αντικειμένων (παρόλο του ότι αλλάζει αυτά) 4. Το φίλτρο μεσαίου είναι η δυική λειτουργία του εαυτού του, αφού MEDIAN [ NOT(I) ] = NOT [ MEDIAN(I) ] 5. Έτσι, το φίλτρο μεσαίου απαλύνει το σχήμα. Μπορούμε επίσης να ορίσουμε και άλλους μηχανισμούς απάλυνσης σχήματος.

145 Άνοιγμα-Κλείσιμο και Κλείσιμο-Άνοιγμα
Πολύ αποτελεσματικοί μηχανισμοί που απαλύνουν εικόνες μπορούν να δημιουργηθούν με την επαναλαμβανόμενη χρησιμοποιήσει των λειτουργιών του Ανοίγματος και του Κλεισίματος. Για μια εικόνα Ι και ένα δομικό στοιχείο Β, ορίζουμε  OPEN-CLOS(I, B) = OPEN [CLOSE (I, B), B]  CLOS-OPEN(I, B) = CLOSE [OPEN (I, B), B] Αυτές οι λειτουργίες είναι σχετικά όμοιες, όχι όμως μαθηματικά ταυτόσημες.

146 Open-Close and Close-Open
Και οι δυο αφαιρούν πολύ μικρά στοιχεία χωρίς να επηρεάζουν πολύ το μέγεθος Και οι δυο είναι παρόμοιες με το φίλτρου μεσαίου όρου, με εξαίρεση το γεγονός απαλύνουν περισσότερο την εικόνα, (για ένα δεδομένο δομικό στοιχείο Β).

147 Open-Close and Close-Open
Αξιοσημείωτες διαφορές μεταξύ Ανοίγματος-Κλεισίματος και Κλεισίματος-Ανοίγματος Το OPEN-CLOS τείνει να ενώσει γειτονικά αντικείμενα μεταξύ τους Το CLOS-OPEN τείνει να ενώσει γειτονικές οπές μεταξύ τους

148 Open-Close and Close-Open
Παράδειγμα 1.

149 Open-Close and Close-Open
Παράδειγμα 2.

150 Σκελετοποίηση (1/10) Η Σκελετοποίηση αποτελεί ένα τρόπος για να πάρουμε τον μεσαίο άξονα η σκελετό μιας εικόνας. Δεδομένης μίας εικόνας I0 και παραθύρου B, ο σκελετός είναι SKEL(Io, B). Ορίζουμε In = ERODE [· · · ERODE [ERODE(Io, B), B], · · · B ], n διαδοχικές εφαρμογές του ERODE στην I0 με δομικό στοιχείο το B. N = max { n: In ≠ }  = empty set Ο μεγαλύτερος αριθμός συστολών πριν την εξαφάνιση της In Sn = In  NOT[OPEN(In, B)]

151 Σκελετοποίηση (2/10) Τότε
SKEL(I0, B) = S1  S2  …  SN Το αποτέλεσμα είναι ο σκελετός, ή ο μετασχηματισμός μεσαίου άξονα, ή η συνάρτηση «φωτιά λιβαδιού» (prairie – fire transform).

152 Σκελετοποίηση (3/10) Παράδειγμα 1. Εικόνα Ι0: Δομικό Στοιχείο Β :

153 Σκελετοποίηση (4/10) SKEL( I0, B):

154 Σκελετοποίηση (5/10) Τα βήματα της εκτέλεσης: Βήμα 1ο Ι0 S0
NOT[OPEN(I0, B)]

155 Σκελετοποίηση (6/10) Βήμα 2ο Ι1 NOT[OPEN(I1, B)] S1

156 Σκελετοποίηση (7/10) Βήμα 3ο Ι2 NOT[OPEN(I2, B)] S2

157 Σκελετοποίηση (8/10) Βήμα 4ο Ι3 S3 NOT[OPEN(I3, B)]

158 Σκελετοποίηση (9/10) Βήμα 5ο SKEL(I0)=S1S2S3S4

159 Σκελετοποίηση (10/10) Παράδειγμα 2. δυαδική εικόνα
σκελετός (του φόντου)

160 Παράδειγμα εφαρμογής: Μέτρηση εμβαδού κυττάρων (1/3)
Απλά βήματα επεξεργασίας Εύρεση γενικών περιοχών κυττάρων από απλή κατωφλίωση Εφαρμογή τεχνικών διόρθωσης περιοχής Χρωματισμός μερών Αφαίρεση ασήμαντων περιοχών Κλείσιμο-Άνοιγμα Απεικόνιση των ορίων του κυττάρου για επαλήθευση λειτουργίας

161 Παράδειγμα εφαρμογής:Μέτρηση εμβαδού κυττάρων (2/3)
Απλά βήματα επεξεργασίας Υπολογισμός του εμβαδού των κυττάρων στην εικόνα με την μέτρηση των στιγμάτων. Υπολογισμός του πραγματικού εμβαδού χρησιμοποιώντας προβολή Η προηγούμενη χειρονακτική τεχνική μέτρησης χρειάζεται > 1 ώρα για την ανάλυση κάθε κύτταρου της εικόνας

162 Παράδειγμα εφαρμογής:Μέτρηση εμβαδού κυττάρων (3/3)
Ο αλγόριθμος τρέχει σε λιγότερο από ένα δευτερόλεπτο. Χρησιμοποιήθηκε σε > 50,000 εικόνες κύτταρων τα προηγούμενα χρόνια. Δημοσιεύτηκε στο CRC Press’s Image Analysis in Biology ως η τυποποιημένη μέθοδος για την αυτόματη μέτρηση εμβαδού (Automated Area Measurement).

163 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (1/7)
Ο αριθμός των bits που χρειάζονται για την αποθήκευση μιας NN δυαδικής εικόνα είναι N2. Σε πολλές περιπτώσεις, αυτό μπορεί να μειωθεί σημαντικά. Η κωδικοποίηση μήκους διαδρομών είναι γενικά αποδοτική όταν οι ΛΕΥΚΕΣ και ΜΑΥΡΕΣ περιοχές δεν είναι μικρές.

164 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (2/7)
Πως δουλεύει η κωδικοποίηση μήκους διαδρομών (Run – Length Coding): Οι δυαδικές εικόνες αποθηκεύονται (η μεταφέρονται) γραμμή-προς-γραμμή (σειρά-προς-σειρά).

165 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (3/7)
Πώς δουλεύει η κωδικοποίηση μήκους διαδρομών (Συνέχεια) Για κάθε γραμμή της εικόνας, που αριθμείται με m: Αποθηκεύουμε την τιμή του πρώτου στίγματος ('0' η '1') στην σειρά m για αναφορά Θέτουμε τον μετρητή c = 1 Για κάθε στίγμα στην εικόνα: Εξετάζουμε το επόμενο στίγμα στα δεξιά Αν είναι το ίδιο με το τρέχον στίγμα, θέτουμε c = c + 1 Αν είναι διαφορετικό με το τρέχον στίγμα, αποθηκεύουμε το c και θέτουμε c = 1 Συνεχίζουμε μέχρι να φτάσουμε το τέλος της γραμμής

166 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (4/7)
Κάθε μήκος-διαδρομών αποθηκεύεται χρησιμοποιώντας b bits. Παράδειγμα 1. ‘1’ 7 5 8 3 1

167 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (5/7)
Σχόλια για την κωδικοποίηση μήκους διαδρομών Σε μερικές εικόνες μπορεί να δώσει εξαιρετική συμπίεση χωρίς απώλειες πληροφοριών. Αυτό θα συμβεί αν η εικόνα περιέχει πολλές διαδρομές του 1's και 0's.

168 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (6/7)
Αν η εικόνα περιέχει μόνο πολύ μικρές διαδρομές, τότε ο κώδικας μήκους-διαδρομών μπορεί να μεγαλώσει τον χώρο αποθήκευσης. Παράδειγμα 2. ‘1’ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

169 Κωδικοποίηση Μήκους διαδρομών (7/7)
Σε αυτή την χειρότερη περίπτωση η αποθήκευση πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό b. Κανόνας: Ο μέσος όρος μήκους διαδρόμων L πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: L > b.

170 Αντιπροσώπευση Περιγράμματος Και Κώδικας Αλυσίδας (1/3)
Μπορούμε να διαχωρίσουμε δυο γενικούς τύπους διάδικων εικόνων: εικόνες περιοχών εικόνες περιγραμμάτων Εικόνα Περιοχών Εικόνα Περιγραμμάτων

171 Αντιπροσώπευση Περιγράμματος Και Κώδικας Αλυσίδας (2/3)
Για τις εικόνες περιγραμμάτων απαιτούμε ειδικότερα: Κάθε ΜΑΥΡΟ στίγμα στην εικόνα περιγράμματος πρέπει να έχει το πολύ δυο ΜΑΥΡΑ από τα 8 – γειτονικά στίγματα Ένα ΜΑΥΡΟ στίγμα και 8 - γείτονες

172 Αντιπροσώπευση Περιγράμματος Και Κώδικας Αλυσίδας (3/3)
Μία εικόνα περιγράμματος περιέχει μόνο ευθείες και καμπύλες που έχουν πλάτος ένα στίγμα ή και απλά σημεία ενός στίγματος.

173 Κώδικας Αλυσίδας (1/7) Ο κώδικας αλυσίδας είναι μια μέθοδος κωδικοποίησης περιγράμματος υψηλής απόδοσης. Παρατηρείστε ότι αν οι αρχικές συντεταγμένες (i, j) ενός 8-συνδεδεμένου περιγράμματος είναι γνωστές, τότε τα υπόλοιπα στοιχεία του περιγράμματος μπορούν να κωδικοποιηθούν δίνοντας τις κατευθύνσεις στην οποία το περίγραμμα διαδίδεται.

174 Κώδικας Αλυσίδας (2/7) Παράδειγμα 1. Περίγραμμα Αρχικό σημείο και
Κατευθύνσεις

175 Κώδικας Αλυσίδας (3/7) Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη κωδικοποίηση 8-κατευθύνσεων.

176 Κώδικας Αλυσίδας (4/7) Δεδομένου ότι οι αριθμοί , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 μπορούν να κωδικοποιηθούν με τα δυαδικά ισοδύναμα τους των 3-bit : 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, η τοποθεσία κάθε σημείου σε ένα περίγραμμα μετά το αρχικό σημείο μπορεί να κωδικοποιηθεί με 3 bits.

177 Κώδικας Αλυσίδας (5/7) Παράδειγμα 1.

178 Κώδικας Αλυσίδας (6/7) Ο κώδικας αλυσίδας για το παράδειγμα (μετά την καταγραφή των αρχικών συντεταγμένων (i0, j0): Στο δεκαδικό: 1, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4 Στο δυαδικό: 001, 000, 001, 001, 001, 001, 011, 011, 011, 100, 100, 101, 100 Η συμπίεση που έχουμε είναι σημαντική: κωδικοποίηση του περιγράμματος από M-bit συντεταγμένες (M = 9 για 512 x 512 εικόνες) χρειάζεται 6 φορές την αρχική μνήμη.

179 Κώδικας Αλυσίδας (7/7) Για κλειστά περιγράμματα, οι αρχικές συντεταγμένες μπορούν να επιλεχθούν τυχαία. Αν το περίγραμμα είναι ανοικτό, τότε συνήθως είναι ένα τελικό σημείο (ενός γείτονα στο σύστημα 8 – κατευθύνσεων. Η τεχνική αυτή είναι αποτελεσματική σε πολλές εφαρμογές μηχανικής όρασης και ανάγνωσης προτύπων π.χ. ανάγνωση χαρακτήρων.

180 Κεφάλαιο 3 ΕΠΛ 445 – Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας
Ιστόγραμμα Εικόνας και Λειτουργίες Σημείου

181 Λειτουργίες Διανυσμάτων Και Πινάκων (1/4)
Το διάνυσμα είναι ένας μονοδιάστατος πίνακας. Τα διανύσματα θα θεωρούνται ότι είναι στήλες διανυσμάτων (N x 1). Για παράδειγμα, το μοναδιαίο διάνυσμα είναι: e = (N x 1)

182 Λειτουργίες Διανυσμάτων Και Πινάκων (2/4)
Η ανάστροφος (transpose) είναι μια σειρά διανυσμάτων (1 x N), και δεικνύετε : = Μια δυαδική εικόνα είναι ένας πίνακας η μήτρα από ακέραιους αριθμούς Δεικνύουμε ένα (τετραγωνικό) πίνακα εικόνας I = [I(i, j); 0 ≤ i, j ≤ N-1]

183 Λειτουργίες Διανυσμάτων Και Πινάκων (3/4)
I = Ο ανάστροφος (transpose) του πίνακα δεικνύετε IT =

184 Λειτουργίες Διανυσμάτων Και Πινάκων (4/4)
Οι σειρές της IT είναι οι στήλες της I και οι στήλες της IT είναι οι στήλες της I. Σημειώστε ότι [IT]T = I. Ένας συμμετρικός πίνακας ικανοποιεί την σχέση IT = I.

185 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (1/9)
Θεωρούμαι μόνο διανύσματα και τετράγωνους πίνακες (N x N), αλλά όλα τα υπόλοιπα μπορούν να προεκταθούν σε μη-τετράγωνους πίνακες (N x M) Το εσωτερικό γινόμενο (N x 1) δυο διανυσμάτων a και b είναι a(i)b(i) K = = Το οποίο είναι μονόμετρος (αριθμός) (όχι διάνυσμα)

186 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (2/9)
Το γινόμενο δυο πινάκων (N x N) : I = J = είναι: K = IJ

187 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (3/9)
Τα στοιχεία του γινομένου των πινάκων K είναι: K(i, j) = I(i, n)J(n, j). Αυτό είναι απλά το εσωτερικό γινόμενο της ith στήλης του διανύσματος ii της IT και της στήλης διανύσματος jj της J: K(i, j) = iiTjj.

188 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (4/9)
Σημαντικές Σημειώσεις Δυο τετραγωνικοί πίνακες πρέπει να έχουν το ίδιο μέγεθος για να πάρουμε το γινόμενο τους. Στο γινόμενο των πινάκων δεν επιτρέπεται η αντιμετάθεση (commute). Δηλαδή δεν είναι γενικά αληθές ότι : IJ = JI.

189 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (5/9)
Πίνακας Ταυτότητας Ο (N x N) πίνακας ταυτότητας είναι 1 = Καλείται έτσι επειδή το γινόμενο της 1 με κάθε N x N πίνακα J 1J = J1 = J

190 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (6/9)
Αντιστροφή Πίνακα Η αντιστροφή ενός N x N πίνακα I είναι ένας άλλος N x N πίνακας που δεικνύετε I-1 Καλείται Αντίστροφος πίνακας επειδή: II-1 = I-1I = 1 Σημειώστε ότι I-1 αντιμετατίθεται με το I.

191 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (7/9)
Αντιστροφή Πίνακα (συνέχεια) Πότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας; Πότε είναι σταθερός; Ο αντίστροφος του αντίστροφου δίνει πίσω τον αρχικό πίνακα: [I-1]-1 = I

192 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (8/9)
Αντιστροφή Πίνακα Παράδειγμα: I = I-1 = Ο υπολογισμός του αντίστροφου ενός πίνακα με το χέρι είναι μια σκληρή αλγεβρική διαδικασία, ειδικά για μεγάλους πίνακες.

193 Βασική Άλγεβρα Πινάκων (9/9)
Αντιστροφή Πίνακα Δεν θα δώσουμε τις λεπτομέρειες εδώ. Οι πιο πολλές βιβλιοθήκες σε μαθηματικά προγράμματα υπολογιστών έχουν την εντολή αντιστροφής πινάκων διαθέσιμη (π.χ., Matlab, Labview, IDL, IMSL).

194 Aπλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (1/6)
Θυμηθείτε: το ιστόγραμμα πεδίων φωτεινότητας HI μιας εικόνας I είναι μια γραφική παράσταση της συχνότητας ύπαρξης κάθε πεδίου φωτεινότητας στην I HI είναι μια μονοδιάστατη συνάρτηση με πεδίο ορισμού 0, ... , K-1 : HI(k) = n αν το πεδίο φωτεινότητας k υπάρχει (ακριβώς) n φορές στην I, Για κάθε k = 0, ... K-1.

195 Απλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (2/6)
Το ιστόγραμμα HI δεν περιέχει πληροφορίες του χώρου της I – μόνο πληροφορίες για την σχετική συχνότητα φωτεινότητας.

196 Απλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (3/6)
Ωστόσο: Χρήσιμες πληροφορίες μπορούν να παρθούν από το ιστόγραμμα. Η ποιότητα της εικόνας επηρεάζεται (βελτίωση ποιότητας, τροποποίηση) με την αλλαγή του ιστογράμματος.

197 Απλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (4/6)
Μέση Τιμή Οπτικής Πυκνότητας - Average Optical Density Η μέτρηση μέσης τιμής φωτεινότητας μιας εικόνας I: AOD(I) = =

198 Απλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (5/6)
Μέση Τιμή Οπτικής Πυκνότητας Μπορεί να υπολογιστεί και από το ιστόγραμμα επίσης kHI(k) όπου ο kος όρος = (επίπεδο φωτεινότητας k) x (# ύπαρξης του k)

199 Απλές Λειτουργίες Ιστογράμματος (6/6)
Μέση Τιμή Οπτικής Πυκνότητας Παρατηρώντας το ιστόγραμμα μπορεί να αποκαλυφθούν πιθανά λάθη στην επεξεργασία εικόνας: Low AOD High AOD Τρόποι διόρθωσης τέτοιων λαθών χρησιμοποιούν το ιστόγραμμα.

200 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (1/8)
Η λειτουργία απλού σημείου σε μία εικόνα Ι είναι μια συνάρτηση f η οποία χαρτογραφεί ή προσδιορίζει την εικόνα Ι σε μια άλλη εικόνα J με τη λειτουργία της στο κάθε στίγμα της I: J(i, j) = f[I(i, j)] , 0 ≤ i, j ≤ N-1 Η ίδια συνάρτηση f εφαρμόζεται σε όλες τις συντεταγμένες της εικόνας. Αυτό είναι διαφορετικό από τις τοπικές λειτουργίες όπως ΑΝΟΙΚΤΌ, ΚΛΕΙΣΤΟ, κ.λπ., δεδομένου ότι αυτές είναι συναρτήσεις και του Ι (ι, j) και των γειτόνων του.

201 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (2/8)
Οι λειτουργίες απλού στίγματος δεν αλλάζουν τις σχέσεις χώρου μεταξύ των στιγμάτων. Αλλάζουν το ιστόγραμμα της εικόνας, και έτσι την ολική εμφάνιση της εικόνας. Οι γραμμικές λειτουργίες απλού σημείου είναι η απλούστερη τάξη λειτουργιών απλού σημείου. Μετατοπίζουν και κλιμακώνουν τα πεδία φωτεινότητας της εικόνας.

202 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (3/8)
Μετατόπιση Εικόνας - Image Offset Θεωρούμαι ότι το L πέφτει στο πεδίο -(K-1) ≤ L ≤ K-1 (± την κανονικοποιημένη κλίμακα γκρί) J(i, j) = I(i, j) + L , for 0 ≤ i, j ≤ N-1 Έτσι, η ίδια σταθερά L προστίθεται στην τιμή κάθε στίγματος εικόνας.

203 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (4/8)
Μετατόπιση Εικόνας Αν L > 0, J θα είναι η εικόνα I φωτεινότερη. Αλλιώς η εμφάνιση της θα είναι ουσιαστικά η ίδια. Αν L < 0, J θα είναι η σκοτεινότερη εκδοχή της εικόνας I. Η πρόσθεση του L μετατοπίζει το ιστόγραμμα με την τιμή L στα αριστερά η δεξιά

204 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (5/8)
Μετατόπιση Εικόνας Histograms of additive image offsets Η είσοδος και έξοδος του ιστογράμματος συσχετίζονται με: HJ(k) = HI(k-L)

205 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (6/8)
Παράδειγμα: Θεωρούμαι ότι είναι επιθυμητό να συγκρίνουμε πολλαπλές εικόνες I1, I2 ,..., In της ίδιας σκηνής. Ωστόσο, οι εικόνες πάρθηκαν από διαφορετικές συνθήκες φωτεινότητας. Μια λύση: ισοστάθμιση των AOD's των εικόνων. Αν η κλίμακα πεδίων φωτεινότητας της εικόνας είναι 0 ,..., K-1, ένα λογικό AOD είναι K/2.

206 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (7/8)
Παράδειγμα (συνέχεια): Θέτουμε Lm = AOD(Im), για m = 1 ,..., n. Τότε ορίζουμε την ‘ισοστάθμιση- AOD’ εικόνων J1, J2 ,..., Jn σύμφωνα με Jm(i, j) = Im(i, j) - Lm + K/2 , for 0 ≤ i, j ≤ N-1

207 Γραμμικές Λειτουργίες Απλού Σημείου (8/8)
Παράδειγμα (συνέχεια): Το αποτέλεσμα: . etc.

208 Κλιμάκωση Εικόνας (1/5) Θεωρούμαι P > 0 (όχι απαραίτητα ακέραιος) Η κλιμάκωση εικόνας ορίζεται από την συνάρτηση J(i, j) = P· I(i, j) , for 0 ≤ i, j ≤ N-1 Έτσι, Ρ πολλαπλασιάζει κάθε τιμή στίγματος της εικόνας. Στην πράξη: J(i, j) = INT[ P· I(i, j) ] , for 0 ≤ i, j ≤ N-1 όπου INT[ R ] = ο πλησιέστερος ακέραιος που είναι ≤ R.

209 Κλιμάκωση Εικόνας (2/5) Αν P > 1, J θα έχει πιο πλατύ πεδίο φωτεινότητας από την εικόνα Ι. Αν P < 1, J θα έχει πιο στενό πεδίο φωτεινότητας από την εικόνα I.

210 Κλιμάκωση Εικόνας (3/5) Πολλαπλασιάζοντας την σταθερά Ρ επεκτείνει ή στενεύει το ‘πλάτος’ του ιστογράμματος της εικόνας με κάποιο συντελεστή Ρ:

211 Κλιμάκωση Εικόνας (4/5) Σχόλια :
Μια εικόνα η οποία έχει συμπιεσμένη κλίμακα πεδίων φωτεινότητας γενικά έχει χαμηλή οπτική αντίθεση. Μια τέτοια εικόνα μπορεί να έχει «ξεθωριασμένη» εμφάνιση.

212 Κλιμάκωση Εικόνας (5/5) Μια εικόνα με φαρδύ πεδίο φωτεινότητας γενικά έχει υψηλή οπτική αντίθεση. Μια τέτοια εικόνα μπορεί να έχει πιο κτυπητή, ορατή εμφάνιση.

213 Αποκοπή (1/2) Γενικά, η διαθέσιμη κλίμακα φωτεινότητας της μετασχηματισμένης εικόνας J είναι η ίδια όπως αυτή της αρχικής εικόνας I: {0 ,..., K-1}. Όταν κάνουμε τον μετασχηματισμό J(i, j) = P· I(i, j) + L, for 0 ≤ i, j ≤ N-1 πρέπει να φροντίζουμε η μέγιστη και ελάχιστη τιμή Jmax and Jmin να ικανοποιεί : Jmax ≤ K και Jmin ≥ 0.

214 Αποκοπή (2/2) Στην καλύτερη περίπτωση, οι τιμές έξω απ’ αυτή την κλίμακα θα “ψαλιδιστούν”. Στην χειρότερη περίπτωση, καταστάσεις υπερχείλισης (overflow) ή λανθασμένου πρόσημου (sign-error) συνθήκες μπορεί να εμφανιστούν. Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή της κλίμακας φωτεινότητας που δίνεται σε ένα λανθασμένο στίγμα θα είναι πολύ απροσδιόριστη.

215 Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (1/4)
Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (1/4) Είναι πιο κοινή γραμμική λειτουργία στίγματος. Θεωρούμαι ότι η Ι έχει ένα συμπιεσμένο ιστόγραμμα:

216 Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (2/4)
Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (2/4) Ορίζουμε το Α και Β να είναι το min και max επίπεδο φωτεινότητας στην Ι. Ορίζουμε : J(i, j) = P·I(i, j) + L έτσι ώστε : P·A+L = 0 και P·B + L = (K-1).

217 Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (3/4)
Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (3/4) Το αποτέλεσμα της λύσης του συστήματος 2 εξισώσεων με 2 άγνωστους (P, L) είναι μια εικόνα J η οποία έχει ιστόγραμμα που οι τιμές του ανήκουν σε όλη την κλίμακα φωτεινοτήτων:

218 Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (4/4)
Επέκταση Αντίθεσης κλίμακας (4/4) Η λύση στις πιο πάνω εξισώσεις είναι : και ή J (i,j) = [ I ( i ,j) – A ]

219 Μη Γραμμικές Λειτουργίες Στίγματος
Μια μη-γραμμική λειτουργία στίγματος στην εικόνα Ι είναι μια σημειακή συνάρτηση f που σχετίζει την I με την J: J(i, j) = f [I (i, j) ] for 0 ≤ i, j ≤ N-1 Όπου f είναι μια μη-γραμμική συνάρτηση.

220 Μη Γραμμικές Λειτουργίες Στίγματος
Αυτή είναι μια πολύ μεγάλη τάξη συναρτήσεων. Ωστόσο, μόνο μερικές χρησιμοποιούνται συχνά: J(i, j) = |I(i, j)| (absolute value or magnitude) J(i, j) = [I(i, j)] (square-law) J(i, j) = sqrt [ I (i, j) ] (square root) J(i, j) = log[1+I (i, j) ] (logarithm) J(i, j) = exp[I (i, j)] = (i, j) (exponential)

221 Λογαριθμική Συμπίεση Πεδίου ( Range ) (1/5)
Κίνητρο: Μια εικόνα μπορεί να περιέχει πλούσιες πληροφορίες, απαλή εναλλαγή χαμηλών φωτεινοτήτων – και πολύ μικρές φωτεινές περιοχές. Τα φωτεινά στίγματα θα κυριαρχήσουν την ορατή αντίληψη που έχουμε για την εικόνα.

222 Λογαριθμική Συμπίεση Πεδίου ( Range ) (2/5)
Ένα τυπικό Ιστόγραμμα.

223 Λογαριθμική Συμπίεση Πεδίου ( Range ) (3/5)
Ο λογαριθμικός μετασχηματισμός : J(i, j) = log[1+I(i, j)] συμπιέζει μη-γραμμικά και ισοσταθμίζει τα επίπεδα φωτεινότητας. Οι φωτεινές εντάσεις συμπιέζονται πολύ περισσότερο – έτσι οι ασθενές λεπτομέρειες αναδύονται.

224 Λογαριθμική Συμπίεση Πεδίου ( Range ) (4/5)
Το τέντωμα αντίθεσης πλήρους κλίμακας χρησιμοποιεί μετά όλο το πεδίο φωτεινοτήτων. Λογαριθμικός μετασχηματισμός τέντωσε τις αντιθέσεις.

225 Λογαριθμική Συμπίεση Πεδίου ( Range ) (5/5)
Χρήσιμο για εύρεση ασθενών κοσμικών αντικειμένων: Χρήσιμο για να δείχνουμε εικόνες μετασχηματισμού Fourier.

226 Αλλαγή Μορφής Και Ταύτιση Ιστογράμματος
Θα εξετάσουμε τώρα μεθόδους για αλλαγή μορφής ιστογράμματος. Επιτυγχάνεται με λειτουργίες απλού στίγματος: η μορφή αντικειμένων και η τοποθεσία δεν αλλάζουν.

227 Ισοστάθμιση Ιστογράμματος
Μια εικόνα με ισοσταθμισμένο ιστόγραμμα κάνει πλούσια χρήση των διαθέσιμων πεδίων φωτεινότητας. Αυτή μπορεί να είναι μια εικόνα με : Απαλές διαβαθμίσεις στην κλίμακα φωτεινότητας που να καλύπτουν πολλαπλά επίπεδα φωτεινότητας γκρι. Πολλαπλή υφή που να καλύπτει πολλαπλά επίπεδα φωτεινότητας.

228 Ιστόγραμμα Κανονικότητας (1/3)
Ορισμός: κ=0,1,…., K-1 Αθροίζοντας: όπου είναι η πιθανότητα του επιπέδου φωτεινότητας κ να υπάρχει (σε οποιοδήποτε δεδομένο στίγμα)

229 Ιστόγραμμα Κανονικότητας (2/3)
Το συσσωρευτικό ιστόγραμμα είναι: για r=0,1,2,…., K-1 όπου μια αύξουσα συνάρτηση με

230 Ιστόγραμμα Κανονικότητας (3/3)
Άρα, για όλα τα σημεία (i, j): Επίσης… για r=0,…, K-1

231 Συνεχές Ιστόγραμμα Έστω οτι τα p(x) και P(x) είναι συνεχή: Τότε:
(μπορεί να θεωρηθούν σαν συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας (pdf) και συσσωρευτική διανομή (cdf)). Τότε: p(x) = dP(x)/dx Σημείωση: υπάρχει η μπορεί να οριστεί κατά σύμβαση.

232 Συνεχής Ισοστάθμιση Και Αλλαγή Μορφής (1/5)
Μετασχηματίζουμε τα (συνεχή): Ι, p(x), P(x) σε J, q(x), Q(x). Η ακόλουθη εικόνα θα έχει ένα ισοσταθμισμένο ιστόγραμμα: J = P(I) (J(i, j) = P[I(i, j)] για κάθε (i, j))

233 Συνεχής Ισοστάθμιση Και Αλλαγή Μορφής (2/5)
Το συσσωρευτικό ιστόγραμμα Q της J:

234 Συνεχής Ισοστάθμιση Και Αλλαγή Μορφής (3/5)
έτσι: Q(x) = dQ(x)/dx = 1 for 0 < x < 1 Τι παρατηρούμε? Χρειάζεται τέντωμα αντίθεσης

235 Συνεχής Ισοστάθμιση Και Αλλαγή Μορφής (4/5)
Έστω ότι παίρνουμε κάποια τυχαία q(x),Q(x). Τότε ορίζουμε: για όλα τα (i,j)

236 Συνεχής Ισοστάθμιση Και Αλλαγή Μορφής (5/5)
Το συσσωρευμένό ιστόγραμμα της J είναι: Σημείωση: Τα πιο πάνω μπορούν να προσεγγιστούν μόνο με διακριτά ιστογράμματα

237 Ισοστάθμιση Ιστογράμματος (1/3)
Έστω η εικόνα Ι: Ορίζουμε το συσσωρευτικό ιστόγραμμα εικόνας J1 = P(I) όπου

238 Ισοστάθμιση Ιστογράμματος (2/3)
Παρατηρήσεις: Σε κάθε στίγμα, αυτό είναι το συσσωρευτικό ιστόγραμμα που υπολογίζεται στα επίπεδα φωτεινότητας του στίγματος. Τα στοιχεία της συσσωρευτικής πιθανότητας της εικόνας J1 θα κατανεμηθούν γραμμικά κατά προσέγγιση μεταξύ 0 και 1.

239 Ισοστάθμιση Ιστογράμματος (3/3)
Κλιμακώνουμε το J1 για να καλύψει την κλίμακα 0, ..., κ-1, δημιουργώντας εικόνα ισοσταθμισμένου ιστογράμματος J: J(i, j) = int [ (K-1)·J1(i, j) ]

240 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (1/7)
Δίνεται μια 4 x 4 εικόνα Ι με επίπεδα φωτεινότητας {0, ..., 15} (K-1 = 15): I = 1 3 4 2 5 8 11

241 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (2/7)
Το ιστόγραμμα της είναι: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 H(k) 3 3 3 2 2 2 1

242 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (3/7)
Κανονικοποίηση Ιστογράμματος: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 6 3 1 6 3 1 6 2 1 6 2 1 6 2 1 6 1 6 p(k)

243 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (4/7)
Υπολογισμός ενδιάμεσης εικόνας J1: J1= 3/16 9/16 11/16 6/16 13/16 15/16 16/16

244 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (5/7)
Υπολογισμός ‘ισοσταθμισμένης’ εικόνας J: J = 3 8 10 6 12 14 15

245 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (6/7)
Το νέο, ισοσταθμισμένο ιστόγραμμα μοιάζει με το ακόλουθο: k 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 H(k) 3 3 3 2 2 2 1

246 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (7/7)
Δημιουργία Ιστογράμματος:

247 Ισοστάθμισης Ιστογράμματος (συνέχεια…)
Τα ύψη H(k) δεν μπορούν να μειωθούν, απλώς μετακινούνται έτσι: Η ισοστάθμιση ψηφιακού ιστογράμματος δεν ‘ισοσταθμίζει’ στην πραγματικά το ιστόγραμμα , απλώς το κάνει πιο ‘κολακευτικό’ με την εξάπλωση του ιστογράμματος. Ο χώρος που δημιουργείται είναι πολύ χαρακτηριστικός του ‘ισοσταθμισμένου’ ιστογράμματος , ειδικά όταν το αρχικό ιστόγραμμα είναι πολύ συμπιεσμένο.

248 Παράδειγμα Ισοστάθμισης Ιστογράμματος στο ΜatLab
I = imread(‘exampleim.tif’); J = histeq(I); figure,subplot(2,1,1),imshow(I); subplot(2,1,2), imhist(J);

249 Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (1/3)
Δημιουργεί μια αλλαγμένη εικόνα J με μια κατά προσέγγιση προσδιορισμένη μορφή ιστογράμματος, όπως τρίγωνο ή καμπύλη μορφής καμπάνας. Ορίζουμε το να είναι η επιθυμητή μορφή ιστογράμματος με τις αντίστοιχες κανονικές τιμές (πιθανότητες)

250 Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (2/3)
Ορίζουμε το συσσωρευτικό ιστόγραμμα εικόνας όπως πριν: Επίσης ορίζουμε τις συσσωρευτικές πιθανότητες:

251 Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος - Αλγόριθμος (3/3)
Ορίζουμε n(i, j) να δεικνύει την μικρότερη τιμή του n ώστε: Τότε παίρνουμε: J(i, j) = n(i, j) Αυτό είναι μια τυπικότητα για:

252 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (1/7)
Υποθέστε ότι έχουμε την ίδια εικόνα με το προηγούμενο παράδειγμα Ι = 1 3 4 2 5 8 11

253 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (2/7)
Υπολογισμός ενδιάμεσης εικόνας J1: J1 = 3/16 9/16 11/16 6/16 13/16 15/16 16/16

254 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (3/7)
Το εφαρμόζουμε στο ακόλουθο (τριγωνικό) ιστόγραμμα: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 H (k) 1 2 3 4 3 2 1 J 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 3 1 6 2 1 6 1 6 p (k) J

255 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (4/7)
Δημιουργία Ιστογράμματος:

256 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (5/7)
Πιο κάτω είναι οι συσσωρευμένες (αθροιστικές) πιθανότητες που συνδέονται μαζί του: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6 3 1 6 1 6 1 3 6 1 3 6 1 5 6 1 5 6 1 6 1 6 P (n) J

257 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (6/7)
Προσεκτική ορατή παρατήρηση της J1 μας οδηγεί στο φτιάξιμο της νέας εικόνας: J = 4 8 10 6 12 14

258 Παράδειγμα Αλλαγή Μορφής Ιστογράμματος (7/7)
Το νέο Ιστόγραμμα είναι: k 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 H (k) J 3 3 3 4 2 1

259 Ταύτιση Ιστογράμματος (1/2)
Μια ειδική περίπτωση της αλλαγής μορφής ιστογράμματος. Διαφορά: το ιστόγραμμα της αρχικής εικόνας Ι ταυτίζεται με το ιστόγραμμα μιας άλλης εικόνας I´ Αλλιώς η διαδικασία είναι η ίδια, όταν οι συσσωρευμένες πιθανότητες υπολογιστούν για την μοντελοποιημένη εικόνα I´

260 Ταύτιση Ιστογράμματος (2/2)
Χρήσιμη εφαρμογή: Σύγκριση όμοιων εικόνων της ίδιας σκηνής που πάρθηκε κάτω από διαφορετικές συνθήκες (π.χ. φωτός, ώρα της ημέρας, κλπ). Προεκτείνεται η έννοια της ισοστάθμισης AOD που περιγράψαμε πιο πριν.

261 Βασικές Αλγεβρικές Λειτουργίες Εικόνας (1/3)
Οι αλγεβρικές λειτουργίες εικόνας (μεταξύ εικόνων) είναι κάπως απλές. Θεωρούμε ότι έχουμε δυο N x N εικόνες I1 και I2. Οι τέσσερις βασικές αλγεβρικές λειτουργίες (όπως αυτές της υπολογιστικής σας) είναι:

262 Βασικές Αλγεβρικές Λειτουργίες Εικόνας (2/3)
Σημειακή Πρόσθεση Πινάκων J = I1 + I2 if J(i, j) = I1(i, j) + I2(i, j) for 0 ≤ i, j ≤ N-1 Σημειακή Αφαίρεση πινάκων J = I1 – I2 if J(i, j) = I1(i, j) – I2(i, j)

263 Βασικές Αλγεβρικές Λειτουργίες Εικόνας (3/3)
Σημειακός Πολλαπλασιασμός Πινάκων J = I1 Ä I2 if J(i, j) = I1(i, j) x I2(i, j) for 0 ≤ i, j ≤ N-1 Σημειακή Διαίρεση Πινάκων J = I1 D I2 if J(i, j) = I1(i, j) / I2(i, j) for 0 ≤ i, j ≤ N-1 * Ειδική σήμανση για σημείο προς σημείο (σημειακό) πολλαπλασιασμό και διαίρεση πινάκων αφού υπάρχει και άλλος ορισμός για πολλαπλασιασμό πινάκων. * Οι λειτουργίες Ä και D είναι πολύ χρήσιμες όταν επεξεργαζόμαστε πίνακες μετασχηματισμών Fourier.

264 Εφαρμογές Των Αλγεβρικών Λειτουργιών
Παρ’οτι απλές, οι αλγεβρικές λειτουργίες αποτελούν την σπονδυλική στήλη για την ψηφιακή επεξεργασία εικόνων. Θα εξετάσουμε δυο απλές αλλά σημαντικές εφαρμογές αλγεβρικών λειτουργιών σε εικόνες: Μέσος όρος πλαισίου για μείωση θορύβου Εντοπισμός κίνησης

265 Μέσος Όρος Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (1/3)
Μια εικόνα J συχνά είναι ‘μολυσμένη’ με αθροιστικό θόρυβο: Διασκόρπιση επιφάνειας ακτινοβολίας Θόρυβος στην κάμερα Θερμικός θόρυβος στα υπολογιστικά κυκλώματα Θόρυβος καναλιών επικοινωνίας

266 Μέσος Όρος Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (2/3)
Μπορούμε να κάνουμε μοντέλα για τέτοιες εικόνες με θόρυβο σαν το άθροισμα μιας πρωτότυπης, ‘αμόλυντης’ εικόνας Ι και μιας εικόνας θορύβου Ν J = I + N όπου τα στοιχεία N(i, j) του N είναι τυχαίες μεταβλητές. Δεν θα εξετάσουμε τους μαθηματικούς ορισμούς των τυχαίων μεταβλητών (ακόμα).

267 Μέσος Όρος Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (3/3)
Απλώς θα θεωρήσουμε ότι ο θόρυβος έχει μηδενική μεσαία τιμή (εργοδική), που σημαίνει ότι το δείγμα μεσαίου Μ πινάκων θορύβου τείνει προς το μηδέν όταν το Μ μεγαλώνει [ N1 + · · · + NM ] ≈ 0 (matrix of zeros) Υπολογίζοντας τον μέσο όρο πολλών δειγμάτων μηδενικού-μέσου όρου δίνει μια τιμή κοντά στο μηδέν. Θα ορίσουμε το μηδενικό μέσο όρο πιο προσεκτικά αργότερα.

268 Υπολογισμός του Μέσου Όρου Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (1/3)
Θεωρούμε ότι παίρνουμε Μ εικόνες J1, ..., JM της ίδιας σκηνής: Σε μια γρήγορη ακολουθία, χωρίς να υπάρχει κίνηση μεταξύ πλαισίων Ή να μην υπάρχει καθόλου κίνηση. Ωστόσο, τα πλαίσια είναι θορυβώδη: for i = 1 ,..., M.

269 Υπολογισμός του Μέσου Όρου Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (2/3)
Θεωρούμε ότι παίρνουμε τον μέσο όρο των πλαισίων: Ωστόσο αφού I1 = I2 = · · · = IM = I, τότε και από πριν Έτσι περιμένουμε ότι J ≈ I + 0 ≈ I (αν από αρκετά πλαίσια (M) παρθεί ο μέσος όρος)

270 Υπολογισμός του Μέσου Όρου Πλαισίου για Μείωση Θορύβου (3/3)
Η επεξεργασία εικόνας ενδιαφέρεται κυρίως για την διόρθωση η καλυτέρευση των εικόνων του προγραμματικού κόσμου.   Τα γραφικά υπολογιστών ενδιαφέρονται κυρίως για την δημιουργία εικόνων κάποιου μη-πραγματικού κόσμου.

271 Εντοπισμός Κίνησης (1/2)
Συχνά είναι ενδιαφέρον να εντοπίσουμε κίνηση αντικειμένων μεταξύ πλαισίων. Εφαρμογές: Συμπίεση βίντεο Αναγνώριση στόχου και παρακολούθησης Κάμερες ασφάλειας Επίβλεψη Αυτόματος έλεγχος κλπ.

272 Εντοπισμός Κίνησης (2/2)
Πιο κάτω δίδεται μια απλή προσέγγιση: Ορίζουμε I1, I2 ως δυο διαδοχικά πλαίσια που πάρθηκαν σε πολύ σύντομο χρόνο, π.χ. από μια βίντεο κάμερα. Από την εικόνα απόλυτης διαφοράς J = |I1 – I2| εφαρμόζουμε τέντωμα αντίθεσης πλήρους κλίμακας στην J το οποίο έχει ως αποτέλεσμα ένα πιο δραματικό οπτικό αποτέλεσμα.

273 Γεωμετρικές Λειτουργίες Εικόνας
Οι γεωμετρικές λειτουργίες εικόνας είναι κάπως πιο περίπλοκες από τις αλγεβρικές λειτουργίες, και χρησιμοποιούνται λιγότερο (στην επεξεργασία εικόνων). Πολλές από τις ιδέες επίσης συμπίπτουν πολύ με σημαντικά στοιχεία των γραφικών υπολογιστών. Έτσι θα ξοδέψουμε λίγο χρόνο σε αυτά.

274 Βασικές Γεωμετρικές Λειτουργίες Εικόνας
Οι γεωμετρικές λειτουργίες εικόνας είναι αντίθετες των λειτουργιών απλού στίγματος: αλλάζουν την τοποθεσία των στιγμάτων αλλά όχι την τιμή τους. Μια γεωμετρική λειτουργία γενικά χρειάζεται δυο βήματα:

275 Βασικές Γεωμετρικές Λειτουργίες Εικόνας
Μια ταύτιση χώρου των συντεταγμένων της εικόνας μας δίνει μια νέα συνάρτηση εικόνας J: J(i, j) = I(i´ , j´ ) = I[a(i, j), b(i, j) Οι συντεταγμένες a(i, j) and b(i, j) δεν είναι γενικά ή συνήθως ακέραιοι! Για παράδειγμα: a(i, j) = i/3.5, b(i, j) = j/4.5 Τότε J(i, j) = I(i/3.5, j/4.5), το οποίο έχει απροσδιόριστες συντεταγμένες ! Έτσι συνεπάγεται η ανάγκη δεύτερης λειτουργίας:

276 Βασικές Γεωμετρικές Λειτουργίες Εικόνας
Πλαστογραφούμε τις μη-ακραίες συντεταγμένες a(i, j) και b(i, j) σε ακέραιες τιμές, έτσι ώστε το J να μπορεί να παραστεί σε μορφή σειρών-στηλών (πίνακα)

277 Παρεμβολή Πλησιέστερου Γείτονα
 Με απλή σκέψη:  Οι γεωμετρικά μετασχηματισμένες συντεταγμένες ταυτίζονται στις πλησιέστερες ακέραιες συντεταγμένες: J(i, j) = I{INT[a(i, j)+0.5], INT[b(i, j)+0.5]} Σοβαρό μειονέκτημα: Ξαφνικές αλλαγές της φωτεινότητας έχουν σαν αποτέλεσμα τις σπασμένές ακμές.

278 Προειδοποίηση Για κάποια συντεταγμένη (i, j) είτε
INT[a(i, j)+0.5] < ή INT[b(i, j)+0.5] < 0 είτε INT[a(i, j)+0.5] > N ή INT[b(i, j)+0.5] > N-1 τότε J(i, j) = I{INT[a(i, j)+0.5], INT[b(i, j)+0.5]} δεν μπορεί να προσδιοριστεί. Συνήθως θέτουμε το J(i, j) = 0 για αυτές τις τιμές.

279 Διγραμμική Παρεμβολή Δημιουργία μιας πιο ομαλής παρεμβολής από την προσέγγιση του πλησιέστερου γείτονα. Δίδονται τέσσερις συντεταγμένες I(i0, j0), I(i1, j1), I(i2, j2), και I(i3, j3), η νέα εικόνα J(i, j) υπολογίζεται ως ακολούθως: J(i, j) = A0 + A1· i + A2·j + A3· i·j όπου τα διγραμμικά βάρη A0, A1, A2, και A3 είναι το αποτέλεσμα της λύσης της πιο κάτω εξίσωσης:

280 Ένας γραμμικός συνδυασμός των τεσσάρων
Διγραμμική Παρεμβολή -1 A 1 2 3 Ένας γραμμικός συνδυασμός των τεσσάρων πλησιέστερων τιμών. Το πιο καλό ταίριασμα επιπέδου στις τέσσερις πλησιέστερες τιμές. 1 i j 1 2 3 i 1 2 3 j 1 2 3 I(i , j ) 1 i I(i , j ) = 1 1 1 1 i 2 I(i , j ) 2 2 1 i 3 I(i , j ) 3 3

281 Οι Βασικοί Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί
Οι πιο βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί είναι: - Translation (Μετατόπιση) - Rotation (Περιστροφή) - Zooming (Μεγέθυνση)

282 Μετατόπιση Η μετατόπιση είναι η πιο απλή γεωμετρική λειτουργία και δεν χρειάζεται παρεμβολή. Ορίζουμε a(i, j) = i - i0, b(i, j) = j - j0 όπου (i0, j0) είναι σταθερές. Σε αυτή την περίπτωση J(i, j) = I(i - i0, j - j0) μια μετακίνηση ή μετατόπιση της εικόνας με μέγεθος i0 στην κατακόρυφη (σειρά) διεύθυνση και μεγέθους j0 στην οριζόντια διεύθυνση.

283 a(i, j) = i cos( q ) - j sin( q ) b(i, j) = i sin( q ) + j cos( q )
Περιστροφή Η περιστροφή της εικόνας με την γωνία q σε σχέση με τον αξονα-x επιτυγχάνετε από τον ακόλουθο μετασχηματισμό: a(i, j) = i cos( q ) - j sin( q ) b(i, j) = i sin( q ) + j cos( q )

284 q = 90° : [a(i, j), b(i, j)] = (-j, i)
Περιστροφή Απλές περιπτώσεις: q = 90° : [a(i, j), b(i, j)] = (-j, i) q = 180° : [a(i, j), b(i, j)] = (-i, -j) q = -90° : [a(i, j), b(i, j)] = (j, -i) q Οι περιστρεφόμενες εικόνες συνήθως χρειάζονται μετατόπιση μετέπειτα για να πάρουν τιμές συντεταγμένων στο επιθυμητό πεδίο.

285 Μεγέθυνση Η μεγέθυνση μεγαλώνει μια εικόνα με την συνάρτηση ταύτισης
a(i, j) = i / c και b(i, j) = j / d όπου c ≥ 1 και d ≥ 1.

286 Μεγέθυνση Για μεγάλη μεγέθυνση, η μεγεθυσμένη εικόνα θα φαίνεται ‘θολή’ αν χρησιμοποιηθεί απλή παρεμβολή πλησιέστερου γείτονα. Η διγραμμική παρεμβολή δουλεύει καλύτερα. original 2x zoomed Αυτοί είναι πολύ απλοί μετασχηματισμοί. Ένα παράδειγμα πιο έξυπνου γεωμετρικού μετασχηματισμού !

287 Κεφάλαιο 4 ΕΠΛ 445 - Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας
ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

288 Σημασία των Συχνοτήτων Εικόνας Θεώρημα Δειγματοληψίας
Περιεχόμενα Ημιτονικές εικόνες Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Σημασία των Συχνοτήτων Εικόνας Θεώρημα Δειγματοληψίας

289 Ημιτονικές Εικόνες (1/5)
Θα κάνουμε συχνή αναφορά σε αυτό το κεφάλαιο για το περιεχόμενο συχνοτήτων μιας εικόνας. Πρώτα θα εξετάσουμε τις εικόνες οι οποίες έχουν το απλούστερο περιεχόμενο συχνοτήτων. Μια ψηφιακή ημιτονική εικόνα Ι1 είναι μια εικόνα η οποία έχει στοιχεία Μια ψηφιακή συνημιτονική εικόνα Ι2 είναι μια εικόνα η οποία έχει στοιχεία

290 Ημιτονικές Εικόνες (2/5)
Τα u και v αποτελούν τις ακέραιες συχνότητες στην i και j κατεύθυνση και μετρώνται σε κύκλους ανά εικόνα (cycles per image). Η ακτινωτή συχνότητα Ω μιας εικόνας (το πόσο γρήγορα η εικόνα ταλαντεύεται στην κατεύθυνση της διάδοσης) ορίζεται ως: Η γωνία θ του κύματος (ως προς τον άξονα i) ορίζεται ως:

291 Ημιτονικές Εικόνες (3/5)
Παράδειγμα: Έστω ότι Ν=16 και v=0 (κύκλοι ανά εικόνα) για μια συνημιτονική εικόνα Ι. Επομένως ισχύει ότι Αυτό είναι ένα κύμα συνημίτονου το οποίο διαδίδεται μόνο στην κατεύθυνση i (Όλες οι γραμμές είναι οι ίδιες) με συχνότητα u. Στην επόμενη διαφάνεια δείχνουμε τις τιμές της συνάρτησης Ι(i) για κάποια συγκεκριμένα u. Το i-οστό εικονοστοιχείο κάθε γραμμής της εικόνας μας θα έχει τιμή Ι(i).

292 Ημιτονικές Εικόνες (4/5)
Η συνάρτηση για διάφορες τιμές του u:

293 Ημιτονικές Εικόνες (5/5)
Παρατηρήστε ότι Αυτό σημαίνει ότι το κύμα με την μεγαλύτερη συχνότητα λαμβάνει χώρα όταν και το N είναι άρτιος στην συγκεκριμένη περίπτωση. Αυτό θα είναι σημαντικό αργότερα.

294 Μιγαδικές εκθετικές εικόνες
Θα χρησιμοποιήσουμε μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις για να ορίσουμε αργότερα τον μετασχηματισμό Fourier μιας ψηφιακής εικόνας. Ως εκ τούτου ορίζουμε την δυσδιάστατη μιγαδική εκθετική συνάρτηση ως ακολούθως: Το είναι ο γνήσιος φανταστικός αριθμός όπου Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση δίνει την δυνατότητα μιας εύκολης και βολικής αναπαράστασης και χειρισμού των συχνοτήτων, όπως θα δούμε παρακάτω.

295 Μιγαδικοί Αριθμοί (1/3) Ένας μιγαδικός αριθμός Χ έχει την μορφή: όπου το Α αποτελεί το πραγματικό μέρος και το αποτελεί το φανταστικό μέρος του αριθμού. Ένας μιγαδικός αριθμός Χ χαρακτηρίζεται από το μέγεθος ( ) και την φάση του ( ) όπου

296 Μιγαδικοί Αριθμοί (2/3) Ένας μιγαδικός αριθμός Χ μπορεί να αναπαρασταθεί συναρτήσει του μεγέθους και της φάσης του ως ακολούθως: Ο μιγαδικός συζυγής ή απλά συζυγής του Χ ορίζεται ως ακολούθως:

297 Μιγαδικοί Αριθμοί (3/3) Ισχύει η εξής ιδιότητα μεταξύ ενός μιγαδικού αριθμού Χ και του συζυγούς του Χ* :

298 Ιδιότητες Της Μιγαδικής Εκθετικής Εικόνας (1/3)
Θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό για την μιγαδική εκθετική εικόνα, όπου το Ν αποτελεί το μέγεθος της εικόνας . Άρα βάσει του συμβολισμού μας έπεται ότι

299 Ιδιότητες Της Μιγαδικής Εκθετικής Εικόνας (2/3)
H ταυτότητα Euler έχει ως ακολούθως: Επομένως αφού έπεται ότι

300 Ιδιότητες Της Μιγαδικής Εκθετικής Εικόνας (3/3)
Επιπρόσθετα ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

301 Μέγεθος & Φάση Της Μιγαδικής Εκθετικής Εικόνας
Το μέγεθος και η φάση της μιγαδικής εκθετικής εικόνας αντίστοιχα είναι τα ακόλουθα:

302 Μιγαδικές Εκθετικές Εικόνες - Σχόλια
Η ανάπτυξη του μετασχηματισμού Fourier (πεδίο συχνοτήτων) χωρίς την βοήθεια των μιγαδικών αριθμών είναι δυνατή. Όμως τα μαθηματικά τα οποία θα χρησιμοποιηθούν θα είναι περισσότερα. Η χρήση του για αναπαράσταση μιας συνιστώσας συχνότητας η οποία ταλαντώνεται σε u κύκλους ανά μήκους εικόνας και σε v κύκλους ανά μήκους εικόνα στις κατευθύνσεις i και j αντίστοιχα, απλοποιεί σε ένα ικανοποιητικό βαθμό τα πράγματα. Επομένως είναι πολύ βοηθητικό να θεωρούμε το ως αναπαράσταση της κατεύθυνσης και συχνότητας της ταλάντωσης.

303 Τιμές Της Μιγαδικής Εκθετικής Συνάρτησης (1/4)
Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση αποτελεί μια αναπαράσταση της συχνότητας συναρτήσει του εκθέτη ui. H ελάχιστη φυσική συχνότητα, λαμβάνει χώρα περιοδικά όταν u = kN όπου τα i, k είναι ακέραιοι αριθμοί. Συγκεκριμένα ισχύει ότι

304 Τιμές Της Μιγαδικής Εκθετικής Συνάρτησης (2/4)
Απόδειξη της προαναφερθείσας πρότασης:

305 Τιμές Της Μιγαδικής Εκθετικής Συνάρτησης (3/4)
H μέγιστη φυσική συχνότητα, λαμβάνει χώρα περιοδικά όταν u = kN + Ν/2 όπου τα i, k είναι ακέραιοι αριθμοί και το Ν είναι άρτιος . Συγκεκριμένα ισχύει ότι Ακολουθεί τη απόδειξη της παραπάνω πρότασης.

306 Τιμές Της Μιγαδικής Εκθετικής Συνάρτησης (4/4)
Απόδειξη της προαναφερθείσας πρότασης:

307 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (1/4)
χρησιμοποιούμε την συντομογραφία DFT από τον αντίστοιχο αγγλικό όρο Discrete Fourier Transform. O Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier μας προσφέρει την δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο χώρου μιας εικόνας (spatial domain) στο αντίστοιχο πεδίο συχνοτήτων της (frequency domain). Αυτή η δυνατότητα είναι πολύ σημαντική. Όπως θα δούμε στο κεφάλαιο αυτό αλλά και σε επόμενα κεφάλαια, η επέμβαση στο πεδίο συχνοτήτων μιας εικόνας είναι ένας από τους σημαντικότερους τρόπους τροποποίησης και επεξεργασίας της.

308 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (2/4)
Ο μαθηματικός τύπος για τον DFT είναι ο ακόλουθος: Προσοχή: Πρέπει να τονιστεί ότι τα (i, j) αποτελούν συντεταγμένες χώρου ενώ τα (u, v) αποτελούν συντεταγμένες συχνοτήτων οι οποίες εκφράζονται σε κύκλους ανά εικόνα.

309 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (3/4)
Το αποτέλεσμα του DFT μιας εικόνας είναι ένας πίνακας διαστάσεων Ν x N (όπως η αρχική μας εικόνα). Επομένως O Αντίστροφος Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (IDFT - Inverse DFT) μας βοηθά να ανακτήσουμε την αρχική μας εικόνα από το πεδίο συχνοτήτων της. Ο μαθηματικός του τύπος είναι ο ακόλουθος

310 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (4/4)
Αν έχω ένα πεπερασμένο αριθμό εικόνων Ι1 ... ΙΜ τότε ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα: Τα α1 ... αΜ είναι πραγματικοί αριθμοί και DFT(IΚ) = όπου 1  Κ  Μ. DFT[ α1Ι αΜΙΜ ] = α1DFT[ Ι1] αΜDFT[ ΙΜ]

311 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier - Σχόλια
Από τον τύπο του ΙDFT παρατηρούμε ότι μια εικόνα Ι δυνατόν να εκφραστεί ως ένα άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού μιγαδικών εκθετικών εικόνων πολλαπλασιαζόμενων με κάποιο συντελεστή βάρους (weighted sum). Για τον υπολογισμό του DFT μιας εικόνας, στις πλείστες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος FFT (Fast Fourier Transform), ένας αποδοτικός αλγόριθμος και ένας από τους πλέον δημοφιλείς και χρησιμοποιούμενους αλγορίθμους ! ...

312 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier - Σχόλια
Το αποτέλεσμα του IDFT είναι μια μιγαδική εικόνα J όπου το φανταστικό μέρος του κάθε στοιχείου της εικόνας είναι της μορφής = 0. Επομένως θα πρέπει να απομονώσουμε το πραγματικό μέρος και μόνο αυτό να απεικονίσουμε.

313 Ιδιότητες του πίνακα DFT (1/3)
Κάθε εικόνα Ι που μελετούμε, αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς ή ακεραίους. Ωστόσο, το DFT της είναι γενικά μιγαδικό. To DFT μιας εικόνας μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα μιας πραγματικής και μιας φανταστικής εικόνας.

314 Ιδιότητες του πίνακα DFT (2/3)
Μπορεί να γραφτεί στην μορφή: όπου και

315 Ιδιότητες του πίνακα DFT (3/3)
δηλαδή, Τα πιο πάνω υπολογίστηκαν απ΄ευθείας από την αρχική εξίσωση DFT. Έτσι η έχει μέγεθος και φάση.

316 Μέγεθος του DFT Το μέγεθος του DFT είναι ένας πίνακας με στοιχεία:
τα οποία είναι τα μεγέθη των μιγαδικών στοιχείων της

317 Φάση του DFT Η φάση του DFT είναι ένας πίνακας με στοιχεία:
τα οποία είναι η φάση των μιγαδικών στοιχείων της

318 DFT της εικόνας Ι Έτσι… Μέγεθος Φάση

319 Συμμετρία (1/5) Το DFT μιας εικόνας έχει συμμετρική συζυγία. Απόδειξη
Στην απόδειξη θα χρησιμοποιηθούν οι πιο κάτω ισότητες: 1. 2.

320 Συμμετρία (2/5) Συνεχίζουμε με την απόδειξη…

321 Συμμετρία (3/5) Αποδεικνύοντας το πιο πάνω συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας DFT περιέχει πλεονασμό, δηλαδή έχουμε τις ίδιες πληροφορίες περισσότερες από μία φορές (συμμετρία). Τετριμμένα ισχύει:

322 Συμμετρία (4/5) Απεικόνιση της συμμετρίας του DFT (μέγεθος).
Συμμετρία και στις δύο κατευθύνσεις (u-κατεύθυνση και v-κατεύθυνση). Οι μονάδες μέτρησης είναι cycles/image (κύκλοι/εικόνα).

323 Συμμετρία (5/5) Οι ψηλότερες συχνότητες αναπαριστάνονται κοντά στο (u, v) = (N/2, N/2), δηλαδή στο κέντρο.

324 Περιοδικότητα του DFT (1/4)
Ορίζουμε τον πίνακα DFT ώστε να έχει πεπερασμένη προέκταση με διαστάσεις N x N. Ωστόσο, αν οι συντελεστές επιτραπούν να πάρουν τιμές έξω από την κλίμακα 0 ≤ u, v ≤ N-1, βρίσκουμε ότι το DFT είναι περιοδικό και στην u- και στην v-κατεύθυνση, με περίοδο Ν

325 Περιοδικότητα του DFT (2/4)
Απόδειξη Στην απόδειξη θα χρησιμοποιηθεί η πιο κάτω ισότητα: 1. Συνεχίζουμε με την απόδειξη…

326 Περιοδικότητα του DFT (3/4)
Αυτό ονομάζεται περιοδική προέκταση του DFT. Ορίζεται για όλες τις ακέραιες συχνότητες u,v.

327 Περιοδικότητα του DFT (4/4)
. Περιοδική προέκταση του DFT . . . . .

328 Περιοδική Προέκταση Της Εικόνας (1/4)
Εφαρμόζοντας την IDFT εξίσωση στο DFT μιας εικόνας Ι, θα πάρουμε την αρχική μας εικόνα Ι, έτσι και η I προεκτείνεται περιοδικά. Απόδειξη Στην απόδειξη θα χρησιμοποιηθεί η πιο κάτω ισότητα: 1.

329 Περιοδική Προέκταση Της Εικόνας (2/4)
Συνεχίζουμε με την απόδειξη…

330 Περιοδική Προέκταση Της Εικόνας (3/4)
Κατά τη χρήση του DFT υπονοείται ότι η εικόνα Ι είναι ήδη περιοδική. Αυτό θα είναι πολύ χρήσιμο όταν θα μελετήσουμε την συνέλιξη (κυκλική συνέλιξη).

331 Περιοδική Προέκταση Της Εικόνας (4/4)
Περιοδική προέκταση της εικόνας . Εικόνα Ι . . . . .

332 Παρουσίαση του DFT (1/6) Συνήθως το DFT αναπαρίσταται με την κεντρική του συντεταγμένη (u, v) = (0, 0) στο κέντρο της εικόνας. Με αυτό τον τρόπο, οι πληροφορίες που αφορούν χαμηλές συχνότητες (οι οποίες συνήθως είναι κυρίαρχες στην εικόνα) επικεντρώνονται στη μέση της οθόνης.

333 Παρουσίαση του DFT (2/6) Αυτό μπορεί να επιτευχθεί στην πράξη με το να πάρουμε το DFT της εναλλασσόμενης εικόνας (για σκοπούς αναπαράστασης μόνο). Παρατηρήστε ότι: οπότε χρησιμοποιώντας τα πιο πάνω…

334 Παρουσίαση του DFT (3/6)

335 Παρουσίαση του DFT (4/6) Μια απλή μετατόπιση του DFT στο μισό μήκος του και στις δυο κατευθύνσεις παρουσιάζεται πιο κάτω: Centered DFT

336 Παρουσίαση του DFT (5/6) Επειδή το DFT είναι μιγαδικής μορφής, το μέγεθος και η φάση μπορούν να αναπαρασταθούν σαν ξεχωριστή εικόνα. Για να αναπαρασταθεί το μέγεθος , συνήθως είναι καλύτερα να το συμπιέσουμε λογαριθμικά με την εξής εφαρμογή: πριν την αναπαράσταση, επειδή οπτικά οι χαμηλού μεγέθους συχνότητες θα είναι δυσδιάκριτες.

337 Παρουσίαση του DFT (6/6) Μετά το λογάριθμο, είναι αναγκαίο να χρησιμοποιήσουμε γραμμική λειτουργία απλού στίγματος για να επεκτείνουμε την αντίθεση, επειδή οι τιμές του λογαρίθμου θα είναι πολύ μικρές. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ DFT Ι = imread(‘exampleim.tif’); F = fft2(I); F1 = log(1+abs(F)); imshow(I); figure, imshow(F1) I

338 Πίνακας Εκθετικών Μιγαδικών
Ορίζουμε ένα πίνακα των DFT εκθετικών μιγαδικών. Αυτός είναι ένας συμμετρικός πίνακας.

339 Πίνακας Εκθετικών Μιγαδικών
Ο αντίστροφος πίνακας του είναι ο εξής συζυγής μιγαδικός:

340 Πίνακας Εκθετικών Μιγαδικών
Στην προηγούμενη εξίσωση, το στοιχείο καθορίζεται από τον εξής πίνακα: όπου

341 Μορφή γινομένου πινάκων των λειτουργιών DFT
Μπορούμε τώρα να ξαναγράψουμε τις DFT και IDFT εξισώσεις σαν γινόμενο πινάκων: DFT: IDFT:

342 Απόδειξη εξισώσεων γινομένου πινάκων των λειτουργιών DFT

343 Μορφή γινομένου πινάκων των λειτουργιών DFT

344 Υπολογισμός του DFT Οι γρήγοροι αλγόριθμοι για το DFT αναφέρονται συλλογικά σαν αλγόριθμοι γρήγορων μετασχηματισμών Fourier (FFT – Fast Fourier Transform). Δεν θα ερευνήσουμε τη σχεδίασή τους, αφού είναι διαθέσιμοι στα περισσότερα προγράμματα μαθηματικών βιβλιοθηκών.

345 Υπολογισμός του DFT Συνήθως ένας αλγόριθμος αρκεί για τον υπολογισμό και του DFT και του IDFT, αφού η δομή των μετασχηματισμών είναι παρόμοια. Στις εξισώσεις πινάκων του DFT – IDFT, θυμηθείτε ότι διαφέρουν μόνο στη χρήση του W αντί του Έτσι ένα πρόγραμμα χρειάζεται να γνωρίζει μόνο ένα ψηφίο ελέγχου (flag bit), το οποίο θα δεικνύει κατά πόσο οι μιγαδικές τιμές θα πρέπει να είναι συζυγείς ή όχι.

346 Το Νόημα Της Συχνότητας Εικόνας
Μερικές φορές είναι εύκολο να χάσουμε την έννοια του DFT και του περιεχομένου συχνότητας της εικόνας σε όλα αυτά τα μαθηματικά. Το DFT είναι ακριβώς αυτό – μια περιγραφή της περιεχόμενης συχνότητας. Κοιτάζοντας το DFT ή το φάσμα μιας εικόνας (ειδικά το μέγεθός της), μπορούμε να προσδιορίσουμε πολλά στοιχεία σχετικά με την εικόνα.

347 Ποιοτικές ιδιότητες του DFT
Είναι διαισθητικά λογικό να σκεφτούμε την περιεχόμενη συχνότητα της εικόνας σε συσχέτιση με την κοκκυκότητα (κατανομή της ακτινωτής συχνότητας) και τον προσανατολισμό της.

348 Granularity Μεγάλες τιμές κοντά στο κέντρο του DFT αντιστοιχούν σε μεγάλες ομαλές περιοχές της εικόνας ή σε δυνατό φόντο. Από τη στιγμή που οι εικόνες είναι θετικές (υπονοώντας μια προσθετική μετατόπιση), κάθε εικόνα έχει μια μεγάλη κορυφή στο (u, v) = (0, 0).

349 Χρήση μασκών στο DFT Θεωρούμε ότι ορίζουμε διαφορετικές εικόνες με τιμές 0 και 1 (δυαδικές εικόνες). Σημείωση: Οι μάσκες πρέπει να εφαρμόζονται πάνω σε shifted εικόνες. Low pass Mid pass High pass

350 Χρήση μασκών στο DFT Η χρησιμοποίηση μασκών στο DFT παράγει IDFT εικόνες με μόνο χαμηλές, μέσες ή υψηλές εναπομείναντες συχνότητες. Φυσικά η πρόσθεση των αποτελεσμάτων μας επαναφέρει στην αρχική εικόνα. Προσανατολισμός (Directionality): Αν το DFT είναι φωτεινότερο κατά μήκος κάποιας κατεύθυνσης , η εικόνα περιλαμβάνει ψηλά στοιχεία προσανατολισμού προς αυτή την κατεύθυνση.

351 Χρησιμοποιώντας μάσκες στο DFT
Ορίζουμε μερικές εικόνες προσανατολισμού μηδενός – ενός:

352 Χρησιμοποιώντας μάσκες στο DFT
Πάλι αν προσθέσουμε τα αποτελέσματα θα πάρουμε πίσω την αρχική εικόνα.

353 Εικόνες Στενού Φάσματος
Είναι επίσης πιθανόν να παράξουμε μια εικόνα η οποία είναι υψηλά προσανατολισμένη. Αυτή η μάσκα δημιουργήθηκε με πολλαπλασιασμό( σημείου- προς – σημείο) της Μάσκας συχνοτήτων με μια από τις μάσκες προσανατολισμού.

354 Θεώρημα Δειγματοληψίας (1/3)
Είναι αξιοσημείωτη η εξέταση της συσχέτισης μεταξύ του DFT (φάσμα ψηφιακού σήματος) και του μετασχηματισμού Fourier της αρχικής, χωρίς – δειγματοληψία εικόνας.

355 Θεώρημα Δειγματοληψίας (2/3)
Η εικόνα Ιc(x,y) έχει Συνεχές Μετασχηματισμό Fourier (CFT) Ιc(wx, wy) όπου (x,y)δηλώνουν τις συχνότητες πραγματικού χώρου και (ωx,ωy) δηλώνουν συνεχείς συχνότητες. ~ ∞ ∞ π √-1 (xωx+ yωy) Ic(ωx, ωy) = ∫ ∫ Ic(x, y) ℮ dωx dωy -∞ -∞ ∞ ∞ ~ π √-1 (xωx+ yωy) Ic(x,y)= 1/ (2π)2 ∫ ∫ Ic(ωx,ωy) ℮ dωx dωy -∞ -∞

356 Θεώρημα Δειγματοληψίας (3/3)
Αυτό δεν πρέπει να είναι μεγάλη έκπληξη αφού Τα ολοκληρώματα είναι όρια αθροισμάτων : Ιc(x,y) μπορεί να εκφραστεί σαν όρια αθροισμάτων εκθετικών μιγαδικών. Σημαντικό: To CFT δεν είναι περιοδικό.Αυτή η ιδιότητα είναι παράξενη σε ψηφιακές εικόνες.Το CFT ορίζεται για όλες τις συχνότητες. Το CFT

357 Συσχέτιση του CFT με το DFT (1/5)
Ας θεωρήσουμε ότι Ιc(x,y) έχει περιορισμένο φάσμα ,που σημαίνει ότι το CFT της είναι μηδέν έξω από ένα πεδίο συχνοτήτων: Ιc(ωx, ωy) = 0 for |ωx| ≥ Wx, |ωy| ≥ Wy Η συνθήκη ικανοποιήτε αφού το υλικό (hardware) το εφαρμόζει με αναλογικό φιλτράρισμα (π.χ. οπτικά). Πριν την δειγματοληψία.

358 Συσχέτιση του CFT και DFT (2/5)
Κάθε πραγματική εικόνα είναι σημαντικά περιορισμένη (π.χ., το CFT της γίνεται μηδενικό για μεγάλα ωx, ωy). Άν Ι(i,j) είναι ένα δείγμα χώρου Χ και Υ στην x- και y-κατεύθυνση (έτσι η συχνότητα δειγματοληψίας και 1 ): Χ Υ Ι(i,j) = Ic(iX,jY) για 0 ≤ i, j ≤ N-1

359 Συσχέτιση του CFT και DFT (3/5)
Tότε το DFT και το CFT συσχετίζονται από: ~ ∞ ∞ ~ n m I(u,v)= ∑ ∑ Ic(ωx ,ωy - ) | X Y n=- ∞ m=-∞ X Y u v ωx = , ωy = N X N Y

360 Συσχέτιση του CFT και DFT (4/5)
∞ ∞ ~ u n v m = ∑ ∑ Ic ( , ) X Y n=- ∞ n=- ∞ N X X NY Y Αυτό είναι το άθροισμα μετατοπισμένης εκδοχής του CFT .Είναι περιοδικό στη u και v κατεύθυνση με περίοδο 1/Χ και 1/Υ.

361 Συσχέτιση του CFT και DFT (5/5)
Αυτό φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα:

362 Σχόλια (1/2) Υπάρχει ένας μαθηματικός λόγος γιατί οι εικόνες γιατί οι εικόνες πρέπει να δειγματοληπτούνται αρκετά πυκνά. Αν αυτός ο μαθηματικός όρος παραβιαστεί ,τότε η παραμόρφωση των εικόνων θα είναι ορατή. Επίσης σημαντικό: αν το θεώρημα δειγματοληψίας ικανοποιηθεί ,μπορεί να θεωρηθεί ώς περιοδικό αντίγραφο του CFT. Έτσι ο ΝxN DFT πίνακας Ι θα περιλαμβάνει στοιχεία που αποτελούνται από δείγματα του CFT

363 Σχόλια (2/2) ~ ~ u v I(u,v) = Ic( , ) for 0≤ |u|,|v|≤N/2-1 ΧΥ ΝΧ ΝΥ (Σημειώστε: αφού το CFT δεν είναι περιοδικό, ορίζουμε το DFT σαν δείγματα του CFT με την αρχή (0,0) στο κέντρο). Δεν υπάρχει λόγος για να μην μπορούμε να θεωρήσουμε ότι Χ=Υ=1.

364 Σημαντικές 2-Δ Συναρτήσεις και τα DFT (1/2)
Αξίζει να εξετάσουμε τα DFT s μερικών προσδιορισμών εικόνων .Ωστόσο, αυτό είναι δύσκολο να το κάνουμε με το χέρι στις περισσότερες περιπτώσεις.Έτσι θα δώσουμε μερικά απλά παραδείγματα. Μετά θα δείξουμε μερικά άλλα ως CFT ζεύγη μετασχηματισμού. Constant image : Θέτουμε Ι(i,j) = c for 0≤ i,j≤ N-1 ~ Τότε I(u,v)=N² . c.δ(u,v) δ(u,v)= { 1, u=v=0; else 0.

365 Σημαντικές 2-Δ Συναρτήσεις και τα DFT (2/2)
2-D Unit Pulse Image (2-Δ Unit Pulse εικόνα) Θέτουμε Ι( i,j) = c. δ(i,j) (I(0,0)=c, else I(i,j)=0). ~ N-1 N (ui+ vj) Tότε Ι(u,v) =   c. δ(i,j) WN i=0 j=0 =c.W =c (constant DFT). Cosine Wave Image (Εικόνα Συνημιτόνου) Θέτουμε Ι(i,j)=d. cos[2π/Ν (bi + cj)]

366 Eικόνα Συνημιτόνου Με βάση τα προηγούμενα υπολογίζουμε το DFT : N-1 N (bi + cj) -(bi+cj) (ui+vj) Ι(u,v)=(d/2)   [WN WN ] WN i=0 j=0 Προκύπτει : Ι(u,v)=(dN² )[ δ(u+b, v+c) +δ(u-b, v-c)] Έτσι το DFT δεν έχει μηδενική τιμή μόνο στις συχνότητες του κύματος συνημιτόνου. Με το ίδιο σκεπτικό υπολογίζω το DFT του ημιτόνου. DFT{d.sin[2π/Ν(bi+cj)]} = (dN²)-1[δ(u-b,v-c) - δ(u+b,v+c)].

367 Παραδείγματα Συνεχή Μετασχηματισμού Fourier (I / II)
Και τώρα μερικά CFT ζεύγη τα οποία είναι δύσκολο να εκφραστούν ή παίρνουν πολύ χρόνο για να γίνουν με το χέρι σαν ζεύγη DFT. Συνάρτηση Ορθογωνίου ·     Θέτουμε   Ic(x, y) = c rect(x/Ax) rect(y/Ay) Δηλαδή: Ic(x, y) = { c; |x| ≤ Ax/2 και |y| ≤ Ay/2 { 0 ; αλλού Αφού rect(x) = { 1 ; |x| ≤ ½ ~ { 0 ; αλλού Τότε: Ιc (wx, wy) = c Ax Ay sinc(wx Ax) sinc(wy Ay)   όπου sinc(x)=sin(π x)/(π x)