Διπλωματική Εργασία Μελέτη διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε εσωτερικούς χώρους, με την μέθοδο της παραβολικής εξίσωσης και τη μεθόδο των πεπερασμένων.

Παρουσίαση με θέμα: "Διπλωματική Εργασία Μελέτη διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε εσωτερικούς χώρους, με την μέθοδο της παραβολικής εξίσωσης και τη μεθόδο των πεπερασμένων."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Διπλωματική Εργασία Μελέτη διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε εσωτερικούς χώρους, με την μέθοδο της παραβολικής εξίσωσης και τη μεθόδο των πεπερασμένων στοιχείων. Μπαφέρος Ηλίας , 4189 Μακρής Ιωάννης-Εμμανουήλ , 4174

2 Άλλα Μοντέλα-Mέθοδοι Ray Tracing
Πολλά εμπειρικά μοντέλα για την μελέτη της διάδοσης του Η/Μ κύματος σε εσωτερικούς χώρους. Χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με απλουστευτικούς υπολογισμούς και εκτεταμένες μετρήσεις. Αποτελέσματα όχι επαρκώς ακριβή και αναξιόπιστα όσον αφορά την ένταση του λαμβανόμενου σήματος. Τεχνικές παρακολούθησης ακτίνας(Ray Tracing) – χρησιμοποιούνται κατά κόρον στην ανάλυση της διάδοσης κυμάτων σε εσωτερικούς και εξωτερικούς χώρους,παρουσιάζουν όμως επιμέρους προβλήματα. Εκφυλίζουν το πρόβλημα σε μία σειρά προβλημάτων διάδοσης επιμέρους ακτίνων,το πλήθος των οποίων είναι ορισμένες φορές υπερβολικό. Bασίζονται σε απλουστευτικές προσεγγίσεις - μοντέλα απλής ανάκλασης,διάθλασης,περίθλασης. Οι σκεδαστές θεωρούνται μηδενικού πάχους.

3 Χρησιμοποιούμενες Μεθοδολογίες
Η μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων Η μέθοδος της Παραβολικής εξίσωσης σε συνδιασμό με την τεχνική θεώρησης ακριβών οριακών συνθηκών απορρόφησης(Perfectly Matched Layers-PML)

4 Η μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων
Συνίσταται στο διαμερισμό του χωρίου Ω, όπου αναζητούμε τη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης σε πεπερασμένα στοιχεία απλού γεωμετρικού σχήματος(τριγωνικού). Τα μεγέθη ενδιαφέροντος (ένταση ηλεκτρικού πεδίου) εκφράζονται με συμμετρικό και ομοιόμορφο για κάθε στοιχείο τρόπο,ως προς τις Simplex συντεταγμένες. Οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet - Οι εξωτερικοί κόμβοί έχουν γνωστό (μηδενικό) δυναμικό. Διατύπωση Galerkin - Mια διαφορετική διατύπωσή της διαφορικής εξίσωσης ,έτσι ώστε να ικανοποιείται κατά έναν «μέσο» τρόπο, σε ολόκληρο το χωρίο υπολογισμού. Μια και μοναδική αρίθμιση των κόμβων του πλέγματος. Διαδικασία Συνάθροισης – Ο κάθε κόμβος να εμφανίζεται μία φορά στο τελικό σύστημα εξισώσεων.

5 Η μέθοδος της Παραβολικής εξίσωσης
Κυματική εξίσωση Helmholtz : Βασική ιδέα: το κύμα διαδίδεται εντός στενού κώνου με άξονα την διεύθυνση διάδοσης, την λεγόμενη παραξονική διεύθυνση. Εκφράζουμε το ηλεκτρικό πεδίο ως συνάρτηση ενός αργά μεταβαλλόμενου « φακέλου » και ενός όρου φάσης κατά την κύρια διεύθυνση διάδοσης,η οποία θεωρείται στον x άξονα,δηλαδή : ή Οι παράγωγοι 2ης τάξης θεωρούνται αμελητέες και προκύπτει η παραξονική προσέγγιση της εξίσωσης Helmholtz :

6 Εφαρμόζουμε μια διακριτοποίηση στον x-άξονα κάνοντας χρήση των κεντρικών διαφορών.Η μερική παράγωγος 1ης τάξης προσεγγίζεται ως εξής : Ορίζονται πεπερασμένου πλήθους ,εγκάρσια στην παραξονική διεύθυνση επίπεδα.Οι τιμές του Δx μπορούν να είναι της τάξης του μήκους κύματος ή περισσότερο. Χρησιμοποιούμε την προσέγγιση Crank-Nicholson:

7 Προκύπτει η διακριτοποιημένη μορφή της παραβολικής εξίσωσης :
Η παραπάνω σχέση ισχύει μόνο για μικρές γωνίες διάδοσης στην παραξονική διεύθυνση. Διόρθωση γωνίας(διάδοση στις περίπου 30 μοίρες) - Η αλλαγή από στενή σε ευρεία γωνία γίνεται με την αντικατάσταση :

8 Perfectly Matched Layers (PML)
Σαν υλικό θεωρείται ανισοτροπικό. Η χρήση του απαιτείται : για να έχουμε ικανοποιητική απόσβεση στα άκρα του επιπέδου και κατάλληλη προσομοίωση της διάδοσης σε μη άπειρο χώρο για να αποφευχθεί μια πιθανή συσσώρευση υπολογιστικών λαθών λόγω ανακλάσεων

9 Ορισμός του PML : ,διότι και
Ο πίνακας μηδενίζει το φαινόμενο της ανάκλασης σε κύματα με αυθαίρετες γωνίες πρόσπτωσης. Για περιοχές του PML που έχουν μόνο y ή z συνιστώσα αντίστοιχα είναι: , Για τις τέσσερις γωνιακές περιοχές (ΙV) του PML : Συνολικά :

10 Χρησιμοποιήσαμε το PML Gradient Profile με :
Το προσπίπτον κύμα θεωρείται κάθετα(εγκάρσια) πολωμένο,άρα θα έχουμε μη μηδενική μόνο την συνιστώσα. Εισάγοντας το PML στην εξίσωση Helmholtz : οδηγεί στην Παραξονική προσέγγιση με PML με και Εφαρμόζοντας ξανα : Διακριτοποίηση με την προσέγγιση Crank-Nicholson Διόρθωση ευρείας γωνίας Διατύπωση Galerkin παίρνουμε το τελικό σύστημα εξισώσεων :

11 Σύγκριση PML Constant και PML Gradient
σταθερού προφίλ (constant profile), διατηρεί σταθερή απόσβεση σε όλο το χωρίο βαθμιαίου προφίλ (gradient profile), η απόσβεση που επιβάλλει, μεταβάλλεται βαθμιαία με το βάθος διείσδησης. Εξετάζουμε την διάδοση ένος Γκαουσιανού Παλμού στον κενό χώρο, εφαρμόζοντας και στα άκρα των εγκάρσιων επιπέδων διάδοσης τους δύο τύπους PML. Η προσομοίωση της διάδοσης έγινε για εγκάρσια επίπεδα απόστασης ίσης με 1/5 του μήκους κύματος μεταξύ τους ,για 50 συνολικά επίπεδα. f = 2.54 GHz Σύγκριση με την αναλυτική λύση

12 Παρουσίαση των αποτελεσμάτων στο επίπεδο 50
Αναλυτική Λύση PML Constant Profile PML Gradient Profile

13 Υπολογιστική Υλοποίηση

14 Συμβάσεις που πρέπει να ακολουθήσει ο σχεδιαστής.
Συμβάσεις που πρέπει να ακολουθήσει ο σχεδιαστής. Το σχέδιο πρέπει να δημιουργηθεί αποκλειστικά και μόνο από ευθύγραμμα τμήματα, αφού το πρόγραμμα έχει γράφει ,ώστε να αναγνωρίζει και να μεταφέρει σε μορφή αναγνώσιμη από το Matlab μόνο αυτά. Τα layer πρέπει να έχουν μορφή ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου. Κάθε νέο τρισδιάστατο αντικείμενο που εισάγεται στο σχέδιο πρέπει να δίνεται από νέο layer. Ο αέρας στο εσωτερικό των δωματίων ορίζεται ως layer διαφορετικό για κάθε δωμάτιο. Οι τοίχοι κάθε δωματίου ορίζονται από ένα εξωτερικό layer που δίνεται ως τοίχος και ένα εσωτερικό που δίνεται ως αέρας.

15 Αρχεία dxf Δείγματα αρχείου dxf
Μορφή αρχείων που υποστηρίζει το AutoCAD. Αναγνωρίζονται από αλλά προγράμματα ως αρχεία κειμένου. H μορφή τους υπακούει σε κάποιο πρότυπο (π.χ. 2000/LT2000 DXF,R12 LT2 DXF, 2004 ) Τα πρότυπα τους έχουν δομή παρόμοια με την δομή του κώδικα ενός προγράμματος γραμμένο σε κάποια τυπική γλώσσα προγραμματισμού. Δείγματα αρχείου dxf

16 Ανάγνωση σχεδίου από το matlab
Ανοίγοντας το αρχείο dxf με το matlab έχουμε δημιουργία στο workspace,ενός cellarray με περιεχόμενο τις εντολές του dxf. Ανίχνευση των λέξεων που μας ενδιαφέρουν. Με την βοήθεια του προτύπου (2004 AutoCAD DXF ) απομονώνουμε τα στοιχειά που μας ενδιαφέρουν (layers και αρχικά και τελικά σημεία ευθύγραμμων τμημάτων). Μεταφορά στο matlab των στοιχειών και αποθήκευση σε μορφή επεξεργάσιμη από αυτό.

17 Αποθήκευση σχεδίου στο matlab
Το σχέδιο αποθηκεύεται σε cellarray διάστασης 1xN. (N ο αριθμός των layers του σχεδίου). Σε κάθε κελί του cellarray αποθηκεύονται πληροφορίες για ένα layer. Οι πληροφορίες για κάθε layer δίνονται από ένα πίνακα 12x6. Συντεταγμένες αρχικού Και τελικού σημείου ακμής layer. Περιεχόμενο cellarray θέση (1,1)

18 Μεταφορά σχεδίου στο matlab
Σχέδιο cad

19 Τομές Εύρεση της τομής ενός επιπέδου, που
είναι κάθετο σε ένα συγκεκριμένο σημείο μιας γνωστής ευθείας, με μια άλλη επίσης γνωστή ευθεία. Γνωρίζοντας τα Α,Β και Κ,Λ τα σημεία Μ και Τ δίνονται από Κάνοντας χρήση τύπων από την γραμμική άλγεβρα καταλήγουμε Με τις παραμέτρους t,k από 0 έως 1

20 Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων
Κάνοντας χρήση τις σχέσης (1) καταφέρνουμε να εκφράσουμε όλα τα σημεία του χώρου ως προς ένα νέο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο ο άξονας x θα είναι αυτός που θα συνδέει δυο σημεία S(xs,ys,zs) και T(xt,yt,zt) (1)

21 Αποθήκευση τομών στο matlab
Οι τομές αποθηκεύονται σε cellarray Οι πληροφορίες για κάθε layer αποθηκεύονται σε διαφορετική γραμμή του cellarray. Οι τρεις πρώτες στήλες κάθε γραμμής περιέχουν πίνακες με τις X,Y,Z συντεταγμένες για κάθε επίπεδο των τομών. Η τέταρτη και πέμπτη στήλη κάθε γραμμής περιέχουν τον αριθμό των τομών για κάθε επίπεδο και το υλικό του layer αντίστοιχα. X Y Z Υλικά Πληροφορίες layer

22 Δημιουργία του πίνακα γεωμετρίας για κάθε επίπεδο
Δημιουργούμε ένα πίνακα γεωμετρίας για το PML gd1. Από τον πίνακα τον τομών κατασκευάζουμε ένα πίνακα γεωμετρίας για τα πολύγονα που σχηματίζονται από τις τομές για κάθε επίπεδο gd2. Ενώνουμε τους πίνακες gd1 και gd2 σε ένα πίνακα gd3. Τύπος περιοχής Πλήθος πλευρών

23 Υλικά Ο διαχωρισμός των υλικών του σχεδίου, ώστε να είναι δυνατή η αντιμέτωπισή τους από το πρόγραμμα,ανάλογα με τις ιδιότητες τους γίνεται ως εξής: Όταν ανοίγουμε με το πρόγραμμα ένα καινούργιο σχέδιο, αφού διαβαστούν αυτόματα τα ονόματα τον layers του σχεδίου μας, ζητείται να προσδιορίσουμε το υλικό που είναι φτιαγμένο το κάθε layer μέσα από μια λίστα υλικών. Η πληροφορία αυτή αποθηκεύεται και χρησιμοποιείται στην συνέχεια. Όνομα layer Λίστα υλικών

24 Υλικά Κάνουμε χρήση των πινάκων p,t και e.
Από τους πίνακες αυτούς βρίσκουμε τις συντεταγμένες των κορυφών για κάθε τρίγωνο του πλέγματος. Άρα και τα κέντρα βάρους των τριγώνων. Έχοντας το κέντρο βάρους συγκεκριμένου τριγώνου από το πλέγμα Ανακαλούμε την αποθηκεμένη πληροφορία σχετικά με το υλικό κάθε layer Τρέχουμε μια σειρά από εντολές inpolygon για το κέντρο βάρους. Βρίσκουμε ,στην δική μας αρίθμηση τον αριθμό της περιοχής που βρίσκεται το κέντρο βάρους. Αντιστοιχούμε την περιοχή που βρήκαμε με την περιοχή που βρίσκεται το κέντρο βάρους συμφωνά με τον πίνακα t. Συνεχίζουμε σε επόμενη περιοχή μέχρι να αντιστοιχίσουμε όλες τις περιοχές του πίνακα t με την δικιά μας αρίθμηση περιοχών.

25 Υλικά Στην αρίθμηση του πίνακα t είναι η περιοχή 5
Στη δική μας αρίθμηση είναι η περιοχή 11(αερας)

26 Πλεγματοποίηση εγκάρσιων επιπέδων
Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση initmesh του Matlab(αριθμεί τους κόμβους με τυχαίο τρόπο) για κάθε εγκάρσιο επίπεδο. Δημιουργούνται οι πίνακες p,e,t Πίνακας p :διάστασης 2 x Nn, περιέχει τις x-και y- συντεταγμένες των κόμβων. Πίνακας e :διάστασης 7 x Nd. Περιέχει τους κόμβους αρχής και τέλους της ακμής,τον δείκτη του διαχωριστικού τμήματος στο οποίο κείται η ακμή και τους δείκτες των υποπεριοχών που βρίσκονται δεξιά και αριστερά της. Ο πίνακας t :διάστασης 4 x Ne. Περιέχει τους τρεις κόμβους που ορίζουν τις τρεις κορυφές κάθε στοιχείου του πλέγματος και τo δείκτη της υποπεριοχής στην οποία ανήκει το κάθε στοιχείο.

27 Εφαρμογή του PML Καθορίζουμε τις διαστάσεις του PML.
Γνωρίζοντας τους πίνακες p,t βρίσκουμε τις συντεταγμένες των κόμβων των παραπάνω τριγώνων. Προκύπτουν οι πίνακες Sy και Sz από τις σχέσεις του PML Gradient.

28 Συσχέτιση διαδοχικών επιπέδων
Η παραβολική εξίσωση για να υπολογίσει τον πίνακα της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης κάποιου επιπέδου,χρησιμοποιεί τον πίνακα του προηγούμενου επιπέδου. Δύο διαδοχικά επίπεδα όμως δεν διαθέτουν τους ίδιους κόμβους,αλλά διαφέρουν τόσο στη θέση και όσο και στο πλήθος. Η παραβολική εξίσωση εξάγει τις τιμές του Ε για το επόμενο επίπεδο πάνω στους κόμβους του προηγουμένου. Πρέπει λοιπόν να αντιστοιχίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο πάνω στους κόμβους του παρόντος επιπέδου. Από τα κέντρα βάρους των τριγώνων του προηγούμενου επιπέδου βρίσκουμε ποιοί κόμβοι του νέου επιπέδου απέχουν την ελάχιστη απόσταση από αυτά.Με την βοήθεια των ισοσταθμικών (Simplex) συντεταγμένων αντιστοιχούμε στους καινούριους κόμβους τις τιμές του Ε.

29 Συχνότητα 2.54 GHz Δημιουργούμε την απαιτούμενη διέγερση επίπεδου κύματος,θέτοντας την τιμή του δυναμικού του ηλεκτρικού πεδίου,στο πρώτο επίπεδο,για κάθε κόμβο του πλέγματος ίση με τη μονάδα. Απόσταση εγκάρσιων επιπέδων λ/2,οι πλευρές των πεπερασμένων στοιχείων δεν ξεπερνούν τα λ/4 επίσης. Προκύπτουν 130 εγκάρσια επίπεδα με περί τα πεπερασμένα στοιχεία το κάθε ένα. Οποιαδήποτε γεωμετρική μεταβολή του υπό εξέταση χώρου,άρα και των εγκάρσιων επιπέδων στη διεύθυνση διάδοσης,απαιτεί εκ νέου τον υπολογισμό των πινάκων πλεγματοποίησης. Η διακριτοποιημένη παραβολική εξίσωση επιλύεται με τον direct solver του Matlab,παρέχοντάς τις τιμές του πεδίου για το επόμενο επίπεδο. Οι τιμές του πεδίου εκτυπώνονται στις δύο διαστάσεις και πάνω στο χωρίο μελέτης για οποιοδήποτε επίπεδο επιθυμούμε.

30 Αποτελέσματα

31 Το πεδίο(dB) στο δεύτερο δωμάτιο σε ύψος 1m

32

33 Συμπεράσματα Λαμβάνει υπ’ όψη όλους τους μηχανισμούς διάδοσης.Έχουμε εμφανείς ανακλάσεις,διαθλάσεις και περιθλάσεις. Το εφαρμοζόμενο PML αποδείχτηκε άριστος μηχανισμός απόσβεσης. Μπορεί να διαχειριστεί υλικά με μεγάλη διαφοροποίηση στα ηλεκτρικά τους χαρακτηριστικά. Είναι μέθοδος πλήρους κύματος. Η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί με επιτυχία σε προβλήματα διάδοσης σε εσωτερικό χώρων τριών διαστάσεων.