Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Αλγόριθμος Tonelli-Shanks Παρουσίαση Εργασίας Κωνσταντίνα Μέλλου Παρουσίαση Εργασίας Κωνσταντίνα Μέλλου.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Αλγόριθμος Tonelli-Shanks Παρουσίαση Εργασίας Κωνσταντίνα Μέλλου Παρουσίαση Εργασίας Κωνσταντίνα Μέλλου."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αλγόριθμος Tonelli-Shanks Παρουσίαση Εργασίας Κωνσταντίνα Μέλλου Παρουσίαση Εργασίας Κωνσταντίνα Μέλλου

2 Δημιουργία Αλγορίθμου  1891: Αρχική ιδέα από τον Alberto Tonelli  1973: Ο Dan Shanks αναπτύσσει τον αλγόριθμο με βάση τη διαδικα- σία του Α.Tonelli  1891: Αρχική ιδέα από τον Alberto Tonelli  1973: Ο Dan Shanks αναπτύσσει τον αλγόριθμο με βάση τη διαδικα- σία του Α.Tonelli

3 Τετραγωνική ρίζα modulo p x : τετραγωνική ρίζα του α modulo p α : τετραγωνικό υπόλοιπο x : τετραγωνική ρίζα του α modulo p α : τετραγωνικό υπόλοιπο

4 Σύμβολο Legendre Ισοδύναμος ορισμός

5 Περιγραφή Αλγορίθμου Είσοδοι: p και α Έλεγχος αν p πρώτος (τεστ Miller-Rabin) Έλεγχος αν α τετραγωνικό υπόλοιπο (με υπολογισμό του συμβόλου Legendre) Είσοδοι: p και α Έλεγχος αν p πρώτος (τεστ Miller-Rabin) Έλεγχος αν α τετραγωνικό υπόλοιπο (με υπολογισμό του συμβόλου Legendre)

6 Γράφουμε τον p ως: Βρίσκουμε αριθμό z μη τετραγωνικό υπόλοιπο με παραγωγή τυχαίων αριθ- μών μέχρι να ισχύει Αρχικοποίηση μεταβλητών Γράφουμε τον p ως: Βρίσκουμε αριθμό z μη τετραγωνικό υπόλοιπο με παραγωγή τυχαίων αριθ- μών μέχρι να ισχύει Αρχικοποίηση μεταβλητών

7 Βρίσκουμε το ελάχιστο m με τέτοιο ώστε: Αν m=0 οι λύσεις είναι οι x και p-x Αλλιώς ενημερώνουμε τις μεταβλητές x g b r m και επαναλαμβάνουμε τα 3 τελευταία βήματα Βρίσκουμε το ελάχιστο m με τέτοιο ώστε: Αν m=0 οι λύσεις είναι οι x και p-x Αλλιώς ενημερώνουμε τις μεταβλητές x g b r m και επαναλαμβάνουμε τα 3 τελευταία βήματα

8 Βασικά Σημεία της Απόδειξης  Εφόσον θέτουμε, έχουμε  Αυτή η σχέση ισχύει σε κάθε βήμα, αφού και για τις νέες τιμές των x και β ισχύει:  Εφόσον θέτουμε, έχουμε  Αυτή η σχέση ισχύει σε κάθε βήμα, αφού και για τις νέες τιμές των x και β ισχύει: x b

9  Επομένως αρκεί να ισχύει ή ισοδύναμα με m=0  Η μεταβλητή r αρχικά έχει την τιμή e και σε κάθε επανάληψη θέτουμε όπου r το m.  Από θεώρημα υπάρχει m με τέτοιος ώστε να ισχύει  Επομένως το m μειώνεται σε κάθε επανάληψη μέχρι να μηδενιστεί  Επομένως αρκεί να ισχύει ή ισοδύναμα με m=0  Η μεταβλητή r αρχικά έχει την τιμή e και σε κάθε επανάληψη θέτουμε όπου r το m.  Από θεώρημα υπάρχει m με τέτοιος ώστε να ισχύει  Επομένως το m μειώνεται σε κάθε επανάληψη μέχρι να μηδενιστεί

10  Τότε οι λύσεις είναι οι x και p-x αφού και  Τότε οι λύσεις είναι οι x και p-x αφού και

11 Ταχύτητα του Αλγορίθμου Δίνεται από τη σχέση: m : αριθμός ψηφίων στη δυαδική αναπαράσταση του p k : αριθμός 1 στη δυαδική αναπαράσταση του p e : εκθέτης στη σχέση Δίνεται από τη σχέση: m : αριθμός ψηφίων στη δυαδική αναπαράσταση του p k : αριθμός 1 στη δυαδική αναπαράσταση του p e : εκθέτης στη σχέση

12 Εφαρμογές Αλγορίθμου  Μαθηματικά  Κρυπτογραφία (Κρυπτοσύστημα Rabin, Θεωρία Ελλειπτικών Καμπυλών)  Μαθηματικά  Κρυπτογραφία (Κρυπτοσύστημα Rabin, Θεωρία Ελλειπτικών Καμπυλών)


Κατέβασμα ppt "Αλγόριθμος Tonelli-Shanks Παρουσίαση Εργασίας Κωνσταντίνα Μέλλου Παρουσίαση Εργασίας Κωνσταντίνα Μέλλου."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google