Αλγόριθμος Tonelli-Shanks

Παρουσίαση με θέμα: "Αλγόριθμος Tonelli-Shanks"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αλγόριθμος Tonelli-Shanks
Παρουσίαση Εργασίας Κωνσταντίνα Μέλλου

2 Δημιουργία Αλγορίθμου
1891: Αρχική ιδέα από τον Alberto Tonelli 1973: Ο Dan Shanks αναπτύσσει τον αλγόριθμο με βάση τη διαδικα-σία του Α.Tonelli

3 Τετραγωνική ρίζα modulo p
x : τετραγωνική ρίζα του α modulo p α : τετραγωνικό υπόλοιπο

4 Σύμβολο Legendre Ισοδύναμος ορισμός

5 Περιγραφή Αλγορίθμου Είσοδοι: p και α
Έλεγχος αν p πρώτος (τεστ Miller-Rabin) Έλεγχος αν α τετραγωνικό υπόλοιπο (με υπολογισμό του συμβόλου Legendre)

6 Γράφουμε τον p ως: Βρίσκουμε αριθμό z μη τετραγωνικό υπόλοιπο με παραγωγή τυχαίων αριθ-μών μέχρι να ισχύει Αρχικοποίηση μεταβλητών

7 Βρίσκουμε το ελάχιστο m με
τέτοιο ώστε: Αν m=0 οι λύσεις είναι οι x και p-x Αλλιώς ενημερώνουμε τις μεταβλητές x g b r m και επαναλαμβάνουμε τα 3 τελευταία βήματα

8 Βασικά Σημεία της Απόδειξης
Εφόσον θέτουμε , έχουμε Αυτή η σχέση ισχύει σε κάθε βήμα, αφού και για τις νέες τιμές των x και β ισχύει: b x

9 Επομένως αρκεί να ισχύει ή ισοδύναμα με m=0
Η μεταβλητή r αρχικά έχει την τιμή e και σε κάθε επανάληψη θέτουμε όπου r το m. Από θεώρημα υπάρχει m με τέτοιος ώστε να ισχύει Επομένως το m μειώνεται σε κάθε επανάληψη μέχρι να μηδενιστεί

10 Τότε οι λύσεις είναι οι x και p-x αφού

11 Ταχύτητα του Αλγορίθμου
Δίνεται από τη σχέση: m : αριθμός ψηφίων στη δυαδική αναπαράσταση του p k : αριθμός 1 στη δυαδική αναπαράσταση του p e : εκθέτης στη σχέση

12 Θεωρία Ελλειπτικών Καμπυλών)
Εφαρμογές Αλγορίθμου Μαθηματικά Κρυπτογραφία (Κρυπτοσύστημα Rabin, Θεωρία Ελλειπτικών Καμπυλών)