Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Ημικλασικές Καταστάσεις του Ατόμου του Υδρογόνου - Ανάπτυξη εφαρμογής σε Mathematica Αλεξανδροπούλου Χαρίκλεια Επιβλέπων καθηγητής : Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Ημικλασικές Καταστάσεις του Ατόμου του Υδρογόνου - Ανάπτυξη εφαρμογής σε Mathematica Αλεξανδροπούλου Χαρίκλεια Επιβλέπων καθηγητής : Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Ημικλασικές Καταστάσεις του Ατόμου του Υδρογόνου - Ανάπτυξη εφαρμογής σε Mathematica Αλεξανδροπούλου Χαρίκλεια Επιβλέπων καθηγητής : Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

2 Περιεχόμενα  Ιδιοκαταστάσεις του ατόμου του υδρογόνου  Ιδιοκαταστάσεις αρμονικού ταλαντωτή - Ημικλασικές καταστάσεις  Παρουσίαση Ημικλασικών καταστάσεων Υδρογόνου – Ιδιότητες  Προσομοίωση σε Mathematica

3 Σκοπός  Βιβλιογραφική παρουσίαση των ημικλασικών ιδιοκαταστάσεων του ατόμου του Υδρογόνου  Επιβεβαίωση αποτελεσμάτων με ανάπτυξη εφαρμογής σε Mathematica  Προσομοίωση ιδιοκαταστάσεων Υδρογόνου σε Mathematica για εκπαιδευτικούς λόγους

4 Η εξίσωση Schrödinger στο άτομο του υδρογόνου όπου Το δυναμικό στο άτομο του υδρογόνου, αλλά και σε οποιοδήποτε άλλο κυκλικό δυναμικό εκφράζεται ως Η εξίσωση Schrödinger σε σφαιρικές συντεταγμένες

5  Η λύση της εξίσωσης Schrödinger έχει τη μορφή ψ (r, θ, φ ) = R(r)Y( θ, φ ) όπου Y( θ, φ ) είναι οι σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις, λύσεις της γωνιακής εξίσωσης και R(r) είναι οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης  Η γενική λύση είναι  με, όπου Ζ =1 για το άτομο του υδρογόνου ( ατομικός αριθμός ) και η ακτίνα Bohr

6  Για τους κβαντικούς αριθμούς n ( κύριος κβαντικός αριθμός ), l ( κβαντικός αριθμός της στροφορμής ) και m ( μαγνητικός κβαντικός αριθμός ) ισχύει

7 Σχηματική Αναπαράσταση Σφαιρικών Αρμονικών συναρτήσεων για l=1, 2, 3

8 • Πυκνότητα Πιθανότητας Ακτινικής Κυματοσυνάρτησης •Η π ιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου σε στοιχειώδη όγκο d τ είναι •Με ολοκλήρωση στο χώρο π ροκύ π τει η π υκνότητα π ιθανότητας της ακτινικής κυματοσυνάρτησης

9 Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής  Η εξίσωση Schrödinger για τον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή όπου m η μάζα του σωματιδίου.  Η Χαμιλτ o νιανή του σωματιδίου είναι όπου ο τελεστής θέσης και ο τελεστής ορμής

10 Ενεργειακές Στάθμες  Για τον υπολογισμό των ενεργειακών σταθμών απαιτείται η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger  Οι λύσεις προκύπτουν ως εξής Όπου Η n είναι τα πολυώνυμα Hermite.  H ενέργεια σε κάθε ενεργειακή στάθμη δίνεται από  Οι εξισώσεις εκφράστηκαν σε ατομικές μονάδες, δηλαδή

11

12 Για n=50 σχεδιάζεται η πυκνότητα πιθανότητας κλασικού ( μπλε ) και κβαντικού ( κόκκινο ) αρμονικού ταλαντωτή.

13 Σύμφωνες Καταστάσεις Αρμονικού Ταλαντωτή  Ή καταστάσεις Clauber  Στον Roy J. Clauber το 2005 απονεμήθηκε το βραβείο Νόμπελ  Η κατάσταση που περιγράφει μια δέσμη λέιζερ έχει πολύ καλά εντοπισμένη φάση

14  Ορίζεται ως ιδιοκατάσταση του τελεστή πλάτους, δηλαδή του τελεστή α, με ιδιοτιμές  Είναι οι καταστάσεις που βρίσκονται πιο κοντά στο κλασικό όριο  Οι σύμφωνες καταστάσεις δεν έχουν καθορισμένη ενέργεια. . Η μέση ενέργεια και η αβεβαιότητα ενέργειας  Γράφονται ως μια επαλληλία τέτοιων ιδιοκαταστάσεων

15  Και στην αναπαράσταση θέσης ( για Im a = 0)  η ιδιοτιμή α που χαρακτηρίζει τις σύμφωνες καταστάσεις είναι το κβαντικό ανάλογο του κλασικού πλάτους. Τα δύο μεγέθη συνδέονται με το σχέση  α ->, η αβεβαιότητα ενέργειας μειώνεται πολύ ( σχεδόν καθορισμένη ενέργεια )  Πυκνότητα πιθανότητας

16 Σχηματική αναπαράσταση της σύμφωνης κατάστασης για α = 1 + i, για χρόνου t = 0, 1.5, 3.5. Διατηρείται ο Γκαουσιανός Χαρακτήρας.

17 Ημικλασικές Καταστάσεις στο άτομο του υδρογόνου  O Brown διατύπωσε καταστάσεις ελάχιστης αβεβαιότητας που κινούνται σε κυκλική τροχιά Kepler.  Αποτελούνται από κυκλικές ιδιοκαταστάσεις, δηλαδή ισχύει l = m = n – 1.  Η περίοδος και το μήκος της τροχιάς αντιστοιχούν στη κίνηση ενός « κλασικού » ηλεκτρονίου εντοπισμένου στο κέντρο μάζας του κυματοπακέτου.

18 Άλλες διατυπώσεις  Ο Nieto προσανατολίστηκε στην εξαγωγή κυματοπακέτων ελάχιστης αβεβαιότητας.  Οι Barut, Perelomov, και Nieto όρισαν τις ημικλασικές καταστάσεις, ως ιδιοκαταστάσεις του τελεστή καταστροφής.  Η ομάδα των Gerry και Bhaumik, καθώς και πολλοί άλλοι χρησιμοποίησαν το μετασχηματισμό σε τετραδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή.

19 Ορισμός  Η Χαμιλτόνιανη του ατόμου του υδρογόνου  Κυματοσυνάρτηση  Και συνάρτηση βάρους  Η κυματοσυνάρτηση της κατάσταση  Με σταθερά κανονικοποίησης

20 • Η εξάρτηση από τα r και θ της κυματοσυνάρτησης μπορεί να αγνοηθεί, γιατί αν >> 1 ισχύει • H πυκνότητα πιθανότητας είναι για t = 0 είναι Πυκνότητα πιθανότητας για t = 0 και

21 Μελέτη Χρονική Εξέλιξης του κυματοπακέτου  Ο όρος t/(2n 2 ) αναπτύσσεται σε σειρά Taylor γύρω από το  Ο πρώτος όρος δίνει με Τ Κ =2 π η περίοδος Κ epler όπου Δ n=n-

22  H επίδραση του δεύτερου όρου έχει ως αποτέλεσμα το διασκορπισμό του πακέτου και μετά από λίγες περιόδους την συμβολή με τον εαυτό του και την εμφάνιση αναβιώσεων.  Επανεμφανίζεται πλήρως μετά από χρόνο  Σε ενδιάμεσο χρόνο παρατηρούνται επιμέρους μέγιστα σε χρόνους

23 t=0 T K t = 0,25 T K t=1 T K t=1, 25 T K t=2.5 T K t=6 T K t=15 T K σ n =2.5

24 t = 30 T K = Τ rev /4t = 40 T K = Τ rev /3 t = 60 T K = Τ rev /2 t = 120 T K = Τ rev σ n =2.5

25 Αβεβαιότητα του κυματοπακέτου  H αβεβαιότητα στην ακτινική μεταβλητή υπολογίζεται ως  Επίσης  Το γινόμενο αβεβαιότητας ως προς τον ακτινικό βαθμό ελευθερίας  Η αναμενόμενη τιμή του της αζιμούθιας γωνίας θ  Η αναμενόμενη τιμή του τετραγώνου της στροφορμής  Το γινόμενο αβεβαιότητας  Η πιθανότητα ευρέσεως του ηλεκτρονίου μεταξύ φ και φ +d φ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη γύρω από τον κύκλο ακτίνας n 2

26 Προσομοίωση  Επιλογή ανάπτυξης σε Mathematica Οι συναρτήσεις όπως ορίστηκαν  Συνάρτηση βάρους  Κυματοσυνάρτηση Ημικλασικής Κατάστασης  Κυματοσυνάρτηση Υδρογόνου


Κατέβασμα ppt "Ημικλασικές Καταστάσεις του Ατόμου του Υδρογόνου - Ανάπτυξη εφαρμογής σε Mathematica Αλεξανδροπούλου Χαρίκλεια Επιβλέπων καθηγητής : Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google