ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ

Παρουσίαση με θέμα: "ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ 6Ο ΛΥΚΕΙΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

2 Η ΟΜΑΔΑ ΑΠΕΡΗ ΣΟΦΙΑ ΑΥΓΟΥΣΤΗ ΓΕΩΡΓΙΑ – ΜΑΡΙΑ ΒΟΚΣΙ ΜΕΓΚΙ
ΑΠΕΡΗ ΣΟΦΙΑ ΑΥΓΟΥΣΤΗ ΓΕΩΡΓΙΑ – ΜΑΡΙΑ ΒΟΚΣΙ ΜΕΓΚΙ ΓΕΡΟΧΡΗΣΤΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΗ ΙΩΑΝΝΑ ΓΙΑΝΝΙΚΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΓΙΑΧΑΪ ΤΖΕΝΗ ΓΚΟΥΜΑ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΓΚΟΥΡΡΑ ΡΕΝΑΛΝΤ ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΚΑΚΟΥΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΙΟΥΡΚΑΣ ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΓΙΑΡ –ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΛΕΞΙΟΣ-ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΛΙΓΚΟΥΡΑ ΕΥΦΡΟΣΥΝΗ ΜΗΤΣΕΛΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΜΙΧΕΛΗ ΙΩΑΝΝΑ ΞΩΜΕΡΙΤΑΚΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΠΑΥΛΗΣ- ΠΑΥΛΙΔΗΣ ΦΩΤΙΟΣ ΠΟΛΥΜΕΡΟΣ ΜΑΡΙΟΣ ΡΟΥΣΣΟΥ ΛΙΒΙΟΥ-ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Υπεύθυνη καθηγήτρια : ΑΣΗΜΕΝΙΟΥ ΜΑΡΙΑ

3 ΠΙΣΤΕΥΕΤΕ ΛΟΙΠΟΝ ΠΩΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΧΟΥΝ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ?
Έχετε αναρωτηθεί γιατί στο βιβλίο της Γεωμετρίας σας, στην αρχή κάθε κεφαλαίου έχει έναν ζωγραφικό πίνακα; ΠΙΣΤΕΥΕΤΕ ΛΟΙΠΟΝ ΠΩΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΧΟΥΝ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ? ΜΕ ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ; Το ερωτηματολόγιο που εσείς συμπληρώσατε (ελπίζουμε υπεύθυνα και ειλικρινώς ) μας δίνει την απάντηση !!! Παρακάτω αναγράφονται οι ερωτήσεις που σας κάναμε και οι απαντήσεις σας στατιστικά ! ΞΕΚΙΝΑΜΕ ΛΟΙΠΟΝ!

4

5

6

7

8

9

10 Και ιδού τα αποτελέσματα !
Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός του ότι ενώ πολλοί από εσάς δεν είναι ικανοποιημένοι με την επίδοση τους φαίνεται να μην προσπαθούν καν αφού τα ποσοστά των παιδιών που δεν διαβάζουν καθόλου σχεδόν στο σπίτι υπερτερούν των υπολοίπων! Ενώ πολλοί από εσάς ήξεραν πως τα μαθηματικά παίζουν διάφορους ρόλους στην ζωή μας λίγοι ήταν αυτοί που γνώριζαν καλλιτέχνες που να αποτυπώνουν μαθηματικά στοιχεία στα έργα τους! Υπάρχουν βέβαια και κάποιοι που πιστεύουν ότι τα μαθηματικά δεν έχουν καμία απολύτως σχέση με την ζωή μας…. ΜΠΑ… ΕΜΕΙΣ ΔΙΑΦΩΝΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΔΟΥΜΕ ΛΟΙΠΟΝ……

11 XΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Τι κοινό έχουν μια πιστωτική κάρτα,
η αναπαραγωγή των κουνελιών, το κουνουπίδι και ο Παρθενώνας; Η απάντηση ακούει στο όνομα 1, , το χρυσό αριθμό. Μάθετε τι τον καθιστά τόσο μαγικό !

12 Ο χρυσός αριθμός φ Τι το ιδιαίτερο έχει, λοιπόν, αυτός ο αριθμός; Σε τι διαφέρει από τους άλλους; Όπως ο π (3, ) εκφράζει το πιο τέλειο γεωμετρικό σχήμα, τη σφαίρα, έτσι και ο φ (1, ) είναι ο αριθμός της ομορφιάς. Στα Μαθηματικά και την τέχνη, δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη.. Η χρυσή τομή αναφέρεται επίσης και ως χρυσός λόγος ή χρυσός κανόνας. Άλλα ονόματα είναι χρυσή μετριότητα και Θεϊκή αναλογία ενώ στον Ευκλείδη ο όρος ήταν "άκρος και μέσος λόγος“ Από τον 20ο αιώνα, η χρυσή τομή παριστάνεται με τον ελληνικό γράμμα Φ ή φ (φ, από το αρχικό γράμμα του γλύπτη Φειδία ο οποίος λέγεται ότι ήταν από τους πρώτους που τον χρησιμοποίησε στα έργα του).

13 φ= = 1,618033…άρρητος αριθμός Ακολουθία Φιμπονάτσι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,… Κάθε όρος προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων. Ο λόγος κάθε όρου με τον αμέσως προηγούμενο (όσο προχωράμε στην ακολουθία) προσεγγίζει τον αριθμό φ. Τον συναντάμε στη φύση: Σε ιδανικές συνθήκες ο ρυθμός αναπαραγωγής των κουνελιών, ακολουθεί την ακολουθία των αριθμών Φιμπονάτσι. Πολλοί καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες του 20ου αιώνα προσάρμοσαν τα έργα τους ώστε να προσεγγίζουν την χρυσή αναλογία — ιδίως στη μορφή του χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, στο οποίο ο λόγος της μεγαλύτερης πλευράς προς την μικρότερη είναι η χρυσή τομή — πιστεύοντας ότι αυτή η αναλογία είναι αισθητικά ευχάριστη.

14 Το γενεαλογικό δέντρο ενός κηφήνα σε ένα μελίσσι είναι μια ακολουθία Φιμπονάτσι.
Η αναλογία ανάμεσα σε εργάτριες μέλισσες και κηφήνες σε ένα μελίσσι προσεγγίζει τον χρυσό αριθμό. Στα πέταλα του τριαντάφυλλου, στους ηλίανθους, στα κουκουνάρια,… Τα φύλλα, τα πέταλα και οι σπόροι οργανώνονται στα φυτά ακολουθώντας αυτό το μοτίβο, γιατί έτσι , καθώς αναπτύσσονται, αξιοποιούν με τον καλύτερο δυνατό τρόπο το διαθέσιμο χώρο. Τα φύλλα στο μίσχο επωφελούνται στο μέγιστο βαθμό από το φως του ήλιου, χωρίς να κρύβει το ένα το άλλο. Τα λουλούδια προσελκύουν όσο το δυνατόν καλύτερα τα έντομα που μεταφέρουν τη γύρη.

15

16 Project(Ερευνητική εργασία)
Θέμα: Μαθηματικά και τέχνη Υπεύθυνη καθηγήτρια: Ασημένιου Μαρία Ομάδα εργασίας Βόκσι Μέγκυ Γεροχρήστος Γιάννης Γιάχαϊ Τζένη Γκούρας Ρένης

17 ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Τι είναι τα Μαθηματικά Τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη που μελετά θέματα που αφορούν την ποσότητα (δηλαδή τους αριθμούς), τη δομή (δηλαδή τα σχήματα), το διάστημα, τη μεταβολή, τις σχέσεις όλων των μετρήσιμων αντικειμένων της πραγματικότητας και της φαντασίας μας, καθώς επίσης, σύμφωνα με ορισμένους ερευνητές , και μερικά άλλα που δεν είναι γενικώς δεκτά ότι πρέπει να περιλαμβάνονται στον ορισμό. Τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται σε όλο τον κόσμο ως ένα απαραίτητο εργαλείο σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της φυσικής επιστήμης, της μηχανικής, της ιατρικής, καθώς και τις κοινωνικές επιστήμες.

18 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Ο Έλληνας Μαθηματικός Πυθαγόρας (570 π.Χ π.Χ.),που γενικά πιστώνεται την ανακάλυψη του ομώνυμου θεωρήματος . Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος , υπήρξε σημαντικός έλληνας φιλόσοφος , μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι το κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών, δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις και ήταν ιδρυτής ενός μυητικού φιλοσοφικού κινήματος που λέγεται Πυθαγορισμός (Phythagorism ή Phythagoreanism).Επειδή οι περισσότερες πληροφορίες γράφτηκαν πολλούς αιώνες μετά τον θάνατό του, πολύ λίγες αξιόπιστες πληροφορίες είναι γνωστές γι'αυτόν.

19 Μία ιστορική περίοδος όπου τα Μαθηματικά με την Τέχνη είναι απόλυτα συνδεδεμένα είναι η περίοδος των Πυθαγορείων στην κάτω Ιταλία (600 περίπου π.Χ) Η κοινή αντίληψη για τους Πυθαγορείους τους θεωρεί σημαντικούς και γνωστούς για το ομώνυμο Πυθαγόρειο θεώρημα. Κι όμως δεν είναι αυτή η μεγάλη συνεισφορά των Πυθαγορείων. Από τους Πυθαγόρειους ξεκινάει μια μαθηματική αισθητική θεώρηση του σύμπαντος. Πεποίθησή τους είναι ότι τα πάντα στη φύση είναι αρμονικά συνδεδεμένα σε ένα σύστημα αριθμητικών αναλογών. Ένας από τους επηρεασμούς της Τέχνης από αυτές τις αναζητήσεις των Πυθαγορείων είναι ότι σε αυτούς πιστώνεται ιστορικά η πρώτη μελέτη του λόγου της διαγωνίου προς την πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου, του περίφημου αριθμού Φ, της χρυσής τομής. Οι Αρχαίοι Έλληνες δεν τον ονόμαζαν ούτε Φ ούτε χρυσή τομή, τον ονόμαζαν διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο, όπως τουλάχιστον εμφανίζεται αργότερα στα <<Στοιχεία του Ευκλείδη>>.

20 Οι Ευρωπαίοι κατά την Αναγέννηση , έκπληκτοι διαπίστωσαν τη γνώση και χρήση του από τους αρχαίους Έλληνες. Τον έλεγαν θεία αναλογία και έχουμε πάρα πολλές μαρτυρίες για τη χρήση του στην Αναγέννηση(Luca Paccioli,Davinci κ.α.). Χρυσή τομή τον ονόμασε ο Martin Ohm Γερμανός μαθηματικός, αδερφός του γνωστού φυσικού περίπου το 1835.Φ τον ονόμασε ο Mark Barr Αμερικανός μαθηματικός στις αρχές του 20ου αιώνα προς τιμή του Φειδία από το αρχικό του γράμμα και έκτοτε είναι γνωστός ως <<number pgi>> ή <<golden ratio>>. Ο μεγάλος Kepler έλεγε ότι δύο είναι τα διαμάντια της Γεωμετρίας, το ένα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και το άλλο αυτή η διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο.

21 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ
Οι Αιγύπτιοι ήταν ένας από τους λαούς που ασχολήθηκαν ιδιαίτερα με τα μαθηματικά και κυρίως με τη γεωμετρία, δηλαδή τον κλάδο των μαθηματικών που πραγματεύεται την έννοια του σχήματος. Ο αιγυπτιακός λαός ήρθε σε επαφή με τα μαθηματικά επειδή του ήταν απαραίτητα για την επίλυση πρακτικών θεμάτων όπως ο επαναπροσδιορισμός των χωραφιών μετά τις πλημμύρες του Νείλου, σύμφωνα με αναφορές του Ηροδότου. Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά για να μετρήσουν και να υπολογίσουν το μέγεθος στο οποίο ήθελαν να είναι οι ογκόλιθοι αλλά και για να μετρήσουν την κλίση που δημιούργησαν οι πλευρές της πυραμίδας με το επίπεδο ώστε να δημιουργηθεί ομοιόμορφη η κορυφή της πυραμίδας.

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ! ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΤΕΧΝΗ.

23 Στα τέλη του 11ου αιώνα δύει ο μυκηναϊκός πολιτισμός
Στα τέλη του 11ου αιώνα δύει ο μυκηναϊκός πολιτισμός. Μπορεί τα λαμπρά τείχη να αποτελούν παρελθόν, όμως αγγεία συνεχίζουν να παράγονται. Τα αγγεία πλάθονται σε ταχύστροφο τροχό. Η διακόσμηση στηρίζεται στη δομή των αγγείων. Οι αγγειογράφοι εκμεταλλεύονται το μέγεθος του κάθε μέρους του αγγείου και ζωγραφίζουν ανάλογου μεγέθους και σχήματος αντικείμενα.

24 Στο τέλος της περιόδου βάφεται μαύρη όλο και μεγαλύτερη επιφάνεια του αγγείου.
Τα διακοσμητικά θέματα είναι περιορισμένα: Οφιοειδείς γραμμές , τεθλασμένες γραμμές, τρίγωνα και κυρίως ομόκεντροι κύκλοι οι οποίοι σχεδιάζονταν με πολλά πινέλα που ήταν εφαρμοσμένα στο διαβήτη.

25

26 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ – ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ

27 Η γεωμετρία του χώρου είναι η επιστήμη που μελετά τα στερεά σώματα και τις ιδιότητές τους στον χώρο. Οι Πυθαγόρειοι μελέτησαν τη σφαίρα και κάποια κανονικά πολύεδρα, αλλά οι Πλατωνιστές ήταν αυτοί που ασχολήθηκαν εκτεταμένα με τα κανονικά πολύεδρα. Την ομάδα των πολυέδρων που έχουν: την ιδιότητα όλες οι έδρες τους να είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και οι πολυεδρικές τους γωνίες να είναι ίσες τα ονομάζουμε κανονικά πολύεδρα. Ονομάζονται και πλατωνικά γιατί ο Αθηναίος φιλόσοφος Πλάτων (4ος αι. π.Χ.), τα χρησιμοποιεί στο διάλογό του «Τίμαιος» ως μοντέλα των δομικών στοιχείων για τη δημιουργία του κόσμου.

28 Τα πλατωνικά πολύεδρα είναι :
Α) το τετράεδρο που έχει ως έδρες του ισόπλευρο τρίγωνο Β) το εξάεδρο (κύβος) που έχει ως έδρες του τετράγωνο Γ) το οκτάεδρο που έχει ως έδρες του ισόπλευρο τρίγωνο Δ) το δωδεκάεδρο που έχει ως έδρες του κανονικό πεντάγωνο Ε) το εικοσάεδρο που έχει ως έδρες του ισόπλευρο τρίγωνο

29 Στο παλάτι της Ισπανίας στη Granada βλέπουμε να χρησιμοποιούνται κανονικά πολύγωνα στη Τέχνη. Επίσης οι Σουμέριοι διακοσμούσαν τα σπίτια και τους ναούς τους με σχέδια από επαναλαμβανόμενα κανονικά πολύγωνα. Ακόμη, οι Αιγύπτιοι, οι Έλληνες, οι Μαυριτανοί, οι Ρωμαίοι, οι Πέρσες, οι Άραβες, οι Βυζαντινοί, οι Ιάπωνες και οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν τεχνικές σχεδιασμού και ήταν έντονος ο συμμετρικός τρόπος χρωματισμού. [Άλλοι τομείς έρευνας που ασχολούνται συστηματικά με κανονικά πολύγωνα περιλαμβάνονται στη γεωλογία ,μεταλλουργία , βιολογία και κρυπτογραφία!]

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ
Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του συνέβαλαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.

31

32 Πέρα από το μονόχορδο, ο Πυθαγόρας πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις ιδιότητές τους που συνθέτουν τα μουσικά διαστήματα. Ο χωρισμός και καθορισμός των μουσικών διαστημάτων που πέτυχε, ήταν ένα τεράστιας σημασίας επίτευγμα τόσο για τη μουσική όσο και για τα μαθηματικά. Πέρα από τη μεγάλη σημασία για τη θεωρία της μουσικής, ο υπολογισμός του έδωσε την ευκαιρία να κατασκευαστούν μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια από πριν.

33

34 Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια - κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε.

35

36 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η Μουσική είναι ένα ποιοτικό φαινόμενο όπως η αίσθηση του ωραίου, της ανάμνησης και της λήθης, του ευχάριστου και του δυσάρεστου. Η ιστορία του Δυτικού κόσμου συνδέεται άμεσα, τους τρεις τελευταίους αιώνες, με την προσπάθεια υπαγωγής όλων των ποιοτικών φαινομένων σε ποσότητες εφόσον έτσι γίνονται τα φαινόμενα αυτά ελέγξιμα, ερμηνεύσιμα, αντικειμενικά. Έτσι ένας συνεχής μετασχηματισμός συντελείται ο οποίος μεταμορφώνει το υποκειμενικό σε αντικειμενικό και ο καταλύτης σε αυτόν το μετασχηματισμό φαίνεται πως είναι τα Μαθηματικά.

37 Τα Μαθηματικά στη Γλυπτική

38 Ο Δορυφόρος του Πολύκλειτου
«Ο δορυφόρος» του Πολυκλείτου ή «Κανών» ( π.Χ.)  αποτελεί το υπόδειγμα των αναλογιών που θα έπρεπε να έχει η απεικόνιση της ανδρικής μορφής κατά την όρθια στάση. Ο Πολύκλειτος έφτιαξε αυτό το άγαλμα ειδικά για να υποστηρίξει την θεωρητική του εργασία ο «Κανών», στην οποία ανέφερε με μαθηματικούς όρους τις αναλογίες των διαφορετικών μελών του ανθρωπίνου σώματος με το σύνολο, π.χ. την αναλογία του δακτύλου με τα υπόλοιπα δάκτυλα, αυτά με την παλάμη, την παλάμη με τον καρπό της χειρός με τον αγκώνα, των αγκώνα με τον βραχίονα κλπ. Κάνει το κεφάλι το ένα έβδομο του σώματος.

39 Ο Δορυφόρος του Πολύκλειτου
Ο χρυσός αριθμός <<Φ>> εμφανίζεται από τον ομφαλό έως την κορυφή του κεφαλιού και επίσης από τα άκρα των δαχτύλων μέχρι τις αρθρώσεις. Αν μετρήσουμε την απόσταση από τον ομφαλό έως την κορυφή του κεφαλιού έχουμε 0,382. Ενώ μετρώντας από τον ομφαλό και κάτω έχουμε 0,618.Από τη διαίρεση:(0,382+0,618)/0,618=1,618 συμπεραίνουμε ότι εφαρμόστηκε εδώ ο αριθμός <<Φ>>.

40 Το γλυπτό, εντυπωσιακών διαστάσεων, που αποκάλυψε πριν από λίγο καιρό ο Helaman Ferguson στο Πανεπιστήμιο Stony Brook, κοντά στη Νέα Υόρκη είναι ένας φόρος τιμής στην ομορφιά των μαθηματικών. Το γλυπτό, όπως και όλα τα έργα του καλλιτέχνη, είναι εμπνευσμένο από έναν μαθηματικό τύπο.

41 Η Χρυσή Τομή στη Γλυπτική
Κατά τον μεσαίωνα, ενώ το ενδιαφέρον για τη χρυσή τομή ήταν αμείωτο στην αρχιτεκτονική, στη ζωγραφική και τις άλλες τέχνες έμοιαζε πως χάθηκε. Τον 16° αιώνα ο Luca Pacioli γεωμέτρης και φίλος ενός μεγάλου αναγεννησιακού ζωγράφου,«ξαναανακάλυψε» τη χρυσή τομή. Το βιβλίο του, όπου μελετούσε τον αριθμό Φ, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη Leonardo da Vinci. Ο Leonardo για αρκετό καιρό έδειξε ένα διακαές ενδιαφέρον για τα μαθηματικά στην τέχνη και την φύση και επιδόθηκε σε συστηματικές μελέτες. Μελέτησε τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος και ειδικότερα τις αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο. Την αναγέννηση οι καλλιτέχνες άρχισαν να επιστρέφουν στα κλασικά θέματα της αρχαιότητας για τις εμπνεύσεις τους και τις τεχνικές τους. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να αναφέρουμε τους Michelangelo και Raphael οι οποίοι επανέφεραν στις συνθέσεις τους την χρυσή τομή.

42 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Ζωγραφική
2014 Α1 Αυγουστή Γεωργία 3/1/2014

43 ‘’OP ART ‘’ optical illusions VICTOR VASARELY(1906-1997)
Ο Victor Vasarely θεωρείται ο αδιαμφισβήτητος ηγέτης της ‘’ΟP ART’’ μιας ενδιαφέρουσας μορφής αφηρημένης ,γεωμετρικής τέχνης, που προκαλεί στο μάτι του θεατή φαινόμενα οπτικής απάτης . Οι καινοτομίες στο χρώμα και την οπτική ψευδαίσθηση έχουν επηρεάσει πολλούς σύγχρονους καλλιτέχνες.

44

45 LEONARDO DA VINCI Μόνα Λίζα Η Τζοκόντα Ο Leonardo da Vinci ζωγράφισε το πρόσωπο της Mona Lisa ώστε αυτό να χωράει τέλεια σε ένα Χρυσό Ορθογώνιο και δόμησε τον υπόλοιπο πίνακα γύρω από το πρόσωπο χωρίζοντας τον επίσης σε χρυσά ορθογώνια. Η Χρυσή Τομή έχει χρησιμοποιηθεί στις γραμμές του πρόσωπου ,στο κομμάτι που ξεκινά από το λαιμό και φτάνει ως την αρχή των χεριών κι από το ντεκολτέ ως χαμηλά στα χέρια.

46 Βιτρούβιος ΆνδραςΟ αναγεννησιακός άνθρωπος ως κέντρο του κόσμου και μικρογραφία του σύμπαντος.
Το ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί και αναπτύσσεται σε αναλογίες φ. Ο ομφαλός είναι φυσικά τοποθετημένος στο κέντρο του ανθρώπινου σώματος και αν σε ένα άνδρα ξαπλωμένο με το πρόσωπο στραμμένο επάνω και τα χέρια και τα πόδια ανεπτυγμένα, με τον ομφαλό του ως κέντρο εγγράψουμε ένα κύκλο, ο κύκλος αυτός θα ακουμπήσει τα δάχτυλα των ποδιών του. Τοποθετώντας τον σε ένα τετράγωνο, μετρώντας από τα πόδια ως την κορυφή του κεφαλιού ,και έπειτα κατά μήκος των χεριών σε πλήρη έκταση βρίσκουμε την τελευταία μέτρηση ίση με την πρώτη. Αν διαιρέσουμε την πλευρά του τετραγώνου (το ύψος του ανθρώπου) με την ακτίνα του κύκλου (την απόσταση ομφαλού-δακτύλων) ,θα έχουμε το χρυσό αριθμό φ.

47 Maurits Escher ( ) Η εργασία του αποτελεί μια αστείρευτη πηγή έμπνευσης για πολλούς σύγχρονους σημαντικούς καλλιτέχνες. Οι λιθογραφίες, οι ξυλογλυφίες και οι χαλκογραφίες του βρίσκονται κρεμασμένες στα σπίτια μαθηματικών και επιστημόνων σ’ όλο τον κόσμο. Πολλά έργα του έχουν ως βάση κάποια μαθηματικά θέματα που έχουν κατά καιρούς αναλυθεί σε βιβλία ψυχαγωγικών μαθηματικών, όπως αυτά του Martin Gardner. Ο Escher είναι περισσότερο γνωστός στους κρυσταλλογράφους για την επιτυχημένη τεχνική με την οποία χωρίζει το επίπεδο

48 M.C.ESCHER Χωρίζοντας το επίπεδο με κυματιστές σειρές πουλιών, ψαριών ,ερπετών, θηλαστικών και ανθρώπων κατάφερε να δημιουργήσει μεγάλη ποικιλία καταπληκτικών όσο και απροσδόκητων εικόνων , οι οποίες βασίζονται σε νόμους συμμετρίας, της θεωρίας συνόλων, της προοπτικής, της τοπολογίας και της κρυσταλλογραφίας.

49

50 ΑΔΥΝΑΤΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Πρόκειται για έναν συνδυασμό γεωμετρικών χαράξεων που συνθέτουν μία παράδοξη πραγματικότητα. Εικόνες με μια φαινομενικά άψογη προοπτική ή αξονομετρία , συνδυασμένες κατά αφύσικο τρόπο , απεικονίζουν ένα κόσμο όπου δεν ισχύουν οι γνωστοί νόμοι της φύσης, όπως ο νόμος της βαρύτητας και όπου το κοίλο ή το κυρτό, το επάνω και το κάτω, το μέσα και το έξω, χάνουν το νόημα τους.

51 ∞ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ∞

52 Τον όρο της «μαθηματικής λογοτεχνίας» τον εισήγαγε ο Βρετανός δημοσιογράφος Gilbert Adair, με αφορμή την έκδοση του μυθιστορήματος του Απόστολου Δοξιάδη «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ». Θα ονομάζουμε «μαθηματική λογοτεχνία» κάθε μορφή μυθοπλασίας στην οποία τα μαθηματικά παίζουν καθοριστικό ρόλο, είτε επειδή το αντικείμενο της πλοκής σχετίζεται με αυτά είτε γιατί κάποιοι από τους χαρακτήρες της συνδέονται με αυτά και οι ενέργειές τους επηρεάζονται σημαντικά από αυτή τη σχέση.

53 Πρώτος ο Αριστοφάνης σατίρισε την εκκεντρικότητα των μαθηματικών στις Όρνιθες.
Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, ο οποίος έχει υπογράψει τις μεταφράσεις πολλών μαθηματικών μυθιστορημάτων, έγινε γνωστός με τα «Πυθαγόρεια εγκλήματα» Η μόδα των μαθηματικών συνεχίστηκε με το διεθνές μπεστ σέλερ «Το θεώρημα του Παπαγάλου»

54 Η αστυνομική λογοτεχνία οφείλει πολλά στη μαθηματική επιστήμη
Η αστυνομική λογοτεχνία οφείλει πολλά στη μαθηματική επιστήμη. Δεν είναι τυχαίο, ότι ο Σέρλοκ Χολμς κατόρθωσε να αποδείξει την ενοχή του μαθηματικού Μοριάρτι στο «Adventure of the final problem» (1893), έχοντας ως όπλο του τη μαθηματική λογική. Ο Γκιγέρμο Μαρτίνες μεταπήδησε από τα μαθηματικά στη λογοτεχνία, χάρη στην επιτυχία του βιβλίου του «Η ακολουθία της Οξφόρδης».

55 Τίτλοι Βιβλίων: “Η Απολογία ενός Μαθηματικού” του Marcus Du Sautoy (μετάφραση Τ. Μιχαηλίδης) “Θέματα από την ιστορία των μαθηματικών’’ του Ιωάννη Χριστιαννίδη “Η Βιβλιοθήκη της Βαβέλ’’ του Χόρχε Λούις Μπόρχες “Ο Γρίφος της Σεχραζάντ’’ του Raymond Smullgan “Ο Μέτοικος και η Συμμετρία’’ του Τεύκρου Μιχαηλίδη “Η Λωρίδα του Μέμπιους’’ του Clifford Pickover “Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων’’ του Lewis Carroll “Απόδραση από το χρόνο’’ του Gregory Benford “Ο Άνθρωπος που μετρούσε’’ του Malba Tahan “Τα αστέρια της Βερενίκης’’ του Denis Guedj “Το πειραχτήρι των αριθμών’’ του Hans Magnus “Επιχείρηση Μεσημβρία’’ του Denis Guedj “Η Ράβδος του Ευκλείδη’’ του Jean Pierre

56

57 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ
Η αρχιτεκτονική είναι συγχρόνως τέχνη και επιστήμη Το να κάνει κανείς λόγο για τη σχέση αρχιτεκτονικής και μαθηματικών είναι τουλάχιστον ταυτολογία, καθώς από αρχαιοτάτων χρόνων αυτά τα δύο γνωστικά πεδία ήταν αξεχώριστα, με τους ναούς και τις πυραμίδες να αποτελούν ουσιαστικά υλικές εφαρμογές των μαθηματικών αρχών...

58 Η πρόσοψη του Παρθενώνα, καθώς και τα στοιχεία της πρόσοψης αυτού λέγεται από κάποιους ότι οριοθετήθηκαν από ορθογώνια με χρυσές αναλογίες. "...Ωστόσο, έπρεπε να φτάσουμε στον Ευκλείδη προκειμένου να μελετηθούν οι μαθηματικές ιδιότητες της χρυσής τομής. Μία γεωμετρική ανάλυση προηγούμενης έρευνας το 2004 για το Μεγάλο Τζαμί της Καϊρουάν αποκαλύπτει μια συνεπή εφαρμογή της χρυσής αναλογίας σε όλο το σχεδιασμό. Αν και η διαίσθηση είναι απαραίτητη στον εμπνευσμένο αρχιτέκτονα, η ποιοτική γνώση της συμπεριφοράς των κατασκευών, που στηρίζεται πάνω σε καθαρά διαισθητική βάση, δεν μπορεί να οδηγήσει σε μια βαθιά και ποσοτική γνώση της κατασκευής χωρίς τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία.

59 Εκκλησία σε σχήμα πολύεδρου
 Πεντάγωνο φυλλοτακτικό θερμοκήπιο και κέντρο εκπαίδευσης

60 Περίπτερο πειραματικής μουσικής και μαθηματικών

61 «Μαθηματικά στον κινηματογράφο»
Αλέξης Μαγιάρ - Αγγελόπουλος Α3΄ «Μαθηματικά στον κινηματογράφο» Για ένα πολύ μικρό κομμάτι της κοινωνίας τα μαθηματικά είναι η ζωή μας. Για τους περισσότερους είναι κάτι το ακατανόητο και αποφευκτέο. Ταυτόχρονα όμως είναι κάτι το μαγικό όσο και απόμακρο. Ωστόσο έχει δημιουργήσει ένα θαυμασμό σε πολύ κόσμο. Αυτός ο θαυμασμός έχει βρει έκφραση σε πολλές ταινίες. Μερικές από αυτές είναι: A Beautiful Mind (2001) Pi (1998) Agora (2009) Infinity (1996) Cube (1997) Cube 2: Hypercube (2002) Cube Zero (2004) Enigma (2001)

62 Ο ήρωας του «Π» του Ντάρεν Αρονόφσκι ζει σ’ ένα διαμέρισμα της Νέας Υόρκης μέσα σε μια «ζούγκλα» καλωδίων, που τροφοδοτούν τον «Ευκλείδη», τον υπερυπολογιστή του, και μελετά μαθηματικά. Σκοπός του είναι να αποδείξει πως υπάρχει μια μαθηματική λογική πίσω από κάθε πολύπλοκο σύστημα.

63 Τα πρώτα νεανικά βήματα του βραβευμένου με το Νόμπελ φυσικού Richard Feynman.

64 Η συνύπαρξη ευφυΐας και τρέλας στο μυαλό του Μαθηματικού Τζον Νας,
τιμημένου με Νόμπελ Οικονομικών για την δουλειά του στην θεωρία των παιγνίων (Game Theory).

65 Ένας νεαρός, μαθηματική ιδιοφυία, προσπαθεί να σπάσει τον «κωδικό Αίνιγμα» του εχθρού και να σώσει την γυναίκα που αγαπάει

66 με την υποχρεωτική σύνδεση του στο Matrix μέσω μοσχευμάτων.
Calibri (Σώμα) Calibri (Σώμα) Calibri (Σώμα) Calibri (Σώμα) Η ταινία περιγράφει ένα μέλλον στο οποίο ο κόσμος όπως τον ξέρουμε εμείς είναι ουσιαστικά το Matrix, μια εικονική πραγματικότητα που δημιουργήθηκε και συντηρείται από νοήμονες μηχανές προκειμένου να υποτάξει το ανθρώπινο είδος ως πηγή ενέργειας με την υποχρεωτική σύνδεση του στο Matrix μέσω μοσχευμάτων.

67 Η ταινία πραγματεύεται την ζωή της Υπατίας, της Ελληνίδας φιλοσόφου – μαθηματικού – αστρονόμου που βρήκε φρικτό θάνατο από τον χριστιανικό όχλο.

68 Ο «κύβος» ένα φίλμ του 1997 κάτι ανάμεσα σε θρίλερ και επιστημονική φαντασία από τον Βιτσέντζο Νατάλι. Επτά – ξένοι αναμεταξύ τους άνθρωποι ξυπνούν και διαπιστώνουν ότι είναι παγιδευμένοι σ’ένα κύβο. Πρέπει να συνεργαστούν και να εκτελέσουν πολύπλοκους, μαθηματικούς υπολογισμούς για να δραπετεύσουν

69 Είναι ένας πολύ όμορφος και τακτοποιημένος τρόπος που συνδυάζει τα μαθηματικά, τη φύση και την τέχνη. Όλα αυτά μαζί σε μια μόνο φωτογραφία.

70

71

72

73 ΦΡΑΚΤΑΛ Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως "μαγική εικόνα" που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.

74 Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων. Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που σημαίνει "σπασμένος", "κατακερματισμένος".

75

76 Την επόμενη φορά λοιπόν που θα έχετε το βιβλίο της Γεωμετρίας στα χέρια σας,
παρατηρήστε τα έργα των καλλιτεχνών στην αρχή των κεφαλαίων. Αν έχετε χρόνο, ρίξτε και μια ματιά στα ιστορικά σημειώματα … αξίζει τον κόπο! ευχαριστουμε