Κρισιμο συμβαν στην διδασκαλια τηΣ ΔιαταξηΣ

Παρουσίαση με θέμα: "Κρισιμο συμβαν στην διδασκαλια τηΣ ΔιαταξηΣ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Κρισιμο συμβαν στην διδασκαλια τηΣ ΔιαταξηΣ
Η δυσκολία των μαθητών να εκφράσουν λεκτικά ένα συμπέρασμα. Κρασσά Ροδία

2 Παρεμβαση σε ομαδα μαθητων
Ημερομηνία : 26 Φεβρουαρίου 2014 Σχολείο : 1ο γυμνάσιο Βριλησσίων Θέμα : Ιδιότητες της διάταξης πραγματικών αριθμών Τάξη : Γ γυμνασίου Διδακτική ώρα : 3η Ομάδα : 3 μαθητές Διδάσκων : Κρασσά Ροδία

3 Διαταξη πραγματικών αριθμων
Δεύτερο μάθημα των μαθητών στη διάταξη. Έχουν προηγηθεί: -Έννοια της διάταξης -Ιδιότητες 1) Αν α > β αν α-β>0 2) Αν α > β , γ>0 τότε α+γ > β +γ 3) Αν α> β , γ> δ τότε α+γ> β+δ Το φύλλο εργασίας αφορά τις υπόλοιπες ιδιότητες της διάταξης: Αν α> β , γ>0 τότε αγ> βγ Αν α> β ,γ< 0 τότε αγ< βγ Αν α, β, γ,δ>0 και α> β, γ> δ τότε αγ> βδ Έχει δοθεί έμφαση στις αποδείξεις των ιδιοτήτων από τους μαθητές και στην λεκτική διατύπωση τους.

4 Κρισιμο συμβαν Ιδιότητα α>β , γ>0 τότε αγ>βγ .
Το φύλλο εργασίας περιλάμβανε : Δοκιμή με αριθμούς για την διατύπωση εικασίας της ιδιότητας Απόδειξη της εικασίας από τους μαθητές με καθοδήγηση από το ερώτημα. Λεκτική διατύπωση του συμπεράσματος από τους μαθητές . Αμέσως μετά την απόδειξη ακολουθούσε η διατύπωση σε ανοιχτή μορφή «διατυπώστε λεκτικά την ιδιότητα που αποδείξατε» Κατά την διάρκεια της διδασκαλίας επέλεξα να δώσω τελικά μια κατεύθυνση στους μαθητές δίνοντας κομμάτια της διατύπωσης και καλώντας τα να συμπληρώσουν τα κενά.

5 απΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΌ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ
Πηγαίνετε στο επόμενο ερώτημα, σας ζητάει να διατυπώσετε αυτή την ιδιότητα που αποδείξατε με λόγια. Μ1 Σαν κανόνα; Ναι. Πως θα το διατυπώνατε; Πείτε κάποιες ιδέες. Τι δείξαμε; εεε… -Τι είχαμε και που καταλήξαμε; Τι δείξαμε ότι ισχύει; Μ2 Με λόγια; Ναι με λόγια. -Απλά πείτε τι δείξαμε πρώτα και θα δούμε πως θα το γράψουμε Αν σας ρωτούσε κάποιος να του πείτε τι λέει αυτή η ιδιότητα, εξήγησε μου… Δείξαμε ότι α-β>0

6 Μ2 αγ-βγ >0 γιατί ξέρουμε α-β… γιατί αν κάνουμε την αντιμεταθετική θα βγούνε όλα θετικά. Κ ναι αλλά τα δεδομένα μας ποια ήταν; Μ3 α>β και γ>0 Και το συμπέρασμα μας που θέλαμε να δείξουμε από την αρχή ποιο ήταν; Μ1 αγ> βγ Ωραία, Η ιδιότητα αυτό λέει αν α>β και πολλαπλασιάσουμε γ>0 τότε αγ> βγ Αν θέλατε αυτό να μου το πείτε με λόγια για μια τυχαία ανισότητα Πείτε κάποιες ιδέες Υπάρχουν πολλές σωστές απαντήσεις Αν έχουμε ένα αριθμό μεγαλύτερο του μηδενός και δυο αριθμούς θετικούς Τότε ισχύει ότι … εεε Εφόσον μας δίνει το δεδομένο ότι το γ θα είναι πάντα θετικός έτσι; Ναι. Εσύ τι σκέφτεσαι; Ότι εφόσον γνωρίζουμε α-β>0 και το γ>0 τότε βγαίνει θετικός αριθμός Ποιος; Το γινόμενο των δυο

7 Κ Ωραία, αν θέλατε να το γράψετε σε γενική μορφή σαν κανόνα σχετικά με τις ανισότητες Έχω μια ανισότητα και πολλαπλασιάζω και τα δυο μελή της με θετικό αριθμό τι προκύπτει; Μ1 βγαίνει θετικός Τι βγαίνει θετικός; Ο αριθμός, εεεεε Λοιπόν, θα σας δώσω την αρχή της διατύπωσης -Γράψτε: « αν πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μελή μιας ανισότητας» Τι πιστεύεται ότι θα έλεγα μετά; Μ2 Με έναν θετικό αριθμό Κ -ωραία. - «τότε προκύπτει ανισότητα -Θέλω να σκεφτούμε τι θα γράψουμε εκεί περά Μ2 Με θετικό γινόμενο; Εξήγησε αυτό που λες Ότι προκύπτει ανισότητα με θετικό τι ; -Θετικό γινόμενο - Τι σημαίνει αυτό; Ποιο ονομάζουμε θετικό γινόμενο; Όταν α,β είναι και τα δυο θετικά

8 Αυτό μας προκύπτει εδώ περά μια ανισότητα για το γινόμενο αβ;
Κ Αυτό μας προκύπτει εδώ περά μια ανισότητα για το γινόμενο αβ; Μ2 Για το αγ, βγ Μ3 θετική φορά; Τι ονομάζεις θετική φορά; Όχι δεν είναι θετική φορά Μ1 Θετικό πρόσημο; Εξήγησε μου τι έχει θετικό πρόσημο; Το γινόμενο των δύο αριθμών που πολλαπλασιάσαμε. Το α με το γ

9 Αφού το α και το β μπορεί να είναι και αρνητικοί αριθμοί
Κ Αφού το α και το β μπορεί να είναι και αρνητικοί αριθμοί Το γινόμενο του αγ δεν είναι απαραίτητα θετικό Λέτε ότι κάτι είναι θετικό Εσύ λες θετική φορά τι είναι αυτό που θέλετε να πείτε; Τι είναι αυτό που προκύπτει; Το αποτέλεσμα μας είναι αγ >βγ Αυτό θέλουμε να περιγράψουμε λεκτικά , με λόγια. αγ>βγ Πως θα το λεγάτε; Είχαμε α>β Πολλαπλασιάζουμε με γ>0 Και καταλήξαμε σε αυτό Αυτό τι είναι ;Λέμε προκύπτει ανισότητα με; Τι ανισότητα είναι αυτή που μας προκύπτει; Κοιτάξτε το λιγάκι (γραφούμε σ άλλο χαρτί α>β και από κάτω αγ>βγ) Έχουμε μια ανισότητα , αυτή και μας προκύπτει αυτή. Τι κοινό έχουν αυτές οι δύο; Τι μένει ίδιο;

10 Έχουν πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο αριθμό
Μ2 Έχουν πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο αριθμό Κ σχετικά με την ανισότητα; Τι άλλο θα μπορούσε να ισχύει για το αγ και το βγ ; Τι είναι αυτό που μας ενδιαφέρει; Μ3 Εεεε η φορά, αν πολλαπλασιάζαμε με αρνητικό θα ήταν αλλιώς η φορά Ναι η φορά είναι που μένει ιδία Μ2,Μ1 Α ναι, η φορά. Συμπληρώστε λοιπόν «ανισότητα με την ιδία φορά»

11 Σχολιασμοσ Κατά την προσπάθεια να διατυπώσουν οι μαθητές με λόγια την ιδιότητα που είχαν αποδείξει δυσκολευτήκαν ιδιαίτερα. Παρόλο που γνώριζαν τι είχαν αποδείξει και είχαν πειστεί ότι ισχύει η ιδιότητα υπήρχε σύγχυση και από τους τρεις για το τι ακριβώς πρέπει να γράψουν και για το πώς θα εκφράσουν το συμπέρασμα (δηλαδή την διατύπωση του γα>γβ σαν ανισότητα με την ίδια φορά με την δοθείσα σχέση α>β). Στην προσπάθεια τους να χρησιμοποιήσουν μαθηματική γλώσσα (σύμφωνη με το διδακτικό συμβόλαιο) δεν έδιναν προσοχή στην μαθηματική ιδέα των διατυπώσεων τους. Μια μαθήτρια πρότεινε ότι το συμπέρασμα είναι ότι το γινόμενο είναι θετικό, αλλά αδυνατούσε να προσδιορίσει ποιους αριθμούς εννοούσε . Πράγματι στην απόδειξη είχαν καταλήξει ότι γ(α-β) >0 άρα γα>γβ οπότε μάλλον αναφερόταν εκεί. Βλέπουμε λοιπόν ότι υπήρξε σύγχυση μεταξύ των σταδίων της απόδειξης και της ιδιότητας που συμπεράναμε.

12 Ένας άλλος μαθητής είπε ότι προκύπτει ανισότητα με θετική φορά όμως όταν του ζήτησα να εξηγήσει τι εννοεί με αυτό είπε ότι έκανε λάθος. Σε αυτή την περίπτωση υπήρχε σύγχυση σχετικά με το σύμβολο > . Μια εξήγηση θα ήταν ότι επειδή γνωρίζουν ότι αγ>βγ ισοδυναμεί με αγ-βγ>0 δηλαδή η διάφορα των δυο αριθμών είναι θετική να ταύτισε το σύμβολο > σαν θετική φορά. Σημείωση :συνήθως η έκφραση θετική φορά είναι στοιχειό του μαθήματος της φυσικής όποτε ίσως υπήρξε εδώ μια σύγχυση μεταξύ μιας έκφρασης που είχε ακούσει σε ένα άλλο μάθημα.

13 Παρατηρησεισ Γενικά παρατηρούμε ότι οι μαθητές δυσκολευτήκαν στην διατύπωση της ιδιότητας για πολλούς λογούς. 1) Δεν είναι εξοικειωμένοι με το να τους ζητούν να διατυπώσουν λεκτικά συμπεράσματα. Για αυτό και τους προκάλεσε έκπληξη. Γενικότερα, είναι πολύ διαφορετικό να μαθαίνεις μια ήδη διατυπωμένη ιδιότητα από το να καλείσαι να την διατυπώσεις ο ίδιος. Το δεύτερο όμως, πιστεύω πως εξασφαλίζει καλύτερη κατανόηση της ιδιότητας και πιο ουσιαστική χρήση της στο μέλλον. Για αυτό και επέλεξα αυτό το ερώτημα. Στα επόμενα βήματα όταν χρειάστηκε να διατυπώσουν την αντίστοιχη ιδιότητα για γ<0 δυσκολευτήκαν πολύ λιγότερο.

14 2) Η διαδικασία της απόδειξης τους δημιούργησε μία σύγχυση ως προς το τι αποδείξανε . Η χρήση ισοδύναμων εκφράσεων για την απόδειξη μιας σχέσης είναι μια έννοια κάπως θολή για τους μαθητές στην τάξη αυτή που δεν έχουν ακόμα αναφερθεί στο ποτέ δυο σχέσεις είναι ισοδύναμες ή πότε η μια συνεπάγεται την άλλη. Η μία μαθήτρια όταν απάντησε για το ποιο είναι το συμπέρασμα μίλησε πιθανόν για το τελευταίο βήμα της απόδειξης που ισοδυναμούσε βέβαια με το αποτέλεσμα.

15 3) Η έννοια της ανισότητας με την ίδια φορά (όπως είναι η έκφραση του βιβλίου) ουσιαστικά αφήνει να εννοηθεί ότι τα σύμβολα >, < είναι διαφορετική φορά του ιδίου σύμβολου . Η μετάβαση στην σύνδεση της έννοιας της φοράς με την έννοια του μεγαλυτέρου και μικρότερου δεν είναι αυτονόητη για τους μαθητές και χρειάζεται περισσότερη εξήγηση ώστε να μην μπερδευτούν. Επιπλέον κρίσιμο για την απάντηση ήταν και η ίδεα ότι για δύο αριθμούς μπορεί να ισχύει ότι είτε ο ένας είναι μικρότερος από τον άλλον είτε το αντίθετο είτε να είναι ίσοι που ήταν και αυτό που οδήγησε τελικά τον μαθητή να απαντήσει σωστά.

16 Σχετικεσ αναφορεσ στην ερευνα:
Τα κύρια προβλήµατα που αναφέρονται στη διδασκαλία της σχολικής άλγεβρας έχουν να κάνουν µε τη γλώσσα της άλγεβρας, τη δοµή της και την έλλειψη πρακτικής χρήσης της άλγεβρας από τους µαθητές. Ένα άλλο σοβαρό ζήτηµα είναι ο τρόπος διδασκαλίας. Οι µαθητές φαίνεται ότι µαθαίνουν να αντιγράφουν κανόνες και αλγεβρικούς χειρισµούς από το δάσκαλό τους χωρίς πραγµατική κατανόηση για το τι και το πώς. ∆ίνεται λίγη προσοχή στη γενίκευση και στη δυναµική όψη των µεταβλητών. Το άλµα στο τυπικό επίπεδο γίνεται πολύ γρήγορα, σχεδόν σε µια ή δυο σελίδες του σχολικού βιβλίου, έτσι δεν δίνεται επαρκής χρόνος στους µαθητές για να αναπτύξουν τα δικά τους γνωστικά σχήµατα. ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Γ. Βερύκιος

17 Μία από τις σηµαντικότερες ερµηνείες που προτείνονται για τι δυσκολίες των µαθητών στην άλγεβρα είναι ο αφηρηµένος και χωρίς αναφορικό νόηµα τρόπος προσέγγισης των εννοιών της. Οι µαθητές δεν κατανοούν γιατί µαθαίνουν τους διάφορους συµβολισµούς και τους χειρισµούς τους και αδυνατούν να κάνουν µια σύνδεση όλων αυτών των εννοιών και ταυτόχρονα όλες αυτές οι έννοιες να έχουν µια πραγµατική αναφορά στις εµπειρίες τους µε βάση τις οποίες θα κατασκευάσουν ένα νόηµα για τις έννοιες που διδάσκονται.

18 Ο µεγάλος µαθηµατικός και φιλόσοφος Bertrand Russell αναφέρει στην αυτοβιογραφία του (αναφέρεται στο Henk van der Kooij, 2001): «Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας. Έπρεπε να αποστηθίσω : ‘το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους’. ∆εν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόησή µου». Το απόσπασµα αυτό από την αυτοβιογραφία το B. Ruseell υποδηλώνει τον τρόπο µε τον οποίο ‘διδάσκονταν και µαθαίνονταν’ για ένα πολύ µεγάλο διάστηµα τα µαθηµατικά. Έχουν περάσει από τότε πάνω από εκατό χρόνια και στα βιβλία µας µπορεί κανείς να δει και σήµερα τέτοιες ασκήσεις µε αλγορίθµους ρουτίνας που µαθαίνονται χωρίς κατανόηση του νοήµατος µε αποστήθιση από τους περισσότερους µαθητές ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Γ. Βερύκιος

19 Σχετικα με το διδακτικο συμβολαιο και την χρηση γλωσσασ απο τουσ μαθητεσ
Οι D’ Amore και Sandri (1994b) αναφέρουν µια διάσταση της αρνητικής επίδρασης του διδακτικού συµβολαίου σε σχέση µε τη γλώσσα, λαµβάνοντας υπόψη ότι η καθηµερινή γλώσσα δεν ταυτίζεται µε τη γλώσσα που χρησιµοποιείται όταν κάποιος µιλά για τα µαθηµατικά. Οι µαθητές όταν µιλούν για τα µαθηµατικά χρησιµοποιούν µια πολύ ειδική γλώσσα µιµούµενοι τον εκπαιδευτικό, αφού βάσει διδακτικού συµβολαίου, η επιλογή του περιεχοµένου και της µεθοδολογίας εναπόκειται µόνο σε αυτόν. Όταν ένας µαθητής κληθεί να µιλήσει για τα µαθηµατικά, είναι δυνατό να συγκεντρώσει όλη του την προσοχή στην προσπάθεια να προσαρµόσει τη γλώσσα και τη συµπεριφορά του .

20 Ανασκοπηση Βλέποντας εκ των υστέρων την πορεία της διδασκαλίας, πιστεύω ότι έπρεπε να δώσω περισσότερη έμφαση στο να πείσω τα παιδιά να εκφραστούν χωρίς να προσπαθούν να μιμηθούν μαθηματικές εκφράσεις. Καθώς και να επιμείνω στην έννοια της φόρας μιας ανισότητας. Εκ των υστέρων συνειδητοποίησα ότι τα παιδιά δεν έχουν ιδιαίτερη εξοικείωση με την έννοια αυτή. Όπως φάνηκε οι μαθητές μπέρδευαν την έννοια της φοράς χρησιμοποίησαν τους όρους «θετικό πρόσημο», «θετική φορά», «θετικό γινόμενο» στην προσπάθεια να εκφραστούν μαθηματικά. Επιπλέον, ίσως θα μπορούσα να είχα χειριστεί καλύτερα το σημείο όπου τα παιδιά έλεγαν τις ιδέες τους ώστε το ένα να διορθώσει το άλλο και να μην επέμβω τόσο εγώ. Τέλος, θα ήθελα να έχω επιμείνει έστω και μετά την απάντηση του ερωτήματος στο ότι η φορά είναι κάτι που προσδιορίζει μια ανισότητα για αυτό και χρησιμοποιούμε αυτή την διατύπωση για την ιδιότητα.