Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 1 (από πρώτο μάθημα) figure(1) subplot(1,2,1) w=-10:0.1:10; m=1; plot(w,m) grid xlabel('w-complex')

Παρουσίαση με θέμα: "Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 1 (από πρώτο μάθημα) figure(1) subplot(1,2,1) w=-10:0.1:10; m=1; plot(w,m) grid xlabel('w-complex')"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 1 (από πρώτο μάθημα) figure(1) subplot(1,2,1) w=-10:0.1:10; m=1; plot(w,m) grid xlabel('w-complex') ylabel('metro') title('exercise 1') subplot(1,2,2) arg=atan(2*w./(w.^2-1)); plot(w,arg,'r') xlabel('w-complex') ylabel('orisma') grid Τοποθέτηση του παραπάνω στον M-editor a) File -> New -> M-file, b) συγγραφή κώδικα, c) αποθήκευση (save as exersize1), d) έξοδος, e) κάλεσμα με το όνομα που αποθηκεύτηκε από γραμμή εντολών (>> exersize1)

2 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 2 (από πρώτο μάθημα) figure(2) subplot(1,3,1) t=linspace(-2,2,100); x1=-exp(-3*t); plot(t,x1,'b') grid xlabel('t') ylabel('x1') title('exercise 2') subplot(1,3,2) x2=exp(-3*t); plot(t,x2,'g') xlabel('t') ylabel('x2') grid subplot(1,3,3) plot(x1,x2,'m') grid xlabel('x1')

3 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πράξεις με πίνακες Πράξεις με πολυώνυμα Μετασχηματισμοί στο MATLAB (Laplace, Fourier) MATrix LABoratory

4 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Δημιουργία πίνακα >> a=[8 1 6 ; 3 5 7 ; 4 9 2] a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> a=[8 1 6 3 5 7 4 9 2] a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

5 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Σύνθεση πινάκων >> b=[8 1 6 ; 3 5 7]; >> c=[4 9 2]; >> d=[b;c] d = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> b=[8;3;4]; >> c=[1;5;9]; >> d=[6;7;2]; >> e=[b c d] e = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

6 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πράξεις πινάκων >> a=fix(10*rand(3,3)) a = 9 4 4 2 8 0 6 7 8 >> b=fix(10*rand(3,3)) b = 4 9 4 6 7 9 7 1 9 >> c=a+b c = 13 13 8 8 15 9 13 8 17 >> d=a*b d = 88 113 108 56 74 80 122 111 159 >> e=a/b e = 2.8000 -3.4000 2.6000 1.4400 -0.7200 0.0800 0.3440 0.5280 0.2080 >> f=a\b f = 0.0213 1.3723 -0.1809 0.7447 0.5319 1.1702 0.2074 -1.3697 0.2367 Λύση του af=bΛύση του eb=a

7 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση Υπολογίστε την πρώτη στήλη του Α -1 χωρίς την χρήση της εντολής inv. Να βρεθούν 5 τυχαίοι πίνακες A,B,C,D,E και στη συνέχεια χωρίς τη χρήση της εντολής inv να υπολογιστεί ο πίνακας

8 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Δύναμη πίνακα - Ανάστροφος >> a^3 ans = 1617 1696 996 498 768 200 1844 2168 1168 >> transpose(a) ans = 9 2 6 4 8 7 4 0 8 >> a' ans = 9 2 6 4 8 7 4 0 8

9 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Αντίστροφος – Ορίζουσα - Ψευδοαντίστροφος >> inv(a) ans = 0.1702 -0.0106 -0.0851 -0.0426 0.1277 0.0213 -0.0904 -0.1037 0.1702 >> det(a) ans = 376 >> pinv(a) ans = 0.1702 -0.0106 -0.0851 -0.0426 0.1277 0.0213 -0.0904 -0.1037 0.1702

10 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Ιδιοτιμές - ιδιοανύσματα >> c=eig(a) c = 14.8574 4.4303 5.7123 >> [X,D]=eig(a) X = 0.6375 0.7778 0.7523 0.1859 -0.4358 -0.6577 0.7476 -0.4528 0.0394 D = 14.8574 0 0 0 4.4303 0 0 0 5.7123 AX=XD

11 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Ειδικοί πίνακες Μοναδιαίος >> eye(3,2) ans = 1 0 0 1 0 0 >> eye(3) ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Μηδενικός >> zeros(2,3) ans = 0 0 0

12 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Χρήσιμοι πίνακες για την Θεωρία Ελέγχου >> expm(a) ans = 1.0e+006 * 1.3978 1.6473 0.8155 0.4078 0.4809 0.2376 1.6391 1.9321 0.9562 >> sqrtm(a) ans = 2.8404 0.5585 0.7259 0.3630 2.8024 -0.0478 1.0052 1.1687 2.7067 Παράδειγμα. x0=[1;1;1]; >> x=[]; >> for t=0:.01:1 x=[x expm(a*t)*x0]; end >> plot3(x(1,:),x(2,:),x(3,:),'-o')

13 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Χρήσιμοι πίνακες για την Θεωρία Ελέγχου >> [X,J]=jordan(a) X = 0.4931 0.9533 -0.4464 0.1438 -0.5341 0.3903 0.5783 -0.5549 -0.0234 J = 14.8574 - 0.0000i 0 0 0 4.4303 + 0.0000i 0 0 0 5.7123 - 0.0000i >> [U,S,V]=svd(a) U = -0.5971 0.4364 -0.6731 -0.3694 -0.8944 -0.2522 -0.7120 0.0981 0.6953 S = 16.7296 0 0 0 6.0122 0 0 0 3.7383 V = -0.6208 0.4536 -0.6394 -0.6174 -0.7856 0.0420 -0.4833 0.4208 0.7677

14 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πράξεις πινάκων (στοιχείο ανά στοιχείο) >> a=magic(3) a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> a.^2 ans = 64 1 36 9 25 49 16 81 4 >> a./2 ans = 4.0000 0.5000 3.0000 1.5000 2.5000 3.5000 2.0000 4.5000 1.0000 >> a.*a ans = 64 1 36 9 25 49 16 81 4

15 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Υποπίνακες >> a=magic(3) a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> a(1,:) ans = 8 1 6 >> a(1:2,1:2) ans = 8 1 3 5 >> a(:,1) ans = 8 3 4 >> a(1:2:3,1:2:3) ans = 8 6 4 2

16 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ.

17 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ.

18 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση Δίνεται το παρακάτω σύστημα Με την βοήθεια του πίνακα e^(A*t) να βρεθεί η λύση του παραπάνω συστήματος και να σχεδιασθεί το ζεύγος (x1(t),x2(t)) για x=0,0.1,..,10.

19 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πολυώνυμα (αναπαράσταση – ρίζες – χαρακτηριστικό πολυώνυμο) >> p=[1 -1 1 -1] p = 1 -1 1 -1 Χαρακτηριστικό πολυώνυμο >> a=magic(3); >> poly(a) ans = 1.0000 -15.0000 -24.0000 360.0000 Ρίζες Πολυωνύμου >> roots(p) ans = 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i

20 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πολυώνυμα (τιμή σε αριθμό ή πίνακα, γινόμενο, διαίρεση) >> p=[1 -1]; >> q=[1 -5 6]; Γινόμενο πολυωνύμων p,q >> c=conv(p,q) c = 1 -6 11 -6 Διαίρεση πολυωνύμων c,p >> [q,r]=deconv(c,p) q = 1 -5 6 r = 0 0 0 0 Τιμή πολυωνύμου p για έναν αριθμό s >> polyval(p,1) ans = 0 Τιμή πολυωνύμου p για έναν πίνακα a >> polyvalm(p,a) ans = 1113 963 1088 1013 1038 1113 1038 1163 963

21 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πολυώνυμα (partial fraction expansion) >> a=[1 -1]; >> b=[1 -5 6]; >> [r,p,k]=residue(a,b) r = 2.0000 p = 3.0000 2.0000 k = [] Αντίστροφη διαδικασία >> [a,b]=residue(r,p,k) a = 1 -1 b = 1 -5 6

22 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Πολυώνυμα (΄περίληψη συναρτήσεων)

23 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση Δίνονται τα πολυώνυμα Εφόσον υπολογιστεί ο αριθμητής και παρονομαστής της συνάρτησης Να αναλυθεί σε μερικούς παράγοντες (partial fraction expression).

24 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Μετασχηματισμοί Laplace >> syms f t s g >> f=exp(2*t) f = exp(2*t) >> g=laplace(f,t,s) g = 1/(s-2) >> ilaplace(g,t) ans = exp(2*t) Συμβολικές μεταβλητές

25 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση Να υπολογιστούν οι μετασχηματισμοί Laplace των παρακάτω συναρτήσεων Να υπολογιστούν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των παρακάτω συναρτήσεων

26 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Μετασχηματισμοί Ζ >> syms k f g z >> f=k^4 f = k^4 >> g=ztrans(f,k,z) g = z*(z^3+11*z^2+11*z+1)/(z-1)^5 >> iztrans(g,k) ans = k^4 Συμβολικές μεταβλητές

27 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση Να υπολογιστούν οι μετασχηματισμοί Ζ των παρακάτω συναρτήσεων Να υπολογιστούν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Ζ των παρακάτω συναρτήσεων

28 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 1(για σπίτι) Άσκηση 1. Δίνεται το παρακάτω σύστημα Με την βοήθεια των μετασχηματισμών Laplace, να βρεθεί η λύση του παραπάνω συστήματος με είσοδο u(t)=cos(t) και να σχεδιασθεί η γραφική παράσταση του ζεύγους (x1(t),x2(t)) για x=0,0.1,…,5.

29 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 2 (για σπίτι) Άσκηση 2. Δίνεται το παρακάτω σύστημα Με την βοήθεια του μετασχηματισμού Z, να βρεθεί η λύση του παραπάνω συστήματος με είσοδο u(k)=k.

30 Επικ. Καθ. Νίκος ΚαραμπετάκηςΤμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. Άσκηση 3 (για σπίτι) Άσκηση 3. Δίνονται οι πίνακες Να δημιουργήσετε τον πίνακα και να υπολογίσετε α) το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο, β) τις ιδιοτιμές και ιδιοανύσματα του, γ) την Jordan μορφή του. Να δείξετε επίσης ότι sin(A) 2 +cos(A) 2 =I