ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ: ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

Παρουσίαση με θέμα: "ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ: ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ: ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ
Πηγή: Βιοστατιστική [Β.Γ.Σταυρινός, Δ.Β.Παναγιωτάκος]

2 Στατιστική Επαγωγή Στατιστική Επαγωγή ονομάζεται το σύνολο των στατιστικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται: Για την όσο το δυνατόν ακριβέστερη εκτίμηση των αγνώστων παραμέτρων ενός πληθυσμού από ένα τυχαίο δείγμα που λαμβάνεται από αυτόν Για τον έλεγχο υποθέσεων σχετικά με τη συμπεριφορά των αγνώστων παραμέτρων ενός πληθυσμού με βάση την εκτίμησή τους από το δείγμα

3 Κατανομές Δειγματοληψίας
Η κατανομή πιθανότητας μιας στατιστικής, η οποία υπολογίζεται από όλα τα τυχαία δείγματα ίδιου μεγέθους από έναν πληθυσμό, ονομάζεται κατανομή δειγματοληψίας της στατιστικής αυτής. Η τυπική απόκλιση μιας κατανομής δειγματοληψίας ονομάζεται και τυπικό σφάλμα της κατανομής αυτής.

4 Κατανομές Δειγματοληψίας
Κατανομές δειγματοληψίας μπορούν να κατασκευαστούν ως εξής: Από τον πληθυσμό μεγέθους Ν επιλέγουμε όλα τα δυνατά τυχαία δείγματα μεγέθους n. Από όλα τα δείγματα αυτά υπολογίζουμε την τιμή της στατιστικής για την οποία ενδιαφερόμαστε (πχ μέσος, διάμεσος, διακύμανση κλπ) Κατασκευάζουμε τον πίνακα των διαφόρων τιμών της στατιστικής αυτής με τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες εμφάνισής τους.

5 Κατανομές Δειγματοληψίας
α) Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου και της διαφοράς δύο Δειγματικών Μέσων β) Κατανομή Δειγματοληψίας μιας Αναλογίας και της Διαφοράς δύο Αναλογιών

6 Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου και της Διαφοράς δύο Δειγματικών Μέσων
Για την κατανομή δειγματοληψίας των μέσων των δειγμάτων μεγέθους n που επιλέγονται τυχαία από έναν κανονικό πληθυσμό N(μ,σ2): Ακολουθεί επίσης την κανονική κατανομή Ο μέσος που προκύπτει από τα επιμέρους δείγματα είναι ο μέσος μ του πληθυσμού Η διακύμανση είναι ίση με σ2/n

7 Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου και της Διαφοράς δύο Δειγματικών Μέσων

8 Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου και της Διαφοράς δύο Δειγματικών Μέσων

9 Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου και της Διαφοράς δύο Δειγματικών Μέσων
Παράδειγμα: Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του σιδήρου του αίματος για τους υγιείς άνδρες είναι 120 και 15mg/100ml αντίστοιχα. Ποια είναι η πιθανότητα ένα τυχαίο δείγμα 50 υγειών ανδρών από τον πληθυσμό αυτόν να έχει μέση τιμή σιδήρου του αίματος: Α) μεγαλύτερη από 125 mg/100ml; Β) μεταξύ 115 και 125 mg/100ml;

10 Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου και της Διαφοράς δύο Δειγματικών Μέσων
Για την κατανομή δειγματοληψίας της διαφοράς των μέσων δύο τυχαίων δειγμάτων από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς αποδεικνύεται ότι:

11 Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου και της Διαφοράς δύο Δειγματικών Μέσων
Παράδειγμα: Σειρά παρατηρήσεων έδειξε ότι η κατανομή του ποσοστού λίπους στους άνδρες ηλικίας 25 εώς 35 ετών ακολουθεί την κανονική κατανομή και στις αστικές και στις αγροτικές περιοχές με διαφορετικούς όμως μέσους και διακυμάνσεις. Οι αντίστοιχες κατανομές προσδιορίσθηκαν ως εξής: Αστικές Περιοχές: Ν1(25,25) Αγροτικές Περιοχές: Ν2(20,9)

12 Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου και της Διαφοράς δύο Δειγματικών Μέσων
Αν λάβουμε τυχαία δείγματα μεγέθους n1=15 και n2=18 αντίστοιχα, ποια είναι η πιθανότητα η διαφορά των μέσων τιμών του ποσοστού λίπους στα δείγματα αυτά να είναι: Α) μεγαλύτερη από 1.5; Β) μεταξύ 0.5 και 1.5; Γ) μικρότερη από 0.7;

13 Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου και της Διαφοράς δύο Δειγματικών Μέσων
Αν στις κατανομές δειγματοληψίας του δειγματικού μέσου ή της διαφοράς των δύο δειγματικών μέσων αντικαταστήσουμε τη συνήθως άγνωστη διακύμανση σ2 του πληθυσμού με την εκτίμηση της s2 από το δείγμα τότε:

14

15

16 Κατανομή Δειγματοληψίας μιας Αναλογίας

17 Κατανομή Δειγματοληψίας μιας Αναλογίας
Το μέγεθος του δείγματος θεωρείται στην περίπτωση αυτή μεγάλο όταν οι ποσότητες np & n(1-p) είναι και οι δύο μεγαλύτερες από 5. Σε αντίθετη περίπτωση ενδέχεται η προσέγγιση της κανονικής κατανομής να μην είναι ικανοποιητική.

18 Κατανομή Δειγματοληψίας της Διαφοράς δύο Αναλογιών
Αν σε δύο πληθυσμούς οι αντίστοιχες αναλογίες ενός χαρακτηριστικού είναι p1 και p2 και θεωρήσουμε τυχαία δείγματα μεγέθους n1 και n2 αντίστοιχα από τους πληθυσμούς αυτούς, τότε για την κατανομή δειγματοληψίας της διαφοράς (p1^-p2^) ισχύει:

19 Κατανομή Δειγματοληψίας της Διαφοράς δύο Αναλογιών
Παράδειγμα: Τα ποσοστά των πληθυσμών δύο πόλεων Α και Β που υποφέρουν από καρδιαναπνευστικά νοσήματα είναι 12% και 15% αντίστοιχα. Αν πάρουμε δείγματα μεγέθους nA=60 & nB=54 από τις δύο πόλεις, ποια είναι η πιθανότητα η διαφορά (p1^-p2^) στις αναλογίες των καρδιοαναπνευστικών νοσημάτων στα δύο δείγματα να είναι μεγαλύτερη του 0,03;

20 Κατανομή Δειγματοληψίας μια Αναλογίας και της Διαφοράς δύο Αναλογιών

21 Κατανομή Δειγματοληψίας μια Αναλογίας και της Διαφοράς δύο Αναλογιών

22 Εκτιμήτριες και Σημειακές Εκτιμήσεις Παραμέτρων ενός Πληθυσμού
Κάθε μαθηματική έκφραση με βάση την οποία υπολογίζουμε την τιμή μιας στατιστικής στα διάφορα δείγματα, λέμε συνήθως ότι ορίζει μια σημειακή εκτιμήτρια της αντίστοιχης παραμέτρου στον πληθυσμό.

23 Εκτιμήτριες και Σημειακές Εκτιμήσεις Παραμέτρων ενός Πληθυσμού
Πχ η μαθηματική έκφραση Ορίζει μια σημειακή εκτιμήτρια του μέσου μ του πληθυσμού και αν εφαρμοσθεί στις παρατηρήσεις ενός δείγματος μεγέθους n δίνει μια σημειακή εκτίμηση του αγνώστου μέσου μ του πληθυσμού.

24

25 Ιδιότητες Σημειακών Εκτιμητριών
Για να έχουμε τις ακριβέστερες δυνατές σημειακές εκτιμήσεις πρέπει να χρησιμοποιούμε την καλύτερη δυνατή εκτιμήτρια της αντίστοιχης παραμέτρου Η επιλογή της καλύτερης εκτιμήτριας γίνεται πάντοτε με βάση κάποιο κριτήριο. Το συνηθέστερο κριτήριο είναι αυτό που ελαχιστοποιεί το μέσο σφάλμα της εκτίμησης

26 Ιδιότητες Σημειακών Εκτιμητριών

27 Ιδιότητες Σημειακών Εκτιμητριών

28 Ιδιότητες Σημειακών Εκτιμητριών

29 Ιδιότητες Σημειακών Εκτιμητριών

30 Ιδιότητες Σημειακών Εκτιμητριών

31 Διαστήματα Εμπιστοσύνης
Δ.Ε. για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού Δ.Ε. για τη Διαφορά Δύο Μέσων Δ.Ε. για Αναλογίες και Διαφορές Αναλογιών Δ.Ε. για το Σχετικό Λόγο

32 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού

33 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού

34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού

35 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού

36 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού

37 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού

38 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού

39

40 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού
Παράδειγμα: Ο δείκτης μάζας Χ ενός ατόμου υπολογίζεται αν διαιρέσουμε το βάρος του με το τετράγωνο του ύψους του και χρησιμοποιείται ως μέτρο για το αν κάποιο άτομο έχει υπερβάλλον βάρος. Για άντρες ηλικίας ετών είναι γνωστό ότι Χ~Ν(μ,σ2). Να προσδιορίσετε το 95% ΔΕ για τη μέση σωματική μάζα μ των ανδρών ηλικίας ετών αν από ένα τυχαίο δείγμα 49 ανδρών από τον πληθυσμό αυτόν προέκυψε ότι ο δειγματικός μέσος = 25 και s2=9

41 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού
Παράδειγμα: Από ένα δείγμα 15 υγειών γυναικών ηλικίας ετών, υπολογίσθηκε για την αμυλάση του ορού αίματος ότι ο δειγματικός μέσος ισούται με 96 και s=35. Να υπολογισθεί το 90% ΔΕ για την αληθή τιμή της μέσης τιμής μ της αμυλάσης στον πληθυσμό των υγειών γυναικών ηλικίας ετών

42 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το Μέσο μ ενός Πληθυσμού

43 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τη Διαφορά δύο Μέσων
Σύγκριση των μέσων πριν και μετά την παρέμβαση στο ίδιο δείγμα Σύγκριση των μέσων σε δύο ανεξάρτητα δείγματα από τον ίδιο ή από διαφορετικούς πληθυσμούς

44 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τη Διαφορά δύο Μέσων
Παράδειγμα α): Η αρτηριακή πίεση 12 γυναικών μετρήθηκε πριν και έξι μήνες μετά από τη συνεχή λήψη ενός νέου αντισυλληπτικού χαπιού. Να υπολογισθεί το 95% ΔΕ για τη μέση επίπτωση στην αρτηριακή πίεση των γυναικών από τη λήψη του νέου αντισυλληπτικού χαπιού {πίνακας σελ. 205}

45 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για Αναλογίες & Διαφορές Αναλογιών

46 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για Αναλογίες & Διαφορές Αναλογιών
Παράδειγμα: Από ένα δείγμα 280 ανδρών ηλικίας ετών προέκυψε ότι 104 επισκέπτονταν τον οδοντίατρό τους προληπτικά, τουλάχιστον μια φορά το χρόνο. Να υπολογισθεί το 95% δ.ε. για την αναλογία των ατόμων στον πληθυσμό των ανδρών ετών που επισκέπτονται τον οδοντίατρο προληπτικά τουλάχιστον μια φορά κάθε χρόνο.

47 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για Αναλογίες & Διαφορές Αναλογιών
Παράδειγμα: Σε δύο τυχαία δείγματα μεγέθους n=500, τα οποία ελήφθησαν πριν και μετά από μια αντικαπνιστική εκστρατεία διάρκειας έξι μηνών, βρέθηκαν 185 και 155 καπνιστές αντίστοιχα. Να υπολογισθεί το 95% δ.ε. για τη μειωτική επίπτωση της αντικαπνιστικής εκστρατείας.